4.4 Movimiento circular uniforme

Aceleración centrípeta

En la cinemática unidimensional, los objetos con rapidez constante tienen una aceleración cero. Sin embargo, en la cinemática bidimensional y tridimensional, aunque la rapidez sea una constante, una partícula puede tener aceleración si se mueve a lo largo de una trayectoria curva, como un círculo. En este caso, el vector de velocidad está cambiando, o $d\overrightarrow{v}\text{/}dt\ne 0.$ Esto se muestra en la Figura 4.18. A medida que la partícula se desplaza en sentido contrario de las agujas del reloj en el tiempo $\text{Δ}t$ en la trayectoria circular, su vector de posición se mueve desde $\overrightarrow{r}(t)$ hasta $\overrightarrow{r}(t+\text{Δ}t).$ El vector de velocidad tiene una magnitud constante y es tangente a la trayectoria al pasar de $\overrightarrow{v}(t)$ a $\overrightarrow{v}(t+\text{Δ}t),$ y solo cambia su dirección. Dado que el vector de velocidad $\overrightarrow{v}(t)$ es perpendicular al vector de posición $\overrightarrow{r}(t),$ los triángulos formados por los vectores de posición y $\text{Δ}\overrightarrow{r},$ y los vectores de velocidad y $\text{Δ}\overrightarrow{v}$ son similares. Además, dado que $\left|\overrightarrow{r}(t)\right|=\left|\overrightarrow{r}(t+\text{Δ}t)\right|$ y $\left|\overrightarrow{v}(t)\right|=\left|\overrightarrow{v}(t+\text{Δ}t)\right|,$ los dos triángulos son isósceles. A partir de estos hechos podemos hacer la afirmación

$\frac{\text{Δ}v}{v}=\frac{\text{Δ}r}{r}$ o $\text{Δ}v=\frac{v}{r}\text{Δ}r.$

Figura 4.18 (a) Una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, con vectores de posición y velocidad en tiempos $t$ y $t+\text{Δ}t.$ (b) Vectores de velocidad que forman un triángulo. Los dos triángulos de la figura son similares. El vector $\text{Δ}\overrightarrow{v}$ apunta hacia el centro del círculo en el límite $\text{Δ}t\to 0.$

Podemos encontrar la magnitud de la aceleración a partir de

La dirección de la aceleración también se puede encontrar observando que como $\text{Δ}t$ y por lo tanto $\text{Δ}\theta$ se acerca a cero, el vector $\text{Δ}\overrightarrow{v}$ se acerca a una dirección perpendicular a $\overrightarrow{v}.$ En el límite $\text{Δ}t\to 0,$$\text{Δ}\overrightarrow{v}$ es perpendicular a $\overrightarrow{v}.$ Dado que $\overrightarrow{v}$ es tangente al círculo, la aceleración $d\overrightarrow{v}\text{/}dt$ apunta hacia el centro del círculo. En resumen, una partícula que se mueve en un círculo con rapidez constante tiene una aceleración con magnitud

La dirección del vector de aceleración es hacia el centro del círculo (Figura 4.19). Se trata de una aceleración radial y se denomina aceleración centrípeta, por lo que le damos el subíndice c. La palabra centrípeta viene de las palabras latinas centrum (que significa "centro") y petere (que significa "buscar"), y por tanto toma el significado de "búsqueda del centro".

Figura 4.19 El vector de aceleración centrípeta apunta hacia el centro de la trayectoria circular del movimiento y es una aceleración en la dirección radial. También se muestra el vector de velocidad, que es tangente al círculo.

Investiguemos algunos ejemplos que ilustren las magnitudes relativas de la velocidad, el radio y la aceleración centrípeta.

La aceleración centrípeta puede tener una amplia gama de valores, dependiendo de la rapidez y del radio de curvatura de la trayectoria circular. Las aceleraciones centrípetas típicas se indican en la siguiente tabla.

Ecuaciones de movimiento para el movimiento circular uniforme

Una partícula que ejecuta un movimiento circular puede describirse por su vector de posición $\overrightarrow{r}(t).$ La Figura 4.20 muestra una partícula que ejecuta un movimiento circular en sentido contrario de las agujas del reloj. A medida que la partícula se mueve en el círculo, su vector de posición barre el ángulo $\theta$ con el eje de la x. El vector $\overrightarrow{r}(t)$ haciendo un ángulo $\theta$ con el eje de la x se muestra con sus componentes a lo largo de los ejes de la x y la y. La magnitud del vector de posición es $A=\left|\overrightarrow{r}(t)\right|$ y es también el radio del círculo, por lo que en términos de sus componentes,

Aquí, $\omega$ es una constante llamada frecuencia angular de la partícula. La frecuencia angular tiene unidades de radianes (rad) por segundo y es simplemente el número de radianes de medida angular por los que pasa la partícula por segundo. El ángulo $\theta$ que tiene el vector de posición en un tiempo determinado es $\omega t$.

Si T es el periodo del movimiento, o el tiempo para completar una revolución ($2\pi$ rad), entonces

Figura 4.20 El vector de posición de una partícula en movimiento circular con sus componentes a lo largo de los ejes de la x y la y. La partícula se mueve en sentido contrario de las agujas del reloj. El ángulo $\theta$ es la frecuencia angular $\omega$ en radianes por segundo multiplicado por t.

La velocidad y la aceleración pueden obtenerse a partir de la función de posición por diferenciación:

Se puede demostrar en la Figura 4.20 que el vector de velocidad es tangente al círculo en la ubicación de la partícula, con magnitud $A\omega .$ Del mismo modo, el vector de aceleración se encuentra al diferenciar la velocidad:

De esta ecuación vemos que el vector de aceleración tiene la magnitud $A{\omega }^2$ y se dirige en sentido contrario al vector de posición, hacia el origen, porque $\overrightarrow{a}(t)=\text{-}{\omega }^2\overrightarrow{r}(t).$

Ejemplo 4.11

Movimiento circular de un protón

Un protón tiene rapidez $5\times {10}^6\text{m/s}$ y se mueve en un círculo en el plano xy de radio r = 0,175 m. ¿Cuál es su posición en el plano xy en el tiempo $t=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s}=200\text{¿n?}$ En t = 0, la posición del protón es $\mathrm{0,175}\text{m}\widehat{i}$ y da vueltas en sentido contrario de las agujas del reloj. Haga un esquema de la trayectoria.

Solución

A partir de los datos dados, el protón tiene periodo y frecuencia angular:

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi (\mathrm{0,175}\text{m})}{\mathrm{5,0}\times {10}^6\text{m}\text{/}\text{s}}=\mathrm{2,20}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s}$$

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\mathrm{2,20}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s}}=\mathrm{2,856}\times {10}^7\text{rad}\text{/}\text{s}.$$

La posición de la partícula en $t=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s}$ con A = 0,175 m es

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{r}(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s})& =A\text{cos}\omega (\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s})\widehat{i}+A\text{sen}\omega (\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s})\widehat{j}\text{m}\hfill \\ & =\mathrm{0,175}\text{cos}[(\mathrm{2,856}\times {10}^7\text{rad}\text{/}\text{s})(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s})]\widehat{i}\hfill \\ & \hfill +\mathrm{0,175}\text{sen}[(\mathrm{2,856}\times {10}^7\text{rad}\text{/}\text{s})(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s})]\widehat{j}\text{m}\\ & =\mathrm{0,175}\text{cos}(\mathrm{5,712}\text{rad})\widehat{i}+\mathrm{0,175}\text{sen}(\mathrm{5,712}\text{rad})\widehat{j}=\mathrm{0,147}\widehat{i}-\mathrm{0,095}\widehat{j}\text{m}.\hfill \end{array}$$

De este resultado vemos que el protón se encuentra ligeramente por debajo del eje de la x. Esto se muestra en la Figura 4.21.

Figura 4.21 Vector de posición del protón en $t=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{s}=200\text{ns}\text{.}$ Se muestra la trayectoria del protón. El ángulo que recorre el protón a lo largo del círculo es de 5,712 rad, es decir, algo menos de una revolución completa.

Importancia

Elegimos la posición inicial de la partícula para que esté en el eje de la x. Esto fue completamente arbitrario. Si se diera una posición inicial diferente, tendríamos otra posición final en t = 200 ns.

Movimiento circular no uniforme

El movimiento circular no tiene por qué ser de rapidez constante. Una partícula puede viajar en círculo y acelerar o frenar, lo cual indica aceleración en la dirección del movimiento.

En el movimiento circular uniforme, la partícula que ejecuta el movimiento circular tiene una rapidez constante, mientras que el círculo tiene un radio fijo. Si la rapidez de la partícula también cambia, entonces añadimos una aceleración en la dirección tangencial al círculo. Estas aceleraciones se producen en un punto de un trompo que cambia su velocidad de giro, o en cualquier rotor que se acelere. En Desplazamiento y vectores de velocidad señalamos que la aceleración centrípeta es la tasa de tiempo del cambio de la dirección del vector de velocidad. Si la rapidez de la partícula cambia, entonces tiene una aceleración tangencial, que es la tasa de tiempo del cambio de la magnitud de la velocidad:

La dirección de la aceleración tangencial es tangente al círculo, mientras que la dirección de la aceleración centrípeta es radialmente hacia el centro del círculo. Por lo tanto, una partícula en movimiento circular con una aceleración tangencial tiene una aceleración total, que es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial:

Los vectores de aceleración se muestran en la Figura 4.22. Observe que los dos vectores de aceleración ${\overrightarrow{a}}_{\text{c}}$ y ${\overrightarrow{a}}_{\text{T}}$ son perpendiculares entre sí, con ${\overrightarrow{a}}_{\text{c}}$ en la dirección radial y ${\overrightarrow{a}}_{\text{T}}$ en la dirección tangencial. La aceleración total $\overrightarrow{a}$ apunta a un ángulo entre ${\overrightarrow{a}}_{\text{c}}$ y ${\overrightarrow{a}}_{\text{T}}.$

Figura 4.22 La aceleración centrípeta apunta hacia el centro del círculo. La aceleración tangencial es tangente al círculo en la posición de la partícula. La aceleración total es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta, que son perpendiculares.

Ejemplo 4.12

Aceleración total durante el movimiento circular

Una partícula se mueve en un círculo de radio r = 2,0 m. Durante el intervalo comprendido entre t = 1,5 s y t = 4,0 s su rapidez varía con el tiempo según

$$v(t)=c_1-\frac{c_2}{t^2},c_1=\mathrm{4,0}\text{m}\text{/}\text{s,}{c}_2=\mathrm{6,0}\text{m}·\text{s}\text{.}$$

¿Cuál es la aceleración total de la partícula en t = 2,0 s?

Estrategia

Nos dan la rapidez de la partícula y el radio del círculo, por lo que podemos calcular fácilmente la aceleración centrípeta. La dirección de la aceleración centrípeta es hacia el centro del círculo. Encontramos la magnitud de la aceleración tangencial al tomar la derivada con respecto al tiempo de $\left|v(t)\right|$ utilizando la Ecuación 4.31 y evaluándola en t = 2,0 s. Usamos esto y la magnitud de la aceleración centrípeta para encontrar la aceleración total.

Solución

La aceleración centrípeta es

$$v(\mathrm{2,0}\text{s})=\left(\mathrm{4,0}-\frac{\mathrm{6,0}}{{(\mathrm{2,0})}^2}\right)\text{m}\text{/}\text{s}=\mathrm{2,5}\text{m}\text{/}\text{s}$$

$$a_{\text{c}}=\frac{v^2}{r}=\frac{(\mathrm{2,5}\text{m}\text{/}{\text{s})}^2}{\mathrm{2,0}\text{m}}=\mathrm{3,1}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$$

dirigida hacia el centro del círculo. La aceleración tangencial es

$$a_{\text{T}}=\left|\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\right|=\frac{2c_2}{t^3}=\frac{\mathrm{12,0}}{{(\mathrm{2,0})}^3}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2=\mathrm{1,5}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$$

La aceleración total es

$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\mathrm{3,1}}^2+{\mathrm{1,5}}^2}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2=\mathrm{3,44}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$$

y $\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{\mathrm{3,1}}{\mathrm{1,5}}=64\text{°}$ de la tangente al círculo. Vea la Figura 4.23.

Figura 4.23 Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta. La aceleración neta $\overrightarrow{a}$ es la suma vectorial de las dos aceleraciones.

Importancia

Las direcciones de las aceleraciones centrípeta y tangencial pueden describirse de forma más conveniente en términos de un sistema de coordenadas polares, con vectores unitarios en las direcciones radial y tangencial. Este sistema de coordenadas, que se utiliza para el movimiento a lo largo de trayectorias curvas, se explora en detalle más adelante en el libro.