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Física Universitaria Volumen 1

4.4 Movimiento circular uniforme

Física Universitaria Volumen 14.4 Movimiento circular uniforme
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver la aceleración centrípeta de un objeto que se mueve en una trayectoria circular.
  • Utilizar las ecuaciones del movimiento circular para encontrar la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula que ejecuta un movimiento circular.
  • Explicar las diferencias entre la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial resultante del movimiento circular no uniforme.
  • Evaluar la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial en un movimiento circular no uniforme, y encontrar el vector de aceleración total.

El movimiento circular uniforme es un tipo específico de movimiento en el que un objeto se desplaza en círculo a una rapidez constante. Por ejemplo, cualquier punto de una hélice que gira a una velocidad constante en un movimiento circular uniforme. Otros ejemplos son las agujas de los segundos, los minutos y las horas de un reloj. Es notable que, los puntos de estos objetos en rotación se aceleren realmente, aunque la velocidad de rotación sea una constante. Para ver esto, debemos analizar el movimiento en términos de vectores.

Aceleración centrípeta

En la cinemática unidimensional, los objetos con rapidez constante tienen una aceleración cero. Sin embargo, en la cinemática bidimensional y tridimensional, aunque la rapidez sea una constante, una partícula puede tener aceleración si se mueve a lo largo de una trayectoria curva, como un círculo. En este caso, el vector de velocidad está cambiando, o dv/dt0.dv/dt0. Esto se muestra en la Figura 4.18. A medida que la partícula se desplaza en sentido contrario de las agujas del reloj en el tiempo ΔtΔt en la trayectoria circular, su vector de posición se mueve desde r(t)r(t) hasta r(t+Δt).r(t+Δt). El vector de velocidad tiene una magnitud constante y es tangente a la trayectoria al pasar de v(t)v(t) a v(t+Δt),v(t+Δt), y solo cambia su dirección. Dado que el vector de velocidad v(t)v(t) es perpendicular al vector de posición r(t),r(t), los triángulos formados por los vectores de posición y Δr,Δr, y los vectores de velocidad y ΔvΔv son similares. Además, dado que |r(t)|=|r(t+Δt)||r(t)|=|r(t+Δt)| y |v(t)|=|v(t+Δt)|,|v(t)|=|v(t+Δt)|, los dos triángulos son isósceles. A partir de estos hechos podemos hacer la afirmación

Δvv=ΔrrΔvv=Δrr o Δv=vrΔr.Δv=vrΔr.

La Figura a muestra un círculo con centro en el punto C. Se nos muestran los radios r de t y r de t, que están separados por un ángulo delta theta, y la longitud de cuerda delta r que une los extremos de los dos radios. Los vectores r de t, r de t más delta t, y delta r forman un triángulo. En la punta del vector r de t, la velocidad se muestra como v de t y apunta hacia arriba y hacia la derecha, tangente al círculo. En la punta del vector r de t más delta t, la velocidad se muestra como v de t más delta t y apunta hacia arriba y hacia la izquierda, tangente al círculo. La Figura b muestra los vectores v de t y v de t más delta t con sus colas juntas, y el vector delta v desde la punta de v de t hasta la punta de v de t más delta t. Estos tres vectores forman un triángulo. El ángulo entre v de t y v de t más delta t es theta.
Figura 4.18 (a) Una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, con vectores de posición y velocidad en tiempos t t y t + Δ t . t + Δ t . (b) Vectores de velocidad que forman un triángulo. Los dos triángulos de la figura son similares. El vector Δ v Δ v apunta hacia el centro del círculo en el límite Δ t 0 . Δ t 0 .

Podemos encontrar la magnitud de la aceleración a partir de

a=limΔt0(ΔvΔt)=vr(limΔt0ΔrΔt)=v2r.a=limΔt0(ΔvΔt)=vr(limΔt0ΔrΔt)=v2r.

La dirección de la aceleración también se puede encontrar observando que como ΔtΔt y por lo tanto ΔθΔθ se acerca a cero, el vector ΔvΔv se acerca a una dirección perpendicular a v.v. En el límite Δt0,Δt0,ΔvΔv es perpendicular a v.v. Dado que vv es tangente al círculo, la aceleración dv/dtdv/dt apunta hacia el centro del círculo. En resumen, una partícula que se mueve en un círculo con rapidez constante tiene una aceleración con magnitud

ac=v2r.ac=v2r.
4.27

La dirección del vector de aceleración es hacia el centro del círculo (Figura 4.19). Se trata de una aceleración radial y se denomina aceleración centrípeta, por lo que le damos el subíndice c. La palabra centrípeta viene de las palabras latinas centrum (que significa "centro") y petere (que significa "buscar"), y por tanto toma el significado de "búsqueda del centro".

Se muestra un círculo con una flecha púrpura marcada como vector a sub C que apunta radialmente hacia adentro y una flecha verde tangente al círculo y marcada v. Las flechas se muestran con sus colas en el mismo punto del círculo.
Figura 4.19 El vector de aceleración centrípeta apunta hacia el centro de la trayectoria circular del movimiento y es una aceleración en la dirección radial. También se muestra el vector de velocidad, que es tangente al círculo.

Investiguemos algunos ejemplos que ilustren las magnitudes relativas de la velocidad, el radio y la aceleración centrípeta.

Ejemplo 4.10

Creación de una aceleración de 1 g

Un jet vuela a 134,1 m/s en línea recta y realiza un giro en una trayectoria circular a nivel del suelo. ¿Cuál debe ser el radio del círculo para producir una aceleración centrípeta de 1 g sobre el piloto y el jet hacia el centro de la trayectoria circular?

Estrategia

Dada la rapidez del jet, podemos resolver el radio del círculo en la expresión de la aceleración centrípeta.

Solución

Establezca la aceleración centrípeta igual a la aceleración de la gravedad: 9,8m/s2=v2/r.9,8m/s2=v2/r.

Al resolver el radio, encontramos

r=(134,1m/s)29,8m/s2=1.835m=1,835km.r=(134,1m/s)29,8m/s2=1.835m=1,835km.

Importancia

Para crear una aceleración mayor que g en el piloto, el jet tendría que disminuir el radio de su trayectoria circular o aumentar su rapidez en su trayectoria existente, o ambas cosas.

Compruebe Lo Aprendido 4.5

Un volante de inercia tiene un radio de 20,0 cm. ¿Cuál es la rapidez de un punto en el borde del volante de inercia si experimenta una aceleración centrípeta de 900,0cm/s2?900,0cm/s2?

La aceleración centrípeta puede tener una amplia gama de valores, dependiendo de la rapidez y del radio de curvatura de la trayectoria circular. Las aceleraciones centrípetas típicas se indican en la siguiente tabla.

Objeto Aceleración centrípeta (m/s2 o factores de g)
La Tierra alrededor del Sol 5,93×10−35,93×10−3
La Luna alrededor de la Tierra 2,73×10−32,73×10−3
Satélite en órbita geosincrónica 0,233
Borde exterior de un CD al reproducirlo 5,785,78
Jet en un rollo de barril (2–3 g)
Montaña rusa (5 g)
Un electrón orbita un protón en un modelo de Bohr simple del átomo 9,0×10229,0×1022
Tabla 4.1 Aceleraciones centrípetas típicas

Ecuaciones de movimiento para el movimiento circular uniforme

Una partícula que ejecuta un movimiento circular puede describirse por su vector de posición r(t).r(t). La Figura 4.20 muestra una partícula que ejecuta un movimiento circular en sentido contrario de las agujas del reloj. A medida que la partícula se mueve en el círculo, su vector de posición barre el ángulo θθ con el eje de la x. El vector r(t)r(t) haciendo un ángulo θθ con el eje de la x se muestra con sus componentes a lo largo de los ejes de la x y la y. La magnitud del vector de posición es A=|r(t)|A=|r(t)| y es también el radio del círculo, por lo que en términos de sus componentes,

r(t)=Acosωti^+Asenωtj^.r(t)=Acosωti^+Asenωtj^.
4.28

Aquí, ωω es una constante llamada frecuencia angular de la partícula. La frecuencia angular tiene unidades de radianes (rad) por segundo y es simplemente el número de radianes de medida angular por los que pasa la partícula por segundo. El ángulo θθ que tiene el vector de posición en un tiempo determinado es ωtωt.

Si T es el periodo del movimiento, o el tiempo para completar una revolución (2π2π rad), entonces

ω=2πT.ω=2πT.
Se muestra un círculo de radio r, centrado en el origen de un sistema de coordenadas x y. El radio r de t es un vector que va desde el origen a un punto de la circunferencia y forma un ángulo theta igual a omega t con la horizontal. El componente x del vector r es la magnitud de r de t por el coseno de omega t. El componente y del vector r es la magnitud de r de t por el seno de omega t. La circulación es en sentido contrario de las agujas del reloj alrededor del círculo.
Figura 4.20 El vector de posición de una partícula en movimiento circular con sus componentes a lo largo de los ejes de la x y la y. La partícula se mueve en sentido contrario de las agujas del reloj. El ángulo θ θ es la frecuencia angular ω ω en radianes por segundo multiplicado por t.

La velocidad y la aceleración pueden obtenerse a partir de la función de posición por diferenciación:

v(t)=dr(t)dt=-Aωsenωti^+Aωcosωtj^.v(t)=dr(t)dt=-Aωsenωti^+Aωcosωtj^.
4.29

Se puede demostrar en la Figura 4.20 que el vector de velocidad es tangente al círculo en la ubicación de la partícula, con magnitud Aω.Aω. Del mismo modo, el vector de aceleración se encuentra al diferenciar la velocidad:

a(t)=dv(t)dt=-Aω2cosωti^-Aω2senωtj^.a(t)=dv(t)dt=-Aω2cosωti^-Aω2senωtj^.
4.30

De esta ecuación vemos que el vector de aceleración tiene la magnitud Aω2Aω2 y se dirige en sentido contrario al vector de posición, hacia el origen, porque a(t)=-ω2r(t).a(t)=-ω2r(t).

Ejemplo 4.11

Movimiento circular de un protón

Un protón tiene rapidez 5×106m/s5×106m/s y se mueve en un círculo en el plano xy de radio r = 0,175 m. ¿Cuál es su posición en el plano xy en el tiempo t=2,0×10−7s=200¿n?t=2,0×10−7s=200¿n? En t = 0, la posición del protón es 0,175mi^0,175mi^ y da vueltas en sentido contrario de las agujas del reloj. Haga un esquema de la trayectoria.

Solución

A partir de los datos dados, el protón tiene periodo y frecuencia angular:
T=2πrv=2π(0,175m)5,0×106m/s=2,20×10−7sT=2πrv=2π(0,175m)5,0×106m/s=2,20×10−7s
ω=2πT=2π2,20×10−7s=2,856×107rad/s.ω=2πT=2π2,20×10−7s=2,856×107rad/s.

La posición de la partícula en t=2,0×10−7st=2,0×10−7s con A = 0,175 m es

r(2,0×10−7s)=Acosω(2,0×10−7s)i^+Asenω(2,0×10−7s)j^m=0,175cos[(2,856×107rad/s)(2,0×10−7s)]i^+0,175sen[(2,856×107rad/s)(2,0×10−7s)]j^m=0,175cos(5,712rad)i^+0,175sen(5,712rad)j^=0,147i^-0,095j^m.r(2,0×10−7s)=Acosω(2,0×10−7s)i^+Asenω(2,0×10−7s)j^m=0,175cos[(2,856×107rad/s)(2,0×10−7s)]i^+0,175sen[(2,856×107rad/s)(2,0×10−7s)]j^m=0,175cos(5,712rad)i^+0,175sen(5,712rad)j^=0,147i^-0,095j^m.

De este resultado vemos que el protón se encuentra ligeramente por debajo del eje de la x. Esto se muestra en la Figura 4.21.

Se muestra un gráfico de la posición y en función de la posición x. Tanto x como y se miden en metros y van de -0,2 a 0,2. Se muestra un protón que se mueve en un círculo en sentido contrario de las agujas del reloj centrado en el origen en 11 momentos diferentes. En t = 0 s la partícula se encuentra en x = 0,175 m y en y = 0. En t = 200 nanosegundos, la partícula se encuentra en una posición dada por el vector 0,147 por el vector I menos 0,95 por el vector j metros.
Figura 4.21 Vector de posición del protón en t = 2,0 × 10 −7 s = 200 ns . t = 2,0 × 10 −7 s = 200 ns . Se muestra la trayectoria del protón. El ángulo que recorre el protón a lo largo del círculo es de 5,712 rad, es decir, algo menos de una revolución completa.

Importancia

Elegimos la posición inicial de la partícula para que esté en el eje de la x. Esto fue completamente arbitrario. Si se diera una posición inicial diferente, tendríamos otra posición final en t = 200 ns.

Movimiento circular no uniforme

El movimiento circular no tiene por qué ser de rapidez constante. Una partícula puede viajar en círculo y acelerar o frenar, lo cual indica aceleración en la dirección del movimiento.

En el movimiento circular uniforme, la partícula que ejecuta el movimiento circular tiene una rapidez constante, mientras que el círculo tiene un radio fijo. Si la rapidez de la partícula también cambia, entonces añadimos una aceleración en la dirección tangencial al círculo. Estas aceleraciones se producen en un punto de un trompo que cambia su velocidad de giro, o en cualquier rotor que se acelere. En Desplazamiento y vectores de velocidad señalamos que la aceleración centrípeta es la tasa de tiempo del cambio de la dirección del vector de velocidad. Si la rapidez de la partícula cambia, entonces tiene una aceleración tangencial, que es la tasa de tiempo del cambio de la magnitud de la velocidad:

aT=d|v|dt.aT=d|v|dt.
4.31

La dirección de la aceleración tangencial es tangente al círculo, mientras que la dirección de la aceleración centrípeta es radialmente hacia el centro del círculo. Por lo tanto, una partícula en movimiento circular con una aceleración tangencial tiene una aceleración total, que es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial:

a=ac+aT.a=ac+aT.
4.32

Los vectores de aceleración se muestran en la Figura 4.22. Observe que los dos vectores de aceleración acac y aTaT son perpendiculares entre sí, con acac en la dirección radial y aTaT en la dirección tangencial. La aceleración total aa apunta a un ángulo entre acac y aT. aT.

Se muestra la aceleración de una partícula en un círculo junto con sus componentes radial y tangencial. La aceleración centrípeta a sub c apunta radialmente hacia el centro del círculo. La aceleración tangencial a sub T es tangente al círculo en la posición de la partícula. La aceleración total es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta, que son perpendiculares.
Figura 4.22 La aceleración centrípeta apunta hacia el centro del círculo. La aceleración tangencial es tangente al círculo en la posición de la partícula. La aceleración total es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta, que son perpendiculares.

Ejemplo 4.12

Aceleración total durante el movimiento circular

Una partícula se mueve en un círculo de radio r = 2,0 m. Durante el intervalo comprendido entre t = 1,5 s y t = 4,0 s su rapidez varía con el tiempo según
v(t)=c1-c2t2,c1=4,0m/s,c2=6,0m·s.v(t)=c1-c2t2,c1=4,0m/s,c2=6,0m·s.

¿Cuál es la aceleración total de la partícula en t = 2,0 s?

Estrategia

Nos dan la rapidez de la partícula y el radio del círculo, por lo que podemos calcular fácilmente la aceleración centrípeta. La dirección de la aceleración centrípeta es hacia el centro del círculo. Encontramos la magnitud de la aceleración tangencial al tomar la derivada con respecto al tiempo de |v(t)||v(t)| utilizando la Ecuación 4.31 y evaluándola en t = 2,0 s. Usamos esto y la magnitud de la aceleración centrípeta para encontrar la aceleración total.

Solución

La aceleración centrípeta es
v(2,0s)=(4,0-6,0(2,0)2)m/s=2,5m/sv(2,0s)=(4,0-6,0(2,0)2)m/s=2,5m/s
ac=v2r=(2,5m/s)22,0m=3,1m/s2ac=v2r=(2,5m/s)22,0m=3,1m/s2

dirigida hacia el centro del círculo. La aceleración tangencial es

aT=|dvdt|=2c2t3=12,0(2,0)3m/s2=1,5m/s2.aT=|dvdt|=2c2t3=12,0(2,0)3m/s2=1,5m/s2.

La aceleración total es

|a|=3,12+1,52m/s2=3,44m/s2|a|=3,12+1,52m/s2=3,44m/s2

y θ=tan−13,11,5=64°θ=tan−13,11,5=64° de la tangente al círculo. Vea la Figura 4.23.

Se muestra la aceleración de una partícula en un círculo junto con sus componentes radial y tangencial. La aceleración centrípeta a sub c apunta radialmente hacia el centro del círculo y tiene una magnitud de 3,1 metros por segundo al cuadrado. La aceleración tangencial a sub T es tangente al círculo en la posición de la partícula y tiene una magnitud de 1,5 metros por segundo al cuadrado. El ángulo entre la aceleración total a y la aceleración tangencial a sub T es de 64 grados.
Figura 4.23 Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta. La aceleración neta a a es la suma vectorial de las dos aceleraciones.

Importancia

Las direcciones de las aceleraciones centrípeta y tangencial pueden describirse de forma más conveniente en términos de un sistema de coordenadas polares, con vectores unitarios en las direcciones radial y tangencial. Este sistema de coordenadas, que se utiliza para el movimiento a lo largo de trayectorias curvas, se explora en detalle más adelante en el libro.
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