10.7 Segunda ley de Newton para la rotación

Segunda ley de Newton para la rotación

Hasta ahora hemos hallado muchas contrapartes a los términos traslacionales utilizados a lo largo de este texto; la más reciente, el torque, es el análogo rotacional de la fuerza. Esto plantea la pregunta: ¿Existe una ecuación análoga a la segunda ley de Newton, $\Sigma \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a},$ que implique al torque y al movimiento rotacional? Para investigarlo, comenzamos con la segunda ley de Newton para una sola partícula que rota alrededor de un eje y ejecuta un movimiento circular. Ejerzamos una fuerza $\overrightarrow{F}$ sobre una masa puntual m que se encuentra a una distancia r de un punto de apoyo (Figura 10.37). La partícula está obligada a moverse en una trayectoria circular de radio fijo y la fuerza es tangente al círculo. Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la magnitud de la aceleración $a=F\text{/}m$ en dirección a $\overrightarrow{F}$. Recordemos que la magnitud de la aceleración tangencial es proporcional a la magnitud de la aceleración angular por $a=r\alpha$. Sustituyendo esta expresión en la segunda ley de Newton, obtenemos

Figura 10.37 Un objeto se apoya en una mesa horizontal sin fricción y está unido a un punto de apoyo por una cuerda que suministra fuerza centrípeta. Una fuerza $\overrightarrow{F}$ se aplica al objeto perpendicularmente al radio r, lo que provoca su aceleración en torno al punto de apoyo. La fuerza es perpendicular a r.

Multiplique ambos lados de esta ecuación por r,

Observe que el lado izquierdo de esta ecuación es el torque en torno al eje de rotación, donde r es el brazo de palanca y F es la fuerza, perpendicular a r. Recuerde que el momento de inercia de una partícula puntual es$I=m{r}^2$. Por lo tanto, el torque aplicado perpendicularmente a la masa puntual en la Figura 10.37 es

El torque sobre la partícula es igual al momento de inercia sobre el eje de rotación por la aceleración angular. Podemos generalizar esta ecuación a un cuerpo rígido que rota en torno a un eje fijo.

El término $I\alpha$ es una cantidad escalar y puede ser positiva o negativa (en el sentido contrario de las agujas del reloj o en el sentido de las agujas del reloj), dependiendo del signo del torque neto. Recuerde la convención de que la aceleración angular en el sentido contrario de las agujas del reloj es positiva. Así, si un cuerpo rígido rota en el sentido de las agujas del reloj y experimenta un torque positivo (en el sentido contrario de las agujas del reloj), la aceleración angular será positiva.

La Ecuación 10.25 es la segunda ley de Newton para la rotación y establece cómo relacionar el torque, el momento de inercia y la cinemática rotacional. Esto se denomina ecuación de la dinámica rotacional. Con esta ecuación, podemos resolver toda una clase de problemas relacionados con la fuerza y la rotación. Es lógico que la relación de la fuerza necesaria para hacer rotar un cuerpo incluya el momento de inercia, ya que es la cantidad que nos indica lo fácil o difícil que es cambiar el movimiento de rotación de un objeto.

Derivar la segunda ley de Newton para la rotación en forma vectorial

Como antes, cuando calculamos la aceleración angular, también podemos hallar el vector de torque. La segunda ley $\Sigma \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ nos indica la relación entre la fuerza neta y la forma de modificar el movimiento de traslación de un objeto. Tenemos un equivalente vectorial rotacional de esta ecuación, que se hallará al utilizar la Ecuación 10.7 y la Figura 10.8. La Ecuación 10.7 relaciona la aceleración angular con los vectores de posición y de aceleración tangencial:

Formamos el producto cruz de esta ecuación con $\overrightarrow{r}$ y utilizamos una identidad de producto cruz (tenga en cuenta que $\overrightarrow{r}·\overrightarrow{\alpha }=0$):

Ahora formamos el producto cruz de la segunda ley de Newton con el vector de posición $\overrightarrow{r},$

Al identificar el primer término de la izquierda como la suma de los torques, y $m{r}^2$ como el momento de inercia, llegamos a la segunda ley de Newton para la rotación en forma vectorial:

Esta ecuación es exactamente la Ecuación 10.25, pero con el torque y la aceleración angular como vectores. Un punto importante es que el vector de torque está en la misma dirección que la aceleración angular.

Aplicar la ecuación de la dinámica rotacional

Antes de aplicar la ecuación de la dinámica rotacional a algunas situaciones cotidianas, repasemos una estrategia general de resolución de problemas para utilizarla con esta categoría de problemas.

Ejemplo 10.16

Calcular el efecto de la distribución de masas en un carrusel

Piense en el padre que empuja un carrusel del parque infantil en la Figura 10.38. Ejerce una fuerza de 250 N en el borde del carrusel de 50,0 kg, que tiene un radio de 1,50 m. Calcule la aceleración angular producida (a) cuando no hay nadie en el carrusel y (b) cuando un niño de 18,0 kg se sienta a 1,25 m del centro. Considere que el propio carrusel es un disco uniforme con una fricción despreciable.

Figura 10.38 Un padre empuja un carrusel de un parque infantil por su borde y perpendicularmente a su radio para conseguir el máximo torque.

Estrategia

El torque neto viene dado directamente por la expresión ${\displaystyle \sum _i{\tau }_i}=I\alpha$, para resolver en $\alpha$, primero debemos calcular el torque neto $\tau$ (que es el mismo en ambos casos) y el momento de inercia I (que es mayor en el segundo caso).

Solución

1. El momento de inercia de un disco sólido en torno a este eje se da en la Figura 10.20 como
   $$\frac{1}{2}M{R}^2.$$
   Tenemos $M=\mathrm{50,0}\text{kg}$ y $R=\mathrm{1,50}\text{m}$, así que
   $$I=(\mathrm{0,500})(\mathrm{50,0}\text{kg}){(\mathrm{1,50}\text{m})}^2=\mathrm{56,25}{\text{kg-m}}^2.$$
   Para hallar el torque neto, observamos que la fuerza aplicada es perpendicular al radio y la fricción es despreciable, por lo que
   $$\tau =rF\text{sen}\theta =(\mathrm{1,50}\text{m})(\mathrm{250,0}\text{N})=\mathrm{375,0}\text{N-m}.$$
   Ahora, después de sustituir los valores conocidos, hallamos que la aceleración angular es
   $$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{\mathrm{375,0}\text{N-m}}{\mathrm{56,25}{\text{kg-m}}^2}=\mathrm{6,67}\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}.$$
2. Esperamos que la aceleración angular del sistema sea menor en esta parte porque el momento de inercia es mayor cuando el niño está en el carrusel. Para hallar el momento de inercia total I, primero hallamos el momento de inercia del niño (child, c) $I_{\text{c}}$ al calcular aproximadamente al niño como una masa puntual a una distancia de 1,25 m del eje. Luego
   $$I_{\text{c}}=m{R}^2=(\mathrm{18,0}\text{kg}){(\mathrm{1,25}\text{m})}^2=\mathrm{28,13}{\text{kg-m}}^2.$$
   El momento de inercia total es la suma de los momentos de inercia del carrusel y del niño (en torno al mismo eje):
   $$I=\mathrm{28,13}{\text{kg-m}}^2+\mathrm{56,25}{\text{kg-m}}^2=\mathrm{84,38}{\text{kg-m}}^2.$$
   Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación para α se obtiene
   $$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{\mathrm{375,0}\text{N-m}}{\mathrm{84,38}{\text{kg-m}}^2}=4\mathrm{0,44}\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}.$$

Importancia

La aceleración angular es menor cuando el niño está en el carrusel que cuando el carrusel está vacío, como era de esperar. Las aceleraciones angulares halladas son bastante grandes, en parte debido a que la fricción se consideró despreciable. Si, por ejemplo, el padre siguiera empujando perpendicularmente durante 2,00 s, daría al carrusel una velocidad angular de 13,3 rad/s cuando está vacío, pero apenas 8,89 rad/s cuando el niño está montado en este. En términos de revoluciones por segundo, estas velocidades angulares son 2,12 rev/s y 1,41 rev/s, respectivamente. El padre acabaría corriendo a unos 50 km/h en el primer caso.