10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional

Trabajo para el movimiento rotacional

Ahora, que hemos determinado cómo calcular la energía cinética para cuerpos rígidos en rotación, podemos proceder a analizar el trabajo realizado en un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo. La Figura 10.39 muestra un cuerpo rígido que ha rotado a través de un ángulo $d\theta$ de A a B bajo la influencia de una fuerza $\overrightarrow{F}$. La fuerza externa $\overrightarrow{F}$ se aplica al punto P, cuya posición es $\overrightarrow{r}$, y el cuerpo rígido se ve obligado a rotar alrededor de un eje fijo que es perpendicular a la página y pasa por O. El eje de rotación es fijo, por lo que el vector $\overrightarrow{r}$ se mueve en un círculo de radio r, y el vector $d\overrightarrow{s}$ es perpendicular a $\overrightarrow{r}.$

Figura 10.39 Un cuerpo rígido rota a través de un ángulo $d\theta$ de A a B por la acción de una fuerza externa $\overrightarrow{F}$ aplicada al punto P.

A partir de la Ecuación 10.2, tenemos

Así,

Observe que $d\overrightarrow{r}$ es cero porque $\overrightarrow{r}$ está fijado en el cuerpo rígido desde el origen O hasta el punto P. Al utilizar la definición de trabajo, obtenemos

donde utilizamos la identidad $\overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{b}·(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})$. Al observar que $(\overrightarrow{r}\times {\displaystyle \sum \overrightarrow{F}})={\displaystyle \sum \overrightarrow{\tau }}$, llegamos a la expresión del trabajo rotacional realizado en un cuerpo rígido:

El trabajo total realizado en un cuerpo rígido es la suma de los torques integrados en el ángulo a través del cual rota el cuerpo. El trabajo incremental es

donde hemos tomado el producto punto en la Ecuación 10.27, y dejamos solo los torques a lo largo del eje de rotación. En un cuerpo rígido, todas las partículas rotan a través del mismo ángulo; así, el trabajo de cada fuerza externa es igual al torque por el ángulo incremental común $d\theta$. La cantidad $\left({\displaystyle \sum _i{\tau }_i}\right)$ es el torque neto sobre el cuerpo debido a las fuerzas externas.

Del mismo modo, hallamos la energía cinética de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo al sumar la energía cinética de cada partícula que compone el cuerpo rígido. Dado que el teorema de trabajo-energía $W_i=\text{Δ}{K}_i$ es válido para cada partícula, es válido para la suma de las partículas y el cuerpo entero.

Damos una estrategia para utilizar esta ecuación al analizar el movimiento rotacional.

Veamos dos ejemplos y utilicemos el teorema de trabajo-energía para analizar el movimiento rotacional.

Ejemplo 10.18

Trabajo rotacional: Una polea

Una cuerda enrollada alrededor de la polea en la Figura 10.40 se hala con una fuerza constante hacia abajo $\overrightarrow{F}$ de 50 N de magnitud. El radio R y el momento de inercia I de la polea son 0,10 m y $\mathrm{2,5}\times {10}^{\mathrm{-3}}{\text{kg-m}}^2$, respectivamente. Si la cuerda no resbala, ¿cuál es la velocidad angular de la polea después de desenrollar 1,0 m de cuerda? Supongamos que la polea parte del reposo.

Figura 10.40 (a) Una cuerda se enrolla alrededor de una polea de radio R. (b) El diagrama de cuerpo libre.

Estrategia

Al observar el diagrama de cuerpo libre, vemos que ni $\overrightarrow{B}$, la fuerza en los rodamientos de la polea, ni$M\overrightarrow{g}$, el peso de la polea, ejerce un torque alrededor del eje rotacional, y por lo tanto no realiza ningún trabajo sobre la polea. Al rotar la polea a través de un ángulo $\theta ,$ $\overrightarrow{F}$ actúa a través de una distancia d tal que $d=R\theta .$

Solución

Dado que el torque debido a $\overrightarrow{F}$ tiene una magnitud $\tau =RF$, tenemos

$$W=\tau \theta =(FR)\theta =Fd.$$

Si la fuerza sobre la cuerda actúa a través de una distancia de 1,0 m, tenemos, a partir del teorema de trabajo-energía

$$\begin{array}{ccc}\hfill W_{AB}& =\hfill & K_B-K_A\hfill \\ \hfill Fd& =\hfill & \frac{1}{2}I{\omega }^2-0\hfill \\ \hfill (\mathrm{50,0}\text{N})(\mathrm{1,0}\text{m})& =\hfill & \frac{1}{2}(\mathrm{2,5}\times {10}^{\mathrm{-3}}{\text{kg-m}}^2){\omega }^2.\hfill \end{array}$$

Resolviendo para $\omega$, obtenemos

$$\omega =\mathrm{200,0}\text{rad}\text{/}\text{s}.$$

Potencia para el movimiento rotacional

La potencia siempre sale a relucir en los debates sobre las aplicaciones en ingeniería y física. La potencia para el movimiento rotacional es tan importante como la potencia en el movimiento lineal y puede derivarse de forma similar a la del movimiento lineal cuando la fuerza es una constante. La potencia lineal cuando la fuerza es una constante es $P=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v}$. Si el torque neto es constante en el desplazamiento angular, la Ecuación 10.25 se simplifica y el torque neto se puede sacar de la integral. En el siguiente análisis, asumimos que el torque neto es constante. Podemos aplicar al movimiento rotacional la definición de potencia derivada de Potencia. A partir de Trabajo y la energía cinética, la potencia instantánea (o simplemente la potencia) se define como la tasa de realización del trabajo,

Si tenemos un torque neto constante, la Ecuación 10.25 se convierte en $W=\tau \theta$ y la potencia es

o

Resumen de relaciones rotacionales y traslacionales

Las cantidades rotacionales y sus análogas lineales se resumen en tres tablas. La Tabla 10.5 resume las variables rotacionales para el movimiento circular alrededor de un eje fijo con sus análogas lineales y la ecuación de conexión, excepto para la aceleración centrípeta, que se mantiene por sí misma. La Tabla 10.6 resume las ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales. La Tabla 10.7 resume las ecuaciones dinámicas rotacionales junto con sus análogas lineales.