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Física Universitaria Volumen 1

10.5 Calcular momentos de inercia

Física Universitaria Volumen 110.5 Calcular momentos de inercia
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Calcular el momento de inercia de cuerpos rígidos y uniformes.
  • Aplicar el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de inercia sobre cualquier eje paralelo a uno ya conocido.
  • Calcular el momento de inercia de los objetos compuestos.

En la sección anterior definimos el momento de inercia, pero no indicamos cómo calcularlo. En esta sección, mostramos cómo calcular el momento de inercia para varios tipos de objetos estándar, así como cómo utilizar los momentos de inercia conocidos para hallar el momento de inercia en un eje desplazado o en un objeto compuesto. Esta sección es bastante útil para ver cómo aplicar una ecuación general a objetos complejos (una habilidad que es fundamental en los cursos de física e ingeniería más avanzados).

Momento de inercia

Definimos el momento de inercia I de un objeto como I=imiri2I=imiri2 para todas las masas puntuales que componen el objeto. Como r es la distancia al eje de rotación de cada pieza de masa que compone el objeto, el momento de inercia de cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo sencillo de dos masas en el extremo de una varilla sin masa (masa despreciable) (Figura 10.23) y calculemos el momento de inercia en torno a dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es sencilla porque las dos masas del extremo de la barra se pueden tomar como masas puntuales y, por tanto, la suma solo tiene dos términos.

En el caso con el eje en el centro de la barra, cada una de las dos masas m está a una distancia R del eje, dando un momento de inercia de

I1=mR2+mR2=2mR2.I1=mR2+mR2=2mR2.

En el caso de que el eje esté en el extremo de la barra, pasando por una de las masas, el momento de inercia es

I2=m(0)2+m(2R)2=4mR2.I2=m(0)2+m(2R)2=4mR2.

De este resultado, podemos concluir que es dos veces más difícil hacer rotar la barra en torno al extremo que en torno a su centro.

La Figura A muestra una barra de la longitud 2 R con las masas m en los extremos. Está en rotación por su centro. La Figura B muestra una barra de la longitud 2 R con las masas m en los extremos. Está en rotación por un extremo.
Figura 10.23 (a) Una barra con un eje de rotación por su centro; (b) una barra con un eje de rotación por un extremo.

En este ejemplo, teníamos dos masas puntuales y la suma era sencilla de calcular. Sin embargo, para tratar con objetos que no son puntuales, tenemos que pensar cuidadosamente en cada uno de los términos de la ecuación. La ecuación nos pide que sumemos cada "pieza de masa" a una determinada distancia del eje de rotación. Pero, ¿qué significa exactamente cada "pieza de masa"? Recordemos que, en nuestra derivación de esta ecuación, cada pieza de masa tenía la misma magnitud de velocidad, lo que significa que toda la pieza debía tener una única distancia r al eje de rotación. Sin embargo, esto no es posible, a menos que tomemos una pieza infinitesimalmente pequeña de masa dm, como se muestra en la Figura 10.24.

La figura muestra un punto dm situado en el eje de la X a una distancia r del centro.
Figura 10.24 Utilizar una pieza infinitesimalmente pequeña de masa para calcular la contribución al momento de inercia total.

La necesidad de utilizar una pieza infinitesimalmente pequeña de masa dm sugiere que podemos escribir el momento de inercia al evaluar una integral sobre masas infinitesimales en lugar de hacer otra suma en masas finitas:

I=imiri2se convierte enI=r2dm.I=imiri2se convierte enI=r2dm.
10.19

De hecho, esta es la forma que necesitamos para generalizar la ecuación para formas complejas. Lo mejor es trabajar en detalle con ejemplos específicos para tener una idea de cómo calcular el momento de inercia en formas específicas. En esto se centra la mayor parte del resto de esta sección.

Una varilla delgada y uniforme con un eje por el centro

Considere una varilla delgada uniforme (densidad y forma) de masa M y longitud L como se muestra en la Figura 10.25. Queremos una varilla delgada para poder suponer que el área de la sección transversal de la varilla es pequeña y que la varilla se puede considerar como una cadena de masas a lo largo de una línea recta unidimensional. En este ejemplo, el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio para simplificar. Nuestra tarea consiste en calcular el momento de inercia en torno a este eje. Orientamos los ejes de manera que el eje de la z sea el eje de rotación y el eje de la x pase por la longitud de la varilla, como se muestra en la figura. Esta es una opción conveniente porque entonces podemos integrar a lo largo del eje de la x.

La figura muestra una varilla delgada que gira alrededor de un eje que pasa por el centro. Parte de la varilla de la longitud dx tiene una masa dm.
Figura 10.25 Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada uniforme en torno a un eje que pasa por el centro de la varilla.

Definimos dm como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. La integral del momento de inercia es una integral sobre la distribución de masas. Sin embargo, sabemos cómo integrar sobre el espacio, no sobre la masa. Por lo tanto, tenemos que encontrar una forma de relacionar la masa con las variables espaciales. Para ello, utilizamos la densidad lineal de masa λλ del objeto, que es la masa por unidad de longitud. Dado que la densidad de masa de este objeto es uniforme, podemos escribir

λ=mlom=λl.λ=mlom=λl.

Si tomamos la diferencial de cada lado de esta ecuación, hallamos

dm=d(λl)=λ(dl)dm=d(λl)=λ(dl)

dado que λλ es constante. Hemos elegido orientar la varilla a lo largo del eje de la x por comodidad, y es aquí donde esta elección resulta muy útil. Observe que una pieza de la varilla dl se encuentra completamente a lo largo del eje de la x y tiene una longitud dx; de hecho, dl=dxdl=dx en esta situación. Por lo tanto, podemos escribir dm=λ(dx)dm=λ(dx), lo que nos da una variable de integración que sabemos cómo tratar. La distancia de cada pieza de masa dm al eje viene dada por la variable x, como se muestra en la figura. Al unir todo esto, obtenemos

I=r2dm=x2dm=x2λdx.I=r2dm=x2dm=x2λdx.

El último paso es tener cuidado con nuestros límites de integración. La varilla se extiende desde x=-L/2x=-L/2 a x=L/2x=L/2, ya que el eje está en el centro de la varilla en x=0x=0. Esto nos da

I=-L/2L/2x2λdx=λx33|-L/2L/2=λ(13)[(L2)3-(-L2)3]=λ(13)L38(2)=ML(13)L38(2)=112ML2.I=-L/2L/2x2λdx=λx33|-L/2L/2=λ(13)[(L2)3-(-L2)3]=λ(13)L38(2)=ML(13)L38(2)=112ML2.

A continuación, calculamos el momento de inercia para la misma varilla delgada uniforme, pero con otra elección de eje para poder comparar los resultados. Es de esperar que el momento de inercia sea menor en torno a un eje que pasa por el centro de masa que en el eje de los extremos, tal y como ocurría en el ejemplo de la barra al principio de esta sección. Esto ocurre porque la masa se distribuye más lejos del eje de rotación.

Una varilla delgada y uniforme con un eje en el extremo

Consideremos ahora la misma varilla delgada y uniforme de masa M y longitud L, pero esta vez trasladamos el eje de rotación al extremo de la varilla. Queremos hallar el momento de inercia en torno a este nuevo eje (Figura 10.26). La cantidad dm se define de nuevo como un pequeño elemento de masa que compone la varilla. Al igual que antes, obtenemos

I=r2dm=x2dm=x2λdx.I=r2dm=x2dm=x2λdx.

Sin embargo, esta vez tenemos otros límites de integración. La varilla se extiende desde x=0x=0 a x=Lx=L, ya que el eje está en el extremo de la varilla en x=0x=0. Por lo tanto, hallamos

I=0Lx2λdx=λx33|0L=λ(13)[(L)3-(0)3]=λ(13)L3=ML(13)L3=13ML2.I=0Lx2λdx=λx33|0L=λ(13)[(L)3-(0)3]=λ(13)L3=ML(13)L3=13ML2.
La figura muestra una varilla delgada que gira alrededor de un eje por el extremo. Parte de la varilla de la longitud dx tiene una masa dm.
Figura 10.26 Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada y uniforme en torno a un eje que pasa por el extremo de la varilla.

Observe que la inercia rotacional de la varilla en torno a su extremo es mayor que la inercia rotacional en torno a su centro (en consonancia con el ejemplo de la barra) por un factor de cuatro.

El teorema del eje paralelo

La similitud entre el proceso de hallar el momento de inercia de una varilla en torno a un eje que pasa por su centro y en torno a un eje que pasa por su extremo es sorprendente, y sugiere que podría haber un método más sencillo para determinar el momento de inercia de una varilla en torno a cualquier eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa. Dicho eje se denomina eje paralelo. Existe un teorema para esto, llamado teorema del eje paralelo, que enunciamos aquí, pero no derivamos en este texto.

Teorema del eje paralelo

Supongamos que m sea la masa de un objeto y d sea la distancia desde un eje que pasa por el centro de masa del objeto hasta un nuevo eje. Entonces tenemos

Ieje paralelo=Icentro de masa+md2.Ieje paralelo=Icentro de masa+md2.
10.20

Apliquemos esto a los ejemplos de varillas resueltos anteriormente:

Iextremo=Icentro de masa+md2=112mL2+m(L2)2=(112+14)mL2=13mL2.Iextremo=Icentro de masa+md2=112mL2+m(L2)2=(112+14)mL2=13mL2.

Este resultado concuerda con nuestro cálculo más extenso de arriba. Esta es una ecuación útil que aplicamos en algunos de los ejemplos y problemas.

Compruebe Lo Aprendido 10.5

¿Cuál es el momento de inercia de un cilindro de radio R y masa m en torno a un eje que pasa por un punto de la superficie, como se muestra a continuación?

La figura muestra un cilindro de radio R que rota en torno a un eje que pasa por un punto de la superficie.

Un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por el centro

Integrar para hallar el momento de inercia de un objeto bidimensional es un poco más complicado, pero una forma se hace comúnmente en este nivel de estudio: un disco delgado y uniforme en torno a un eje que pasa por su centro (Figura 10.27).

La figura muestra un disco delgado y uniforme de radio r que rota en torno a un eje Z que pasa por su centro.
Figura 10.27 Calcular el momento de inercia de un disco delgado en torno a un eje que pasa por su centro.

Dado que el disco es delgado, podemos tomar la masa como distribuida enteramente en el plano xy. Comenzamos de nuevo con la relación para la densidad de masa superficial, que es la masa por unidad de área de superficie. Al ser uniforme, la densidad de masa superficial σσ es constante:

σ=mAoσA=m,entoncesdm=σ(dA).σ=mAoσA=m,entoncesdm=σ(dA).

Ahora utilizamos una simplificación para el área. Se puede pensar que el área está formada por una serie de anillos delgados, donde cada anillo es un incremento de masa dm de radio r equidistante del eje, como se muestra en la parte (b) de la figura. El área infinitesimal de cada anillo dA viene dada, por lo tanto, por la longitud de cada anillo (2πr2πr) por la anchura infinitesimal de cada anillo dr:

A=πr2,dA=d(πr2)=πdr2=2πrdr.A=πr2,dA=d(πr2)=πdr2=2πrdr.

El área completa del disco se compone entonces de la suma de todos los anillos delgados con un rango de radios de 0 a R. Este rango de radios se convierte entonces en nuestros límites de integración para dr, es decir, integramos desde r=0r=0 a r=Rr=R. Si juntamos todo esto, tenemos

I=0Rr2σ(2πr)dr=2πσ0Rr3dr=2πσr44|0R=2πσ(R44-0)=2πmA(R44)=2πmπR2(R44)=12mR2.I=0Rr2σ(2πr)dr=2πσ0Rr3dr=2πσr44|0R=2πσ(R44-0)=2πmA(R44)=2πmπR2(R44)=12mR2.

Observe que esto coincide con el valor dado en la Figura 10.20.

Cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos

Consideremos ahora un objeto compuesto como el que aparece en la Figura 10.28, que representa un disco delgado en el extremo de una varilla delgada. Esto no se puede integrar fácilmente para hallar el momento de inercia porque no es un objeto uniforme. Sin embargo, si volvemos a la definición inicial del momento de inercia como una suma, podemos razonar que el momento de inercia de un objeto compuesto se halla a partir de la suma de cada parte del objeto:

Itotal=iIi.Itotal=iIi.
10.21

Es importante señalar que los momentos de inercia de los objetos en la Ecuación 10.21 están en torno a un eje común. En el caso de este objeto, se trataría de una varilla de longitud L que rota en torno a su extremo, y un disco delgado de radio R que rota en torno a un eje desplazado del centro en una distancia L+RL+R, donde R es el radio del disco. Definamos la masa de la varilla como mrmr y la masa del disco como md.md.

La figura muestra un disco de radio R conectado a una varilla de longitud L.
Figura 10.28 Objeto compuesto que consiste de un disco en el extremo de una varilla. El eje de rotación está situado en A.

El momento de inercia de la varilla es simplemente 13mrL213mrL2, pero tenemos que utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia del disco en torno al eje mostrado. El momento de inercia del disco en torno a su centro es 12mdR212mdR2 y aplicamos el teorema del eje paralelo Ieje paralelo=Icentro de masa+md2Ieje paralelo=Icentro de masa+md2 para hallar

Ieje paralelo=12mdR2+md(L+R)2.Ieje paralelo=12mdR2+md(L+R)2.

Si sumamos el momento de inercia de la varilla más el momento de inercia del disco con el eje de rotación desplazado, hallamos que el momento de inercia del objeto compuesto es

Itotal=13mrL2+12mdR2+md(L+R)2.Itotal=13mrL2+12mdR2+md(L+R)2.

Aplicar los cálculos del momento de inercia para resolver problemas

Examinemos ahora algunas aplicaciones prácticas del cálculo del momento de inercia.

Ejemplo 10.11

Persona en un carrusel

Un niño de 25 kg se encuentra a una distancia r=1,0mr=1,0m del eje de un carrusel en rotación (Figura 10.29). El carrusel puede tomarse como un disco sólido uniforme, con una masa de 500 kg y un radio de 2,0 m. Halle el momento de inercia de este sistema.
La figura es un dibujo de un niño en un carrusel. El carrusel tiene un radio de 2 metros. El niño está de pie, a un metro del centro.
Figura 10.29 Calcular el momento de inercia de un niño en un carrusel.

Estrategia

Este problema implica el cálculo de un momento de inercia. Nos dan la masa y la distancia al eje de rotación del niño, así como la masa y el radio del carrusel. Dado que la masa y el tamaño del niño son mucho más pequeños que el carrusel, podemos calcular aproximadamente al niño como una masa puntual. La notación que utilizamos es mc=25kg,rc=1,0m,mm=500kg,rm=2,0mmc=25kg,rc=1,0m,mm=500kg,rm=2,0m.

Nuestro objetivo es hallar Itotal=iIiItotal=iIi.

Solución

Para el niño (child, c), Ic=mcr2Ic=mcr2, y para el carrusel (merry-go-round, m), Im=12mmr2Im=12mmr2. Por lo tanto,
Itotal=25(1)2+12(500)(2)2=25+1.000=1.025kg·m2.Itotal=25(1)2+12(500)(2)2=25+1.000=1.025kg·m2.

Importancia

El valor debería aproximarse al momento de inercia del carrusel por sí mismo porque tiene mucha más masa distribuida fuera del eje que el niño.

Ejemplo 10.12

Varilla y esfera sólida

Halle el momento de inercia de la combinación de varilla y esfera sólida en torno a los dos ejes, como se muestra a continuación. La varilla tiene una longitud de 0,5 m y una masa de 2,0 kg. El radio de la esfera es de 20,0 cm y tiene una masa de 1,0 kg. La Figura A muestra un disco de radio R unido a una varilla de longitud L. El punto A está en el extremo de la varilla opuesto al disco. La Figura B muestra un disco de radio R unido a una varilla de longitud L. El punto B está en el extremo de la varilla unido al disco.

Estrategia

Dado que en ambos casos tenemos un objeto compuesto, podemos utilizar el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno a cada eje. En (a), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia L+RL+R desde el eje de rotación. En (b), el centro de masa de la esfera está situado a una distancia R del eje de rotación. En ambos casos, el momento de inercia de la varilla está en torno a un eje situado en un extremo. Consulte en la Tabla 10.4 los momentos de inercia de los distintos objetos.
  1. Itotal=iIi=IVarilla+IEsferaItotal=iIi=IVarilla+IEsfera;
    IEsfera=Icentro de masa+mEsfera(L+R)2=25mEsferaR2+mEsfera(L+R)2IEsfera=Icentro de masa+mEsfera(L+R)2=25mEsferaR2+mEsfera(L+R)2;
    Itotal=IVarilla+IEsfera=13mVarillaL2+25mEsferaR2+mEsfera(L+R)2;Itotal=IVarilla+IEsfera=13mVarillaL2+25mEsferaR2+mEsfera(L+R)2;
    Itotal=13(2,0kg)(0,5m)2+25(1,0kg)(0,2m)2+(1,0kg)(0,5m+0,2m)2;Itotal=13(2,0kg)(0,5m)2+25(1,0kg)(0,2m)2+(1,0kg)(0,5m+0,2m)2;
    Itotal=(0,167+0,016+0,490)kg·m2=0,673kg·m2.Itotal=(0,167+0,016+0,490)kg·m2=0,673kg·m2.
  2. IEsfera=25mEsferaR2+mEsferaR2IEsfera=25mEsferaR2+mEsferaR2;
    Itotal=IVarilla+IEsfera=13mVarillaL2+25mEsferaR2+mEsferaR2Itotal=IVarilla+IEsfera=13mVarillaL2+25mEsferaR2+mEsferaR2;
    Itotal=13(2,0kg)(0,5m)2+25(1,0kg)(0,2m)2+(1,0kg)(0,2m)2Itotal=13(2,0kg)(0,5m)2+25(1,0kg)(0,2m)2+(1,0kg)(0,2m)2;
    Itotal=(0,167+0,016+0,04)kg·m2=0,223kg·m2.Itotal=(0,167+0,016+0,04)kg·m2=0,223kg·m2.

Importancia

El uso del teorema del eje paralelo facilita el cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos. Vemos que el momento de inercia es mayor en (a) que en (b). Esto se debe a que el eje de rotación está más cerca del centro de masa del sistema en (b). La analogía simple es la de una varilla. El momento de inercia en torno a un extremo es 13mL213mL2, pero el momento de inercia a través del centro de masa a lo largo de su longitud es 112mL2112mL2.

Ejemplo 10.13

Velocidad angular de un péndulo

Un péndulo en forma de varilla (Figura 10.30) se suelta del reposo con un ángulo de 30°30°. Tiene una longitud de 30 cm y una masa de 300 g. ¿Cuál es su velocidad angular en su punto más bajo?
La figura muestra un péndulo en forma de varilla con una masa de 300 gramos y una longitud de 30 centímetros. El péndulo se suelta del reposo con un ángulo de 30 grados.
Figura 10.30 Un péndulo en forma de varilla se suelta del reposo con un ángulo de 30 ° . 30 ° .

Estrategia

Utilice la conservación de la energía para resolver el problema. En el punto de liberación, el péndulo tiene energía potencial gravitacional, que se determina a partir de la altura del centro de masa sobre su punto más bajo en la oscilación. En la parte inferior de la oscilación, toda la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética rotacional.

Solución

El cambio en la energía potencial es igual al cambio en la energía cinética rotacional, ΔU+ΔK=0ΔU+ΔK=0.

En la parte superior de la oscilación: U=mghcm=mgL2(cosθ)U=mghcm=mgL2(cosθ). En la parte inferior de la oscilación, U=mgL2.U=mgL2.

En la parte superior de la oscilación, la energía cinética rotacional es K=0K=0. En la parte inferior de la oscilación, K=12Iω2K=12Iω2. Por lo tanto:

ΔU+ΔK=0(mgL2(1-cosθ)-0)+(0-12Iω2)=0ΔU+ΔK=0(mgL2(1-cosθ)-0)+(0-12Iω2)=0

o

12Iω2=mgL2(1-cosθ).12Iω2=mgL2(1-cosθ).

Resolviendo para ωω, tenemos

ω=mgLI(1-cosθ)=mgL1/3mL2(1-cosθ)=g3L(1-cosθ).ω=mgLI(1-cosθ)=mgL1/3mL2(1-cosθ)=g3L(1-cosθ).

Insertando los valores numéricos, tenemos

ω=9,8m/s230,3m(1-cos30)=3,6rad/s.ω=9,8m/s230,3m(1-cos30)=3,6rad/s.

Importancia

Observe que la velocidad angular del péndulo no depende de su masa.
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