9.4 Tipos de colisiones

Explosiones

La primera posibilidad es que un solo objeto se rompa en dos o más pedazos. Un ejemplo de ello es un petardo, o un arco y una flecha, o un cohete que se eleva en el aire hacia el espacio. Estos pueden ser difíciles de analizar si el número de fragmentos después de la colisión es superior a tres o cuatro; sin embargo, el momento total del sistema antes y después de la explosión es idéntico.

Observe que, si el objeto está inicialmente inmóvil, entonces el sistema (que es solo el objeto) no tiene momento ni energía cinética. Después de la explosión, el momento neto de todas las piezas del objeto debe sumar cero (ya que el momento de este sistema cerrado no puede cambiar). Sin embargo, el sistema tendrá una gran cantidad de energía cinética después de la explosión, aunque no tenía ninguna antes. Así, vemos que, aunque el momento del sistema se conserva en una explosión, la energía cinética del sistema definitivamente no lo hace: aumenta. Esta interacción, un objeto que se convierte en muchos, con un aumento de la energía cinética del sistema, se denomina explosión.

¿De dónde proviene la energía? ¿Sigue siendo válida la conservación de la energía? Sí; alguna forma de energía potencial se convierte en energía cinética. En el caso de la pólvora que arde y empuja una bala, la energía potencial química se convierte en energía cinética de la bala, y del arma que recula. En el caso de un arco y una flecha, es la energía potencial elástica en la cuerda del arco.

Inelástica

La segunda posibilidad es la inversa: que dos o más objetos colisionen entre sí y se peguen, para formar (tras la colisión) un único objeto compuesto. La masa total de este objeto compuesto es la suma de las masas de los objetos originales, y el nuevo objeto único se desplaza a una velocidad dictada por la conservación del momento. Sin embargo, resulta de nuevo que, aunque el momento total del sistema de objetos permanezca constante, la energía cinética no lo hace; esta vez, sin embargo, la energía cinética disminuye. Este tipo de colisión se denomina inelástica.

Cualquier colisión en la que los objetos se peguen entre sí dará lugar a la máxima pérdida de energía cinética (es decir, $K_{\text{f}}$ será un mínimo).

Una colisión de este tipo se denomina perfectamente inelástica. En el caso extremo, varios objetos colisionan, se pegan y permanecen inmóviles después de la colisión. Dado que los objetos están todos inmóviles después de la colisión, la energía cinética final también es cero; por lo tanto, la pérdida de energía cinética es máxima.

• Si $0<K_{\text{f}}<K_{\text{i}}$, la colisión es inelástica.
• Si $K_{\text{f}}$ es la energía más baja, o la energía que pierden ambos objetos es la mayor, la colisión es perfectamente inelástica (los objetos se pegan).
• Si $K_{\text{f}}=K_{\text{i}}$, la colisión es elástica.

Elástica

El caso extremo del otro lado es si dos o más objetos se acercan, colisionan y rebotan entre sí, y luego se alejan el uno del otro a la misma rapidez relativa a la que se acercaron. En este caso, la energía cinética total del sistema se conserva. Dicha interacción se denomina elástica.

En cualquier interacción de un sistema cerrado de objetos, el momento total del sistema se conserva $({\overrightarrow{p}}_f={\overrightarrow{p}}_{\text{i}})$ pero la energía cinética puede que no:

• Si $0<K_{\text{f}}<K_{\text{i}}$, la colisión es inelástica.
• Si $K_{\text{f}}=0$, la colisión es perfectamente inelástica.
• Si $K_{\text{f}}=K_{\text{i}}$, la colisión es elástica.
• Si $K_{\text{f}}>K_{\text{i}}$, la interacción es una explosión.

La cuestión de todo esto es que, al analizar una colisión o una explosión, se puede utilizar tanto el momento como la energía cinética.

Ejemplo 9.10

Formación de un deuterón

Un protón (masa $\mathrm{1,67}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}$) colisiona con un neutrón (con esencialmente la misma masa que el protón) para formar una partícula que recibe el nombre de deuterón. ¿Cuál es la velocidad del deuterón si se forma a partir de un protón que se mueve con velocidad $\mathrm{7,0}\times {10}^6\text{m/s}$ hacia la izquierda y un neutrón que se mueve a velocidad $\mathrm{4,0}\times {10}^6\text{m/s}$ hacia la derecha?

Estrategia

Defina el sistema como las dos partículas. Se trata de una colisión, por lo que primero debemos identificar de qué tipo es. Ya que se nos dice que las dos partículas forman una sola tras la colisión, esto significa que la colisión es perfectamente inelástica. Así, la energía cinética no se conserva, pero el momento sí. Por lo tanto, utilizamos la conservación del momento para determinar la velocidad final del sistema.

Solución

Trate las dos partículas como si tuvieran masas idénticas M. Utilice los subíndices p, n y d para protón, neutrón y deuterón, respectivamente. Este es un problema unidimensional, por lo que tenemos

$$M{v}_{\text{p}}-M{v}_{\text{n}}=2M{v}_{\text{d}}.$$

Las masas se dividen:

$$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{p}}-v_{\text{n}}& =\hfill & 2v_{\text{d}}\hfill \\ \hfill \mathrm{7,0}\times {10}^6\text{m/s}-\mathrm{4,0}\times {10}^6\text{m/s}& =\hfill & 2v_{\text{d}}\hfill \\ \hfill v_{\text{d}}& =\hfill & \mathrm{1,5}\times {10}^6\text{m/s.}\hfill \end{array}$$

Así, la velocidad es ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}=\left(\mathrm{1,5}\times {10}^6\text{m/s}\right)\widehat{i}$.

Importancia

Así es como funcionan esencialmente los colisionadores de partículas como el Gran Colisionador de Hadrones: Aceleran las partículas hasta una rapidez muy elevada (grandes momentos), pero en direcciones opuestas. Esto maximiza la creación de las llamadas "partículas hijas".

Ejemplo 9.11

Hockey sobre hielo 2

(Esta es la variación de un ejemplo anterior).

Dos discos de hockey sobre hielo de diferentes masas se encuentran en una pista de hockey plana y horizontal. El disco rojo tiene una masa de 15 gramos y está inmóvil; el disco azul tiene una masa de 12 gramos y se mueve a 2,5 m/s hacia la izquierda. Colisiona con el disco rojo inmóvil (Figura 9.20). Si la colisión es perfectamente elástica, ¿cuáles son las velocidades finales de los dos discos?

Figura 9.20 Dos discos de hockey diferentes colisionando. El diagrama superior muestra los discos en el instante anterior a la colisión, y el diagrama inferior muestra los discos en el instante posterior a la colisión. La fuerza externa neta es cero.

Estrategia

Nos dicen que tenemos dos objetos que colisionan, nos indican sus masas y velocidades iniciales, y nos piden ambas velocidades finales. La conservación del momento parece ser una buena estrategia; defina el sistema como los dos discos. No hay fricción, por lo que tenemos ningún sistema cerrado. Tenemos dos incógnitas (las dos velocidades finales), pero solo una ecuación. El comentario de que la colisión es perfectamente elástica es la pista sugiere que la energía cinética también se conserva en esta colisión. Eso nos da nuestra segunda ecuación.

El momento inicial y la energía cinética inicial del sistema residen enteramente y solo en el segundo disco (el azul); la colisión transfiere parte de este momento y energía al primer disco.

Solución

La conservación del momento, en este caso, se lee

$$\begin{array}{ccc}\hfill p_{\text{i}}& =\hfill & p_{\text{f}}\hfill \\ \hfill m_2{v}_{\text{2,i}}& =\hfill & m_1{v}_{\text{1,f}}+m_2{v}_{\text{2,f}}.\hfill \end{array}$$

La conservación de la energía cinética se lee

$$\begin{array}{ccc}\hfill K_{\text{i}}& =\hfill & K_{\text{f}}\hfill \\ \hfill \frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,i}}^2& =\hfill & \frac{1}{2}{m}_1{v}_{\text{1,f}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,f}}^2.\hfill \end{array}$$

Ahí están nuestras dos ecuaciones en dos incógnitas. El álgebra es tediosa, pero no es terriblemente difícil; sin duda hay que trabajar en ella. La solución es

$$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{1,f}}& =\hfill & \frac{\left(m_1-m_2\right)v_{\text{1,i}}+2m_2{v}_{\text{2,i}}}{m_1+m_2}\hfill \\ \hfill v_{2\text{f}}& =\hfill & \frac{\left(m_2-m_1\right)v_{\text{2,i}}+2m_1{v}_{\text{1,i}}}{m_1+m_2}.\hfill \end{array}$$

Al sustituir los números dados, obtenemos

$$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{1,f}}& =\hfill & \mathrm{2,22}\frac{\text{m}}{\text{s}}\hfill \\ \hfill v_{\text{2,f}}& =\hfill & \mathrm{-0,28}\frac{\text{m}}{\text{s}}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Observe que, después de la colisión, el disco azul se mueve hacia la derecha; su dirección de movimiento se ha invertido. El disco rojo se mueve ahora hacia la izquierda.

Colisiones subatómicas y momento

La conservación del momento es crucial para nuestra comprensión de las partículas atómicas y subatómicas porque gran parte de lo que sabemos sobre estas partículas procede de experimentos de colisión.

A principios del siglo XX, la estructura del átomo suscitó un gran interés y debate. Se sabía que los átomos contienen dos tipos de partículas con carga eléctrica: electrones con carga negativa y protones con carga positiva. (Se sospechaba la existencia de una partícula eléctricamente neutra, pero esto no se confirmaría sino hasta 1932). La pregunta era, ¿cómo estaban dispuestas estas partículas en el átomo? ¿Estaban distribuidas uniformemente por el volumen del átomo (como propuso J.J. Thomson), o dispuestas en las esquinas de polígonos regulares (que era el modelo de Gilbert Lewis), o anillos de carga negativa que rodean el núcleo cargado positivamente, más bien como los anillos planetarios que rodean Saturno (como sugirió Hantaro Nagaoka), o algo más?

El físico neozelandés Ernest Rutherford, junto con el físico alemán Hans Geiger y el físico británico Ernest Marsden, realizaron el crucial experimento en 1909. Bombardearon una fina lámina de oro con un haz de partículas alfa de alta energía (es decir, de alta rapidez) (el núcleo de un átomo de helio). Las partículas alfa colisionaron con los átomos de oro y sus velocidades posteriores se detectaron y analizaron, mediante el empleo de la conservación del momento y la conservación de la energía.

Si las cargas de los átomos de oro estuvieran distribuidas uniformemente (según Thomson), entonces las partículas alfa deberían colisionar con ellas y casi todas serían desviadas a través de muchos ángulos, todos pequeños; el modelo de Nagaoka arrojaría un resultado similar. Si los átomos estuvieran dispuestos como polígonos regulares (Lewis), las partículas alfa se desviarían en un número relativamente pequeño de ángulos.

Lo que realmente ocurrió es que casi ninguna de las partículas alfa fue desviada. Las que lo fueron, se desviaron en grandes ángulos, algunos cerca de $180\text{°}$, esas partículas alfa invirtieron completamente su dirección (Figura 9.21). Ninguno de los modelos atómicos existentes podría explicar esto. Con el tiempo, Rutherford desarrolló un modelo del átomo que se acercaba mucho más a lo que tenemos ahora, de nuevo, utilizando la conservación del momento y la energía como punto de partida.

Figura 9.21 Los modelos de Thomson y Rutherford del átomo. El modelo de Thomson predijo que casi todas las partículas alfa incidentes se dispersarían y en ángulos pequeños. Rutherford y Geiger descubrieron que casi ninguna de las partículas alfa se dispersaba, aunque las pocas que se desviaban lo hacían con ángulos muy grandes. Los resultados de los experimentos de Rutherford no concuerdan con el modelo de Thomson. Rutherford utilizó la conservación del momento y la energía para desarrollar un nuevo y mejor modelo del átomo: el modelo nuclear.