William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Utilizar el movimiento unidimensional en direcciones perpendiculares para analizar el movimiento de proyectil.
Calcular el alcance, el tiempo de vuelo y la altura máxima de un proyectil que se lanza e impacta en una superficie plana y horizontal.
Encontrar el tiempo de vuelo y la velocidad de impacto de un proyectil que aterriza a una altura diferente a la del lanzamiento.
Calcular la trayectoria de un proyectil.

El movimiento de proyectil es el movimiento de un objeto lanzado o proyectado al aire, sujeto únicamente a la aceleración como resultado de la gravedad. Las aplicaciones del movimiento de proyectil en física e ingeniería son numerosas. Algunos ejemplos son los meteoritos al entrar en la atmósfera terrestre, los fuegos artificiales y el movimiento de cualquier pelota en los deportes. Dichos objetos se denominan proyectiles y su recorrido se denomina trayectoria. El movimiento de los objetos que caen, tal y como se explica en Movimiento rectilíneo, es un tipo simple de movimiento de proyectil unidimensional en el que no hay movimiento horizontal. En esta sección, consideramos el movimiento bidimensional de proyectil, y nuestro tratamiento descarta los efectos de la resistencia del aire.

El hecho más importante que hay que recordar aquí es que los movimientos a lo largo de los ejes perpendiculares son independientes y, por tanto, pueden analizarse por separado. Ya hablamos de este hecho en Vectores de desplazamiento y velocidad, donde vimos que los movimientos verticales y horizontales son independientes. La clave para analizar el movimiento bidimensional de proyectil es dividirlo en dos movimientos: uno a lo largo del eje horizontal y otro a lo largo del vertical. (Esta elección de ejes es la más sensata porque la aceleración resultante de la gravedad es vertical; por lo tanto, no hay aceleración a lo largo del eje horizontal cuando la resistencia del aire es despreciable). Como es habitual, llamamos al eje horizontal eje de la x y al eje vertical eje de la y. No es necesario que utilicemos esta elección de ejes; simplemente es conveniente en el caso de la aceleración gravitatoria. En otros casos podemos elegir un conjunto diferente de ejes. La Figura 4.11 ilustra la notación para el desplazamiento, donde definimos $\vec{s}$ como el desplazamiento total, y $\vec{x}$ y $\vec{y}$ son sus vectores componentes a lo largo de los ejes horizontal y vertical, respectivamente. Las magnitudes de estos vectores son s, x y y.

Ilustración de un jugador de fútbol pateando un balón. El pie del futbolista está en el origen de un sistema de coordenadas x y. Se muestra la trayectoria del balón de fútbol y su ubicación en 6 instantes. La trayectoria es una parábola. El vector s es el desplazamiento desde el origen hasta la posición final del balón de fútbol. El vector s y sus componentes x y y forman un triángulo rectángulo, con s como hipotenusa y un ángulo phi entre el eje de la x y s.

Figura 4.11 El desplazamiento total s de un balón de fútbol en un punto de su recorrido. El vector

\vec{s}

tiene componentes

\vec{x}

y

\vec{y}

a lo largo de los ejes horizontal y vertical. Su magnitud es s y forma un ángulo Φ con la horizontal.

Para describir completamente el movimiento de proyectil, debemos incluir la velocidad y la aceleración, así como el desplazamiento. Debemos encontrar sus componentes a lo largo de los ejes de la x y la y. Supongamos que todas las fuerzas, excepto la gravedad (como la resistencia del aire y la fricción, por ejemplo), son despreciables. Definiendo que la dirección positiva es hacia arriba, los componentes de la aceleración son entonces muy simples:

a_{y} = − g = −9,8 m / s^{2} (- 32 pies / s^{2}) .

Dado que la gravedad es vertical, $a_{x} = 0 .$ Si $a_{x} = 0,$ esto significa que la velocidad inicial en la dirección x es igual a la velocidad final en la dirección x, o $v_{x} = v_{0 x} .$ Con estas condiciones sobre la aceleración y la velocidad, podemos escribir la cinemática de la Ecuación 4.11 a la Ecuación 4.18 para el movimiento en un campo gravitacional uniforme, incluso el resto de las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante de Movimiento con aceleración constante. Las ecuaciones cinemáticas del movimiento en un campo gravitacional uniforme se convierten en ecuaciones cinemáticas con $a_{y} = − g, a_{x} = 0 :$

Movimiento horizontal

v_{0 x} = v_{x}, x = x_{0} + v_{x} t

4.19

Movimiento vertical

y = y_{0} + \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t

4.20

v_{y} = v_{0 y} - g t

4.21

y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2}

4.22

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g (y - y_{0})

4.23

Utilizando este conjunto de ecuaciones, podemos analizar el movimiento de proyectil, teniendo en cuenta algunos puntos importantes.

Estrategia de Resolución De Problemas

Movimiento de proyectil

Resuelva el movimiento en componentes horizontales y verticales a lo largo de los ejes de la x y la y. Las magnitudes de los componentes del desplazamiento $\vec{s}$ a lo largo de estos ejes son x y y. Las magnitudes de los componentes de la velocidad $\vec{v}$ son $v_{x} = v cos θ y v_{y} = v sen θ,$ donde v es la magnitud de la velocidad y θ es su dirección con respecto a la horizontal, como se muestra en la Figura 4.12.
Trate el movimiento como dos movimientos unidimensionales independientes: uno horizontal y otro vertical. Utilice las ecuaciones cinemáticas para el movimiento horizontal y vertical presentadas anteriormente.
Resuelva las incógnitas en los dos movimientos separados: uno horizontal y otro vertical. Observe que la única variable común entre los movimientos es el tiempo t. Los procedimientos de resolución de problemas aquí son los mismos que los de la cinemática unidimensional y se ilustran en los siguientes ejemplos resueltos.
Recombine las cantidades en las direcciones horizontal y vertical para encontrar el desplazamiento total $\vec{s}$ y la velocidad $\vec{v} .$ Resuelva la magnitud y la dirección del desplazamiento y la velocidad mediante

$s = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, Φ = {tan}^{−1} (y / x), v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}},$

donde Φ es la dirección del desplazamiento $\vec{s} .$

La figura a muestra la localización y velocidad de un proyectil en un sistema de coordenadas x y en 10 instantes. Cuando el proyectil está en el origen, tiene una velocidad v sub 0 y que forma un ángulo theta sub 0 con la horizontal. La velocidad se muestra como una flecha azul oscuro, y sus componentes x y y se muestran como una flecha azul claro. La posición del proyectil sigue una parábola que se abre hacia abajo, sube hasta una altura máxima, vuelve a y = 0, y continúa por debajo del eje de la x. La velocidad, V, en cada momento hace un ángulo theta que cambia en el tiempo, y tiene componente x V sub x y componente y v sub y. El componente x de la velocidad V sub x es el mismo en todo momento. El componente y v sub y apunta hacia arriba, pero se hace más pequeño, hasta que el proyectil alcanza la altura máxima, donde la velocidad es horizontal y no tiene componente y. Después de la altura máxima, la velocidad tiene un componente y que apunta hacia abajo y se agranda. A medida el proyectil alcanza la misma elevación al bajar que al subir, su velocidad está por debajo de la horizontal en el mismo ángulo theta que estaba por encima de la horizontal al subir. En particular, cuando vuelve a y = 0 al bajar, el ángulo entre el vector v y la horizontal es menos s=theta sub cero y el componente y de la velocidad es menos v sub 0 y. La última posición mostrada está por debajo del eje de la x, y el componente y de la velocidad es mayor que el inicial. El gráfico muestra claramente que la distancia horizontal recorrida en cada uno de los intervalos de tiempo es igual, mientras que la distancia vertical disminuye en la subida y aumenta en la bajada. La figura b muestra el componente horizontal de la velocidad constante. Las posiciones horizontales y los componentes x de la velocidad del proyectil se muestran a lo largo de una línea horizontal. Las posiciones están espaciadas uniformemente y los componentes x de las velocidades son todos iguales y apuntan a la derecha. La figura c muestra el componente vertical, la aceleración constante. Las posiciones verticales y los componentes y de la velocidad del proyectil se muestran a lo largo de una línea vertical. Las posiciones se acercan en la subida y se alejan en la bajada. Los componentes y de las velocidades apuntan inicialmente hacia arriba, y disminuyen en magnitud hasta que no hay componente y de la velocidad en la altura máxima. Después de la altura máxima, los componentes y de las velocidades apuntan hacia abajo y aumentan en magnitud. La figura d muestra que, al juntar las componentes horizontal y vertical de las figuras b y c, se obtiene la velocidad total en un punto. La velocidad V tiene un componente x de V sub x, un componente y de V sub y, y hace un ángulo de theta con la horizontal. En el ejemplo mostrado, la velocidad tiene un componente y hacia abajo.

Figura 4.12 (a) Analizamos el movimiento bidimensional de proyectil al dividirlo en dos movimientos unidimensionales independientes a lo largo de los ejes vertical y horizontal. (b) El movimiento horizontal es simple, porque

a_{x} = 0

y

v_{x}

es una constante. (c) La velocidad en la dirección vertical comienza a disminuir a medida que el objeto se eleva. En su punto más alto, la velocidad vertical es cero. A medida que el objeto vuelve a caer hacia la Tierra, la velocidad vertical aumenta de nuevo en magnitud, pero apunta en la dirección opuesta a la velocidad vertical inicial. (d) Los movimientos x y y se recombinan para obtener la velocidad total en cualquier punto en la trayectoria.

Ejemplo 4.7

Un proyectil de fuegos artificiales estalla alto y lejos

Durante un espectáculo de fuegos artificiales, se lanza un proyectil al aire con una rapidez inicial de 70,0 m/s con un ángulo de

75,0 °

por encima de la horizontal, como se ilustra en la Figura 4.13. La mecha está programada para que el proyectil se encienda justo cuando alcance su punto más alto sobre el suelo. (a) Calcule la altura a la que explota el proyectil. (b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre el lanzamiento del proyectil y la explosión? (c) ¿Cuál es el desplazamiento horizontal del proyectil cuando estalla? (d) ¿Cuál es el desplazamiento total desde el punto de lanzamiento hasta el punto más alto?

La trayectoria de un proyectil de fuegos artificiales desde su lanzamiento hasta su punto más alto se muestra como la mitad izquierda de una parábola que se abre hacia abajo en una gráfica de y en función de x. La altura máxima es h = 233 metros y su desplazamiento x en ese momento es x = 125 metros. El vector de velocidad inicial v sub 0 está arriba y a la derecha, tangente a la curva de la trayectoria, y hace un ángulo de theta sub 0 igual a 75 grados.

Figura 4.13 La trayectoria de un proyectil de fuegos artificiales. La mecha se ajusta para que el proyectil explote en el punto más alto de su trayectoria, que se encuentra a una altura de 233 m y a 125 m de distancia horizontal.

Estrategia

El movimiento puede dividirse en movimientos horizontales y verticales en los que

a_{x} = 0

y

a_{y} = − g .

Podemos entonces definir

x_{0}

y

y_{0}

como cero y resolver las cantidades deseadas.

Solución

(a) Por "altura" se entiende la altitud o posición vertical y sobre el punto de partida. El punto más alto de cualquier trayectoria, llamado vértice, se alcanza cuando

v_{y} = 0 .

Como conocemos las velocidades inicial y final, así como la posición inicial, utilizamos la siguiente ecuación para encontrar y:

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g (y - y_{0}) .

Dado que $y_{0}$ y $v_{y}$ son ambos cero, la ecuación se simplifica a

0 = v_{0 y}^{2} - 2 g y .

Al resolver y obtenemos

y = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} .

Ahora debemos encontrar $v_{0 y},$ el componente de la velocidad inicial en la dirección y. Está dado por $v_{0 y} = v_{0} sen θ_{0},$ donde $v_{0}$ es la velocidad inicial de 70,0 m/s y $θ_{0} = 75 °$ es el ángulo inicial. Por lo tanto,

v_{0 y} = v_{0} sen θ = (70,0 m / s) sen 75 ° = 67,6 m / s

y la y es

y = \frac{{(67,6 m / s)}^{2}}{2 (9,80 m / s^{2})} .

Por lo tanto, tenemos

y = 233 m .

Observe que, al ser positivo hacia arriba, la velocidad vertical inicial es positiva, al igual que la altura máxima, pero la aceleración resultante de la gravedad es negativa. Observe también que la altura máxima depende únicamente del componente vertical de la velocidad inicial, de modo que cualquier proyectil con un componente vertical inicial de velocidad de 67,6 m/s alcanza una altura máxima de 233 m (descartando la resistencia del aire). Las cifras de este ejemplo son razonables para los grandes espectáculos pirotécnicos, cuyos proyectiles alcanzan esas alturas antes de estallar. En la práctica, la resistencia del aire no es completamente despreciable, por lo que la velocidad inicial tendría que ser algo mayor que la dada para alcanzar la misma altura.

(b) Como en muchos problemas de física, hay más de una forma de resolver el tiempo en que el proyectil alcanza su punto más alto. En este caso, el método más sencillo consiste en utilizar $v_{y} = v_{0 y} - g t .$ Dado que $v_{y} = 0$ en el vértice, esta ecuación se reduce simplemente a

0 = v_{0 y} - g t

o

t = \frac{v_{0 y}}{g} = \frac{67,6 m / s}{9,80 m / s^{2}} = 6,90 s .

Este tiempo también es razonable para los grandes fuegos artificiales. Si puede ver el lanzamiento de los fuegos artificiales, observe que transcurren varios segundos antes de que el proyectil estalle. Otra forma de encontrar el tiempo es utilizar $y = y_{0} + \frac{1}{2} (v_{0 y} + v_{y}) t .$ Esto se deja como un ejercicio para completar.

(c) Porque la resistencia del aire es despreciable, $a_{x} = 0$ y la velocidad horizontal es constante, como se ha comentado anteriormente. El desplazamiento horizontal es la velocidad horizontal multiplicada por el tiempo, tal y como viene dada por $x = x_{0} + v_{x} t,$ donde $x_{0}$ es igual a cero. Por lo tanto,

x = v_{x} t,

donde $v_{x}$ es el componente x de la velocidad, que viene dada por

v_{x} = v_{0} cos θ = (70,0 m / s) cos 75 ° = 18,1 m / s .

El tiempo t para ambos movimientos es el mismo, por lo que x es

x = (18,1 m / s) 6,90 s = 125 m .

El movimiento horizontal es una velocidad constante a falta de resistencia del aire. El desplazamiento horizontal encontrado aquí serviría para evitar que los fragmentos de fuegos artificiales caigan sobre los espectadores. Cuando el proyectil estalla, la resistencia del aire tiene un efecto importante, y muchos fragmentos caen justo por debajo.

(d) Se acaban de calcular los componentes horizontales y verticales del desplazamiento, por lo que lo único que le falta aquí es encontrar la magnitud y la dirección del desplazamiento en el punto más alto:

\vec{s} = 125 \hat{i} + 233 \hat{j}

| \vec{s} | = \sqrt{125^{2} + 233^{2}} = 264 m

Φ = {tan}^{−1} (\frac{233}{125}) = 61,8 ° .

Observe que el ángulo del vector de desplazamiento es menor que el ángulo inicial de lanzamiento. Para ver el porqué de esto, revise la Figura 4.11, que muestra la curvatura de la trayectoria hacia el nivel del suelo.

Al resolver el Ejemplo 4.7(a), la expresión que encontramos para y es válida para cualquier movimiento de proyectil cuando la resistencia del aire es despreciable. Llame a la altura máxima y = h. Luego,

h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} .

Esta ecuación define la altura máxima de un proyectil por encima de su posición de lanzamiento y depende únicamente del componente vertical de la velocidad inicial.

Compruebe Lo Aprendido 4.3

Una roca es lanzada horizontalmente desde un acantilado de $100,0 m$ de altura con una velocidad de 15,0 m/s. (a) Defina el origen del sistema de coordenadas. (b) ¿Qué ecuación describe el movimiento horizontal? (c) ¿Qué ecuaciones describen el movimiento vertical? (d) ¿Cuál es la velocidad de la roca en el punto de impacto?

Ejemplo 4.8

Calcular el movimiento de proyectil: tenista

Un tenista gana un partido en el estadio Arthur Ashe y golpea una pelota hacia las gradas a 30 m/s y a un ángulo de

45 °

sobre la horizontal (Figura 4.14). En su descenso, un espectador atrapa la pelota a 10 m por encima del punto en el que fue golpeada. (a) Calcule el tiempo que tarda la pelota de tenis en llegar al espectador. (b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad de la pelota en el momento del impacto?

Ilustración de una pelota de tenis lanzada a las gradas. El jugador se encuentra a la izquierda de la grada y golpea la pelota hacia arriba y hacia la derecha en un ángulo de theta igual a 45 grados y a una velocidad de v sub 0 igual a 30 metros por segundo. La pelota llega a un espectador que está sentado 10 metros por encima de la altura inicial de la pelota.

Figura 4.14 La trayectoria de una pelota de tenis golpeada hacia las gradas.

Estrategia

De nuevo, la resolución de este movimiento bidimensional en dos movimientos unidimensionales independientes nos permite resolver las cantidades deseadas. El tiempo que un proyectil está en el aire se rige únicamente por su movimiento vertical. Por lo tanto, primero resolvemos t. Mientras la pelota sube y baja verticalmente, el movimiento horizontal continúa a velocidad constante. En este ejemplo se pide la velocidad final. Por lo tanto, recombinamos los resultados verticales y horizontales para obtener

\vec{v}

en el tiempo final t, determinado en la primera parte del ejemplo.

Solución

(a) Mientras la pelota está en el aire, se eleva y luego cae hasta una posición final 10,0 m más alta que su altitud inicial. Podemos encontrar el tiempo para esto usando la Ecuación 4.22:

y = y_{0} + v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} .

Si tomamos la posición inicial $y_{0}$ como cero, entonces la posición final es y = 10 m. La velocidad vertical inicial es el componente vertical de la velocidad inicial:

v_{0 y} = v_{0} sen θ_{0} = (30,0 m / s) sen 45 ° = 21,2 m / s .

Sustituyendo en la Ecuación 4.22 para y obtenemos

10,0 m = (21,2 m/s) t - (4,90 {m/s}^{2}) t^{2} .

Reordenando los términos obtenemos una ecuación cuadrática en t:

(4,90 {m/s}^{2}) t^{2} - (21,2 m/s) t + 10,0 m = 0 .

El uso de la fórmula cuadrática produce t = 3,79 s y t = 0,54 s. Dado que la pelota se encuentra a una altura de 10 m en dos tiempos de su trayectoria, una vez al subir y otra al bajar, tomamos la solución más larga para el tiempo que tarda la pelota en llegar al espectador:

t = 3,79 s .

El tiempo de movimiento de proyectil está determinado completamente por el movimiento vertical. Por lo tanto, cualquier proyectil que tenga una velocidad vertical inicial de 21,2 m/s y aterrice 10,0 m por debajo de su altitud inicial pasa 3,79 s en el aire.

(b) Podemos encontrar las velocidades horizontales y verticales finales $v_{x}$ y $v_{y}$ con el resultado de (a). Luego, podemos combinarlos para encontrar la magnitud del vector de velocidad total $\vec{v}$ y el ángulo $θ$ que hace con la horizontal. Dado que $v_{x}$ es constante, podemos resolverla en cualquier posición horizontal. Elegimos el punto de partida porque conocemos tanto la velocidad inicial como el ángulo inicial. Por lo tanto,

v_{x} = v_{0} cos θ_{0} = (30 m / s) cos 45 ° = 21,2 m / s .

La velocidad vertical final viene dada por la Ecuación 4.21:

v_{y} = v_{0 y} - g t .

Dado que $v_{0 y}$ se encontró en la parte (a) como 21,2 m/s, tenemos

v_{y} = 21,2 m / s - 9,8 m / s^{2} (3,79 s) = −15,9 m / s .

La magnitud de la velocidad final $\vec{v}$ es

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{{(21,2 m / s)}^{2} + {(− 15 0,9 m / s)}^{2}} = 26,5 m / s .

La dirección $θ_{v}$ se encuentra con la tangente inversa:

θ_{v} = {tan}^{−1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) = {tan}^{−1} (\frac{−15,9}{21,2}) = 36,9 ° .

Importancia

(a) Como se mencionó anteriormente, el movimiento vertical determina completamente el tiempo del movimiento de proyectil. Por lo tanto, cualquier proyectil que tenga una velocidad vertical inicial de 21,2 m/s y aterrice 10,0 m por encima de su altitud inicial pasa 3,79 s en el aire. (b) El ángulo negativo significa que la velocidad está

36,9 °

por debajo de la horizontal en el punto de impacto. Este resultado es coherente con el hecho de que la pelota impacta en un punto al otro lado del vértice de la trayectoria y, por lo tanto, tiene un componente y negativo de velocidad. La magnitud de la velocidad es menor que la magnitud de la velocidad inicial prevista, ya que impacta a 10,0 m por encima de la elevación de lanzamiento.

Tiempo de vuelo, trayectoria y alcance

Son interesantes el tiempo de vuelo, la trayectoria y el alcance de un proyectil lanzado sobre una superficie horizontal plana y que impacta en la misma superficie. En este caso, las ecuaciones cinemáticas dan expresiones útiles para estas cantidades, que se derivan en las siguientes secciones.

Tiempo de vuelo

Podemos resolver el tiempo de vuelo de un proyectil que se lanza e impacta en una superficie plana horizontal al realizar algunas manipulaciones de las ecuaciones cinemáticas. Observamos que la posición y el desplazamiento en y deben ser cero en el lanzamiento y en el impacto en una superficie plana. Así, suponemos el desplazamiento en y igual a cero y encontramos

y - y_{0} = v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = (v_{0} sen θ_{0}) t - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 .

Factorizando, tenemos

t (v_{0} sen θ_{0} - \frac{g t}{2}) = 0 .

Al resolver t obtenemos

T_{tof} = \frac{2 (v_{0} sen θ_{0})}{g} .

4.24

Este es el tiempo de vuelo para un proyectil tanto lanzado como impactado en una superficie horizontal plana. La Ecuación 4.24 no se aplica cuando el proyectil aterriza a una elevación diferente de la que fue lanzado, como vimos en el Ejemplo 4.8 del tenista que golpeó la pelota hacia las gradas. La otra solución, t = 0, corresponde al momento del lanzamiento. El tiempo de vuelo es linealmente proporcional a la velocidad inicial en la dirección y e inversamente proporcional a g. Por lo tanto, en la Luna, donde la gravedad es una sexta parte de la de la Tierra, un proyectil lanzado con la misma velocidad que en la Tierra estaría en el aire seis veces más tiempo.

Trayectoria

La trayectoria de un proyectil se puede encontrar al eliminar la variable de tiempo t de las ecuaciones cinemáticas para un t arbitrario y al resolver para y(x). Tomamos $x_{0} = y_{0} = 0$ por lo que el proyectil se lanza desde el origen. La ecuación cinemática para x da

x = v_{0 x} t \Rightarrow t = \frac{x}{v_{0 x}} = \frac{x}{v_{0} cos θ_{0}} .

Sustituyendo la expresión de t en la ecuación de la posición $y = (v_{0} sen θ_{0}) t - \frac{1}{2} g t^{2}$ nos da

y = (v_{0} sen θ_{0}) (\frac{x}{v_{0} cos θ_{0}}) - \frac{1}{2} g {(\frac{x}{v_{0} cos θ_{0}})}^{2} .

Reordenando los términos, tenemos

y = (tan θ_{0}) x - [\frac{g}{2 {(v_{0} cos θ_{0})}^{2}}] x^{2} .

4.25

Esta ecuación de trayectoria es de la forma $y = a x + b x^{2},$ que es una ecuación de una parábola con coeficientes

a = tan θ_{0}, b = - \frac{g}{2 {(v_{0} cos θ_{0})}^{2}} .

Alcance

A partir de la ecuación de la trayectoria también podemos encontrar el alcance, o la distancia horizontal recorrida por el proyectil. Factorizando la Ecuación 4.25, tenemos

y = x [tan θ_{0} - \frac{g}{2 {(v_{0} cos θ_{0})}^{2}} x] .

La posición de la y es cero tanto para el punto de lanzamiento como para el punto de impacto, ya que de nuevo estamos considerando solo una superficie horizontal plana. Suponiendo que y = 0 en esta ecuación se obtienen las soluciones x = 0, correspondiente al punto de lanzamiento, y

x = \frac{2 v_{0}^{2} sen θ_{0} cos θ_{0}}{g},

correspondiente al punto de impacto. Utilizando la identidad trigonométrica $2 sen θ cos θ = sen 2 θ$ y asumiendo x = R para el alcance, encontramos

R = \frac{v_{0}^{2} sen 2 θ_{0}}{g} .

4.26

Observe especialmente que la Ecuación 4.26 solo es válida para el lanzamiento y el impacto sobre una superficie horizontal. Vemos que el alcance es directamente proporcional al cuadrado de la rapidez inicial $v_{0}$ y $sen 2 θ_{0}$ , y es inversamente proporcional a la aceleración de la gravedad. Así, en la Luna, el alcance sería seis veces mayor que en la Tierra para la misma velocidad inicial. Además, vemos en el factor $sen 2 θ_{0}$ que el alcance es máximo en $45 ° .$ Estos resultados se muestran en la Figura 4.15. En (a) vemos que cuanto mayor es la velocidad inicial, mayor es el alcance. En (b), vemos que el alcance es máximo en $45 ° .$ Esto es cierto solo para las condiciones en la que se descarta la resistencia del aire. Si se tiene en cuenta la resistencia del aire, el ángulo máximo es algo menor. Es interesante que se encuentre el mismo alcance para dos ángulos de lanzamiento iniciales que suman $90 ° .$ El proyectil lanzado con el ángulo menor tiene un vértice más bajo que el ángulo mayor, pero ambos tienen el mismo alcance.

La figura a muestra las trayectorias de proyectiles lanzados en el mismo ángulo inicial de 45 grados sobre la horizontal y diferentes velocidades iniciales. Las trayectorias se muestran desde el lanzamiento hasta el aterrizaje en la elevación inicial. En naranja está la trayectoria para 30 metros por segundo, lo que da un alcance R (distancia desde el lanzamiento hasta el aterrizaje) de 91,8 m. En púrpura está la trayectoria para 40 metros por segundo, lo que da un alcance R de 163 m. En azul está la trayectoria para 50 metros por segundo, lo que da un alcance R de 255 m. La altura máxima del proyectil aumenta con la rapidez inicial. La figura b muestra las trayectorias de los proyectiles lanzados a la misma rapidez inicial de 50 metros por segundo y diferentes ángulos de lanzamiento. Las trayectorias se muestran desde el lanzamiento hasta el aterrizaje en la elevación inicial. En naranja está la trayectoria para un ángulo de 15 grados sobre la horizontal, que da un alcance R de 128 m. En púrpura está la trayectoria para un ángulo de 45 grados sobre la horizontal, que da un alcance R de 255 m. En azul está la trayectoria para un ángulo de 75 grados sobre la horizontal, que da un alcance R de 128 m, el mismo que para la trayectoria de 15 grados. La altura máxima aumenta con el ángulo de lanzamiento.

Figura 4.15 Trayectorias de proyectiles en terreno llano. (a) Cuanto mayor sea la rapidez inicial

v_{0},

mayor será el alcance para un ángulo inicial dado. (b) El efecto del ángulo inicial

θ_{0}

sobre el alcance de un proyectil con una rapidez inicial determinada. Observe que el alcance es el mismo para los ángulos iniciales de

15 °

y

75 °,

aunque las alturas máximas de esas trayectorias son diferentes.

Ejemplo 4.9

Comparación de tiros de golf

Un golfista se encuentra en dos situaciones diferentes en distintos hoyos. En el segundo hoyo está a 120 m del green y quiere golpear la pelota 90 m y dejarla correr hacia el green. Angula el tiro bajo al suelo a

30 °

de la horizontal para que la pelota ruede después del impacto. En el cuarto hoyo está a 90 m del green y quiere dejar caer la bola con un mínimo de rodadura después del impacto. Aquí, angula el tiro a

70 °

de la horizontal para minimizar la rodadura tras el impacto. Ambos tiros los golpean e impactan en una superficie plana.

(a) ¿Cuál es la rapidez inicial de la bola en el segundo hoyo?

(b) ¿Cuál es la rapidez inicial de la bola en el cuarto hoyo?

(c) Escriba la ecuación de la trayectoria para ambos casos.

(d) Grafique las trayectorias.

Estrategia

Vemos que la ecuación de alcance tiene la rapidez y el ángulo iniciales, por lo que podemos resolver la rapidez inicial tanto para (a) como para (b). Cuando tenemos la rapidez inicial, podemos utilizar este valor para escribir la ecuación de la trayectoria.

Solución

(a)

R = \frac{v_{0}^{2} sen 2 θ_{0}}{g} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{\frac{R g}{sen 2 θ_{0}}} = \sqrt{\frac{90,0 m (9,8 m / s^{2})}{sen (2 (30 °))}} = 31,9 m / s

(b) $R = \frac{v_{0}^{2} sen 2 θ_{0}}{g} \Rightarrow v_{0} = \sqrt{\frac{R g}{sen 2 θ_{0}}} = \sqrt{\frac{90,0 m (9,8 m / s^{2})}{sen (2 (70 °))}} = 37,0 m / s$

(c)
$\begin{matrix} y = x [tan θ_{0} - \frac{g}{2 {(v_{0} cos θ_{0})}^{2}} x] \\ Segundo hoyo: y = x [tan 30 ° - \frac{9,8 m / s^{2}}{2 {[(31,9 m / s)(cos 30 °)]}^{2}} x] = 0,58 x - 0,0064 x^{2} \\ Cuarto hoyo: y = x [tan 70 ° - \frac{9,8 m / s^{2}}{2 {[(37,0 m / s)(cos 70 °)]}^{2}} x] = 2,75 x - 0,0306 x^{2} \end{matrix}$

(d) Utilizando una calculadora gráfica, podemos comparar las dos trayectorias, que se muestran en la Figura 4.16.

Se muestran dos funciones parabólicas. El alcance de ambas trayectorias es de 90 metros. Un tiro viaja mucho más alto que el otro. El tiro más alto tiene una velocidad inicial de 37 metros por segundo y un ángulo de 70 grados. El tiro más bajo tiene una velocidad inicial de 31,9 metros por segundo y un ángulo de 30 grados.

Figura 4.16 Dos trayectorias de una pelota de golf con un alcance de 90 m. Los puntos de impacto de ambos están al mismo nivel que el punto de lanzamiento.

Importancia

La rapidez inicial para el tiro a

70 °

es mayor que la rapidez inicial del tiro a

30 ° .

Observe en la Figura 4.16 que dos proyectiles lanzados a la misma rapidez, pero con ángulos diferentes, tienen el mismo alcance si los ángulos de lanzamiento suman

90 ° .

Los ángulos de lanzamiento en este ejemplo se suman para dar un número mayor que

90 ° .

Por lo tanto, el tiro a

70 °

tiene que tener una mayor rapidez de lanzamiento para alcanzar los 90 m, de lo contrario aterrizaría a una distancia menor.

Compruebe Lo Aprendido 4.4

Si los dos tiros de golf que aparecen en el Ejemplo 4.9 se lanzan a la misma rapidez, ¿qué tiro tendría mayor alcance?

Cuando hablamos del alcance de un proyectil en terreno llano, suponemos que R es muy pequeño comparado con la circunferencia de la Tierra. Sin embargo, si el alcance es grande, la Tierra se curva por debajo del proyectil y la aceleración resultante de la gravedad cambia de dirección a lo largo del recorrido. El alcance es mayor que el predicho por la ecuación de alcance dada anteriormente porque el proyectil tiene más distancia para caer que la que tendría en terreno llano, como se muestra en la Figura 4.17, que se basa en un dibujo de las leyes de Newton. Si la rapidez inicial es lo suficientemente grande, el proyectil entra en órbita. La superficie de la Tierra desciende 5 m cada 8000 m. En 1 s un objeto cae 5 m sin resistencia del aire. Por lo tanto, si a un objeto se le da una velocidad horizontal de 8000 m/s (o 18.000 mi/h) cerca de la superficie de la Tierra, entrará en órbita alrededor del planeta porque la superficie se aleja continuamente del objeto. Esta es aproximadamente la rapidez del transbordador espacial en una órbita terrestre baja cuando estaba operativo, o de cualquier satélite en una órbita terrestre baja. Estos y otros aspectos del movimiento orbital, como la rotación de la Tierra, se tratan con mayor profundidad en Gravitación.

La figura muestra un dibujo de la Tierra con una torre alta en el polo norte y una flecha horizontal marcada como v 0 que apunta a la derecha. Se muestran 5 trayectorias que comienzan en la parte superior de la torre. La primera llega a la Tierra cerca de la torre. La segunda llega a la Tierra más lejos de la torre, y la tercera aún más lejos. La cuarta trayectoria golpea la Tierra en el ecuador, y es tangente a la superficie en el ecuador. La quinta trayectoria es un círculo concéntrico con la tierra.

Figura 4.17 Proyectil a satélite. En cada uno de los casos mostrados aquí, se lanza un proyectil desde una torre muy alta para evitar la resistencia del aire. Al aumentar la rapidez inicial, el alcance aumenta y se hace más largo de lo que sería en terreno llano porque la Tierra se curva bajo su recorrido. Con una rapidez de 8000 m/s, se alcanza la órbita.

Interactivo

En Exploraciones de PhET: Movimiento de proyectil, aprenda sobre el movimiento de proyectil en términos del ángulo de lanzamiento y la velocidad inicial.

4.3 Movimiento de proyectil

Movimiento de proyectil

Un proyectil de fuegos artificiales estalla alto y lejos

Estrategia

Solución

Calcular el movimiento de proyectil: tenista

Estrategia

Solución

Importancia

Tiempo de vuelo, trayectoria y alcance

Tiempo de vuelo

Trayectoria

Alcance

Comparación de tiros de golf

Estrategia

Solución

Importancia