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Física Universitaria Volumen 1

9.4 Tipos de colisiones

Física Universitaria Volumen 19.4 Tipos de colisiones
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Identificar el tipo de colisión.
  • Calificar correctamente una colisión como elástica o inelástica.
  • Utilizar la energía cinética junto con el momento y el impulso para analizar una colisión.

Aunque el momento se conserva en todas las interacciones, no todas las interacciones (colisiones o explosiones) son iguales. Entre las posibilidades se encuentran:

  • Un solo objeto puede estallar en varios objetos (explosiones).
  • Varios objetos pueden colisionar y pegarse, para formar un solo objeto (inelástico).
  • Varios objetos pueden colisionar y rebotar entre sí, para quedar como varios objetos (elásticos). Si rebotan el uno contra el otro, pueden retroceder a la misma rapidez con la que se acercaban antes de la colisión, o pueden alejarse más lentamente.

Por lo tanto, es útil categorizar los diferentes tipos de interacciones, según el movimiento de los objetos que interactúan antes y después de la interacción.

Explosiones

La primera posibilidad es que un solo objeto se rompa en dos o más pedazos. Un ejemplo de ello es un petardo, o un arco y una flecha, o un cohete que se eleva en el aire hacia el espacio. Estos pueden ser difíciles de analizar si el número de fragmentos después de la colisión es superior a tres o cuatro; sin embargo, el momento total del sistema antes y después de la explosión es idéntico.

Observe que, si el objeto está inicialmente inmóvil, entonces el sistema (que es solo el objeto) no tiene momento ni energía cinética. Después de la explosión, el momento neto de todas las piezas del objeto debe sumar cero (ya que el momento de este sistema cerrado no puede cambiar). Sin embargo, el sistema tendrá una gran cantidad de energía cinética después de la explosión, aunque no tenía ninguna antes. Así, vemos que, aunque el momento del sistema se conserva en una explosión, la energía cinética del sistema definitivamente no lo hace: aumenta. Esta interacción, un objeto que se convierte en muchos, con un aumento de la energía cinética del sistema, se denomina explosión.

¿De dónde proviene la energía? ¿Sigue siendo válida la conservación de la energía? Sí; alguna forma de energía potencial se convierte en energía cinética. En el caso de la pólvora que arde y empuja una bala, la energía potencial química se convierte en energía cinética de la bala, y del arma que recula. En el caso de un arco y una flecha, es la energía potencial elástica en la cuerda del arco.

Inelástica

La segunda posibilidad es la inversa: que dos o más objetos colisionen entre sí y se peguen, para formar (tras la colisión) un único objeto compuesto. La masa total de este objeto compuesto es la suma de las masas de los objetos originales, y el nuevo objeto único se desplaza a una velocidad dictada por la conservación del momento. Sin embargo, resulta de nuevo que, aunque el momento total del sistema de objetos permanezca constante, la energía cinética no lo hace; esta vez, sin embargo, la energía cinética disminuye. Este tipo de colisión se denomina inelástica.

Cualquier colisión en la que los objetos se peguen entre sí dará lugar a la máxima pérdida de energía cinética (es decir, KfKf será un mínimo).

Una colisión de este tipo se denomina perfectamente inelástica. En el caso extremo, varios objetos colisionan, se pegan y permanecen inmóviles después de la colisión. Dado que los objetos están todos inmóviles después de la colisión, la energía cinética final también es cero; por lo tanto, la pérdida de energía cinética es máxima.

  • Si 0<Kf<Ki0<Kf<Ki, la colisión es inelástica.
  • Si KfKf es la energía más baja, o la energía que pierden ambos objetos es la mayor, la colisión es perfectamente inelástica (los objetos se pegan).
  • Si Kf=KiKf=Ki, la colisión es elástica.

Elástica

El caso extremo del otro lado es si dos o más objetos se acercan, colisionan y rebotan entre sí, y luego se alejan el uno del otro a la misma rapidez relativa a la que se acercaron. En este caso, la energía cinética total del sistema se conserva. Dicha interacción se denomina elástica.

En cualquier interacción de un sistema cerrado de objetos, el momento total del sistema se conserva (pf=pi)(pf=pi) pero la energía cinética puede que no:

  • Si 0<Kf<Ki0<Kf<Ki, la colisión es inelástica.
  • Si Kf=0Kf=0, la colisión es perfectamente inelástica.
  • Si Kf=KiKf=Ki, la colisión es elástica.
  • Si Kf>KiKf>Ki, la interacción es una explosión.

La cuestión de todo esto es que, al analizar una colisión o una explosión, se puede utilizar tanto el momento como la energía cinética.

Estrategia de Resolución De Problemas

Colisiones

Un sistema cerrado siempre conserva el momento; también podría conservar la energía cinética, pero muy a menudo no lo hace. Los problemas de energía-momento confinados a un plano (como el nuestro) suelen tener dos incógnitas. En general, este enfoque funciona bien:

  1. Defina un sistema cerrado.
  2. Escriba la expresión de la conservación del momento.
  3. Si la energía cinética se conserva, escriba la expresión de la conservación de la energía cinética; si no, escriba la expresión del cambio de energía cinética.
  4. Ahora tiene dos ecuaciones en dos incógnitas, que resuelve por métodos estándar.

Ejemplo 9.10

Formación de un deuterón

Un protón (masa 1,67×10−27kg1,67×10−27kg) colisiona con un neutrón (con esencialmente la misma masa que el protón) para formar una partícula que recibe el nombre de deuterón. ¿Cuál es la velocidad del deuterón si se forma a partir de un protón que se mueve con velocidad 7,0×106m/s7,0×106m/s hacia la izquierda y un neutrón que se mueve a velocidad 4,0×106m/s4,0×106m/s hacia la derecha? Antes de la colisión, el protón de la izquierda se mueve con v sub protón de 7,0 por 10 a la 6 metros por segundo hacia la derecha, y el neutrón de la derecha se mueve con v sub neutrón de -4,0 por 10 a la 6 metros por segundo hacia la izquierda. Después de la colisión, el protón y el deuterón están pegados, y tienen v sub deuterón desconocida.

Estrategia

Defina el sistema como las dos partículas. Se trata de una colisión, por lo que primero debemos identificar de qué tipo es. Ya que se nos dice que las dos partículas forman una sola tras la colisión, esto significa que la colisión es perfectamente inelástica. Así, la energía cinética no se conserva, pero el momento sí. Por lo tanto, utilizamos la conservación del momento para determinar la velocidad final del sistema.

Solución

Trate las dos partículas como si tuvieran masas idénticas M. Utilice los subíndices p, n y d para protón, neutrón y deuterón, respectivamente. Este es un problema unidimensional, por lo que tenemos
Mvp-Mvn=2Mvd.Mvp-Mvn=2Mvd.

Las masas se dividen:

vp-vn=2vd7,0×106m/s-4,0×106m/s=2vdvd=1,5×106m/s.vp-vn=2vd7,0×106m/s-4,0×106m/s=2vdvd=1,5×106m/s.

Así, la velocidad es vd=(1,5×106m/s)i^vd=(1,5×106m/s)i^.

Importancia

Así es como funcionan esencialmente los colisionadores de partículas como el Gran Colisionador de Hadrones: Aceleran las partículas hasta una rapidez muy elevada (grandes momentos), pero en direcciones opuestas. Esto maximiza la creación de las llamadas "partículas hijas".

Ejemplo 9.11

Hockey sobre hielo 2

(Esta es la variación de un ejemplo anterior).

Dos discos de hockey sobre hielo de diferentes masas se encuentran en una pista de hockey plana y horizontal. El disco rojo tiene una masa de 15 gramos y está inmóvil; el disco azul tiene una masa de 12 gramos y se mueve a 2,5 m/s hacia la izquierda. Colisiona con el disco rojo inmóvil (Figura 9.20). Si la colisión es perfectamente elástica, ¿cuáles son las velocidades finales de los dos discos?

Se muestran dos discos de hockey. El diagrama superior muestra el disco de la izquierda a 0 metros por segundo y el disco de la derecha que se desplaza hacia la izquierda a 2,5 metros por segundo. El diagrama inferior muestra el disco de la izquierda que se desplaza hacia la izquierda a v sub 1 f desconocida y el disco de la derecha que se desplaza a v sub 2 f desconocida.
Figura 9.20 Dos discos de hockey diferentes colisionando. El diagrama superior muestra los discos en el instante anterior a la colisión, y el diagrama inferior muestra los discos en el instante posterior a la colisión. La fuerza externa neta es cero.

Estrategia

Nos dicen que tenemos dos objetos que colisionan, nos indican sus masas y velocidades iniciales, y nos piden ambas velocidades finales. La conservación del momento parece ser una buena estrategia; defina el sistema como los dos discos. No hay fricción, por lo que tenemos ningún sistema cerrado. Tenemos dos incógnitas (las dos velocidades finales), pero solo una ecuación. El comentario de que la colisión es perfectamente elástica es la pista sugiere que la energía cinética también se conserva en esta colisión. Eso nos da nuestra segunda ecuación.

El momento inicial y la energía cinética inicial del sistema residen enteramente y solo en el segundo disco (el azul); la colisión transfiere parte de este momento y energía al primer disco.

Solución

La conservación del momento, en este caso, se lee
pi=pfm2v2,i=m1v1,f+m2v2,f.pi=pfm2v2,i=m1v1,f+m2v2,f.

La conservación de la energía cinética se lee

Ki=Kf12m2v2,i2=12m1v1,f2+12m2v2,f2.Ki=Kf12m2v2,i2=12m1v1,f2+12m2v2,f2.

Ahí están nuestras dos ecuaciones en dos incógnitas. El álgebra es tediosa, pero no es terriblemente difícil; sin duda hay que trabajar en ella. La solución es

v1,f=(m1-m2)v1,i+2m2v2,im1+m2v2f=(m2-m1)v2,i+2m1v1,im1+m2.v1,f=(m1-m2)v1,i+2m2v2,im1+m2v2f=(m2-m1)v2,i+2m1v1,im1+m2.

Al sustituir los números dados, obtenemos

v1,f=2,22msv2,f=-0,28ms.v1,f=2,22msv2,f=-0,28ms.

Importancia

Observe que, después de la colisión, el disco azul se mueve hacia la derecha; su dirección de movimiento se ha invertido. El disco rojo se mueve ahora hacia la izquierda.

Compruebe Lo Aprendido 9.7

Hay una segunda solución al sistema de ecuaciones resuelto en este ejemplo (porque la ecuación de la energía es cuadrática): v1,f=−2,5m/s,v2,f=0v1,f=−2,5m/s,v2,f=0. Esta solución es inaceptable desde el punto de vista físico; ¿qué tiene de malo?

Ejemplo 9.12

Thor contra Iron Man

La película de 2012 Los Vengadores tiene una escena en la que Iron Man y Thor luchan. Al principio de la pelea, Thor lanza su martillo a Iron Man; lo golpea y lo lanza ligeramente al aire y contra un pequeño árbol, que se rompe. En el video, Iron Man está parado cuando el martillo lo golpea. La distancia entre Thor y Iron Man es de aproximadamente 10 m, y el martillo tarda aproximadamente 1 s en llegar a Iron Man después de que Thor lo suelta. El árbol está a unos 2 m detrás de Iron Man, que golpea en unos 0,75 s. Además, según el, la trayectoria de Iron Man hacia el árbol es muy cercana a la horizontal. Asumiendo que la masa total de Iron Man es de 200 kg:
  1. Calcule la masa del martillo de Thor
  2. Calcule cuánta energía cinética se perdió en esta colisión.

Estrategia

Tras la colisión, el martillo de Thor está en contacto con Iron Man todo el tiempo, por lo que se trata de una colisión perfectamente inelástica. Así, con la elección correcta del sistema cerrado, esperamos que el momento se conserve, pero no la energía cinética. Utilizamos los números dados para estimar el momento inicial, la energía cinética inicial y la energía cinética final. Ya que se trata de un problema unidimensional, podemos pasar directamente a la forma escalar de las ecuaciones.

Solución

  1. En primer lugar, planteamos la conservación del momento. Para ello, necesitamos un sistema cerrado. La elección aquí es el sistema (martillo + Iron Man), desde el momento de la colisión hasta el momento justo antes de que Iron Man y el martillo golpeen el árbol. Supongamos:
    • MH=MH= masa del martillo
    • MI=MI= masa de Iron Man
    • vH=vH= velocidad del martillo antes de golpear a Iron Man
    • v == velocidad combinada de Iron Man + martillo después de la colisión

    De nuevo, la velocidad inicial de Iron Man era cero. La conservación del momento aquí se lee:
    MHvH=(MH+MI)v.MHvH=(MH+MI)v.
    Se nos pide que calculemos la masa del martillo, por lo que tenemos
    MHvH=MHv+MIvMH(vH-v)=MIvMH=MIvvH-v=(200kg)(2m0,75s)10ms-(2m0,75s)=73kg.MHvH=MHv+MIvMH(vH-v)=MIvMH=MIvvH-v=(200kg)(2m0,75s)10ms-(2m0,75s)=73kg.
    Teniendo en cuenta las incertidumbres de nuestras estimaciones, esto debería expresarse con una sola cifra significativa; por lo tanto, MH=7×101kgMH=7×101kg.
  2. La energía cinética inicial del sistema, al igual que el momento inicial, está toda en el martillo:
    Ki=12MHvH2=12(70kg)(10m/s)2=3.500J.Ki=12MHvH2=12(70kg)(10m/s)2=3.500J.
    Después de la colisión,
    Kf=12(MH+MI)v2=12(70kg+200kg)(2,67m/s)2=960J.Kf=12(MH+MI)v2=12(70kg+200kg)(2,67m/s)2=960J.
    Así, hubo una pérdida de 3.500J-960J=2.540J3.500J-960J=2.540J.

Importancia

Por otras escenas de la película, Thor aparentemente puede controlar la velocidad del martillo con su mente. Es posible, por lo tanto, que mentalmente haga que el martillo mantenga su velocidad inicial de 10 m/s mientras Iron Man es conducido hacia atrás, hacia el árbol. De ser así, esto representaría una fuerza externa en nuestro sistema, por lo que no estaría cerrado. Sin embargo, el control mental de Thor sobre su martillo está fuera del alcance de este libro.

Ejemplo 9.13

Analizar un accidente de tráfico

En un semáforo, un camión grande (3.000 kg) choca con un auto pequeño (1.200 kg) inmóvil. El camión se detiene instantáneamente; el auto se desliza en línea recta y se detiene tras deslizarse 10 metros. El coeficiente de fricción, medido entre los neumáticos del auto y la carretera, era de 0,62. ¿Qué tan rápido se movía el camión al momento del impacto?

Estrategia

Al principio pareciera que no tenemos suficiente información para resolver este problema. Aunque conocemos la rapidez inicial del auto, no conocemos la rapidez del camión (de hecho, eso es lo que se nos pide que calculemos), por lo que no conocemos el momento inicial del sistema. Del mismo modo, conocemos la rapidez final del camión, pero no la del auto inmediatamente después del impacto. El hecho de que el auto acabara deslizándose hasta una rapidez de cero no ayuda con el momento final, ya que una fuerza de fricción externa lo provocó. Tampoco podemos calcular el impulso, ya que no conocemos el tiempo de colisión, como tampoco el tiempo que el auto se deslizó antes de detenerse. Una estrategia útil es imponer una restricción al análisis.

Supongamos que definimos un sistema formado solo por el camión y el auto. El momento de este sistema no se conserva, debido a la fricción entre el auto y la carretera. Sin embargo, si pudiéramos determinar la rapidez del auto en el instante posterior al impacto, antes de que la fricción tuviera algún efecto medible en el auto, entonces podríamos considerar que el momento del sistema se conserva, con esa restricción.

¿Podemos hallar la rapidez final del auto? Sí; invocamos el teorema de trabajo-energía cinética.

Solución

Primero, defina algunas variables. Supongamos que:
  • McyMTMcyMT sean las masas del auto y del camión, respectivamente
  • vT,iyvT,fvT,iyvT,f sean las velocidades del camión antes y después de la colisión, respectivamente
  • vc,iyvc,fvc,iyvc,f Z sean las velocidades del auto antes y después de la colisión, respectivamente
  • KiyKfKiyKf sean las energías cinéticas del auto inmediatamente después de la colisión, y después de que el auto haya dejado de deslizarse (así que Kf=0Kf=0).
  • d sea la distancia que el auto se desliza después de la colisión antes de detenerse.

Ya que en realidad queremos la rapidez inicial del camión, y dado que el camión no forma parte del cálculo de trabajo-energía, empecemos con la conservación del momento. Para el sistema auto + camión, la conservación del momento se lee

pi=pfMcvc,i+MTvT,i=Mcvc,f+MTvT,f.pi=pfMcvc,i+MTvT,i=Mcvc,f+MTvT,f.

Ya que la velocidad inicial del auto era cero, al igual que la velocidad final del camión, esto se simplifica a

vT,i=McMTvc,f.vT,i=McMTvc,f.

Así que ahora necesitamos la rapidez del auto inmediatamente después del impacto. Recordemos que

W=ΔKW=ΔK

donde

ΔK=Kf-Ki=0-12Mcvc,f2.ΔK=Kf-Ki=0-12Mcvc,f2.

También,

W=F·d=Fdcosθ.W=F·d=Fdcosθ.

El trabajo se realiza a lo largo de la distancia que el auto se desliza, que hemos llamado d. Igualando:

Fdcosθ=-12Mcvc,f2.Fdcosθ=-12Mcvc,f2.

La fricción es la fuerza sobre el auto que realiza el trabajo para detener el deslizamiento. Con una carretera nivelada, la fuerza de fricción es

F=μkMcg.F=μkMcg.

Dado que el ángulo entre las direcciones del vector de fuerza de fricción y el desplazamiento d es 180°180°, y cos(180°)=-1,cos(180°)=-1, tenemos

-(μkMcg)d=-12Mcvc,f2-(μkMcg)d=-12Mcvc,f2

(Observe que la masa del auto se divide; evidentemente, la masa del auto no importa).

Si se resuelve la rapidez del auto inmediatamente después de la colisión, se obtiene

vc,f=2μkgd.vc,f=2μkgd.

Al sustituir los números dados:

vc,f=2(0,62)(9,81ms2)(10m)=11,0m/s..vc,f=2(0,62)(9,81ms2)(10m)=11,0m/s..

Ahora podemos calcular la rapidez inicial del camión:

vT,i=(1.200kg3.000kg)(11,0ms)=4,4m/s.vT,i=(1.200kg3.000kg)(11,0ms)=4,4m/s.

Importancia

Este es un ejemplo del tipo de análisis que realizan los investigadores de los grandes accidentes de tráfico. Del análisis y el cálculo precisos del momento y de la energía dependen muchas consecuencias jurídicas y financieras.

Compruebe Lo Aprendido 9.8

Supongamos que no hubo fricción (la colisión se produjo sobre el hielo); eso haría que μkμk sea cero, y por lo tanto vc,f=2μkgd=0vc,f=2μkgd=0, lo cual es obviamente erróneo. ¿Cuál es el error en esta conclusión?

Colisiones subatómicas y momento

La conservación del momento es crucial para nuestra comprensión de las partículas atómicas y subatómicas porque gran parte de lo que sabemos sobre estas partículas procede de experimentos de colisión.

A principios del siglo XX, la estructura del átomo suscitó un gran interés y debate. Se sabía que los átomos contienen dos tipos de partículas con carga eléctrica: electrones con carga negativa y protones con carga positiva. (Se sospechaba la existencia de una partícula eléctricamente neutra, pero esto no se confirmaría sino hasta 1932). La pregunta era, ¿cómo estaban dispuestas estas partículas en el átomo? ¿Estaban distribuidas uniformemente por el volumen del átomo (como propuso J.J. Thomson), o dispuestas en las esquinas de polígonos regulares (que era el modelo de Gilbert Lewis), o anillos de carga negativa que rodean el núcleo cargado positivamente, más bien como los anillos planetarios que rodean Saturno (como sugirió Hantaro Nagaoka), o algo más?

El físico neozelandés Ernest Rutherford, junto con el físico alemán Hans Geiger y el físico británico Ernest Marsden, realizaron el crucial experimento en 1909. Bombardearon una fina lámina de oro con un haz de partículas alfa de alta energía (es decir, de alta rapidez) (el núcleo de un átomo de helio). Las partículas alfa colisionaron con los átomos de oro y sus velocidades posteriores se detectaron y analizaron, mediante el empleo de la conservación del momento y la conservación de la energía.

Si las cargas de los átomos de oro estuvieran distribuidas uniformemente (según Thomson), entonces las partículas alfa deberían colisionar con ellas y casi todas serían desviadas a través de muchos ángulos, todos pequeños; el modelo de Nagaoka arrojaría un resultado similar. Si los átomos estuvieran dispuestos como polígonos regulares (Lewis), las partículas alfa se desviarían en un número relativamente pequeño de ángulos.

Lo que realmente ocurrió es que casi ninguna de las partículas alfa fue desviada. Las que lo fueron, se desviaron en grandes ángulos, algunos cerca de 180°180°, esas partículas alfa invirtieron completamente su dirección (Figura 9.21). Ninguno de los modelos atómicos existentes podría explicar esto. Con el tiempo, Rutherford desarrolló un modelo del átomo que se acercaba mucho más a lo que tenemos ahora, de nuevo, utilizando la conservación del momento y la energía como punto de partida.

Ilustraciones de los modelos del átomo de Thomson y Rutherford y los experimentos asociados. El modelo de Thomson tiene electrones, ilustrados como pequeñas bolas sólidas distribuidas en una esfera grande y uniforme. Las partículas alfa pasan sin desviarse. Varias trayectorias de partículas alfa, que inciden desde la izquierda y viajan horizontalmente hacia la derecha, se muestran como líneas rectas y paralelas que atraviesan el átomo sin cambios. El experimento consiste en una fuente colimada de partículas alfa. El haz de partículas pasa a través de un hueco en una pantalla que rodea un objetivo de lámina de oro. El haz pasa a través del objetivo, se extendiende un poco, pero golpea la pantalla en un pequeño punto en el lado más lejano de la pantalla. El resultado esperado es la detección de partículas en un solo punto. El modelo de Rutherford tiene electrones, ilustrados como pequeñas bolas sólidas distribuidas por todo el átomo, pero el núcleo es una pequeña esfera en el centro. Varias trayectorias de partículas alfa, que inciden desde la izquierda y viajan horizontalmente hacia la derecha, se muestran como líneas rectas y paralelas al entrar en el átomo. Algunas pasan sin cambios, una se dobla ligeramente de su dirección original y otra se dobla en un ángulo mayor de 90 grados. El experimento consiste en una fuente colimada de partículas alfa. El haz de partículas pasa a través de un hueco en una pantalla que rodea un objetivo de lámina de oro. El haz atraviesa el objetivo, la mayor parte pasa, pero se propaga significativamente y golpea la pantalla en el lado lejano en una región extendida; algunas de las partículas golpean la pantalla en el mismo lado de la lámina como la fuente. El resultado esperado es la detección de partículas en muchos puntos.
Figura 9.21 Los modelos de Thomson y Rutherford del átomo. El modelo de Thomson predijo que casi todas las partículas alfa incidentes se dispersarían y en ángulos pequeños. Rutherford y Geiger descubrieron que casi ninguna de las partículas alfa se dispersaba, aunque las pocas que se desviaban lo hacían con ángulos muy grandes. Los resultados de los experimentos de Rutherford no concuerdan con el modelo de Thomson. Rutherford utilizó la conservación del momento y la energía para desarrollar un nuevo y mejor modelo del átomo: el modelo nuclear.
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