William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Calcular el vector de aceleración dada la función velocidad en notación vectorial unitaria.
Describir el movimiento de una partícula con una aceleración constante en tres dimensiones.
Utilizar las ecuaciones de movimiento unidimensional a lo largo de ejes perpendiculares para resolver un problema en dos o tres dimensiones con una aceleración constante.
Expresar la aceleración en notación vectorial unitaria.

Aceleración instantánea

Además de obtener los vectores de desplazamiento y velocidad de un objeto en movimiento, a menudo queremos conocer su vector de aceleración en cualquier punto del tiempo a lo largo de su trayectoria. Este vector de aceleración es la aceleración instantánea y se puede obtener a partir de la derivada con respecto al tiempo de la función velocidad, como hemos visto en un capítulo anterior. La única diferencia en dos o tres dimensiones es que ahora son cantidades vectoriales. Tomando la derivada con respecto al tiempo $\vec{v} (t),$ encontramos

\vec{a} (t) = lim_{t \to 0} \frac{\vec{v} (t + Δ t) - \vec{v} (t)}{Δ t} = \frac{d \vec{v} (t)}{d t} .

4.8

La aceleración en términos de componentes es

\vec{a} (t) = ​ \frac{d v_{x} (t)}{d t} \hat{i} + \frac{d v_{y} (t)}{d t} \hat{j} + \frac{d v_{z} (t)}{d t} \hat{k} .

4.9

Además, como la velocidad es la derivada de la función de posición, podemos escribir la aceleración en términos de la segunda derivada de la función de posición:

\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x (t)}{d t^{2}} \hat{i} + \frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} \hat{j} + \frac{d^{2} z (t)}{d t^{2}} \hat{k} .

4.10

Ejemplo 4.4

Encontrar un vector de aceleración

Una partícula tiene una velocidad de

\vec{v} (t) = 5,0 t \hat{i} + t^{2} \hat{j} - 2,0 t^{3} \hat{k} m/s .

(a) ¿Cuál es la función de aceleración? (b) ¿Cuál es el vector de aceleración en t = 2,0 s? Halle su magnitud y dirección.

Solución

(a) Tomamos la primera derivada con respecto al tiempo de la función de velocidad para encontrar la aceleración. La derivada se toma componente por componente:

\vec{a} (t) = 5,0 \hat{i} + 2,0 t \hat{j} - 6,0 t^{2} \hat{k} m/ s^{2} .

(b) Evaluar $\vec{a} (2,0 s) = 5,0 \hat{i} + 4,0 \hat{j} - 24,0 \hat{k} m/ s^{2}$ nos da la dirección en notación vectorial unitaria. La magnitud de la aceleración es $| \vec{a} (2,0 s) | = \sqrt{{5,0}^{2} + {4,0}^{2} + {(-24,0)}^{2}} = 24,8 m/ s^{2} .$

Importancia

En este ejemplo encontramos que la aceleración tiene una dependencia del tiempo y es cambiante a lo largo del movimiento. Consideremos una función de velocidad diferente para la partícula.

Ejemplo 4.5

Encontrar la aceleración de una partícula

Una partícula tiene una función de posición

\vec{r} (t) = (10 t - t^{2}) \hat{i} + 5 t \hat{j} + 5 t ​ \hat{k} m .

(a) ¿Cuál es la velocidad? (b) ¿Cuál es la aceleración? (c) Describa el movimiento desde t = 0 s.

Estrategia

Podemos entender el problema al observar la función de posición. Es lineal en y y z; por ende, sabemos que la aceleración en estas direcciones es cero cuando tomamos la segunda derivada. Además, observe que la posición en la dirección de la x es cero para t = 0 s y t = 10 s.

Solución

(a) Tomando la derivada con respecto al tiempo de la función de posición, encontramos

\vec{v} (t) = (10 - 2 t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k} m/s .

La función de velocidad es lineal en el tiempo en la dirección de la x y es constante en las direcciones de la y y la z.

(b) Tomando la derivada de la función de velocidad, encontramos

\vec{a} (t) = −2 \hat{i} {m/s}^{2} .

El vector de aceleración es una constante en la dirección de la x negativa.

(c) La trayectoria de la partícula puede verse en la Figura 4.9. Veamos primero las direcciones y y z. La posición de la partícula aumenta constantemente en función del tiempo, a una velocidad constante en estas direcciones. Sin embargo, en la dirección de la x, la partícula sigue una trayectoria en la x positiva hasta t = 5 s, cuando invierte la dirección. Lo sabemos al observar la función de velocidad, que se vuelve cero en este momento y negativa a partir de entonces. También lo sabemos porque la aceleración es negativa y constante, es decir, la partícula desacelera o acelera en sentido negativo. La posición de la partícula alcanza los 25 m, donde entonces invierte la dirección y comienza a acelerar en la dirección de la x negativa. La posición llega a cero en t = 10 s.

Se muestra un sistema de coordenadas de x y z. Todos los ejes muestran la distancia en metros y van de -50 a 50 metros. Se muestra una serie de 10 puntos rojos, donde el sexto punto está marcado como t = 6 s y el décimo como t = 10 s. La serie de puntos rojos comienza en el origen y se curva hacia arriba (tanto y como z aumentan con el tiempo). Las líneas verticales discontinuas conectan los puntos rojos con una serie de puntos azules en el plano de x y. Los puntos azules están todos en el primer cuadrante (la x y la y positivas). Los puntos están espaciados regularmente, a lo largo de la coordenada de la y, mientras que la coordenada de la x comienza en 0, aumenta, alcanza un máximo de x = 25 m en t = 5, y luego disminuye de nuevo a x = 0 en t 10 s.

Figura 4.9 La partícula comienza en el punto (x, y, z) = (0, 0, 0) con el vector de posición

\vec{r} = 0 .

Se muestra la proyección de la trayectoria sobre el plano xy. Los valores de la y y la z aumentan linealmente en función del tiempo, mientras que la x tiene un punto de inflexión en t = 5 s y 25 m, cuando invierte su dirección. En este punto, el componente x de la velocidad se vuelve negativo. En t = 10 s, la partícula vuelve a estar a 0 m en la dirección x.

Importancia

Al graficar la trayectoria de la partícula, podemos entender mejor su movimiento, dado por los resultados numéricos de las ecuaciones cinemáticas.

Compruebe Lo Aprendido 4.2

Supongamos que la función de aceleración tiene la forma $\vec{a} (t) = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} m/ s^{2},$ donde a, b y c son constantes. ¿Qué se puede decir de la forma funcional de la función de velocidad?

Aceleración constante

El movimiento multidimensional con aceleración constante puede tratarse de la misma manera que se mostró en el capítulo anterior para el movimiento unidimensional. Anteriormente demostramos que el movimiento tridimensional es equivalente a tres movimientos unidimensionales, cada uno a lo largo de un eje perpendicular a los otros. Para desarrollar las ecuaciones pertinentes en cada dirección, consideremos el problema bidimensional de una partícula que se mueve en el plano xy con aceleración constante; se ignora por el momento el componente z. El vector de aceleración es

\vec{a} = a_{0 x} \hat{i} + a_{0 y} \hat{j} .

Cada componente del movimiento tiene un conjunto separado de ecuaciones semejantes a la Ecuación 3.10-Ecuación 3.14 del capítulo anterior sobre el movimiento unidimensional. Solo mostramos las ecuaciones de posición y velocidad en las direcciones de la x y la y. Se podría escribir un conjunto similar de ecuaciones cinemáticas para el movimiento en la dirección z:

x (t) = x_{0} + {(v_{x})}_{avg} t

4.11

v_{x} (t) = v_{0 x} + a_{x} t

4.12

x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

4.13

v_{x}^{2} (t) = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0})

4.14

y (t) = y_{0} + {(v_{y})}_{avg} t

4.15

v_{y} (t) = v_{0 y} + a_{y} t

4.16

y (t) = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4.17

v_{y}^{2} (t) = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} (y - y_{0}) .

4.18

Aquí el subíndice 0 denota la posición o velocidad inicial. La Ecuación 4.11 a la Ecuación 4.18 puede sustituirse en la Ecuación 4.2 y la Ecuación 4.5 sin el componente z para obtener el vector de posición y el vector de velocidad en función del tiempo en dos dimensiones:

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} y \vec{v} (t) = v_{x} (t) \hat{i} + v_{y} (t) \hat{j} .

El siguiente ejemplo ilustra un uso práctico de las ecuaciones cinemáticas en dos dimensiones.

Ejemplo 4.6

Una esquiadora

La Figura 4.10 muestra a una esquiadora moviéndose con una aceleración de

2,1 m/ s^{2}

por una pendiente de

15 °

en t = 0. Con el origen del sistema de coordenadas en la parte delantera del albergue, su posición y velocidad iniciales son

\vec{r} (0) = (75,0 \hat{i} - 50,0 \hat{j}) m

y

\vec{v} (0) = (4,1 \hat{i} - 1,1 \hat{j}) m/s .

(a) ¿Cuáles son los componentes x y y de la posición y velocidad de la esquiadora en función del tiempo? (b) ¿Cuáles son su posición y velocidad en t = 10,0 s?

Se muestra una ilustración de una esquiadora en un sistema de coordenadas x y. La esquiadora se mueve a lo largo de una línea que está 15 grados por debajo de la dirección horizontal de la x y tiene una aceleración de a = 2,1 metros por segundo al cuadrado también dirigida en su dirección de movimiento. La aceleración se representa como una flecha púrpura.

Figura 4.10 Una esquiadora tiene una aceleración de

2,1 {m/s}^{2}

por una pendiente de

15 ° .

El origen del sistema de coordenadas está en el albergue de esquí.

Estrategia

Dado que estamos evaluando los componentes de las ecuaciones de movimiento en las direcciones x y y, necesitamos encontrar los componentes de la aceleración y ponerlos en las ecuaciones cinemáticas. Los componentes de la aceleración se encuentran en referencia al sistema de coordenadas en la Figura 4.10. Entonces, al agregar los componentes de la posición y la velocidad iniciales en las ecuaciones de movimiento, podemos resolver su posición y velocidad en un tiempo t posterior.

Solución

(a) El origen del sistema de coordenadas se encuentra en la cima de la colina con el eje de la y verticalmente hacia arriba y el eje de la x horizontal. Al observar la trayectoria de la esquiadora, el componente x de la aceleración es positivo y el componente y es negativo. Dado que el ángulo es

15 °

por la pendiente, encontramos

a_{x} = (2,1 m/ s^{2}) cos (15 °) = 2,0 m/ s^{2}

a_{y} = (−2,1 m/ s^{2}) sen 15 ° = −0,54 m/ s^{2} .

Al agregar la posición y la velocidad iniciales en la Ecuación 4.12 y la Ecuación 4.13 para x, tenemos

x (t) = 75,0 m + (4,1 m/s) t + \frac{1}{2} (2,0 m/ s^{2}) t^{2}

v_{x} (t) = 4,1 m/s + (2,0 m/ s^{2}) t .

Para y, tenemos

y (t) = −50,0 m + (−1,1 m/s) t + \frac{1}{2} (−0,54 m/ s^{2}) t^{2}

v_{y} (t) = −1,1 m/s + (−0,54 m/ s^{2}) t .

(b) Ahora que tenemos las ecuaciones de movimiento para x y y en función del tiempo, podemos evaluarlas en t = 10,0 s:

x (10,0 s) = 75,0 m + (4,1 m/ s^{2}) (10,0 s) + \frac{1}{2} (2,0 m/ s^{2}) {(10,0 s)}^{2} = 216,0 m

v_{x} (10,0 s) = 4,1 m/s + (2,0 m/ s^{2}) (10,0 s) = 24,1 m /s

y (10,0 s) = −50,0 m + (−1,1 m/s) (10,0 s) + \frac{1}{2} (−0,54 m/ s^{2}) {(10,0 s)}^{2} = -88,0 m

v_{y} (10,0 s) = −1,1 m/s + (−0,54 m/ s^{2}) (10,0 s) = -6,5 m/s .

La posición y la velocidad en t = 10,0 s son, finalmente,

\vec{r} (10,0 s) = (216,0 \hat{i} - 88,0 \hat{j}) m

\vec{v} (10,0 s) = (24,1 \hat{i} - 6,5 \hat{j}) m/s .

La magnitud de la velocidad de la esquiadora a los 10,0 s es de 25 m/s, lo que supone 60 mi/h.

Importancia

Es útil saber que, dadas las condiciones iniciales de posición, velocidad y aceleración de un objeto, podemos encontrar la posición, velocidad y aceleración en cualquier otro momento.

Con la Ecuación 4.8 y la Ecuación 4.10 hemos completado el conjunto de expresiones para la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en dos o tres dimensiones. Si las trayectorias de los objetos se parecen a las "flechas rojas" de la imagen que abre el capítulo, las expresiones para la posición, la velocidad y la aceleración pueden ser bastante complicadas. En las siguientes secciones examinaremos dos casos especiales de movimiento en dos y tres dimensiones, mediante el análisis del movimiento de proyectil y del movimiento circular.

Interactivo

En esta página web de la Universidad de Colorado Boulder, puede explorar la posición, velocidad y aceleración de una mariquita con una simulación interactiva, que le permite cambiar estos parámetros.

4.2 Vector de aceleración

Aceleración instantánea

Encontrar un vector de aceleración

Solución

Importancia

Encontrar la aceleración de una partícula

Estrategia

Solución

Importancia

Aceleración constante

Una esquiadora

Estrategia

Solución

Importancia