William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Resumen

2.1 Escalares y vectores

La cantidad vectorial es cualquier cantidad que tiene magnitud y dirección, como el desplazamiento o la velocidad. Las cantidades vectoriales se representan mediante objetos matemáticos llamados vectores.
Geométricamente, los vectores se representan mediante flechas, con el extremo marcado por una punta de flecha. La longitud del vector es su magnitud, que es un escalar positivo. En un plano, la dirección de un vector viene dada por el ángulo que forma el vector con una dirección de referencia, a menudo un ángulo con la horizontal. El ángulo direccional de un vector es un escalar.
Dos vectores son iguales si y solo si tienen las mismas magnitudes y direcciones. Los vectores paralelos tienen los mismos ángulos direccionales, aunque pueden tener diferentes magnitudes. Los vectores antiparalelos tienen ángulos direccionales que difieren en $180 °$ . Los vectores ortogonales tienen ángulos direccionales que difieren en $90 °$ .
Cuando un vector se multiplica por un escalar, el resultado es otro vector de longitud diferente a la del vector original. La multiplicación por un escalar positivo no cambia la dirección original; solo afecta la magnitud. La multiplicación por un escalar negativo invierte el sentido original. El vector resultante es antiparalelo al vector original. La multiplicación por un escalar es distributiva. Los vectores pueden dividirse entre escalares distintos a cero, pero no pueden dividirse entre vectores.
Dos o más vectores pueden sumarse para formar otro vector. La suma vectorial se denomina vector resultante. Podemos sumar vectores a vectores o escalares a escalares, pero no podemos sumar escalares a vectores. La suma de vectores es conmutativa y asociativa.
Para construir geométricamente un vector resultante de dos vectores en un plano, utilizamos la regla del paralelogramo. Para construir geométricamente un vector resultante de muchos vectores en un plano, utilizamos el método de la cola a la cabeza.

2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector

Los vectores se describen en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas. En dos dimensiones (en un plano), los vectores tienen dos componentes. En tres dimensiones (en el espacio), los vectores tienen tres componentes.
Un componente vectorial de un vector es su parte en la dirección de un eje. El componente vectorial es el producto del vector unitario de un eje por su componente escalar a lo largo de dicho eje. Un vector es la resultante de sus componentes vectoriales.
Las componentes escalares de un vector son diferencias de coordenadas, donde las coordenadas del origen se restan de las coordenadas del punto final de un vector. En un sistema rectangular, la magnitud de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
En un plano, la dirección de un vector viene dada por el ángulo que tiene el vector con el eje de la x positiva. Este ángulo direccional se mide en sentido contrario a las agujas del reloj. El componente escalar x de un vector puede expresarse como el producto de su magnitud por el coseno de su ángulo direccional, y el componente escalar y puede expresarse como el producto de su magnitud por el seno de su ángulo de dirección.
En un plano, hay dos sistemas de coordenadas equivalentes. El sistema de coordenadas cartesianas está definido por vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$ a lo largo del eje de la x y del eje de la y, respectivamente. El sistema de coordenadas polares está definido por el vector unitario radial $\hat{r}$ , que da la dirección desde el origen, y un vector unitario $\hat{t}$ , que es perpendicular (ortogonal) a la dirección radial.

2.3 Álgebra de vectores

Los métodos analíticos del álgebra vectorial nos permiten encontrar las resultantes de las sumas o diferencias de vectores sin tener que dibujarlas. Los métodos analíticos de suma de vectores son exactos, al contrario que los métodos gráficos, que son aproximados.
Los métodos analíticos del álgebra vectorial se utilizan habitualmente en mecánica, electricidad y magnetismo. Son importantes herramientas matemáticas de la física.

2.4 Productos de los vectores

Hay dos tipos de multiplicación para los vectores. Un tipo de multiplicación es el producto escalar, también conocido como producto punto. El otro tipo de multiplicación es el producto vectorial, también conocido como producto cruz. El producto escalar de vectores es un número (escalar). El producto vectorial de vectores es un vector.
Ambos tipos de multiplicación tienen la propiedad distributiva, pero solo el producto escalar tiene la propiedad conmutativa. El producto vectorial tiene la anticonmutatividad, lo que significa que, cuando cambiamos el orden en que se multiplican dos vectores, el resultado adquiere un signo menos.
El producto escalar de dos vectores se obtiene multiplicando sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos. El producto escalar de vectores ortogonales es igual a cero; el producto escalar de vectores antiparalelos es negativo.
El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos. Su magnitud se obtiene multiplicando sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellas. La dirección del producto vectorial se puede determinar mediante la regla de la mano derecha. El producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos es igual a cero. La magnitud del producto vectorial es mayor para los vectores ortogonales.
El producto escalar de vectores se utiliza para encontrar ángulos entre vectores y en las definiciones de magnitudes físicas escalares derivadas, como el trabajo o la energía.
El producto cruz de vectores se utiliza en las definiciones de cantidades físicas vectoriales derivadas, como el torque o la fuerza magnética, y en la descripción de rotaciones.