1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi

En muchas ocasiones, los físicos, otros científicos e ingenieros necesitan hacer estimaciones de una cantidad determinada. Otros términos que se emplean a veces son estimaciones a partir de conjeturas, aproximaciones de orden de magnitud, cálculos de servilleta o cálculos de Fermi. (El físico Enrico Fermi, mencionado anteriormente, era famoso por su capacidad para estimar diversos tipos de datos con una precisión sorprendente). ¿Cabrá ese equipo en la parte trasera del auto o tendremos que alquilar un camión? ¿Cuánto tiempo durará esta descarga? ¿Qué tanta corriente habrá en este circuito cuando se encienda? ¿Cuántas casas podría alimentar realmente una central eléctrica propuesta si se construye? Tenga en cuenta que estimar no significa adivinar un número o una fórmula al azar. Mejor dicho, la estimación significa utilizar la experiencia previa y el razonamiento físico sólido para llegar a una idea aproximada del valor de una cantidad. Dado que el proceso para determinar una aproximación fiable implica la identificación de principios físicos correctos y una conjetura apropiada acerca de las variables pertinentes, la estimación es muy útil para desarrollar la intuición física. Las estimaciones también nos permiten realizar "comprobaciones de cordura" en los cálculos o las propuestas políticas, ya que nos ayudan a descartar determinados escenarios o cifras poco realistas. Nos permiten desafiar a los demás (y a nosotros mismos) en nuestros esfuerzos por aprender verdades sobre el mundo.

Muchas estimaciones se basan en fórmulas en las que las cantidades de entrada solo se conocen con una precisión limitada. A medida que desarrolle sus habilidades para resolver problemas de física (que se aplican a una amplia variedad de campos), también desarrollará sus habilidades para estimar. Estas habilidades se desarrollan pensando de forma más cuantitativa y estando dispuesto a asumir riesgos. Como con cualquier habilidad, la experiencia ayuda. También ayuda la familiaridad con las dimensiones (vea la Tabla 1.3) y las unidades (vea la Tabla 1.1 y la Tabla 1.2), así como las escalas de las cantidades base (vea la Figura 1.4).

Para progresar en la estimación, es necesario tener algunas ideas definidas sobre cómo pueden estar relacionadas las variables. Las siguientes estrategias sirven para practicar el arte de la estimación:

• Obtener grandes longitudes a partir de longitudes más pequeñas. Al estimar las longitudes, recuerde que cualquier cosa puede ser una regla. Así, imagine que divide una cosa grande en cosas más pequeñas, estime la longitud de una de las cosas más pequeñas y multiplique para obtener la longitud de la cosa grande. Por ejemplo, para estimar la altura de un edificio, primero cuente cuántos pisos tiene. Luego, estime el tamaño de un solo piso; imagine cuántas personas tendrían que subirse a los hombros de otras para alcanzar el techo. Por último, estime la altura de una persona. El producto de estas tres estimaciones es su estimación de la altura del edificio. Resulta útil haber memorizado algunas escalas pertinentes de longitud para el tipo de problemas que estará resolviendo. Por ejemplo, conocer algunas de las escalas de longitud en la Figura 1.4 sería práctico. A veces también ayuda hacer esto a la inversa, es decir, para estimar la longitud de una cosa pequeña, imagine un montón de ellas formando una cosa más grande. Por ejemplo, para estimar el grosor de una hoja de papel, calcule el grosor de una pila de papel y luego divídala entre el número de páginas de la pila. Estas mismas estrategias de dividir las cosas grandes en cosas más pequeñas o de sumar las cosas más pequeñas para dar una cosa más grande pueden utilizarse a veces para estimar otras cantidades físicas, como las masas y los tiempos.
• Obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes. Cuando se trate de un área o un volumen de un objeto complejo, introduzca un modelo sencillo del objeto, como una esfera o una caja. A continuación, estime primero las dimensiones lineales (como el radio de la esfera o la longitud, ancho y altura de la caja) y utilice sus estimaciones para obtener el volumen o el área a partir de fórmulas geométricas estándar. Si tiene una estimación del área o del volumen de un objeto, también puede hacer lo contrario, es decir, utilizar fórmulas geométricas estándar para obtener una estimación de sus dimensiones lineales.
• Obtener masas a partir de volúmenes y densidades. Al estimar las masas de los objetos, serviría primero estimar su volumen y luego estimar su masa a partir de una estimación aproximada de su densidad media (recordemos que la densidad tiene la dimensión de la masa sobre longitud al cubo, por lo que la masa es densidad por volumen). Para ello, conviene recordar que la densidad del aire es de aproximadamente 1 kg/m³, la del agua es de 10³ kg/m³ y los sólidos más densos de la vida cotidiana alcanzan un máximo de 10⁴ kg/m³. Preguntarse si un objeto flota o se hunde en el aire o en el agua le da una estimación aproximada de su densidad. También se puede hacer a la inversa; si tiene una estimación de la masa de un objeto y su densidad, puede utilizar esto para obtener una estimación de su volumen.
• Si todo lo demás falla, limítelo. En cuanto a las cantidades físicas para las que no tiene mucha intuición, a veces lo mejor que puede hacer es pensar algo así: debe ser más grande que esto y más pequeño que aquello. Por ejemplo, supongamos que hay que calcular la masa de un alce. Tal vez tenga mucha experiencia con los alces y conozca de memoria su masa media. Si es así, genial. Pero para la mayoría de la gente, lo mejor que pueden hacer es pensar algo así: debe ser mayor que una persona (del orden de 10² kg) y menor que un auto (del orden de 10³ kg). Si necesita un solo número para un cálculo posterior, puede tomar la media geométrica del límite superior y del inferior, es decir, los multiplica y luego saca la raíz cuadrada. Para el ejemplo de la masa del alce, esto sería
  $${\left({10}^2\times {10}^3\right)}^{\mathrm{0,5}}={10}^{\mathrm{2,5}}={10}^{\mathrm{0,5}}\times {10}^2\approx 3\times {10}^2\text{kg}.$$
  Cuanto más estrechos sean los límites, mejor. Además, no hay reglas inquebrantables cuando se trata de la estimación. Si cree que el valor de la cantidad puede estar más cerca del límite superior que del inferior, puede aumentar su estimación de la media geométrica en un orden o dos de magnitud.
• Una cifra significativa está bien. No es necesario ir más allá de una cifra significativa (significant figure, sig. fig.) cuando se hacen cálculos para obtener una estimación. En la mayoría de los casos, el orden de magnitud es suficiente. La meta es solo obtener una cifra aproximada, así que mantenga la aritmética lo más sencilla posible.
• Pregúntese: ¿tiene esto algún sentido? Por último, compruebe si su respuesta es razonable. ¿Cómo se compara con los valores de otras cantidades con las mismas dimensiones que ya conoce o que puede buscar fácilmente? Si obtiene alguna respuesta descabellada (por ejemplo, si estima que la masa del océano Atlántico es mayor que la masa de la Tierra, o que algún lapso es mayor que la edad del universo), compruebe primero si sus unidades son correctas. A continuación, compruebe si hay errores aritméticos. Luego, replantee la lógica que ha utilizado para llegar a su respuesta. Si todo está bien, es posible que acabe por demostrar que alguna nueva idea ingeniosa es realmente falsa.

¿Cuántos afinadores de piano hay en Nueva York? ¿Cuántas hojas tiene ese árbol? Si está estudiando la fotosíntesis o está pensando en escribir una aplicación para teléfonos inteligentes destinada a los afinadores de pianos, las respuestas a estas preguntas pueden ser de gran interés para usted. Si no, probablemente no le importen las respuestas. Sin embargo, estos son exactamente los tipos de problemas de estimación que la gente de varias industrias tecnológicas ha estado pidiendo a los empleados potenciales para evaluar sus habilidades de razonamiento cuantitativo. Si la construcción de la intuición física y la evaluación de las afirmaciones cuantitativas no parecen razones suficientes para que practique los problemas de estimación, ¿qué le parece el hecho de que ser bueno en ellos podría conseguirle un trabajo bien remunerado?