10.5 Calcular momentos de inercia

Una varilla delgada y uniforme con un eje por el centro

Considere una varilla delgada uniforme (densidad y forma) de masa M y longitud L como se muestra en la Figura 10.25. Queremos una varilla delgada para poder suponer que el área de la sección transversal de la varilla es pequeña y que la varilla se puede considerar como una cadena de masas a lo largo de una línea recta unidimensional. En este ejemplo, el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio para simplificar. Nuestra tarea consiste en calcular el momento de inercia en torno a este eje. Orientamos los ejes de manera que el eje de la z sea el eje de rotación y el eje de la x pase por la longitud de la varilla, como se muestra en la figura. Esta es una opción conveniente porque entonces podemos integrar a lo largo del eje de la x.

Figura 10.25 Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada uniforme en torno a un eje que pasa por el centro de la varilla.

Definimos dm como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. La integral del momento de inercia es una integral sobre la distribución de masas. Sin embargo, sabemos cómo integrar sobre el espacio, no sobre la masa. Por lo tanto, tenemos que encontrar una forma de relacionar la masa con las variables espaciales. Para ello, utilizamos la densidad lineal de masa $\lambda$ del objeto, que es la masa por unidad de longitud. Dado que la densidad de masa de este objeto es uniforme, podemos escribir

Si tomamos la diferencial de cada lado de esta ecuación, hallamos

dado que $\lambda$ es constante. Hemos elegido orientar la varilla a lo largo del eje de la x por comodidad, y es aquí donde esta elección resulta muy útil. Observe que una pieza de la varilla dl se encuentra completamente a lo largo del eje de la x y tiene una longitud dx; de hecho, $dl=dx$ en esta situación. Por lo tanto, podemos escribir $dm=\lambda (dx)$, lo que nos da una variable de integración que sabemos cómo tratar. La distancia de cada pieza de masa dm al eje viene dada por la variable x, como se muestra en la figura. Al unir todo esto, obtenemos

El último paso es tener cuidado con nuestros límites de integración. La varilla se extiende desde $x=\text{-}L\text{/}2$ a $x=L\text{/}2$, ya que el eje está en el centro de la varilla en $x=0$. Esto nos da

A continuación, calculamos el momento de inercia para la misma varilla delgada uniforme, pero con otra elección de eje para poder comparar los resultados. Es de esperar que el momento de inercia sea menor en torno a un eje que pasa por el centro de masa que en el eje de los extremos, tal y como ocurría en el ejemplo de la barra al principio de esta sección. Esto ocurre porque la masa se distribuye más lejos del eje de rotación.

Una varilla delgada y uniforme con un eje en el extremo

Consideremos ahora la misma varilla delgada y uniforme de masa M y longitud L, pero esta vez trasladamos el eje de rotación al extremo de la varilla. Queremos hallar el momento de inercia en torno a este nuevo eje (Figura 10.26). La cantidad dm se define de nuevo como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. Al igual que antes, obtenemos

Sin embargo, esta vez tenemos otros límites de integración. La varilla se extiende desde $x=0$ a $x=L$, ya que el eje está en el extremo de la varilla en $x=0$. Por lo tanto, hallamos

Figura 10.26 Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada y uniforme en torno a un eje que pasa por el extremo de la varilla.

Observe que la inercia rotacional de la varilla en torno a su extremo es mayor que la inercia rotacional en torno a su centro (en consonancia con el ejemplo de la barra) por un factor de cuatro.

Un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por el centro

Integrar para hallar el momento de inercia de un objeto bidimensional es un poco más complicado, pero una forma se hace comúnmente en este nivel de estudio: un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por su centro (Figura 10.27).

Figura 10.27 Calcular el momento de inercia de un disco delgado en torno a un eje que pasa por su centro.

Dado que el disco es delgado, podemos tomar la masa como distribuida enteramente en el plano xy. Comenzamos de nuevo con la relación para la densidad de masa superficial, que es la masa por unidad de área de superficie. Al ser uniforme, la densidad de masa superficial $\sigma$ es constante:

Ahora utilizamos una simplificación para el área. Se puede pensar que el área está formada por una serie de anillos delgados, donde cada anillo es un incremento de masa dm de radio r equidistante del eje, como se muestra en la parte (b) de la figura. El área infinitesimal de cada anillo dA viene dada, por lo tanto, por la longitud de cada anillo ($2\pi r$) por la anchura infinitesimal de cada anillo dr:

El área completa del disco se compone entonces de la suma de todos los anillos delgados con un rango de radios de 0 a R. Este rango de radios se convierte entonces en nuestros límites de integración para dr, es decir, integramos desde $r=0$ a $r=R$. Si juntamos todo esto, tenemos

Observe que esto coincide con el valor dado en la Figura 10.20.

Cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos

Consideremos ahora un objeto compuesto como el que aparece en la Figura 10.28, que representa un disco delgado en el extremo de una varilla delgada. Esto no se puede integrar fácilmente para hallar el momento de inercia porque no es un objeto uniforme. Sin embargo, si volvemos a la definición inicial del momento de inercia como una suma, podemos razonar que el momento de inercia de un objeto compuesto se halla a partir de la suma de cada parte del objeto:

Es importante señalar que los momentos de inercia de los objetos en la Ecuación 10.21 están en torno a un eje común. En el caso de este objeto, se trataría de una varilla de longitud L que rota en torno a su extremo, y un disco delgado de radio R que rota en torno a un eje desplazado del centro en una distancia $L+R$, donde R es el radio del disco. Definamos la masa de la varilla como $m_{\text{r}}$ y la masa del disco como $m_{\text{d}}.$

Figura 10.28 Objeto compuesto que consiste de un disco en el extremo de una varilla. El eje de rotación está situado en A.

El momento de inercia de la varilla es simplemente $\frac{1}{3}{m}_{\text{r}}{L}^2$, pero tenemos que utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia del disco en torno al eje mostrado. El momento de inercia del disco en torno a su centro es $\frac{1}{2}{m}_{\text{d}}{R}^2$ y aplicamos el teorema del eje paralelo $I_{\text{eje paralelo}}=I_{\text{centro de masa}}+m{d}^2$ para hallar

Si sumamos el momento de inercia de la varilla más el momento de inercia del disco con el eje de rotación desplazado, hallamos que el momento de inercia del objeto compuesto es

Aplicar los cálculos del momento de inercia para resolver problemas

Examinemos ahora algunas aplicaciones prácticas del cálculo del momento de inercia.

Ejemplo 10.11

Persona en un carrusel

Un niño de 25 kg se encuentra a una distancia $r=\mathrm{1,0}\text{m}$ del eje de un carrusel en rotación (Figura 10.29). El carrusel puede tomarse como un disco sólido uniforme, con una masa de 500 kg y un radio de 2,0 m. Halle el momento de inercia de este sistema.

Figura 10.29 Calcular el momento de inercia de un niño en un carrusel.

Estrategia

Este problema implica el cálculo de un momento de inercia. Nos dan la masa y la distancia al eje de rotación del niño, así como la masa y el radio del carrusel. Dado que la masa y el tamaño del niño son mucho más pequeños que el carrusel, podemos calcular aproximadamente al niño como una masa puntual. La notación que utilizamos es $m_{\text{c}}=25\text{kg},r_{\text{c}}=\mathrm{1,0}\text{m},m_{\text{m}}=500\text{kg},r_{\text{m}}=\mathrm{2,0}\text{m}$.

Nuestro objetivo es hallar $I_{\text{total}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}$.

Solución

Para el niño (child, c), $I_{\text{c}}=m_{\text{c}}{r}^2$, y para el carrusel (merry-go-round, m), $I_{\text{m}}=\frac{1}{2}{m}_{\text{m}}{r}^2$. Por lo tanto,

$$I_{\text{total}}=25{(1)}^2+\frac{1}{2}(500){(2)}^2=25+1.000=1.025\text{kg}·{\text{m}}^2.$$

Importancia

El valor debería aproximarse al momento de inercia del carrusel por sí mismo porque tiene mucha más masa distribuida fuera del eje que el niño.

Ejemplo 10.12

Varilla y esfera sólida

Halle el momento de inercia de la combinación de varilla y esfera sólida en torno a los dos ejes, como se muestra a continuación. La varilla tiene una longitud de 0,5 m y una masa de 2,0 kg. El radio de la esfera es de 20,0 cm y tiene una masa de 1,0 kg.

Estrategia

Dado que en ambos casos tenemos un objeto compuesto, podemos utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno a cada eje. En (a), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia $L+R$ desde el eje de rotación. En (b), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia R del eje de rotación. En ambos casos, el momento de inercia de la varilla está en torno a un eje situado en un extremo. Consulte en la Tabla 10.4 los momentos de inercia de los distintos objetos.

1. $I_{\text{total}}={\displaystyle \sum _i{I}_i}=I_{\text{Varilla}}+I_{\text{Esfera}}$;
   $I_{\text{Esfera}}=I_{\text{centro de masa}}+m_{\text{Esfera}}{(L+R)}^2=\frac{2}{5}{m}_{\text{Esfera}}{R}^2+m_{\text{Esfera}}{(L+R)}^2$;
   $I_{\text{total}}=I_{\text{Varilla}}+I_{\text{Esfera}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{Varilla}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{Esfera}}{R}^2+m_{\text{Esfera}}{(L+R)}^2;$
   $I_{\text{total}}=\frac{1}{3}(\mathrm{2,0}\text{kg}){(\mathrm{0,5}\text{m})}^2+\frac{2}{5}(\mathrm{1,0}\text{kg})(\mathrm{0,2}{\text{m})}^2+(\mathrm{1,0}\text{kg}){(\mathrm{0,5}\text{m}+\mathrm{0,2}\text{m})}^2;$
   $I_{\text{total}}=(\mathrm{0,167}+\mathrm{0,016}+\mathrm{0,490})\text{kg}·{\text{m}}^2=\mathrm{0,673}\text{kg}·{\text{m}}^2.$
   
2. $I_{\text{Esfera}}=\frac{2}{5}{m}_{\text{Esfera}}{R}^2+m_{\text{Esfera}}{R}^2$;
   $I_{\text{total}}=I_{\text{Varilla}}+I_{\text{Esfera}}=\frac{1}{3}{m}_{\text{Varilla}}{L}^2+\frac{2}{5}{m}_{\text{Esfera}}{R}^2+m_{\text{Esfera}}{R}^2$;
   $I_{\text{total}}=\frac{1}{3}(\mathrm{2,0}\text{kg}){(\mathrm{0,5}\text{m})}^2+\frac{2}{5}(\mathrm{1,0}\text{kg})(\mathrm{0,2}{\text{m})}^2+(\mathrm{1,0}\text{kg}){(\mathrm{0,2}\text{m})}^2$;
   $I_{\text{total}}=(\mathrm{0,167}+\mathrm{0,016}+\mathrm{0,04})\text{kg}·{\text{m}}^2=\mathrm{0,223}\text{kg}·{\text{m}}^2.$

Importancia

El uso del teorema del eje paralelo facilita el cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos. Vemos que el momento de inercia es mayor en (a) que en (b). Esto se debe a que el eje de rotación está más cerca del centro de masa del sistema en (b). La analogía simple es la de una varilla. El momento de inercia en torno a un extremo es $\frac{1}{3}m{L}^2$, pero el momento de inercia a través del centro de masa a lo largo de su longitud es $\frac{1}{12}m{L}^2$.

Ejemplo 10.13

Velocidad angular de un péndulo

Un péndulo en forma de varilla (Figura 10.30) se suelta del reposo con un ángulo de $30\text{°}$. Tiene una longitud de 30 cm y una masa de 300 g. ¿Cuál es su velocidad angular en su punto más bajo?

Figura 10.30 Un péndulo en forma de varilla se suelta del reposo con un ángulo de $30\text{°}.$

Estrategia

Utilice la conservación de la energía para resolver el problema. En el punto de liberación, el péndulo tiene energía potencial gravitacional, que se determina a partir de la altura del centro de masa sobre su punto más bajo en la oscilación. En la parte inferior de la oscilación, toda la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética rotacional.

Solución

El cambio en la energía potencial es igual al cambio en la energía cinética rotacional, $\Delta U+\Delta K=0$.

En la parte superior de la oscilación: $U=mg{h}_{\text{cm}}=mg\frac{L}{2}(\text{cos}\theta )$. En la parte inferior de la oscilación, $U=mg\frac{L}{2}.$

En la parte superior de la oscilación, la energía cinética rotacional es $K=0$. En la parte inferior de la oscilación, $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$. Por lo tanto:

$$\text{Δ}U+\text{Δ}K=0\Rightarrow (mg\frac{L}{2}(1-\text{cos}\theta )-0)+(0-\frac{1}{2}I{\omega }^2)=0$$

o

$$\frac{1}{2}I{\omega }^2=mg\frac{L}{2}(1-\text{cos}\theta ).$$

Resolviendo para $\omega$, tenemos

$$\omega =\sqrt{mg\frac{L}{I}(1-\text{cos}\theta )}=\sqrt{mg\frac{L}{1\text{/}3m{L}^2}(1-\text{cos}\theta )}=\sqrt{g\frac{3}{L}(1-\text{cos}\theta )}.$$

Insertando los valores numéricos, tenemos

$$\omega =\sqrt{\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\frac{3}{\mathrm{0,3}\text{m}}(1-\text{cos}30)}=\mathrm{3,6}\text{rad}\text{/}\text{s}.$$

Importancia

Observe que la velocidad angular del péndulo no depende de su masa.