Objetivos de aprendizaje
Al final de esta sección, podrá:
- Determinar el número correcto de cifras significativas para el resultado de un cálculo.
- Describir la relación entre los conceptos de exactitud, precisión, incertidumbre y discrepancia.
- Calcular el porcentaje de incertidumbre de una medición, dado su valor y su incertidumbre.
- Determinar la incertidumbre del resultado de un cálculo en el que intervienen cantidades con incertidumbres dadas.
La Figura 1.11 muestra dos instrumentos utilizados para medir la masa de un objeto. La báscula digital ha sustituido en su mayor parte a la báscula de doble plato en los laboratorios de física, ya que proporciona mediciones más exactas y precisas. Pero, ¿qué entendemos exactamente por exacto y preciso? ¿No son lo mismo? En esta sección examinamos en detalle el proceso de realización y notificación de una medición.
Exactitud y precisión de una medida
La ciencia se basa en la observación y la experimentación, es decir, en las mediciones. La exactitud es la proximidad de una medición al valor de referencia aceptado para esa medición. Por ejemplo, digamos que queremos medir la longitud de un papel de impresora estándar. El embalaje en el que compramos el papel indica que tiene una longitud de 11,0 in. A continuación, medimos la longitud del papel tres veces y obtenemos las siguientes medidas: 11,1 in, 11,2 in y 10,9 in. Estas mediciones son bastante exactas porque se acercan mucho al valor de referencia de 11,0 in. Por el contrario, si hubiéramos obtenido una medida de 12 in, nuestra medición no sería muy exacta. Observe que el concepto de exactitud requiere que se dé un valor de referencia aceptado.
La precisión de las mediciones se refiere a la concordancia entre mediciones repetidas e independientes (que se repiten en las mismas condiciones). Consideremos el ejemplo de las medidas del papel. La precisión de las mediciones se refiere a la dispersión de los valores medidos. Una forma de analizar la precisión de las mediciones es determinar el rango, o la diferencia, entre los valores medidos más bajos y los más altos. En este caso, el valor más bajo fue de 10,9 in y el más alto de 11,2 in. Así, los valores medidos se desviaron entre sí, como máximo, en 0,3 in. Estas mediciones eran relativamente precisas porque no variaban demasiado en valor. Sin embargo, si los valores medidos hubieran sido 10,9 in, 11,1 in y 11,9 in, las mediciones no serían muy precisas porque habría una variación significativa de una medición a otra. Observe que el concepto de precisión depende únicamente de las mediciones reales adquiridas y no depende de un valor de referencia aceptado.
Las mediciones del ejemplo del papel son exactas y precisas, pero en algunos casos, las mediciones son exactas, pero no precisas, o son precisas, pero no exactas. Consideremos un ejemplo de un GPS que intenta localizar la posición de un restaurante en una ciudad. Piense en la ubicación del restaurante como si existiera en el centro de una diana y piense en cada intento del GPS por localizar el restaurante como un punto negro. En la Figura 1.12(a), vemos que las mediciones del GPS están muy separadas entre sí, pero todas están relativamente cerca de la ubicación real del restaurante en el centro del objetivo. Esto indica un sistema de medición de baja precisión y alta exactitud. Sin embargo, en la Figura 1.12(b), las mediciones del GPS se concentran bastante cerca unas de otras, pero están lejos de la ubicación del objetivo. Esto indica un sistema de medición de alta precisión y baja exactitud.
Exactitud, precisión, incertidumbre y discrepancia
La precisión de un sistema de medición se relaciona con la incertidumbre en las mediciones, mientras que la exactitud se relaciona con la discrepancia con respecto al valor de referencia aceptado. La incertidumbre es una medida cuantitativa de la desviación de los valores medidos. Hay muchos métodos diferentes para calcular la incertidumbre, cada uno de los cuales es apropiado para diferentes situaciones. Algunos ejemplos son tomar el rango (es decir, el mayor menos el menor) o encontrar la desviación estándar de las medidas. La discrepancia (o "error de medición") es la diferencia entre el valor medido y un determinado valor estándar o previsto. Si las mediciones no son muy precisas, la incertidumbre de los valores es alta. Si las mediciones no son muy exactas, la discrepancia de los valores es alta.
Recordemos nuestro ejemplo de la medición de la longitud del papel; obtuvimos mediciones de 11,1, 11,2 y 10,9 pulgadas, y el valor aceptado fue de 11,0 pulgadas. Podríamos promediar las tres mediciones para concluir que nuestro mejor cálculo es de 11,1 pulgadas; en este caso, nuestra discrepancia es de 11,1 - 11,0 = 0,1 pulgadas, lo que proporciona una medida cuantitativa de la exactitud. Podríamos calcular la incertidumbre de nuestra mejor estimación con la mitad del rango de nuestros valores medidos: 0,15 pulgadas. Entonces diríamos que la longitud del papel es de 11,1 pulgadas más o menos 0,15 pulgadas. La incertidumbre en una medición, A, que se indica como δA (leer como "delta A"), por lo que el resultado de la medición se registraría como A ± δA. Volviendo a nuestro ejemplo del papel, la longitud medida del papel podría expresarse como 11,1 ± 0,15 pulgadas. Dado que la discrepancia de 0,1 pulgadas es menor que la incertidumbre de 0,15 pulgadas, podríamos decir que el valor medido coincide con el valor de referencia aceptado dentro de la incertidumbre experimental.
Algunos factores que contribuyen a la incertidumbre en una medición son los siguientes:
- Limitaciones del dispositivo de medición.
- La habilidad de la persona que realiza la medición.
- Irregularidades en el objeto que se mide.
- Cualquier otro factor que afecte el resultado (depende mucho de la situación).
En nuestro ejemplo, los factores que contribuyen a la incertidumbre podrían ser que la división más pequeña de la regla sea de 1/16 pulgadas, que la persona que utiliza la regla tenga problemas de visión, que la regla esté desgastada en un extremo o que un lado del papel sea ligeramente más largo que el otro. En cualquier caso, deberá calcularse la incertidumbre de una medición para cuantificar su precisión. Si se conoce un valor de referencia, tiene sentido calcular también la discrepancia para cuantificar su exactitud.
Porcentaje de incertidumbre
Otro método de expresar la incertidumbre es como porcentaje del valor medido. Si una medición A se expresa con una incertidumbre δA, el porcentaje de incertidumbre se define como
Ejemplo 1.7
Calcular el porcentaje de incertidumbre: una bolsa de manzanas
Una tienda de comestibles vende bolsas de 5 lb de manzanas. Supongamos que compramos cuatro bolsas durante el transcurso de un mes y las pesamos cada vez. Obtenemos las siguientes medidas:- Peso de la semana 1: 4,8 lb
- Peso de la semana 2: 5,3 lb
- Peso de la semana 3: 4,9 lb
- Peso de la semana 4: 5,4 lb
A continuación, determinamos que el peso medio de la bolsa de 5 libras de manzanas es de 5,1 ± 0,3 lb al utilizar la mitad del rango. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre del peso de la bolsa?
Estrategia
En primer lugar, observe que el valor promedio del peso de la bolsa, A, es de 5,1 lb. La incertidumbre en este valor, es 0,3 lb. Podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el porcentaje de incertidumbre del peso:Solución
Sustituya los valores en la ecuación:Importancia
Podemos concluir que el peso promedio de una bolsa de manzanas de esta tienda es de 5,1 libras ± 6 %. Observe que el porcentaje de incertidumbre es adimensional porque las unidades de peso en lb anularon las de A = 5,1 lb cuando tomamos la proporción.Compruebe Lo Aprendido 1.8
Un entrenador de atletismo de preparatoria acaba de comprar un nuevo cronómetro. El manual del cronómetro indica que tiene una incertidumbre de ±0,05 s. Los corredores del equipo del entrenador de atletismo realizan regularmente carreras de 100 metros en 11,49 s a 15,01 s. En el último encuentro de atletismo de la escuela, el primer clasificado llegó a 12,04 s y el segundo a 12,07 s. ¿Acaso servirá el nuevo cronómetro del entrenador para cronometrar al equipo de corredores? ¿Por qué sí por qué no?
Incertidumbre en los cálculos
La incertidumbre existe en cualquier cosa calculada a partir de cantidades medidas. Por ejemplo, el área de un suelo calculada a partir de las mediciones de su longitud y anchura tiene una incertidumbre porque la longitud y la anchura tienen incertidumbres. ¿Cuán grande es la incertidumbre en algo que se calcula por multiplicación o división? Si las mediciones que entran en el cálculo tienen poca incertidumbre (unos cuantos porcentajes o menos), se puede utilizar el método de suma de porcentajes para la multiplicación o la división. Este método establece que el porcentaje de incertidumbre de una cantidad calculada por multiplicación o división es la suma de las incertidumbres porcentuales de los elementos utilizados para realizar el cálculo. Por ejemplo, si un suelo tiene una longitud de 4,00 m y una anchura de 3,00 m, con incertidumbre del 2 % y el 1 %, respectivamente, entonces el área del suelo es de 12,0 m2 y tiene una incertidumbre del 3 %. (Expresado en forma de área es de 0,36 m2 [], que redondeamos a 0,4 m2 ya que el área del suelo viene dada a una décima de metro cuadrado).
Precisión de las herramientas de medición y cifras significativas
Un factor importante en la precisión de las mediciones es la precisión de la herramienta de medición. En general, una herramienta de medición precisa es aquella que mide valores en incrementos muy pequeños. Por ejemplo, una regla estándar mide la longitud con una precisión de un milímetro, mientras que un calibre mide la longitud con una precisión de 0,01 mm. El calibre es una herramienta de medición más precisa porque mide diferencias de longitud extremadamente pequeñas. Cuanto más precisa sea la herramienta de medición, más precisas serán las medidas.
Cuando expresamos valores medidos, solo podemos enumerar tantos dígitos como hayamos medido inicialmente con nuestra herramienta de medición. Por ejemplo, si utilizamos una regla estándar para medir la longitud de un palo, podemos medirla como 36,7 cm. No podemos expresar este valor como 36,71 cm porque nuestra herramienta de medición no es lo suficientemente precisa para medir una centésima de centímetro. Hay que tener en cuenta que el último dígito de un valor medido ha sido estimado de alguna manera por la persona que realiza la medición. Por ejemplo, la persona que mide la longitud de un palo con una regla se da cuenta de que la longitud del palo parece estar entre 36,6 cm y 36,7 cm, y debe estimar el valor del último dígito. Utilizando el método de las cifras significativas, por regla, el último dígito anotado en una medición es el primer dígito con cierta incertidumbre. Para determinar el número de dígitos significativos de un valor, comience con el primer valor medido a la izquierda y cuente el número de dígitos hasta el último dígito escrito a la derecha. Por ejemplo, el valor medido 36,7 cm tiene tres dígitos, o tres cifras significativas. Las cifras significativas indican la precisión de la herramienta de medición utilizada para medir un valor.
Ceros
En el recuento de cifras significativas se tienen en cuenta especialmente los ceros. Los ceros de 0,053 no son significativos, porque son marcadores de posición que localizan el punto decimal. Hay dos cifras significativas en 0,053. Los ceros de 10,053 no son marcadores de posición; son significativos. Este número tiene cinco cifras significativas. Los ceros de 1300 pueden ser significativos o no, dependiendo del estilo de escritura de los números. Pueden significar que se conoce el número hasta el último dígito o pueden ser marcadores de posición. Así que 1300 puede tener dos, tres o cuatro cifras significativas. Para evitar esta ambigüedad, debemos escribir 1300 en notación científica como o dependiendo de si tiene dos, tres o cuatro cifras significativas. Los ceros son significativos, excepto cuando sirven solo como marcadores de posición.
Cifras significativas en los cálculos
Cuando se combinan mediciones con diferentes grados de precisión, el número de dígitos significativos en la respuesta final no puede ser mayor que el número de dígitos significativos en el valor medido menos preciso. Hay dos reglas diferentes, una para la multiplicación y la división y otra para la suma y la resta.
- Para la multiplicación y la división, el resultado debería tener el mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de cifras significativas que entra en el cálculo. Por ejemplo, el área de un círculo puede calcularse a partir de su radio mediante A = πr2. Veamos cuántas cifras significativas tiene el área si el radio tiene solo dos, es decir, r = 1,2 m. Utilizando una calculadora con una salida de ocho dígitos, calcularíamos No obstante, dado que el radio tiene solamente dos cifras significativas, limita la cantidad calculada a dos cifras significativas, o sea aunque π es apropiado hasta al menos ocho dígitos.
- En las sumas y restas, la respuesta no puede contener más decimales que la medida menos precisa. Supongamos que compramos 7,56 kg de papas en una tienda de comestibles, pesados con una báscula con precisión de 0,01 kg, y luego dejamos 6,052 kg de papas en su laboratorio, pesados con una báscula con precisión de 0,001 kg. Luego, vamos a casa y añadimos 13,7 kg de papas, pesados con una báscula de baño con precisión de 0,1 kg. ¿Cuántos kilogramos de papas tenemos ahora y cuántas cifras significativas corresponden a la respuesta? La masa se encuentra por simple suma y resta: A continuación, identificamos la medida menos precisa: 13,7 kg. Esta medida se expresa con 0,1 decimales, por lo que nuestra respuesta final también debe expresarse con 0,1 decimales. Por lo tanto, la respuesta se redondea a la décima, lo que nos da 15,2 kg.
Cifras significativas en este texto
En este texto, se supone que la mayoría de los números tienen tres cifras significativas. Además, en todos los ejemplos trabajados se utilizan números de cifras significativas coherentes. Una respuesta dada a tres dígitos se basa en una entrada apropiada de al menos tres dígitos, por ejemplo. Si la entrada tiene menos cifras significativas, la respuesta también tendrá menos cifras significativas. También se procura que el número de cifras significativas sea razonable para la situación planteada. En algunos temas, sobre todo en óptica, se necesitan números más precisos y utilizamos más de tres cifras significativas. Por último, si un número es exacto, como el dos de la fórmula de la circunferencia de un círculo, C = 2πr, no afecta el número de cifras significativas de un cálculo. Asimismo, los factores de conversión como 100 cm/1 m se consideran exactos y no afectan el número de cifras significativas de un cálculo.