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  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Indicar las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple.
  • Determinar la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de un péndulo simple en términos de la longitud del péndulo y de la aceleración debido a la gravedad.
  • Definir el periodo de un péndulo físico.
  • Definir el periodo de un péndulo de torsión.

Los péndulos son de uso común. Los relojes de pie utilizan un péndulo para dar la hora, y un péndulo se puede usar para medir la aceleración debido a la gravedad. Para desplazamientos cortos, un péndulo es un oscilador armónico simple.

El péndulo simple

Un péndulo simple se define por tener una masa puntual, también conocida como masa pendular, la cual está suspendida de una cuerda de longitud L con masa insignificante (Figura 15.20). En este caso, las únicas fuerzas que actúan sobre la pesa son la fuerza de gravedad (es decir, el peso de la pesa) y la tensión de la cuerda. Se supone que la masa de la cuerda es insignificante en comparación con la masa de la pesa.

En la figura se muestra una barra horizontal. Una cuerda de longitud L se extiende desde la barra con un ángulo theta en sentido contrario a las agujas del reloj desde la vertical. La dirección vertical se indica con una línea discontinua que se extiende hacia abajo desde el punto en que la cuerda está atada a la barra. En el extremo inferior de la cuerda se ata una pesa circular de masa m. El arco que va de la masa a la vertical se indica con otra línea discontinua y tiene una longitud s. A lo largo de la línea de la cuerda hacia la barra se muestra una flecha roja que muestra el tiempo T de la oscilación de la pesa. Se muestra un sistema de coordenadas cerca de la pesa con la dirección y positiva alineada con la cuerda y señala hacia el punto de apoyo; y la dirección x positiva señala tangente al arco y se aleja de la posición de equilibrio. Una flecha azul desde la pesa hacia el apoyo, a lo largo de la cuerda, está identificada como F sub T. Una flecha roja desde la pesa que señala hacia abajo está identificada como w = m g. Una flecha roja que señala tangente al arco y hacia el equilibrio, en la dirección menos x, está identificada como menos m g seno theta. Una flecha roja en un ángulo theta en sentido contrario a las agujas del reloj desde w está identificada como menos m g coseno theta.
Figura 15.20 Un péndulo simple tiene una pesa de pequeño diámetro y una cuerda que tiene una masa muy pequeña pero es lo suficientemente fuerte como para no estirarse de forma apreciable. El desplazamiento lineal desde el equilibrio es s, la longitud del arco. También se muestran las fuerzas sobre la pesa, lo que resulta en una fuerza neta de m g sen θ m g sen θ hacia la posición de equilibrio, es decir, una fuerza restauradora.

Considere el torque en el péndulo. La fuerza que proporciona el torque restaurador es el componente del peso de la masa pendular que actúa a lo largo de la longitud del arco. El torque es la longitud de la cuerda L por el componente de la fuerza neta perpendicular al radio del arco. El signo menos indica que el torque actúa en dirección opuesta al desplazamiento angular:

τ=L(mgsenθ);Iα=L(mgsenθ);Id2θdt2=L(mgsenθ);mL2d2θdt2=L(mgsenθ);d2θdt2=gLsenθ.τ=L(mgsenθ);Iα=L(mgsenθ);Id2θdt2=L(mgsenθ);mL2d2θdt2=L(mgsenθ);d2θdt2=gLsenθ.

La solución de esta ecuación diferencial implica un cálculo avanzado, y está fuera del alcance de este texto. Pero tenga en cuenta que para ángulos pequeños (menos de 15 grados), senθsenθ y θθ difieren en menos de un 1 %, por lo que podemos utilizar la aproximación de ángulo pequeño senθθ.senθθ. El ángulo θθ describe la posición del péndulo. El uso de la aproximación de ángulo pequeño da una solución aproximada para ángulos pequeños,

d2θdt2=gLθ.d2θdt2=gLθ.
15.17

Dado que esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación de SHM, la solución es fácil de calcular. La frecuencia angular es

ω=gLω=gL
15.18

y el periodo es

T=2πLg.T=2πLg.
15.19

El periodo de un péndulo simple depende de su longitud y de la aceleración debido a la gravedad. El periodo es completamente independiente de otros factores, como masa y desplazamiento máximo. Como en el caso de los osciladores armónicos simples, el periodo (T) de un péndulo es casi independiente de la amplitud, especialmente si θθ es inferior a unos 15°.15°. Incluso relojes de péndulo simple se pueden ajustar con precisión y seguir siendo exactos.

Note la dependencia de T con respecto a g. Si se conoce con precisión la longitud de un péndulo, se puede utilizar para medir la aceleración debido a la gravedad, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 15.3

Medición de la aceleración debido a la gravedad mediante el periodo de un péndulo

¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad en una región donde un péndulo simple de 75,000 cm de longitud tiene un periodo de 1,7357 s?

Estrategia

Se nos pide calcular g dado el periodo (T) y la longitud L de un péndulo. Podemos resolver T=2πLgT=2πLg para g, suponiendo únicamente que el ángulo de desviación es menor de 15°15°.

Solución

  1. Cuadrado T=2πLgT=2πLg y resuelva para g:
    g=4π2LT2.g=4π2LT2.
  2. Sustituya los valores conocidos en la nueva ecuación:
    g=4π20,75000m(1,7357s)2.g=4π20,75000m(1,7357s)2.
  3. Calcule para hallar g:
    g=9,8281m/s2.g=9,8281m/s2.

Importancia

Este método para determinar g puede ser muy preciso, por lo que la longitud y el periodo se dan con cinco dígitos en este ejemplo. Para la precisión de la aproximación senθθsenθθ para ser mejor que la precisión de la longitud y el periodo del péndulo, el ángulo máximo de desplazamiento debe mantenerse por debajo de 0,5°0,5° aproximadamente.

Compruebe Lo Aprendido 15.4

Un ingeniero construye dos péndulos simples. Ambos están suspendidos de pequeños cables fijados al techo de una habitación. Cada péndulo se sitúa a 2 cm del suelo. El péndulo 1 tiene una pesa con una masa de 10 kg. El péndulo 2 tiene una pesa con una masa de 100 kg. Describa cómo diferirá el movimiento de los péndulos si ambas pesas están desplazadas por 12°12°.

Péndulo físico

Cualquier objeto puede oscilar como un péndulo. Piense en una taza de café colgada en un gancho en la despensa. Si la taza recibe un golpe, oscila de un lado a otro como un péndulo hasta que las oscilaciones se detienen. Hemos descrito un péndulo simple como una masa puntual y una cuerda. Un péndulo físico es cualquier objeto cuyas oscilaciones son similares a las del péndulo simple, pero no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda, y la distribución de la masa se debe incluir en la ecuación de movimiento.

En cuanto al péndulo simple, la fuerza restauradora del péndulo físico es la fuerza de la gravedad. En el péndulo simple la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de la masa pendular. En el caso del péndulo físico, la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) de un objeto. El objeto oscila alrededor de un punto O. Considere un objeto de forma genérica como el que se muestra en la Figura 15.21.

Un dibujo de un péndulo físico. En la figura, el péndulo es un objeto de forma irregular. El centro de masa, CM, está a una distancia L del punto de apoyo, O. El centro de masa traza un arco circular, centrado en O. La línea que va de O a L forma un ángulo theta en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la vertical. Las tres fuerzas se representan con flechas rojas en el centro de masa. La fuerza m g señala hacia abajo. Sus componentes son menos m g seno theta, el cual señala tangente al arco trazado por el centro de masa y m g coseno theta, el cual señala radialmente hacia afuera.
Figura 15.21 Un péndulo físico es cualquier objeto que oscila como un péndulo, pero que no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda. La fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) y proporciona la fuerza restauradora que hace que el objeto oscile. El signo menos en el componente del peso que proporciona la fuerza restauradora está presente porque la fuerza actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente θ θ .

Cuando un péndulo físico está colgado de un punto pero es libre de girar, lo hace debido al torque aplicado en el CM, producido por el componente del peso del objeto que actúa tangente al movimiento del CM. Tomando la dirección contraria a las agujas del reloj como positiva, el componente de la fuerza gravitacional que actúa tangente al movimiento es mgsenθmgsenθ. El signo menos es el resultado de la fuerza restauradora que actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente. Recuerde que el torque es igual a τ=r×Fτ=r×F. La magnitud del torque es igual a la longitud del brazo del radio por el componente tangencial de la fuerza aplicada, |τ|=rFsenθ|τ|=rFsenθ. Aquí, la longitud L del brazo del radio es la distancia entre el punto de rotación y el CM. Para analizar el movimiento, empiece con el torque neto. Al igual que el péndulo simple, considere solo los ángulos pequeños para que senθθsenθθ. Recuerde del capítulo Rotación de eje fijo sobre rotación que el torque neto es igual al momento de inercia I=r2dmI=r2dm por la aceleración angular α,α, donde α=d2θdt2α=d2θdt2:

Iα=τneto=L(mg)senθ.Iα=τneto=L(mg)senθ.

Al usar la aproximación de ángulo pequeño y reordenar:

Iα=L(mg)θ;Id2θdt2=L(mg)θ; d2θdt2=(mgLI)θ.Iα=L(mg)θ;Id2θdt2=L(mg)θ; d2θdt2=(mgLI)θ.

Una vez más, la ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a menos una constante (mgLI)(mgLI) por la posición. La solución es

θ(t)=Θcos(ωt+ϕ),θ(t)=Θcos(ωt+ϕ),

donde ΘΘ es el desplazamiento angular máximo. La frecuencia angular es

ω=mgLI.ω=mgLI.
15.20

Por lo tanto, el periodo es

T=2πImgL.T=2πImgL.
15.21

Observe que para un péndulo simple, el momento de inercia es I=r2dm=mL2I=r2dm=mL2 y el periodo se reduce a T=2πLgT=2πLg.

Ejemplo 15.4

Cómo reducir el vaivén de un rascacielos

En condiciones extremas, los rascacielos pueden tener un vaivén de hasta dos metros con una frecuencia de hasta 20,00 Hz debido a vientos fuertes o a actividad sísmica. Varias compañías han desarrollado péndulos físicos que se colocan en lo alto de los rascacielos. Cuando el rascacielos se inclina hacia la derecha, el péndulo lo hace hacia la izquierda, lo que reduce el vaivén. Suponiendo que las oscilaciones tienen una frecuencia de 0,50 Hz, diseñe un péndulo que consista en una viga larga, de densidad constante, con una masa de 100 toneladas métricas y un punto de apoyo en un extremo de la viga. ¿Cuál debería ser la longitud de la viga? La figura representa un edificio alto con una columna en el techo y una varilla larga de longitud H que se balancea en un punto de apoyo cerca de la parte superior de la columna.

Estrategia

Se nos pide que hallemos la longitud del péndulo físico con una masa conocida. Primero tenemos que hallar el momento de inercia de la viga. A continuación, podemos utilizar la ecuación del periodo de un péndulo físico para calcular la longitud.

Solución

  1. Calcule el momento de inercia del CM:
  2. Use el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno al punto de rotación
    I=ICM+L42M=112ML2+14ML2=13ML2.I=ICM+L42M=112ML2+14ML2=13ML2.
  3. El periodo de un péndulo físico tiene un periodo de T=2πImgLT=2πImgL. Use el momento de inercia para resolver la longitud L:
    T=2πIMgL=2π13ML2MgL=2πL3g; L=3g(T2π)2=3(9,8ms2)(2s2π)2=2,98m.T=2πIMgL=2π13ML2MgL=2πL3g; L=3g(T2π)2=3(9,8ms2)(2s2π)2=2,98m.
  4. Esta longitud L es desde el centro de masa hasta el eje de rotación, que es la mitad de la longitud del péndulo. Por lo tanto, la longitud H del péndulo es:
    H=2L=5,96mH=2L=5,96m

Importancia

Hay muchas formas de reducir las oscilaciones, entre las que se encuentran modificar la forma de los rascacielos, utilizar varios péndulos físicos y emplear amortiguadores de masa sintonizada.

Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido por un cable o resorte ligero (Figura 15.22). Cuando el cuerpo se retuerce un poco en un pequeño ángulo máximo (Θ)(Θ) y liberado del reposo, el cuerpo oscila entre (θ=+Θ)(θ=+Θ) y (θ=Θ)(θ=Θ). El torque restaurador es suministrado por el corte de la cuerda o el cable.

En esta figura se ilustra un péndulo de torsión. El péndulo consiste en un disco horizontal que cuelga del techo mediante una cuerda. La cuerda se une al disco en su centro, en el punto O. El disco y la cuerda pueden oscilar en un plano horizontal entre los ángulos más theta y menos theta. La posición de equilibrio se encuentra entre estas, en theta = 0.
Figura 15.22 Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido mediante una cuerda o un cable. El cuerpo rígido oscila entre θ = + Θ θ = + Θ y θ = Θ θ = Θ .

El torque restaurador se puede modelar como proporcional al ángulo:

τ=κθ.τ=κθ.

La variable kappa (κ)(κ) se conoce como la constante de torsión del cable o cuerda. El signo menos indica que el torque restaurador actúa en dirección opuesta al aumento del desplazamiento angular. El torque neto es igual al momento de inercia por la aceleración angular:

Id2θdt2=κθ; d2θdt2=κIθ.Id2θdt2=κθ; d2θdt2=κIθ.

Esta ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a una constante negativa por la posición. Esto se parece mucho a la ecuación de movimiento del SHM d2xdt2=kmxd2xdt2=kmx, donde se halló que el periodo era T=2πmkT=2πmk. Por lo tanto, el periodo del péndulo de torsión se puede calcular mediante

T=2πIκ.T=2πIκ.
15.22

Las unidades de la constante de torsión son [κ]=N – m=(kgms2)m=kgm2s2[κ]=N – m=(kgms2)m=kgm2s2 y las unidades para el momento de inercia son [I]=kg – m2,[I]=kg – m2, que muestran que la unidad del periodo es el segundo.

Ejemplo 15.5

Medición de la constante de torsión de una cuerda

Una varilla tiene una longitud de l=0,30ml=0,30m y una masa de 4,00 kg. Se fija una cuerda al CM de la varilla y el sistema se cuelga del techo (Figura 15.23). La varilla se desplaza 10 grados desde la posición de equilibrio y se libera del reposo. La varilla oscila con un periodo de 0,5 s. ¿Cuál es la constante de torsión κκ?
La figura a muestra una varilla horizontal, de 30,0 centímetros de longitud y 4,00 kilogramos de masa, que cuelga del techo mediante una cuerda. La cuerda se fija en el centro de la varilla. La varilla gira con la cuerda en el plano horizontal. La figura b muestra la varilla con los detalles necesarios para hallar su momento de inercia. La longitud de la varilla, de extremo a extremo, es L y su masa total es M. Tiene una densidad lineal de masa lambda igual a d m d x que también es igual a M sobre L. Se destaca un pequeño segmento de la varilla que tiene una longitud d x a una distancia x del centro de la varilla. La cuerda está atada en el centro de la varilla.
Figura 15.23 (a) Una varilla suspendida del techo mediante una cuerda. (b) Halle el momento de inercia de la varilla.

Estrategia

Se nos pide que hallemos la constante de torsión de la cuerda. Primero tenemos que hallar el momento de inercia.

Solución

  1. Calcule el momento de inercia del CM:
    ICM=x2dm=L/2+L/2x2λdx=λ[x33]L/2+L/2=λ2L324=(ML)2L324=112ML2.ICM=x2dm=L/2+L/2x2λdx=λ[x33]L/2+L/2=λ2L324=(ML)2L324=112ML2.
  2. Calcule la constante de torsión mediante la ecuación del periodo:
    T=2πIκ;κ=I(2πT)2=(112ML2)(2πT)2;=(112(4,00kg)(0,30m)2)(2π0,50s)2=4,73N·m.T=2πIκ;κ=I(2πT)2=(112ML2)(2πT)2;=(112(4,00kg)(0,30m)2)(2π0,50s)2=4,73N·m.

Importancia

Al igual que la constante de fuerza del sistema de un bloque y un resorte, cuanto mayor sea la constante de torsión, más corto será el periodo.
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