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Física Universitaria Volumen 1

9.2 Impulso y colisiones

Física Universitaria Volumen 19.2 Impulso y colisiones
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar físicamente qué es impulso.
  • Describir lo que hace un impulso.
  • Relacionar los impulsos con las colisiones.
  • Aplicar el teorema del momento-impulso para resolver problemas.

Hemos definido el momento como el producto de la masa y la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad de un objeto cambia (debido a la aplicación de una fuerza sobre el objeto), entonces necesariamente, su momento también cambia. Esto indica una conexión entre el momento y la fuerza. El propósito de esta sección es explorar y describir esa conexión.

Supongamos que aplica una fuerza a un objeto libre durante cierto tiempo. Evidentemente, cuanto mayor sea la fuerza, mayor será el cambio de momento del objeto. Alternativamente, cuanto más tiempo se aplique esta fuerza, también será mayor el cambio de momento, como se representa en la Figura 9.5. Por lo tanto, la cantidad en la que cambia el movimiento del objeto es proporcional a la magnitud de la fuerza, y también al intervalo de tiempo en el que se aplica la fuerza.

Se muestran dos balones de fútbol. En una figura, una flecha roja, marcada como vector F, t sub 0 apunta hacia la derecha y una flecha azul, marcada como vector delta p, también apunta hacia la derecha. En la segunda figura, una flecha roja de la misma longitud que en la primera figura apunta hacia la derecha y está marcada como vector F, 2 t sub 0. Una flecha azul, dos veces más larga que la flecha azul de la primera figura, apunta hacia la derecha y está marcada como vector 2 delta p.
Figura 9.5 El cambio de momento de un objeto es proporcional a la duración de la fuerza aplicada. Si se ejerce una fuerza sobre el balón más bajo durante el doble de tiempo que sobre el balón de arriba, entonces el cambio en el momento del balón más bajo es el doble que el del balón de arriba.

Matemáticamente, si una cantidad es proporcional a dos (o más) cosas, entonces es proporcional al producto de esas cosas. El producto de una fuerza por un intervalo de tiempo (sobre el que actúa esa fuerza) se llama impulso, y recibe el símbolo J.J.

Impulso

Supongamos que F(t)F(t) sea la fuerza aplicada a un objeto en un intervalo de tiempo diferencial dt (Figura 9.6). El impulso resultante sobre el objeto se define como

dJF(t)dt.dJF(t)dt.
9.2
Dibujo de una raqueta golpeando una pelota de tenis. Cerca de la pelota se dibujan dos flechas que apuntan hacia la derecha. Una está marcada como vector F d t y la otra como vector d J.
Figura 9.6 La fuerza que aplicada la raqueta a una pelota de tenis durante un intervalo de tiempo genera un impulso que actúa sobre la pelota.

El impulso total en el intervalo tf-titf-ti es

J=titfdJoJtitfF(t)dt.J=titfdJoJtitfF(t)dt.
9.3

La Ecuación 9.2 y la Ecuación 9.3 señalan conjuntamente que, cuando una fuerza se aplica durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt, provoca un impulso infinitesimal dJdJ, y el impulso total dado al objeto se define como la suma (integral) de todos estos impulsos infinitesimales.

Para calcular el impulso mediante la Ecuación 9.3, necesitamos conocer la función de la fuerza F(t), que a menudo no conocemos. Sin embargo, el resultado del cálculo es útil aquí: Recordemos que el valor medio de una función a lo largo de un intervalo se calcula mediante

f(x)ave=1Δxxixff(x)dxf(x)ave=1Δxxixff(x)dx

donde Δx=xf-xiΔx=xf-xi. Aplicando esto a la función de fuerza dependiente del tiempo, obtenemos

Fave=1ΔttitfF(t)dt.Fave=1ΔttitfF(t)dt.
9.4

Por lo tanto, a partir de la Ecuación 9.3,

J=FaveΔt.J=FaveΔt.
9.5

La idea es que puede calcular el impulso sobre el objeto, aunque no conozca los detalles de la fuerza en función del tiempo; solo necesita la fuerza media. De hecho, el proceso suele ser inverso: Se determina el impulso (por medición o cálculo) y luego se calcula la fuerza media que ha causado ese impulso.

Para calcular el impulso, se obtiene un resultado útil al escribir la fuerza en la Ecuación 9.3 como F(t)=ma(t)F(t)=ma(t):

J=titfF(t)dt=mtitfa(t)dt=m[v(tf)-vi].J=titfF(t)dt=mtitfa(t)dt=m[v(tf)-vi].

Para una fuerza constante Fave=F=maFave=F=ma, esto se simplifica a

J=maΔt=mvf-mvi=m(vf-vi).J=maΔt=mvf-mvi=m(vf-vi).

Esto es,

J=mΔv.J=mΔv.
9.6

Observe que la forma integral, la Ecuación 9.3, se aplica también a las fuerzas constantes; en ese caso, dado que la fuerza es independiente del tiempo, sale de la integral, que puede entonces evaluarse trivialmente.

Ejemplo 9.1

El cráter del meteorito de Arizona

Hace aproximadamente 50.000 años, un meteorito de hierro y níquel de gran tamaño (radio de 25 m) colisionó con la Tierra a una rapidez estimada de 1,28×104m/s1,28×104m/s en lo que hoy es el desierto del norte de Arizona, en los Estados Unidos. El impacto produjo un cráter que todavía es visible hoy en día (Figura 9.7); tiene aproximadamente 1.200 m de diámetro (tres cuartos de milla), 170 m de profundidad y un borde que se eleva 45 m por encima de la llanura desértica circundante. Los meteoritos de hierro-níquel suelen tener una densidad de ρ=7.970kg/m3ρ=7.970kg/m3. Utilice las consideraciones de impulso para estimar la fuerza media y la fuerza máxima que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto.
Foto del cráter del meteorito de Arizona. Los edificios cercanos al cráter son diminutos en comparación con este.
Figura 9.7 El cráter del meteorito de Arizona en Flagstaff, Arizona (a menudo denominado cráter Barringer en honor a la persona que sugirió por primera vez su origen y cuya familia es propietaria del terreno) (créditos: modificación de la obra de "Shane.torgerson"/Wikimedia Commons).

Estrategia

Es conceptualmente más fácil invertir la pregunta y calcular la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito para detenerlo. Por lo tanto, calcularemos la fuerza sobre el meteorito y luego usaremos la tercera ley de Newton para argumentar que la fuerza del meteorito sobre la Tierra fue igual en magnitud y opuesta en dirección.

Utilizando los datos dados sobre el meteorito, y haciendo conjeturas razonables sobre la forma del meteorito y el tiempo de impacto, calculamos primero el impulso utilizando la Ecuación 9.6. A continuación, utilizamos la relación entre la fuerza y el impulso en la Ecuación 9.5 para estimar la fuerza media durante el impacto. Luego, elegimos una función razonable de fuerza para el evento de impacto, calculamos el valor medio de esa función con la Ecuación 9.4 y establecemos la expresión resultante igual a la fuerza media calculada. Esto nos permite resolver la fuerza máxima.

Solución

Defina hacia arriba como la dirección de la +y. Para simplificar, supongamos que el meteorito se desplaza verticalmente hacia abajo antes del impacto. En ese caso, su velocidad inicial es vi=-vij^vi=-vij^, y la fuerza que la Tierra ejerce sobre el meteorito apunta hacia arriba, F(t)=+F(t)j^F(t)=+F(t)j^. La situación en t=0t=0 se muestra a continuación. Se muestra un sistema de coordenadas x y. La región bajo el eje de la x está sombreada y marcada como Tierra. Se muestra un meteorito en el origen. La flecha hacia arriba en el origen está marcada como vector F (t). La flecha hacia abajo en el origen está marcada como vector p sub 0 igual a m por vector v sub 0.

La fuerza media durante el impacto se relaciona con el impulso mediante

Fave=JΔt.Fave=JΔt.

A partir de la Ecuación 9.6, J=mΔvJ=mΔv, por lo que tenemos

Fave=mΔvΔt.Fave=mΔvΔt.

La masa es igual al producto de la densidad del meteorito por su volumen:

m=ρV.m=ρV.

Si suponemos (conjeturamos) que el meteorito era aproximadamente esférico, tenemos

V=43πR3.V=43πR3.

Así, obtenemos

Fave=ρVΔvΔt=ρ(43πR3)(vf-vi)Δt.Fave=ρVΔvΔt=ρ(43πR3)(vf-vi)Δt.

El problema establece que la velocidad en el impacto fue −1,28×104m/sj^−1,28×104m/sj^ (la velocidad final es cero); además, suponemos que el impacto primario duró aproximadamente tmáx=2stmáx=2s. Sustituyendo estos valores obtenemos

Fave=(7.970kgm3)[43π(25m)3][0ms-(−1,28×104msj^)]2s=+(3,33×1012N)j^.Fave=(7.970kgm3)[43π(25m)3][0ms-(−1,28×104msj^)]2s=+(3,33×1012N)j^.

Es la fuerza media aplicada durante la colisión. Observe que este vector de fuerza apunta en la misma dirección que el cambio del vector velocidad ΔvΔv.

A continuación, calculamos la fuerza máxima. El impulso se relaciona con la función de fuerza mediante

J=titmáxF(t)dt.J=titmáxF(t)dt.

Tenemos que hacer una elección razonable de la fuerza en función del tiempo. Definimos t=0t=0 como el momento en que el meteorito toca el suelo por primera vez. Entonces suponemos que la fuerza es máxima en el impacto y cae rápidamente a cero. La función que hace esto es

F(t)=Fmáxe-t2/(2τ2).F(t)=Fmáxe-t2/(2τ2).

(El parámetro ττ representa la rapidez con que la fuerza disminuye hasta llegar a cero). La fuerza media es

Fave=1Δt0tmáxFmáxe-t2/(2τ2)dtFave=1Δt0tmáxFmáxe-t2/(2τ2)dt

donde Δt=tmáx-0sΔt=tmáx-0s. Como ya tenemos un valor numérico para FaveFave, podemos utilizar el resultado de la integral para obtener FmáxFmáx.

Eligiendo τ=1etmáxτ=1etmáx (esta es una opción común, como se verá en capítulos posteriores), y conjeturando que tmáx=2stmáx=2s, esta integral se evalúa como

Favg=0,458Fmáx.Favg=0,458Fmáx.

Así, la fuerza máxima tiene una magnitud de

0,458Fmáx=3,33×1012NFmáx=7,27×1012N.0,458Fmáx=3,33×1012NFmáx=7,27×1012N.

La función completa de fuerza, incluida la dirección, es

F(t)=(7,27×1012N)e-t2/(8s2)j^.F(t)=(7,27×1012N)e-t2/(8s2)j^.

Esta es la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito; por la tercera ley de Newton, la fuerza que el meteorito aplicó a la Tierra es

F(t)=-(7,27×1012N)e-t2/(8s2)j^F(t)=-(7,27×1012N)e-t2/(8s2)j^

que es la respuesta a la pregunta original.

Importancia

El gráfico de esta función contiene información importante. Grafiquemos (la magnitud de) esta función y la fuerza media juntas (Figura 9.8).
Gráfico de la fuerza y la fuerza media en función del tiempo del impacto del meteorito. El eje horizontal es el tiempo en segundos y va de 0 a 2 segundos. El eje vertical es la fuerza en Newtons y va de 0 a 8 por 10 a la 12. En t=0, la fuerza comienza menor a 8 por 10 a la 12 y disminuye hasta casi 0 en t=2. La fuerza media es constante, aproximadamente 3,5 por 10 a la 12. Las áreas bajo cada una de las curvas están sombreadas y se nos indica que son iguales.
Figura 9.8 Gráfico de la fuerza media (en rojo) y de la fuerza como función del tiempo (en azul) del impacto del meteorito. Las áreas bajo las curvas son iguales entre sí, y son numéricamente iguales al impulso aplicado.

Observe que se ha rellenado el área bajo cada gráfico. Para el gráfico de la fuerza (constante) FaveFave, el área es un rectángulo, correspondiente a FaveΔt=JFaveΔt=J. En cuanto al gráfico de F(t), recordemos del cálculo que el área bajo el gráfico de una función es numéricamente igual a la integral de esa función, sobre el intervalo especificado; así que aquí, esto es 0tmáxF(t)dt=J0tmáxF(t)dt=J. Así, las áreas son iguales, y ambas representan el impulso que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto de dos segundos. La fuerza media sobre la Tierra parece una fuerza enorme, y lo es. Sin embargo, la Tierra apenas lo notó. La aceleración que obtuvo la Tierra fue solo

a=-FaveMTierra=-(3,33×1012N)j^5,97×1024kg=-(5,6×10−13ms2)j^a=-FaveMTierra=-(3,33×1012N)j^5,97×1024kg=-(5,6×10−13ms2)j^

que es completamente inconmensurable. Eso sí, el impacto creó ondas sísmicas que hoy en día podrían detectar los modernos equipos de vigilancia.

Ejemplo 9.2

Los beneficios del impulso

Un auto que viaja a 27 m/s colisiona con un edificio. La colisión con el edificio hace que el auto se detenga en aproximadamente 1 segundo. El conductor, que pesa 860 N, está protegido por una combinación de cinturón de seguridad de tensión variable y una bolsa de aire (Figura 9.9). (En efecto, el conductor colisiona con el cinturón de seguridad y la bolsa de aire y no con el edificio). La bolsa de aire y el cinturón de seguridad disminuyen su velocidad, de manera que se detiene en aproximadamente 2,5 s.
  1. ¿Qué fuerza media experimenta el conductor durante la colisión?
  2. Sin el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, el tiempo de colisión (con el volante) habría sido de aproximadamente 0,20 s. ¿Qué fuerza experimentaría en este caso?
Antes de la colisión, un auto se desplaza a una velocidad v sub I igual a 27 metros por segundo hacia la derecha. Después de la colisión, el auto tiene una velocidad v sub f = 0 y el pasajero siente una fuerza menos F hacia la izquierda.
Figura 9.9 El movimiento del auto y de su conductor en el instante anterior y en el instante posterior a la colisión con el muro. El conductor sujetado experimenta una gran fuerza hacia atrás por el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, lo que hace que su velocidad disminuya hasta cero. (La fuerza hacia delante del respaldo del asiento es mucho menor que la fuerza hacia atrás, por lo que la ignoramos en la solución).

Estrategia

Se nos da el peso del conductor, sus velocidades inicial y final, y el tiempo de la colisión; se nos pide que calculemos una fuerza. El impulso parece la forma correcta de abordar esto; podemos combinar la Ecuación 9.5 y la Ecuación 9.6.

Solución

  1. Defina la dirección de la x + como la dirección en la que se desplaza inicialmente el auto. Sabemos que
    J=FΔtJ=FΔt
    y
    J=mΔv.J=mΔv.
    Dado que J es igual a ambas cosas, deben ser iguales entre sí:
    FΔt=mΔv.FΔt=mΔv.
    Tenemos que convertir este peso en la masa equivalente, expresada en unidades del SI:
    860N9,8m/s2=87,8kg.860N9,8m/s2=87,8kg.
    Recordando que Δv=vf-viΔv=vf-vi, y observando que la velocidad final es cero, resolvemos la fuerza:
    F=m0-vii^Δt=(87,8kg)(-(27m/s)i^2,5s)=-(948N)i^.F=m0-vii^Δt=(87,8kg)(-(27m/s)i^2,5s)=-(948N)i^.
    El signo negativo implica que la fuerza lo frena. Para tener una perspectiva, esto es aproximadamente 1,1 veces su propio peso.
  2. El mismo cálculo, solo que el intervalo de tiempo es diferente:
    F=(87,8kg)(-(27m/s)i^0,20s)=-(11.853N)i^F=(87,8kg)(-(27m/s)i^0,20s)=-(11.853N)i^
    que es aproximadamente 14 veces su propio peso. ¡Gran diferencia!

Importancia

Como ve, el valor de la bolsa de aire es la medida en que reduce la fuerza sobre los ocupantes del vehículo. Por tal motivo, se exigen en todos los vehículos de pasajeros en los Estados Unidos desde 1991, y son habituales en toda Europa y Asia desde mediados de la década de los años 90 del siglo XX. El cambio del momento en un choque es el mismo, con o sin bolsa de aire; la fuerza, sin embargo, es muy diferente.

Efecto del impulso

Dado que el impulso es una fuerza que actúa durante cierto tiempo, hace que el movimiento de un objeto cambie. Recuerde la Ecuación 9.6:

J=mΔv.J=mΔv.

Dado que mvmv es el momento de un sistema, mΔvmΔv es el cambio del momento ΔpΔp. Esto nos da la siguiente relación, que recibe el nombre de teorema del momento-impulso (o relación).

Teorema del momento-impulso

El impulso aplicado a un sistema cambia el momento del sistema, y ese cambio de momento es exactamente igual al impulso que se aplicó:

J=Δp.J=Δp.
9.7

El teorema del momento-impulso se representa gráficamente en la Figura 9.10.

Se muestran un balón y tres flechas vectoriales. Las flechas son: v sub i hacia la derecha, p sub i hacia la derecha y J apuntando hacia abajo y hacia la derecha. Esta figura está marcada como "el balón recibe el impulso". La siguiente figura muestra el vector p i hacia la derecha y el vector J, hacia abajo y hacia la derecha con su cola alineada con la punta del vector p i. Está marcado como p sub i más J y es igual al vector p sub f. Esta figura está marcada como "impulso que se añade al momento inicial". La siguiente figura muestra que el vector J es igual al vector p f con un vector opuesto al p sub i puesto con su cola en la punta del p sub f. Los vectores p están marcados como p sub f menos p sub i. Esto es igual a un vector idéntico al vector J, pero marcado como delta p. Esta figura está marcada como "así que el cambio de momento es igual al impulso". La última figura muestra el balón y dos flechas: el vector p sub f y otro vector en la misma dirección y marcado como v sub f. Esta figura está marcada como "después del impulso el balón tiene el momento final".
Figura 9.10 Ilustración del teorema del momento-impulso. (a) Un balón con velocidad inicial v 0 v 0 y momento p 0 p 0 recibe un impulso J J . (b) Este impulso se añade vectorialmente al momento inicial. (c) Por lo tanto, el impulso es igual al cambio de momento, J = Δ p J = Δ p . (d) Tras el impulso, el balón se desplaza con su nuevo momento p f . p f .

Hay dos conceptos cruciales en el teorema del momento-impulso:

  1. El impulso es una cantidad vectorial; un impulso de, por ejemplo, -(10N·s)i^-(10N·s)i^ es muy diferente a un impulso de +(10N·s)i^+(10N·s)i^; provocan cambios de momento completamente opuestos.
  2. Un impulso no provoca momento, sino que provoca un cambio en el momento de un objeto. Así, hay que restar el momento final del momento inicial y, dado que el momento es también una cantidad vectorial, hay que tener muy en cuenta los signos de los vectores del momento.

Las preguntas más frecuentes en relación con el impulso son para calcular la fuerza aplicada, o el cambio de velocidad que se produce como resultado de la aplicación de un impulso. El enfoque general es el mismo.

Estrategia de Resolución De Problemas

Teorema del momento-impulso

  1. Exprese el impulso como la fuerza por el intervalo de tiempo correspondiente.
  2. Exprese el impulso como el cambio de momento, normalmente mΔvmΔv.
  3. Iguale esto y resuelva la cantidad deseada.

Ejemplo 9.3

Mover la nave Enterprise

Ilustración de la nave Enterprise de "Viaje a las estrellas" con las estrellas de fondo.
Figura 9.11 La nave ficticia Enterprise de las aventuras de "Viaje a las estrellas" funcionaba con los llamados "motores de impulso", que combinaban materia con antimateria para generar energía.

Cuando el capitán Picard ordena: "Sácanos; adelante un cuarto de impulso", la nave Enterprise (Figura 9.11) arranca desde el reposo hasta una rapidez final de vf=1/4(3,0×108m/s)vf=1/4(3,0×108m/s). Suponiendo que esta maniobra se complete en 60 s, ¿qué fuerza media aplicaron los motores de impulso a la nave?

Estrategia

Se nos pide una fuerza; conocemos las rapideces inicial y final (y, por tanto, el cambio de rapidez), y conocemos el intervalo en el que ha ocurrido todo esto. En concreto, sabemos el tiempo que actuó la fuerza. Esto sugiere utilizar la relación momento-impulso. Sin embargo, para esto, necesitamos la masa de la nave Enterprise. Una búsqueda en Internet da una mejor estimación de la masa de la nave Enterprise (en la película de 2009) como 2×109kg2×109kg.

Solución

Dado que este problema implica solo una dirección (es decir, la dirección de la fuerza aplicada por los motores), solo necesitamos la forma escalar del teorema del momento-impulso de la Ecuación 9.7, que es
Δp=JΔp=J

con

Δp=mΔvΔp=mΔv

y

J=FΔt.J=FΔt.

Al igualar estas expresiones obtenemos

FΔt=mΔv.FΔt=mΔv.

Si se resuelve para la magnitud de la fuerza y se insertan los valores dados, se obtiene

F=mΔvΔt=(2×109kg)(7,5×107m/s)60s=2,5×1015N.F=mΔvΔt=(2×109kg)(7,5×107m/s)60s=2,5×1015N.

Importancia

Esta es una fuerza inimaginablemente enorme. No hace falta decir que una fuerza semejante mataría al instante a todos los que están a bordo, además de destruir todos los equipos. Afortunadamente, la nave Enterprise tiene "amortiguadores de inercia". Se deja a la imaginación del lector determinar cómo funcionan.

Compruebe Lo Aprendido 9.1

La Fuerza Aérea de los EE. UU. utiliza "10g" (una aceleración igual a 10×9,8m/s210×9,8m/s2) como la aceleración máxima que puede soportar un ser humano (pero solo durante varios segundos) y sobrevivir. ¿Cuánto tiempo debe pasar la nave Enterprise acelerando si los seres humanos a bordo deben experimentar una media de 10g de aceleración como máximo? (Supongamos que los amortiguadores de inercia están desconectados).

Ejemplo 9.4

La caída del iPhone

Apple lanzó su iPhone 6 Plus en noviembre de 2014. Según muchos informes, en un principio iba a tener una pantalla de zafiro, pero se cambió en el último momento por una de cristal endurecido. Según se informa, esto se debió a que la pantalla de zafiro se agrietó cuando el teléfono se cayó. ¿Qué fuerza sufrió el iPhone 6 Plus como resultado de la caída?

Estrategia

La fuerza que experimenta el teléfono se debe al impulso que le aplica el suelo al colisionar con este. Nuestra estrategia entonces es utilizar la relación momento-impulso. Calculamos el impulso, estimamos el tiempo de impacto y lo utilizamos para calcular la fuerza.

Tenemos que hacer un par de estimaciones razonables, así como encontrar datos técnicos sobre el propio teléfono. En primer lugar, supongamos que el teléfono se deja caer desde la altura del pecho en una persona de estatura media. En segundo lugar, supongamos que se deja caer desde el reposo, es decir, con una velocidad vertical inicial de cero. Por último, supongamos que el teléfono rebota muy poco y que la altura del rebote es despreciable.

Solución

Defina hacia arriba como la dirección de la +y. La altura típica es de aproximadamente h=1,5mh=1,5m y, como se ha señalado, vi=(0m/s)i^vi=(0m/s)i^. La fuerza media sobre el teléfono se relaciona con el impulso que el suelo aplica sobre este durante la colisión:
Fave=JΔt.Fave=JΔt.

El impulso JJ es igual al cambio de momento,

J=ΔpJ=Δp

entonces

Fave=ΔpΔt.Fave=ΔpΔt.

Luego, el cambio de momento es

Δp=mΔv.Δp=mΔv.

Hay que tener cuidado con las velocidades aquí; se trata del cambio de velocidad debido a la colisión con el suelo. Sin embargo, el teléfono también tiene una velocidad de caída inicial [vi=(0m/s)j^vi=(0m/s)j^], por lo que marcamos nuestras velocidades. Supongamos que:

  • vi=vi= la velocidad inicial con la que se dejó caer el teléfono (cero, en este ejemplo)
  • v1=v1= la velocidad que tuvo el teléfono en el instante justo antes de golpear el suelo
  • v2=v2= la velocidad final del teléfono al chocar contra el suelo

La Figura 9.12 muestra las velocidades en cada uno de estos puntos de la trayectoria del teléfono.

Un teléfono se ilustra en tres momentos. La figura superior muestra el teléfono muy por encima del suelo y a una velocidad inicial v sub i = 0 metros por segundo. La figura del medio muestra el teléfono cerca del suelo y a una gran velocidad descendente v sub 1. Se nos dice que el vector v sub 1 es igual a menos v sub 1 por el vector j y que esta es la velocidad justo antes de golpear el suelo. La figura inferior muestra el teléfono cerca del suelo y a una pequeña velocidad ascendente v sub 2. Se nos dice que el vector v sub 2 es igual a más v sub 2 por el vector j y que esta es la velocidad justo después de golpear el suelo.
Figura 9.12 (a) La velocidad inicial del teléfono es cero, justo después de que la persona lo deja caer. (b) Justo antes de que el teléfono golpee el suelo, su velocidad es v 1 , v 1 , que por el momento se desconoce, salvo por su dirección, que es descendente ( - j ^ ) . ( - j ^ ) . (c) Después de rebotar en el suelo, el teléfono tiene una velocidad v 2 v 2 , que también se desconoce, salvo por su dirección, que es ascendente ( + j ^ ) . ( + j ^ ) .

Con estas definiciones, el cambio de momento del teléfono durante la colisión contra el suelo es

mΔv=m(v2-v1).mΔv=m(v2-v1).

Dado que suponemos que el teléfono no rebota en absoluto cuando golpea el suelo (o al menos, la altura de rebote es despreciable), entonces v2v2 es cero, por lo que

mΔv=m[0-(-v1j^)]mΔv=+mv1j^.mΔv=m[0-(-v1j^)]mΔv=+mv1j^.

Podemos obtener la velocidad del teléfono justo antes de que toque el suelo mediante el empleo de la cinemática o la conservación de la energía. Utilizaremos aquí la conservación de la energía; debe rehacer esta parte del problema mediante el empleo de la cinemática y demostrar que obtiene la misma respuesta.

En primer lugar, defina el cero de la energía potencial como la posición en el suelo. Entonces, la conservación de la energía nos da:

Ei=E1Ki+Ui=K1+U112mvi2+mghcaída=12mv12+mghsuelo.Ei=E1Ki+Ui=K1+U112mvi2+mghcaída=12mv12+mghsuelo.

Definiendo la hsuelo=0hsuelo=0 y utilizando la vi=(0m/s)j^vi=(0m/s)j^ nos da

12mv12=mghcaídav1=±2ghcaída.12mv12=mghcaídav1=±2ghcaída.

Dado que v1v1 es una magnitud vectorial, deberá ser positiva. Así, mΔv=mv1=m2ghcaídamΔv=mv1=m2ghcaída. Insertando este resultado en la expresión de la fuerza se obtiene

F=ΔpΔt=mΔvΔt=+mv1j^Δt=m2ghΔtj^.F=ΔpΔt=mΔvΔt=+mv1j^Δt=m2ghΔtj^.

Por último, tenemos que estimar el tiempo de colisión. La forma habitual de estimar el tiempo de colisión es calcular cuánto tardaría el objeto en recorrer su propia longitud. El teléfono se mueve a 5,4 m/s justo antes de golpear el suelo, y tiene una longitud de 0,14 m, lo que da un tiempo de colisión estimado de 0,026 s. Insertando los números dados, obtenemos

F=(0,172kg)2(9,8m/s2)(1,5m)0,026sj^=(36N)j^.F=(0,172kg)2(9,8m/s2)(1,5m)0,026sj^=(36N)j^.

Importancia

El propio iPhone pesa apenas (0,172kg)(9,81m/s2)=1,68N(0,172kg)(9,81m/s2)=1,68N; la fuerza que le aplica el suelo es, por lo tanto, más de 20 veces su peso.

Compruebe Lo Aprendido 9.2

¿Y si hubiéramos asumido que el teléfono rebotó en el impacto? ¿Habría aumentado la fuerza sobre el iPhone, la habría disminuido o no habría ninguna diferencia?

Momento y fuerza

En el Ejemplo 9.3, obtuvimos una relación importante:

Fave=ΔpΔt.Fave=ΔpΔt.
9.8

En palabras, la fuerza media aplicada a un objeto es igual al cambio de momento que provoca la fuerza, dividido entre el intervalo en el que se produce este cambio de momento. Esta relación es muy útil en situaciones en las que el tiempo de colisión ΔtΔt es pequeño, pero medible; los valores típicos serían 1/10ma de segundo, o incluso una milésima de segundo. Los accidentes de auto, el lanzamiento de un balón de fútbol o las colisiones de partículas subatómicas cumplirían este criterio.

Para un momento que cambia continuamente, debido a una fuerza que cambia continuamente, esto se convierte en una poderosa herramienta conceptual. En el límite ΔtdtΔtdt, la Ecuación 9.2 se convierte en

F=dpdt.F=dpdt.
9.9

Esto indica que la tasa de cambio del momento del sistema (lo que implica que el momento es una función del tiempo) es exactamente igual a la fuerza neta aplicada (también, en general, una función del tiempo). Se trata, de hecho, de la segunda ley de Newton, escrita en términos de momento y no de aceleración. Esta es la relación que el propio Newton presentó en su Principia Mathematica (aunque la denominó "cantidad de movimiento" en lugar de "momento").

Si la masa del sistema permanece constante, la Ecuación 9.3 se reduce a la forma más familiar de la segunda ley de Newton. Podemos ver esto al sustituir la definición de momento:

F=d(mv)dt=mdvdt=ma.F=d(mv)dt=mdvdt=ma.

La suposición de masa constante nos permitió sacar m de la derivada. Si la masa no es constante, no podemos utilizar esta forma de la segunda ley, sino que debemos partir de la Ecuación 9.3. Así, una de las ventajas de expresar la fuerza en términos de cambio de momento es que permite cambiar la masa del sistema, así como la velocidad. Este es un concepto que exploraremos cuando estudiemos el movimiento de los cohetes.

Segunda ley del movimiento de Newton en términos de momento

La fuerza externa neta sobre un sistema es igual a la tasa de cambio del momento de ese sistema causada por la fuerza:

F=dpdt.F=dpdt.

Aunque la Ecuación 9.3 permite cambiar la masa, como veremos en Propulsión de cohetes, la relación entre momento y fuerza sigue siendo útil cuando la masa del sistema es constante, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9.5

Calcular la fuerza: el saque de tenis de Venus Williams

Durante el Abierto de Francia de 2007, Venus Williams realizó el saque más rápido registrado en un partido de la máxima categoría femenina, alcanzando una rapidez de 58 m/s (209 km/h). ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre la pelota de tenis de 0,057 kg por la raqueta de Venus Williams? Supongamos que la rapidez de la pelota justo después del impacto es de 58 m/s, como se muestra en la Figura 9.13, que el componente horizontal inicial de la velocidad antes del impacto es despreciable, y que la pelota permaneció en contacto con la raqueta durante 5,0 ms.
Una pelota de tenis sale de la raqueta con una velocidad v sub f igual a 58 metros por segundo por el vector i que apunta horizontalmente hacia la derecha.
Figura 9.13 La velocidad final de la pelota de tenis es v f = ( 58 m/s ) i ^ v f = ( 58 m/s ) i ^ .

Estrategia

Este problema implica solo una dimensión, porque la pelota parte de no tener ningún componente de velocidad horizontal antes del impacto. La segunda ley de Newton expresada en términos de momento se escribe entonces como
F=dpdt.F=dpdt.

Como se ha señalado anteriormente, cuando la masa es constante, el cambio de momento viene dado por

Δp=mΔv=m(vf-vi)Δp=mΔv=m(vf-vi)

donde hemos utilizado escalares porque este problema implica solo una dimensión. En este ejemplo, se da la velocidad justo después del impacto y el intervalo de tiempo; así, una vez que ΔpΔp se calcula, podemos utilizarF=ΔpΔtF=ΔpΔt para encontrar la fuerza.

Solución

Para determinar el cambio de momento, inserte los valores de las velocidades inicial y final en la ecuación anterior:
Δp=m(vf-vi)=(0,057kg)(58m/s-0m/s)=3,3kg·ms.Δp=m(vf-vi)=(0,057kg)(58m/s-0m/s)=3,3kg·ms.

Ahora se puede determinar la magnitud de la fuerza externa neta al utilizar

F=ΔpΔt=3,3kg·ms5,0×10−3s=6,6×102N.F=ΔpΔt=3,3kg·ms5,0×10−3s=6,6×102N.

donde hemos conservado únicamente dos cifras significativas en el último paso.

Importancia

Esta cantidad fue la fuerza media ejercida por la raqueta de Venus Williams sobre la pelota de tenis durante su breve impacto (observe que la pelota también experimentó la fuerza de gravedad de 0,57 N, pero esa fuerza no se debió a la raqueta). Este problema también podría resolverse al hallar primero la aceleración y luego utilizar F=maF=ma, pero se requeriría un paso adicional en comparación con la estrategia utilizada en este ejemplo.
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