William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas De Desafío

88.

El vector $\vec{B}$ tiene una longitud de 5,0 cm y un vector $\vec{A}$ tiene una longitud de 4,0 cm. Calcule el ángulo entre estos dos vectores cuando $| \vec{A} + \vec{B} | = 3,0 cm$ y $| \vec{A} - \vec{B} | = 3,0 cm$ .

89.

¿Cuál es el componente del vector de fuerza $\vec{G} = (3,0 \hat{i} + 4,0 \hat{j} + 10,0 \hat{k}) N$ junto al vector de fuerza $\vec{H} = (1,0 \hat{i} + 4,0 \hat{j}) N$ ?

90.

La siguiente figura muestra un triángulo formado por los tres vectores $\vec{A}$ , $\vec{B}$ y $\vec{C}$ . Si el vector ${\vec{C}}^{'}$ se dibuja entre los puntos medios de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ , demuestre que ${\vec{C}}^{'} = \vec{C} / 2$ .

Los vectores A, B y C forman un triángulo. El vector A apunta hacia arriba y hacia la derecha, el vector B comienza en la cabeza de A y apunta hacia abajo y hacia la derecha, y el vector C comienza en la cabeza de B, termina en la cola de A y apunta hacia la izquierda. El vector C primo es paralelo al vector C y une los puntos medios de los vectores A y B.

91.

Las distancias entre los puntos de un plano no cambian cuando se rota un sistema de coordenadas. En otras palabras, la magnitud de un vector es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Supongamos que un sistema de coordenadas S rota alrededor de su origen por un ángulo $φ$ para convertirse en un nuevo sistema de coordenadas $S^{'}$ , como se muestra en la siguiente figura. Un punto en un plano tiene coordenadas (x, y) en S y coordenadas $(x^{'}, y^{'})$ en $S^{'}$ .

(a) Demuestre que, durante la transformación de rotación, las coordenadas en $S^{'}$ se expresan en términos de las coordenadas en S mediante las siguientes relaciones:

{\begin{matrix} x^{'} = x cos φ + y sen φ \\ y^{'} = − x sen φ + y cos φ \end{matrix} .

(b) Demuestre que la distancia del punto P al origen es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Aquí, tiene que mostrar que

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{x^{'}}^{2} + {y^{'}}^{2}} .

(c) Demuestre que la distancia entre los puntos P y Q es invariante bajo rotaciones del sistema de coordenadas. Aquí, tiene que mostrar que

\begin{matrix} \sqrt{{(x_{P} - x_{Q})}^{2} + {(y_{P} - y_{Q})}^{2}} \\ = & \sqrt{{({x^{'}}_{P} - {x^{'}}_{Q})}^{2} + {({y^{'}}_{P} - {y^{'}}_{Q})}^{2}} . \end{matrix}

Se muestran dos sistemas de coordenadas. S, el sistema de coordenadas x y, en rojo, tiene la x positiva hacia la derecha y la y positiva hacia arriba. S primo, el sistema de coordenadas x prima y prima, en azul, comparte el mismo origen que S pero rota respecto a S en sentido contrario de las agujas del reloj a un ángulo phi. Se muestran dos puntos, P y Q. La coordenada x del punto P en el marco S se muestra como una línea discontinua desde P hasta el eje de la x, trazada paralelamente al eje de la y. La coordenada y del punto P en el marco S se muestra como una línea discontinua desde P hasta el eje de la y, trazada paralelamente al eje de la x. La coordenada x prima del punto P en el marco S primo se muestra como una línea discontinua desde P hasta el de la eje x prima, trazada paralelamente al eje de la y prima. La coordenada y prima del punto P en el marco S primo se muestra como una línea discontinua desde P hasta el eje de la y prima, trazada paralelamente al eje de la x prima.