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Física Universitaria Volumen 1

9.7 Propulsión de cohetes

Física Universitaria Volumen 19.7 Propulsión de cohetes
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la aplicación de la conservación del momento cuando la masa cambia con el tiempo, así como la velocidad.
  • Calcular la rapidez de un cohete en el espacio vacío, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.
  • Calcular la rapidez de un cohete en el campo gravitacional de la Tierra, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.

Ahora tratamos el caso en el que la masa de un objeto cambia. Analizamos el movimiento de un cohete, que cambia su velocidad (y, por ende, su momento) al expulsar los gases del combustible quemado, lo que hace que se acelere en la dirección opuesta a la velocidad del combustible expulsado (vea la Figura 9.32). Específicamente: Un cohete con todo el combustible en el espacio profundo tiene una masa total m0m0 (esta masa incluye la masa inicial del combustible). En algún momento, el cohete tiene una velocidad vv y masa m; esta masa es una combinación de la masa del cohete vacío y la masa del combustible restante no quemado que contiene. (Nos referimos a m como la "masa instantánea" y vv como "velocidad instantánea"). El cohete acelera al quemar el combustible que lleva y expulsar los gases quemados de escape. Si la tasa de combustión del combustible es constante, y la velocidad a la que se expulsa el escape también es constante, ¿cuál es el cambio de velocidad del cohete como resultado de la quema de todo su combustible?

Fotografía del transbordador espacial despegando.
Figura 9.32 El transbordador espacial tenía varias piezas reutilizables. Los propulsores de combustible sólido situados a ambos lados se recuperaban y reabastecían de combustible después de cada vuelo, y todo el orbitador volvía a la Tierra para ser utilizado en vuelos posteriores. El gran tanque de combustible líquido se gastó. El transbordador espacial era un complejo conjunto de tecnologías, que empleaba tanto combustible sólido como líquido, y fue pionero en el uso de baldosas de cerámica como escudos térmicos de reentrada. Como resultado, permitía realizar varios lanzamientos en lugar de cohetes de un solo uso (créditos: modificación de un trabajo de la NASA).

Análisis físico

A continuación, se describe lo que ocurre, para que se haga una idea de la física implicada.

  • Cuando los motores de los cohetes funcionan, expulsan continuamente gases quemados de combustible, que tienen masa y velocidad, y por ende, cierto momento. Por conservación del momento, el momento del cohete cambia en esta misma cantidad (con el signo contrario). Supondremos que el combustible quemado se expulsa a una tasa constante, lo que significa que la tasa de cambio del momento del cohete también es constante. Con la Ecuación 9.9, esto representa una fuerza constante sobre el cohete.
  • Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, la masa del cohete (que incluye la masa del combustible restante) disminuye continuamente. Así, aunque la fuerza sobre el cohete es constante, la aceleración resultante no lo es; aumenta continuamente.
  • Entonces, el cambio total de la velocidad del cohete dependerá de la cantidad de masa de combustible que se queme, y esa dependencia no es lineal.

El problema hace que cambien la masa y la velocidad del cohete; también cambia la masa total de los gases expulsados. Si definimos nuestro sistema como el cohete + el combustible, entonces se trata de un sistema cerrado (ya que el cohete está en el espacio profundo, no hay fuerzas externas que actúen sobre este sistema); como resultado, el momento se conserva para este sistema. Así, podemos aplicar la conservación del momento para responder la pregunta (Figura 9.33).

Se muestra un sistema de coordenadas x y. Un cohete de masa m se mueve hacia la derecha con velocidad v. la masa de escape del cohete d m sub g se mueve hacia la izquierda con velocidad u. El sistema está formado por el cohete y el escape.
Figura 9.33 El cohete acelera hacia la derecha debido a la expulsión de parte de su masa de combustible hacia la izquierda. La conservación del momento nos permite determinar el cambio de velocidad resultante. La masa m es la masa total instantánea del cohete (es decir, la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento) (créditos: modificación del trabajo de la NASA / Bill Ingalls).

En el mismo momento en que la masa total instantánea del cohete es m (es decir, m es la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento), definimos que la velocidad instantánea del cohete como v=vi^v=vi^ (en la dirección de la x +); esta velocidad se mide en relación con un sistema de referencia inercial (la Tierra, por ejemplo). Así, el momento inicial del sistema es

pi=mvi^.pi=mvi^.

Los motores del cohete queman combustible a un ritmo constante y expulsan los gases de escape en la dirección de la -x. Durante un intervalo infinitesimal dt, los motores expulsan una masa infinitesimal (positiva) de gas dmgdmg a la velocidad u=-ui^u=-ui^; observe que, aunque la velocidad del cohete vi^vi^ se mide con respecto a la Tierra, la velocidad de los gases de escape se mide con respecto al cohete (en movimiento). Por lo tanto, medido con respecto a la Tierra, el gas de escape tiene una velocidad (v-u)i^(v-u)i^.

A consecuencia de la expulsión del gas combustible, la masa del cohete disminuye en dmgdmg, y su velocidad aumenta en dvi^dvi^. Por lo tanto, si se incluye tanto el cambio para el cohete como el cambio para el gas de escape, el momento final del sistema es

pf=pcohete+pgas=(m-dmg)(v+dv)i^+dmg(v-u)i^.pf=pcohete+pgas=(m-dmg)(v+dv)i^+dmg(v-u)i^.

Como todos los vectores están en la dirección de la x, dejamos de lado la notación vectorial. Aplicando la conservación del momento, obtenemos

pi=pfmv=(m-dmg)(v+dv)+dmg(v-u)mv=mv+mdv-dmgv-dmgdv+dmgv-dmgumdv=dmgdv+dmgu.pi=pfmv=(m-dmg)(v+dv)+dmg(v-u)mv=mv+mdv-dmgv-dmgdv+dmgv-dmgumdv=dmgdv+dmgu.

Ahora, dmgdmg y dv son muy pequeños cada uno; por lo tanto, su producto dmgdvdmgdv es muy, muy pequeño, mucho menor que los otros dos términos de esta expresión. Por lo tanto, ignoramos este término y obtenemos:

mdv=dmgu.mdv=dmgu.

Nuestro siguiente paso es recordar que, dado que dmgdmg representa un aumento en la masa de los gases expulsados, también deberá representar una disminución en la masa del cohete:

dmg=-dm.dmg=-dm.

Sustituyendo esto, tenemos

mdv=-dmumdv=-dmu

o

dv=-udmm.dv=-udmm.

Integrando desde la masa inicial m0 hasta la masa final m del cohete obtenemos el resultado que buscamos:

vivdv=-um0m1mdmv-vi=uln(m0m)vivdv=-um0m1mdmv-vi=uln(m0m)

y así, nuestra respuesta final es

Δv=uln(m0m).Δv=uln(m0m).
9.38

Este resultado se denomina ecuación del cohete. Fue derivado originalmente por el físico soviético Konstantin Tsiolkovsky en 1897. Nos da el cambio de velocidad que obtiene el cohete al quemar una masa de combustible que disminuye la masa total del cohete de m0m0 hasta m. Como se esperaba, la relación entre ΔvΔv y el cambio de masa del cohete es no lineal.

Estrategia de Resolución De Problemas

Propulsión de cohetes

En los problemas de cohetes, las preguntas más comunes son calcular el cambio de velocidad debido a la quema de alguna cantidad de combustible durante algún tiempo o determinar la aceleración que resulta de la quema de combustible.

  1. Para determinar el cambio de velocidad, utilice la ecuación del cohete en la Ecuación 9.38.
  2. Para determinar la aceleración, calcule la fuerza mediante el teorema del momento-impulso; utilice la ecuación del cohete para determinar el cambio de velocidad.

Ejemplo 9.20

Empuje en una nave espacial

Una nave espacial se mueve en el espacio sin gravedad en una trayectoria recta cuando su piloto decide acelerar hacia adelante. Enciende los propulsores, y el combustible quemado es expulsado a una tasa constante de 2,0×102kg/s2,0×102kg/s, a una rapidez (relativa al cohete) de 2,5×102m/s2,5×102m/s. La masa inicial de la nave y su combustible no quemado es 2,0×104kg2,0×104kg, y los propulsores están encendidos durante 30 s.
  1. ¿Cuál es el empuje (la fuerza aplicada al cohete por el combustible expulsado) sobre la nave espacial?
  2. ¿Cuál es la aceleración de la nave en función del tiempo?
  3. ¿Cuáles son las aceleraciones de la nave en t = 0, 15, 30 y 35 s?

Estrategia

  1. La fuerza sobre la nave es igual a la tasa de cambio del momento del combustible.
  2. Conociendo la fuerza de la parte (a), podemos utilizar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración consiguiente. La clave aquí es que, aunque la fuerza aplicada a la nave es constante (el combustible se expulsa a una tasa constante), la masa de la nave no lo es; por lo tanto, la aceleración causada por la fuerza no será constante. Por lo tanto, esperamos obtener una función a(t).
  3. Utilizaremos la función que obtenemos en la parte (b), y solo sustituiremos los números dados. Importante: Esperamos que la aceleración sea mayor a medida que pasa el tiempo, ya que la masa que se acelera disminuye continuamente (el combustible se expulsa del cohete).

Solución

  1. El momento del gas combustible expulsado es
    p=mgv.p=mgv.
    La velocidad de eyección v=2,5×102m/sv=2,5×102m/s es constante, y por ende, la fuerza es
    F=dpdt=vdmgdt=-vdmdt.F=dpdt=vdmgdt=-vdmdt.
    Ahora, dmgdtdmgdt es la tasa de cambio de la masa del combustible; el problema dice que es 2,0×102kg/s2,0×102kg/s. Sustituyendo, obtenemos
    F=vdmgdt=(2,5×102ms)(2,0×102kgs)=5×104N.F=vdmgdt=(2,5×102ms)(2,0×102kgs)=5×104N.
  2. Anteriormente, definimos m como la masa combinada del cohete vacío más la cantidad de combustible no quemado que contenía: m=mR+mgm=mR+mg. De la segunda ley de Newton,
    a=Fm=FmR+mg.a=Fm=FmR+mg.
    La fuerza es constante y la masa vacía del cohete mRmR es constante, pero la masa de combustible mgmg está disminuyendo a una tasa uniforme; en concreto:
    mg=mg(t)=mg0-(dmgdt)t.mg=mg(t)=mg0-(dmgdt)t.
    Esto nos da
    a(t)=Fmgi-(dmgdt)t=FM-(dmgdt)t.a(t)=Fmgi-(dmgdt)t=FM-(dmgdt)t.
    Observe que, como era de esperar, la aceleración es una función del tiempo. Sustituyendo los números dados:
    a(t)=5×104N2,0×104kg-(2,0×102kgs)t.a(t)=5×104N2,0×104kg-(2,0×102kgs)t.
  3. En t=0st=0s:
    a(0s)=5×104N2,0×104kg-(2,0×102kgs)(0s)=2,5ms2.a(0s)=5×104N2,0×104kg-(2,0×102kgs)(0s)=2,5ms2.
    En t=15s,a(15s)=2,9m/s2t=15s,a(15s)=2,9m/s2.
    En t=30s,a(30s)=3,6m/s2t=30s,a(30s)=3,6m/s2.
    La aceleración va en aumento, como esperábamos.

Importancia

Observe que la aceleración no es constante, por lo que las magnitudes dinámicas deberán calcularse mediante integrales o (más fácilmente) mediante la conservación de la energía total.

Compruebe Lo Aprendido 9.14

¿Cuál es la diferencia física (o la relación) entre dmdtdmdt y dmgdtdmgdt en este ejemplo?

Cohete en un campo gravitacional

Analicemos ahora el cambio de velocidad del cohete durante la fase de lanzamiento, desde la superficie de la Tierra. Para mantener las matemáticas manejables, restringiremos nuestra atención a las distancias para las cuales la aceleración causada por la gravedad puede tratarse como una g constante.

El análisis es similar, salvo que ahora hay una fuerza externa de F=-mgj^F=-mgj^ actuando en nuestro sistema. Esta fuerza aplica un impulso dJ=Fdt=-mgdtj^dJ=Fdt=-mgdtj^, que es igual al cambio de momento. Esto nos da

dp=dJpf-pi=-mgdtj^[(m-dmg)(v+dv)+dmg(v-u)-mv]j^=-mgdtj^dp=dJpf-pi=-mgdtj^[(m-dmg)(v+dv)+dmg(v-u)-mv]j^=-mgdtj^

y así

mdv-dmgu=-mgdtmdv-dmgu=-mgdt

donde hemos vuelto a ignorar el término dmgdvdmgdv y eliminado la notación vectorial. A continuación, sustituimos dmgdmg con -dm-dm:

mdv+dmu=-mgdtmdv=-dmu-mgdt.mdv+dmu=-mgdtmdv=-dmu-mgdt.

Dividiendo entre m obtenemos

dv=-udmm-gdtdv=-udmm-gdt

e integrando, tenemos

Δv=uln(m0m)-gΔt.Δv=uln(m0m)-gΔt.
9.39

Como es lógico, la velocidad del cohete se ve afectada por la aceleración (constante) de la gravedad.

Recuerde que ΔtΔt es el tiempo de combustión del combustible. Ahora bien, en ausencia de gravedad, la Ecuación 9.38 implica que es indiferente el tiempo que se tarda en quemar toda la masa de combustible; el cambio de velocidad no depende de ΔtΔt. Sin embargo, en presencia de la gravedad, importa mucho. El término -gΔtΔt en la Ecuación 9.39 nos indica que, cuanto mayor sea el tiempo de combustión, menor será el cambio de velocidad del cohete. Esta es la razón por la que el lanzamiento de un cohete es tan espectacular en el primer momento del despegue: Es esencial quemar el combustible lo más rápido posible, para obtener la mayor cantidad de ΔvΔv como sea posible.

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