William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar el significado de "conservación del momento".
Identificar correctamente si un sistema es, o no, cerrado.
Definir un sistema cuyo momento se conserva.
Expresar matemáticamente la conservación del momento en un sistema dado.
Calcular una cantidad desconocida mediante la conservación del momento.

Recordemos la tercera ley de Newton: cuando dos objetos de masas $m_{1}$ y $m_{2}$ interactúan (lo que significa que aplican fuerzas entre sí), la fuerza que el objeto 2 aplica al objeto 1 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza que el objeto 1 aplica sobre el objeto 2. Supongamos que:

${\vec{F}}_{21} =$ la fuerza sobre $m_{1}$ de $m_{2}$
${\vec{F}}_{12} =$ la fuerza sobre $m_{2}$ de $m_{1}$

Entonces, en símbolos, la tercera ley de Newton establece

\begin{matrix} {\vec{F}}_{21} & = & - {\vec{F}}_{12} \\ m_{1} {\vec{a}}_{1} & = & - m_{2} {\vec{a}}_{2} . \end{matrix}

9.10

(Recordemos que estas dos fuerzas no se cancelan porque se aplican a objetos diferentes. $F_{21}$ causa que $m_{1}$ acelere, y $F_{12}$ causa que $m_{2}$ acelere).

Aunque las magnitudes de las fuerzas sobre los objetos son las mismas, las aceleraciones no lo son, simplemente porque las masas (en general) son diferentes. Por lo tanto, los cambios de velocidad de cada objeto son diferentes:

\frac{d {\vec{v}}_{1}}{d t} \neq \frac{d {\vec{v}}_{2}}{d t} .

Sin embargo, los productos de la masa y el cambio de velocidad son iguales (en magnitud):

m_{1} \frac{d {\vec{v}}_{1}}{d t} = - m_{2} \frac{d {\vec{v}}_{2}}{d t} .

9.11

Es una buena idea, en este punto, que tenga claro el significado físico de las derivadas en la Ecuación 9.3. A causa de la interacción, cada objeto termina cambiando su velocidad, en una cantidad dv. Además, la interacción se produce en un intervalo de tiempo dt, lo que significa que el cambio de velocidades también se produce en dt. Este intervalo es el mismo para cada objeto.

Supongamos, por el momento, que las masas de los objetos no cambian durante la interacción. (Más adelante relajaremos esta restricción). En ese caso, podemos halar las masas dentro de las derivadas:

\frac{d}{d t} (m_{1} {\vec{v}}_{1}) = - \frac{d}{d t} (m_{2} {\vec{v}}_{2})

9.12

y así

\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} = - \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} .

9.13

Esto indica que la tasa a la que cambia el momento es la misma para ambos objetos. Las masas son diferentes, y los cambios de velocidad son distintos, pero la tasa de cambio del producto de m y $\vec{v}$ son las mismas.

Físicamente, esto significa que durante la interacción de los dos objetos ( $m_{1} y m_{2}$ ), ambos objetos tienen su momento cambiado; pero esos cambios son idénticos en magnitud, aunque opuestos en signo. Por ejemplo, el momento del objeto 1 puede aumentar, lo que significa que el momento del objeto 2 disminuye exactamente en la misma cantidad.

A la luz de esto, reescribamos la Ecuación 9.12 de forma más sugerente:

\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} + \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} = 0 .

9.14

Esto indica que, durante la interacción, aunque el momento del objeto 1 cambia, y el momento del objeto 2 también cambia, estos dos cambios se cancelan mutuamente, de modo que el cambio total del momento de los dos objetos juntos es cero.

Como el momento total combinado de los dos objetos juntos nunca cambia, entonces podríamos escribir

\frac{d}{d t} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}) = 0

9.15

de lo que se deduce que

{\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = constante .

9.16

Como se muestra en la Figura 9.14, el momento total del sistema antes y después de la colisión sigue siendo el mismo.

Antes de la colisión, la bola amarilla1 se mueve hacia abajo y hacia la derecha, apuntando al centro de la bola azul 2. La bola azul 2 se mueve hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo, y más lentamente que la bola 1. Se nos señala que el vector p total es igual al vector p 1 más el vector p 2 y se nos muestra la suma como un diagrama vectorial: p 1 y p 2 se colocan con la cola de p 2 en la cabeza de p 1. Se dibuja un vector desde la cola de p 1 hasta la cabeza de p 2. Después de la colisión, la bola amarilla se mueve lentamente hacia la derecha y la p 2 se mueve más rápidamente hacia abajo y hacia la izquierda. Se nos señala que el vector p primo total es igual al vector p primo 1 más el vector p primo 2 y se nos muestra la suma como un diagrama vectorial: p primo 1 y p primo 2 se colocan con la cola de p primo 2 en la cabeza de p primo 1. Se dibuja un vector desde la cola de p primo 1 hasta la cabeza de p primo 2 que tiene la misma longitud y dirección que el vector de suma antes de la colisión.

Figura 9.14 Antes de la colisión, las dos bolas de billar viajan con momentos

{\vec{p}}_{1}

y

{\vec{p}}_{2}

. El momento total del sistema es la suma de estos, como se muestra en el vector rojo marcado como

{\vec{p}}_{total}

a la izquierda. Tras la colisión, las dos bolas de billar se desplazan con momentos diferentes

{\vec{p}}^{'}_{1}

y

{\vec{p}}^{'}_{2}

. El momento total; sin embargo, no ha cambiado, como muestra la flecha roja del vector

{\vec{p}}^{'}_{total}

a la derecha.

Generalizando este resultado a N objetos, obtenemos

\begin{matrix} {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} + {\vec{p}}_{3} + \dots + {\vec{p}}_{N} & = & constante \\ \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} & = & constante. \end{matrix}

9.17

La Ecuación 9.17 es la definición del momento total (o neto) de un sistema de N objetos que interactúan, junto con la afirmación de que el momento total de un sistema de objetos es constante en el tiempo, o mejor, se conserva.

Leyes de conservación

Si el valor de una cantidad física es constante en el tiempo, decimos que la cantidad se conserva.

Requisitos para la conservación del momento

Sin embargo, hay una complicación. Un sistema deberá cumplir dos requisitos para que su momento se conserve:

La masa del sistema deberá permanecer constante durante la interacción.
A medida que los objetos interactúan (aplican fuerzas entre sí), pueden transferir masa de uno a otro; pero cualquier masa que gane un objeto se compensa con la pérdida de esa masa de otro. Por lo tanto, la masa total del sistema de objetos no cambia con el paso del tiempo:
${[\frac{d m}{d t}]}_{sistema} = 0 .$
La fuerza externa neta sobre el sistema deberá ser cero.
A medida que los objetos colisionan, o explotan, y se desplazan, ejercen fuerzas entre sí. Sin embargo, todas estas fuerzas son internas al sistema y, por lo tanto, cada una está equilibrada por otra fuerza interna de igual magnitud y signo contrario. Como resultado, el cambio en el momento causado por cada fuerza interna se cancela con otro cambio de momento, que es igual en magnitud y opuesto en dirección. Por lo tanto, las fuerzas internas no pueden cambiar el momento total de un sistema porque los cambios suman cero. Sin embargo, si hay alguna fuerza externa que actúa sobre todos los objetos (la gravedad, por ejemplo, o la fricción), entonces esta fuerza cambia el momento del sistema en su conjunto; es decir, la fuerza externa cambia el momento del sistema. Por lo tanto, para que el momento del sistema se conserve, debemos tener
${\vec{F}}_{e x t} = \vec{0} .$

Se dice que un sistema de objetos que cumple estos dos requisitos es un sistema cerrado (también llamado sistema aislado). Así, la forma más compacta de expresarlo es la que se muestra a continuación.

Ley de conservación del momento

El momento total de un sistema cerrado se conserva:

\sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} = constante.

Esta afirmación se denomina ley de conservación del momento. Junto con la conservación de la energía, es uno de los fundamentos sobre los que se asienta toda la física. Todas nuestras pruebas experimentales apoyan esta afirmación: desde los movimientos de los cúmulos galácticos hasta los quarks que forman el protón y el neutrón, y en todas las escalas intermedias. En un sistema cerrado, el momento total nunca cambia.

Observe que absolutamente pueden haber fuerzas externas actuando sobre el sistema; sin embargo, para que el momento del sistema permanezca constante, estas fuerzas externas tienen que cancelarse, de modo que la fuerza externa neta sea cero. Las bolas de billar en una mesa tienen todas una fuerza de peso que actúa sobre ellas, pero los pesos se equilibran (se cancelan) por las fuerzas normales, por lo que no hay fuerza neta.

El significado de "sistema"

Un sistema (mecánico) es el conjunto de objetos en cuyo movimiento (cinemática y dinámica) está interesado. Si está analizando el rebote de una pelota en el suelo, probablemente solo le interesa el movimiento de la pelota, y no el de la Tierra; por lo tanto, la pelota es su sistema. Si está analizando un accidente de auto, los dos autos juntos componen su sistema (Figura 9.15).

Ilustración de la colisión de dos autos con masas m 1 y m 2. El sistema de interés son los dos autos antes y después de la colisión. Antes de la colisión, el auto m 2 está delante y avanza con velocidad v 2, y el auto m 1 está detrás, avanzando con velocidad v 1. El vector neto F = 0 y los vectores p 1 más p 2 son iguales a p total (tot). Después de la colisión, el auto m 2 está delante y avanza con una velocidad v 2 prima que es mayor que v 2 antes de la colisión, y el auto m 1 está detrás, avanzando con una velocidad v 1 prima que es menor que v 1 antes de la colisión. Los vectores p 1 primo más p 2 primo son iguales a p tot primo.

Figura 9.15 Los dos autos juntos forman el sistema que se va a analizar. Es importante recordar que el contenido (la masa) del sistema no cambia antes, durante o después de que los objetos del sistema interactúen.

Estrategia de Resolución De Problemas

Conservación del momento

El uso de la conservación del momento requiere cuatro pasos básicos. El primer paso es crucial:

Identifique un sistema cerrado (la masa total es constante, ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema).
Escriba una expresión que represente el momento total del sistema antes del "evento" (explosión o colisión).
Escriba una expresión que represente el momento total del sistema después del "evento".
Establezca estas dos expresiones iguales entre sí, y resuelva esta ecuación para la cantidad deseada.

Ejemplo 9.6

Carros que colisionan

Dos carros en un laboratorio de física ruedan sobre una pista plana, con una fricción insignificante. Estos carros tienen pequeños imanes en sus extremos, de modo que cuando colisionan, se pegan (Figura 9.16). El primer carro tiene una masa de 675 gramos y rueda a 0,75 m/s hacia la derecha; el segundo tiene una masa de 500 gramos y rueda a 1,33 m/s, también hacia la derecha. Tras la colisión, ¿cuál es la velocidad de los dos carros unidos?

Ilustración de dos carros de laboratorio en una pista, pegados.

Figura 9.16 Dos carros de laboratorio colisionan y se pegan tras la colisión.

Estrategia

Tenemos una colisión. Nos dan masas y velocidades iniciales; nos piden la velocidad final. Todo esto sugiere utilizar la conservación del momento como método de solución. Sin embargo, solo podemos utilizarla si tenemos un sistema cerrado. Por lo tanto, tenemos que asegurarnos de que el sistema que elegimos no tenga ninguna fuerza externa neta sobre este, y de que la colisión no modifique su masa.

Definir el sistema como los dos carros cumple los requisitos de un sistema cerrado: la masa combinada de los dos carros ciertamente no cambia, y aunque los carros definitivamente ejercen fuerzas el uno sobre el otro, esas fuerzas son internas al sistema, por lo que no cambian el momento del sistema como un todo. En la dirección vertical, los pesos de los carros se cancelan por las fuerzas normales sobre los carros procedentes de la pista.

Solución

La conservación del momento es

{\vec{p}}_{f} = {\vec{p}}_{i} .

Defina la dirección de sus vectores de velocidad inicial como la dirección de la x +. El momento inicial es entonces

{\vec{p}}_{i} = m_{1} v_{1} \hat{i} + m_{2} v_{2} \hat{i} .

El momento final de los carros ahora enlazados es

{\vec{p}}_{f} = (m_{1} + m_{2}) {\vec{v}}_{f} .

Igualando:

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) {\vec{v}}_{f} & = & m_{1} v_{1} \hat{i} + m_{2} v_{2} \hat{i} \\ {\vec{v}}_{f} & = & (\frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}) \hat{i} . \end{matrix}

Al sustituir los números dados:

\begin{matrix} {\vec{v}}_{f} & = [\frac{(0,675 kg) (0,75 m/s) + (0,5 kg) (1,33 m/s)}{1,175 kg}] \hat{i} \\ = (0,997 m/s) \hat{i} . \end{matrix}

Importancia

Los principios que se aplican aquí a dos carros de laboratorio se aplican de forma idéntica a todos los objetos de cualquier tipo o tamaño. Incluso para los fotones, los conceptos de momento y conservación del momento siguen siendo de crucial importancia incluso a esa escala. (Como no tienen masa, el momento de un fotón se define de forma muy diferente al momento de los objetos ordinarios. Lo aprenderá cuando estudie física cuántica).

Compruebe Lo Aprendido 9.3

Supongamos que el segundo carro, más pequeño, se ha movido inicialmente hacia la izquierda. ¿Cuál habría sido el signo de la velocidad final en este caso?

Ejemplo 9.7

Una superpelota que rebota

Una superpelota de masa 0,25 kg se deja caer desde el reposo desde una altura de

h = 1,50 m

sobre el suelo. Rebota sin pérdida de energía y vuelve a su altura inicial (Figura 9.17).

¿Cuál es el cambio de momento de la superpelota durante su rebote en el suelo?
¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a la colisión de la pelota con el suelo?
¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión?

(Este ejemplo demuestra que hay que tener cuidado con la definición del sistema).

Se muestra una pelota en cuatro momentos diferentes. En t sub 0 la pelota está a una distancia h sobre el suelo y tiene p sub 0 igual a 0. En t sub 1 la pelota está cerca del suelo. La flecha hacia abajo en la pelota está marcada como menos p sub 1. En t sub 2 la pelota está cerca del suelo. La flecha hacia arriba en la pelota se etiqueta más p sub 2. Las flechas p sub 1 y p sub 2 tienen la misma longitud. En t sub 3 la pelota está a la altura h de nuevo y p sub 3 es igual a cero.

Figura 9.17 Se deja caer una superpelota al suelo (

t_{0}

), golpea el suelo (

t_{1}

), rebota (

t_{2}

), y vuelve a su altura inicial (

t_{3}

).

Estrategia

Dado que solo se nos pregunta por el cambio de momento de la pelota, definimos nuestro sistema como la pelota. No obstante, está claro que no se trata de un sistema cerrado; la gravedad aplica una fuerza hacia abajo sobre la pelota mientras cae, y la fuerza normal del suelo aplica una fuerza durante el rebote. Por lo tanto, no podemos utilizar la conservación del momento como estrategia. En su lugar, simplemente determinamos el momento de la pelota justo antes de que choque con el suelo y justo después, y calculamos la diferencia. Tenemos la masa de la pelota, así que necesitamos sus velocidades.

Solución

Como se trata de un problema unidimensional, utilizamos la forma escalar de las ecuaciones. Supongamos:
- $p_{0} =$ la magnitud del momento de la pelota en el tiempo $t_{0}$ , en el momento en que se soltó; como se soltó desde el reposo, este es cero.
- $p_{1} =$ la magnitud del momento de la pelota en el tiempo $t_{1}$ , el instante justo antes de que toque el suelo.
- $p_{2} =$ la magnitud del momento de la pelota en el tiempo $t_{2}$ , justo después de perder el contacto con el suelo tras el rebote.
El cambio de momento de la pelota es
$\begin{matrix} Δ \vec{p} & = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} \\ = p_{2} \hat{j} - (- p_{1} \hat{j}) \\ = (p_{2} + p_{1}) \hat{j} . \end{matrix}$
Su velocidad justo antes de caer al suelo se determina a partir de la conservación de la energía o de la cinemática. Aquí utilizamos la cinemática; debería volver a resolverlo al utilizar la conservación de la energía y confirmar que obtiene el mismo resultado.
Queremos la velocidad justo antes de que toque el suelo (en el momento t1t1). Conocemos su velocidad inicial v0=0v0=0 (en el tiempo t0t0), la altura a la que cae y su aceleración; no conocemos el tiempo de caída. Podríamos calcularlo, pero en su lugar utilizamos
${\vec{v}}_{1} = - \hat{j} \sqrt{2 g y} = −5,4 m/s \hat{j} .$
Así, la pelota tiene un momento de
$\begin{matrix} {\vec{p}}_{1} & = - (0,25 kg) (−5,4 m/s \hat{j}) \\ = - (1,4 kg \cdot m/s) \hat{j} . \end{matrix}$
No tenemos una manera fácil de calcular el momento después del rebote. En cambio, razonamos a partir de la simetría de la situación.
Antes del rebote, la pelota comienza con velocidad cero y cae 1,50 m bajo la influencia de la gravedad, hasta alcanzar cierta cantidad de momento justo antes de tocar el suelo. En el viaje de vuelta (después del rebote), comienza con cierta cantidad de momento, sube los mismos 1,50 m que cayó y termina con velocidad cero. Por lo tanto, el movimiento después del rebote era la imagen espejo del movimiento antes del rebote. A partir de esta simetría, debe ser cierto que el momento de la pelota después del rebote debe ser igual y opuesto a su momento antes del rebote. (Este es un argumento sutil, pero crucial; asegúrese de entenderlo antes de continuar).
Por lo tanto,
${\vec{p}}_{2} = - {\vec{p}}_{1} = + (1,4 kg \cdot m/s) \hat{j} .$
Así, el cambio de momento de la pelota durante el rebote es

$\begin{matrix} Δ \vec{p} & = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} \\ = (1,4 kg \cdot m/s) \hat{j} - (−1,4 kg \cdot m/s) \hat{j} \\ = + (2,8 kg \cdot m/s) \hat{j} . \end{matrix}$
¿Cuál fue el cambio de momento de la Tierra debido a la colisión de la pelota con el suelo?
Su respuesta instintiva puede haber sido "cero; la Tierra es demasiado masiva para que esa pequeña pelota la haya afectado" o, posiblemente, "más que cero, pero totalmente despreciable". Pero no, si redefinimos nuestro sistema para que sea la superpelota + la Tierra, entonces este sistema es cerrado (despreciando la tracción gravitacional del Sol, de la Luna y de los demás planetas del sistema solar), y por ende, el cambio total de momento de este nuevo sistema deberá ser cero. Por consiguiente, el cambio de momento de la Tierra es exactamente de la misma magnitud:
$Δ {\vec{p}}_{Tierra} = −2,8 kg \cdot m/s \hat{j} .$
¿Cuál fue el cambio de velocidad de la Tierra como resultado de esta colisión?
Aquí es donde su instinto quizá sea correcto:
$\begin{matrix} Δ {\vec{v}}_{Tierra} & = \frac{Δ {\vec{p}}_{Tierra}}{M_{Tierra}} \\ = - \frac{2,8 kg \cdot m/s}{5.97 \times 10^{24} kg} \hat{j} \\ = - (4,7 \times 10^{−25} m/s) \hat{j} . \end{matrix}$
Este cambio de la velocidad de la Tierra es totalmente despreciable.

Importancia

Es importante darse cuenta de que la respuesta a la parte (c) no es una velocidad; es un cambio de velocidad, lo que es muy diferente. Sin embargo, para que se haga una idea de lo pequeño que es ese cambio de velocidad, suponga que se mueve a una velocidad de

4,7 \times 10^{−25} m/s

. A esta velocidad, tardaría unos 7 millones de años en recorrer una distancia equivalente al diámetro de un átomo de hidrógeno.

Compruebe Lo Aprendido 9.4

¿El cambio de momento de la pelota habría sido mayor, menor o igual si hubiera colisionado con el suelo y se hubiera detenido (sin rebotar)?

Ejemplo 9.8

Hockey sobre hielo 1

Dos discos de hockey de idéntica masa se encuentran en una pista de hockey sobre hielo plana y horizontal. El disco rojo está inmóvil; el disco azul se mueve a 2,5 m/s hacia la izquierda (Figura 9.18). Colisiona con el disco rojo inmóvil. Los discos tienen una masa de 15 g. Tras la colisión, el disco rojo se mueve a 2,5 m/s, hacia la izquierda. ¿Cuál es la velocidad final del disco azul?

Se muestran dos discos de hockey. El diagrama superior muestra el disco de la izquierda a 0 metros por segundo, mientras que el disco de la derecha se desplaza hacia la izquierda a 2,5 metros por segundo. El diagrama inferior muestra el disco de la izquierda moviéndose hacia la izquierda a 2,5 metros por segundo y el disco de la derecha moviéndose a v desconocida.

Figura 9.18 Dos discos de hockey idénticos colisionando. El diagrama superior muestra los discos en el instante anterior a la colisión, mientras que el diagrama inferior muestra los discos en el instante posterior a la colisión. La fuerza externa neta es cero.

Estrategia

Nos indican que tenemos dos objetos que colisionan, nos proporcionan las masas y las velocidades iniciales, y una velocidad final; nos piden las dos velocidades finales. La conservación del momento parece una buena estrategia. Definamos el sistema como los dos discos; no hay fricción, por lo que tenemos un sistema cerrado.

Antes de ver la solución, ¿cuál cree que será la respuesta?

La velocidad final del disco azul será:

cero
2,5 m/s hacia la izquierda
2,5 m/s hacia la derecha
1,25 m/s hacia la izquierda
1,25 m/s hacia la derecha
otra cosa

Solución

Defina la dirección de la x + para que apunte hacia la derecha. Entonces, la conservación del momento se lee

\begin{matrix} {\vec{p}}_{f} & = & {\vec{p}}_{i} \\ m v_{r_{f}} \hat{i} + m v_{b_{f}} \hat{i} & = & m v_{r_{i}} \hat{i} - m v_{b_{i}} \hat{i} . \end{matrix}

Antes de la colisión, el momento del sistema está única y exclusivamente en el disco azul. Así,

\begin{matrix} m v_{r_{f}} \hat{i} + m v_{b_{f}} \hat{i} & = & - m v_{b_{i}} \hat{i} \\ v_{r_{f}} \hat{i} + v_{b_{f}} \hat{i} & = & - v_{b_{i}} \hat{i} . \end{matrix}

(Recuerde que las masas de los discos son iguales). Sustituyendo los números:

\begin{matrix} - (2,5 m/s) \hat{i} + {\vec{v}}_{b_{f}} & = & - (2,5 m/s) \hat{i} \\ {\vec{v}}_{b_{f}} & = & 0 . \end{matrix}

Importancia

Evidentemente, los dos discos simplemente intercambiaron su momento. El disco azul transfirió todo su momento al disco rojo. De hecho, esto es lo que ocurre en una colisión semejante, en la que

m_{1} = m_{2} .

Compruebe Lo Aprendido 9.5

Incluso si hubiera algo de fricción en el hielo, todavía es posible utilizar la conservación del momento para resolver este problema, aunque tendría que imponer una condición adicional en el problema. ¿Cuál es esa condición adicional?

Ejemplo 9.9

Aterrizaje de Philae

El 12 de noviembre de 2014, la Agencia Espacial Europea aterrizó con éxito una sonda llamada Philae en el cometa 67P / Churyumov / Gerasimenko (Figura 9.19). Sin embargo, durante el aterrizaje, la sonda en realidad hizo contacto con el suelo tres veces, porque rebotó dos veces. Calculemos cuánto ha cambiado la velocidad del cometa como resultado del primer rebote.

Figura 9.19 Representación artística del aterrizaje de Philae en un cometa (créditos: modificación del trabajo del "DLR German Aerospace Center"/Flickr).

Definamos hacia arriba como la dirección de la +y, perpendicular a la superficie del cometa, y $y = 0$ como la superficie del cometa. Esto es lo que sabemos:

La masa del cometa 67P: $M_{c} = 1,0 \times 10^{13} kg$
La aceleración debida a la gravedad del cometa: $\vec{a} = - (5,0 \times 10^{−3} {m/s}^{2}) \hat{j}$
La masa de Philae: $M_{p} = 96 kg$
Rapidez de aterrizaje inicial: ${\vec{v}}_{1} = - (1,0 m/s) \hat{j}$
Rapidez inicial hacia arriba debido al primer rebote: ${\vec{v}}_{2} = (0,38 m/s) \hat{j}$
Tiempo de impacto del aterrizaje: $Δ t = 1,3 s$

Estrategia

Nos preguntan cuánto ha cambiado la rapidez del cometa, pero no sabemos mucho al respecto, más allá de su masa y la aceleración que provoca su gravedad. Sin embargo, se nos indica que el módulo de aterrizaje Philae colisiona con (aterriza en) el cometa y rebota. Una colisión sugiere el momento como estrategia para resolver este problema.

Si definimos un sistema formado por Philae y el cometa 67/P, entonces no hay ninguna fuerza externa neta sobre este sistema, y por ende, el momento de este sistema se conserva. (Ignoraremos la fuerza gravitacional del sol). Así, si calculamos el cambio de momento del módulo de aterrizaje, tenemos automáticamente el cambio de momento del cometa. Además, el cambio de velocidad del cometa guarda relación directa con su cambio de momento como resultado de la "colisión" del módulo de aterrizaje con este.

Solución

Supongamos que

{\vec{p}}_{1}

sea el momento de Philae en el momento justo antes del aterrizaje, y

{\vec{p}}_{2}

sea su momento justo después del primer rebote. Entonces su momento justo antes de aterrizar fue

{\vec{p}}_{1} = M_{p} {\vec{v}}_{1} = (96 kg) (- 1,0 m/s \hat{j}) = - (96 kg \cdot m/s) \hat{j}

y justo después fue

{\vec{p}}_{2} = M_{p} {\vec{v}}_{2} = (96 kg) (+ 0,38 m/s \hat{j}) = (36,5 kg \cdot m/s) \hat{j} .

Por consiguiente, el cambio de momento del módulo de aterrizaje durante el primer rebote es

\begin{matrix} Δ \vec{p} = {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} \\ = (36,5 kg \cdot m/s) \hat{j} - (-96,0 kg \cdot m/s \hat{j}) = (133 kg \cdot m/s) \hat{j} \end{matrix}

Observe la importancia de incluir el signo negativo del momento inicial.

Ahora para el cometa. Dado que el momento del sistema deberá conservarse, el momento del cometa cambió exactamente en el negativo de este:

Δ {\vec{p}}_{c} = - Δ \vec{p} = - (133 kg \cdot m/s) \hat{j} .

Por consiguiente, su cambio de velocidad es

Δ {\vec{v}}_{c} = \frac{Δ {\vec{p}}_{c}}{M_{c}} = \frac{- (133 kg \cdot m/s) \hat{j}}{1,0 \times 10^{13} kg} = - (1,33 \times 10^{−11} m/s) \hat{j} .

Importancia

Se trata de un cambio de velocidad muy pequeño, de una milésima de mil millonésima de metro por segundo. Sin embargo, lo más importante es que no es cero.

Compruebe Lo Aprendido 9.6

Los cambios de momento de Philae y del cometa 67/P fueron iguales (en magnitud). ¿Fueron iguales los impulsos experimentados por Philae y el cometa? ¿Y las fuerzas? ¿Y los cambios de energías cinéticas?

9.3 Conservación del momento lineal

Requisitos para la conservación del momento

El significado de "sistema"

Conservación del momento

Carros que colisionan

Estrategia

Solución

Importancia

Una superpelota que rebota

Estrategia

Solución

Importancia

Hockey sobre hielo 1

Estrategia

Solución

Importancia

Aterrizaje de Philae

Estrategia

Solución

Importancia