5.3 Segunda ley de Newton

Fuerza y aceleración

En primer lugar, ¿qué entendemos por un cambio de movimiento? La respuesta es que un cambio de movimiento equivale a un cambio de velocidad. Un cambio de velocidad significa, por definición, que hay aceleración. La primera ley de Newton establece que una fuerza externa neta provoca un cambio en el movimiento; por lo tanto, vemos que una fuerza externa neta provoca una aceleración distinta de cero.

En Fuerzas definimos la fuerza externa como la fuerza que actúa sobre un objeto o sistema y que se origina fuera del objeto o sistema. Analicemos más a fondo este concepto. Una noción intuitiva de lo externo es correcta: está fuera del sistema de interés. Por ejemplo, en la Figura 5.10(a), el sistema de interés es el auto más la persona que está dentro. Las dos fuerzas ejercidas por los dos estudiantes son fuerzas externas. En cambio, una fuerza interna actúa entre los elementos del sistema. Por lo tanto, la fuerza que ejerce la persona en el auto para agarrarse al volante es una fuerza interna entre elementos del sistema de interés. Solo las fuerzas externas afectan el movimiento de un sistema, según la primera ley de Newton. (Las fuerzas internas se anulan entre sí, como se explica en la siguiente sección). Por lo tanto, debemos definir los límites del sistema antes de poder determinar qué fuerzas son externas. A veces, el sistema es obvio, mientras que otras veces, identificar los límites de un sistema es más sutil. El concepto de sistema es fundamental en muchas áreas de la física, así como la correcta aplicación de las leyes de Newton. Este concepto se repite muchas veces en el estudio de la física.

Figura 5.10 Diferentes fuerzas ejercidas sobre una misma masa producen diferentes aceleraciones. (a) Dos estudiantes empujan un auto detenido. Se muestran todas las fuerzas externas que actúan sobre el auto. (b) Las fuerzas que actúan sobre el auto se transfieren a un plano de coordenadas (diagrama de cuerpo libre) para simplificar el análisis. (c) La grúa puede producir una mayor fuerza externa sobre la misma masa y, por lo tanto, una mayor aceleración.

En este ejemplo puede ver que diferentes fuerzas ejercidas sobre la misma masa producen diferentes aceleraciones. En la Figura 5.10(a), los dos estudiantes empujan un auto con un conductor dentro. Se muestran las flechas que representan todas las fuerzas externas. El sistema de interés es el auto y su conductor. El peso $\overrightarrow{w}$ del sistema y el soporte del suelo $\overrightarrow{N}$ también se muestran para completar y se supone que se cancelan (porque no hubo movimiento vertical y no hubo desequilibrio de fuerzas en la dirección vertical para crear un cambio en el movimiento). El vector $\overrightarrow{f}$ representa la fricción que actúa sobre el auto, y actúa hacia la izquierda, en oposición al movimiento del auto. (En el próximo capítulo hablaremos de la fricción con más detalle). En la Figura 5.10(b), todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se suman para generar la fuerza neta ${\overrightarrow{F}}_{\text{neta}}.$ El diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas que actúan sobre el sistema en cuestión. El punto representa el centro de masa del sistema. Cada vector de fuerza se extiende desde este punto. Como hay dos fuerzas que actúan a la derecha, los vectores se muestran colinealmente. Finalmente, en la Figura 5.10(c), una mayor fuerza externa neta produce una mayor aceleración $(\overrightarrow{a^{\prime }}>\overrightarrow{a})$ cuando la grúa remolca el auto.

Parece razonable que la aceleración sea directamente proporcional y en la misma dirección que la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema. Esta suposición se ha verificado experimentalmente y se ilustra en la Figura 5.10. Para obtener una ecuación de la segunda ley de Newton, primero escribimos la relación de la aceleración $\overrightarrow{a}$ y la fuerza externa neta ${\overrightarrow{F}}_{\text{neta}}$ como la proporcionalidad

donde el símbolo $\propto$ significa "proporcional a" (recordemos en Fuerzas que la fuerza externa neta es la suma vectorial de todas las fuerzas externas y a veces se indica como ${\displaystyle \sum \stackrel{\to )}{F}}.$ Esta proporcionalidad muestra lo que hemos dicho en palabras: la aceleración es directamente proporcional a la fuerza externa neta. Una vez elegido el sistema en cuestión, identifique las fuerzas externas e ignore las internas. Es una tremenda simplificación prescindir de las numerosas fuerzas internas que actúan entre los objetos del sistema, como las fuerzas musculares dentro del cuerpo de los estudiantes, por no hablar de las innumerables fuerzas entre los átomos de los objetos. Aun así, esta simplificación nos permite resolver algunos problemas complejos.

También parece razonable que la aceleración sea inversamente proporcional a la masa del sistema. En otras palabras, cuanto mayor sea la masa (la inercia), menor será la aceleración producida por una fuerza determinada. Como se ilustra en la Figura 5.11, la misma fuerza externa neta aplicada a un balón de baloncesto produce una aceleración mucho menor cuando se aplica a un vehículo todoterreno. La proporcionalidad se escribe como

donde m es la masa del sistema y a es la magnitud de la aceleración. Los experimentos han demostrado que la aceleración es exactamente inversamente proporcional a la masa, al igual que es directamente proporcional a la fuerza externa neta.

Figura 5.11 La misma fuerza ejercida sobre sistemas de masas diferentes produce aceleraciones diferentes. (a) Un jugador de baloncesto empuja el balón para hacer un pase (ignore el efecto de la gravedad sobre el balón). (b) El mismo jugador ejerce una fuerza idéntica en un vehículo todoterreno detenido y produce una aceleración mucho menor. (c) Los diagramas de cuerpo libre son idénticos, lo que permite comparar directamente las dos situaciones. Una serie de patrones para los diagramas de cuerpo libre surgirá a medida que haga más problemas y aprenda a dibujarlos en Dibujar diagramas de cuerpo libre.

Se ha comprobado que la aceleración de un objeto depende únicamente de la fuerza externa neta y de la masa del objeto. Combinando las dos proporciones que acabamos de dar produce la segunda ley de Newton.

La ley es una relación de causa y efecto entre tres cantidades que no se basa simplemente en sus definiciones. La validez de la segunda ley se basa en la verificación experimental. El diagrama de cuerpo libre, que aprenderá a dibujar en Dibujar diagramas de cuerpo libre, es la base para escribir la segunda ley de Newton.

Ejemplo 5.2

¿Qué aceleración puede producir una persona al empujar un cortacésped?

Supongamos que la fuerza externa neta (empujón menos fricción) que se ejerce sobre un cortacésped es de 51 N (aproximadamente 11 lb) paralela al suelo (Figura 5.12). La masa del cortacésped es de 24 kg. ¿Cuál es su aceleración?

Figura 5.12 (a) La fuerza neta sobre un cortacésped es de 51 N hacia la derecha. ¿A qué proporción acelera el cortacésped hacia la derecha? (b) Se muestra el diagrama de cuerpo libre para este problema.

Estrategia

Este problema implica solo el movimiento en la dirección horizontal; también se nos da la fuerza neta, indicada por el vector único, pero podemos suprimir la naturaleza vectorial y concentrarnos en aplicar la segunda ley de Newton. Dado que $F_{\text{neta}}$ y m se han dado, la aceleración se puede calcular directamente a partir de la segunda ley de Newton como $F_{\text{neta}}=ma.$

Solución

La magnitud de la aceleración a es $a=F_{\text{neta}}\text{/}m$. Introduciendo los valores conocidos se obtiene

$$a=\frac{51\text{N}}{24\text{kg}}.$$

Sustituyendo la unidad de kilogramos por metros por segundo al cuadrado por newtons produce

$$a=\frac{51\text{kg}·{\text{m/s}}^2}{24\text{kg}}=\mathrm{2,1}{\text{m/s}}^2.$$

Importancia

La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta, que es paralela al suelo. Esto es resultado de la relación vectorial expresada en la segunda ley de Newton, es decir, el vector que representa la fuerza neta es el múltiplo escalar del vector aceleración. En este ejemplo no se da información sobre las fuerzas externas individuales que actúan sobre el sistema, pero podemos decir algo sobre su magnitud relativa. Por ejemplo, la fuerza ejercida por la persona que empuja el cortacésped debe ser mayor que la fricción que se opone al movimiento (ya que sabemos que el cortacésped se ha movido hacia delante), y las fuerzas verticales deben anularse porque no se produce ninguna aceleración en la dirección vertical (el cortacésped se mueve solo horizontalmente). La aceleración encontrada es lo suficientemente pequeña como para ser razonable para una persona que empuja un cortacésped. Tal esfuerzo no duraría demasiado, porque la velocidad máxima de la persona se alcanzaría pronto.

En el ejemplo anterior, hemos tratado únicamente la fuerza neta para simplificar. Sin embargo, varias fuerzas actúan sobre el cortacésped. El peso $\overrightarrow{w}$ (que se analiza en detalle en Masa y peso) ejerce una fuerza gravitatoria hacia abajo del cortacésped, hacia el centro de la Tierra; esto produce una fuerza de contacto en el suelo. El suelo debe ejercer una fuerza ascendente sobre el cortacésped, conocida como fuerza normal $\overrightarrow{N}$, que definimos en Fuerzas comunes. Estas fuerzas están equilibradas y, por lo tanto, no producen ninguna aceleración vertical. En el siguiente ejemplo, mostramos ambas fuerzas. A medida que resuelva problemas con la segunda ley de Newton, muestre varias fuerzas.

Ejemplo 5.3

¿Qué fuerza es mayor?

(a) El auto que se muestra en la Figura 5.13 se mueve a una rapidez constante. ¿Qué fuerza es mayor, ${\overrightarrow{F}}_{\text{fricción}}$ o ${\overrightarrow{F}}_{\text{arrastre}}$? Explique.

(b) El mismo auto acelera ahora hacia la derecha. ¿Qué fuerza es mayor, ${\overrightarrow{F}}_{\text{fricción}}$ o ${\overrightarrow{F}}_{\text{arrastre}}?$ Explique.

Figura 5.13 Se muestra un auto (a) que se desplaza a una rapidez constante y (b) que acelera. ¿Cómo se comparan las fuerzas que actúan en el auto en cada caso? (a) ¿Qué nos dice el conocimiento de que el auto se mueva a velocidad constante acerca de la fuerza horizontal neta sobre el auto, en comparación con la fuerza de fricción? (b) ¿Qué nos dice el conocimiento de que el auto acelere acerca de la fuerza horizontal sobre el auto, en comparación con la fuerza de fricción?

Estrategia

Debemos tener en cuenta la primera y la segunda ley de Newton para analizar la situación. Tenemos que decidir qué ley se aplica; esto, a su vez, nos indicará la relación entre las fuerzas.

Solución

1. Las fuerzas son iguales. Según la primera ley de Newton, si la fuerza neta es cero, la velocidad es constante.
2. En este caso, ${\overrightarrow{F}}_{\text{fricción}}$ deberá ser mayor que ${\overrightarrow{F}}_{\text{arrastre}}.$ Según la segunda ley de Newton, se requiere una fuerza neta para provocar la aceleración.

Importancia

Estas preguntas pueden parecer triviales, pero suelen responderse incorrectamente. Para que un auto o cualquier otro objeto se mueva, debe acelerarse desde el reposo hasta la rapidez deseada; para ello es necesario que la fuerza de fricción sea mayor que la de arrastre. Una vez que el auto se mueva a velocidad constante, la fuerza neta deberá ser cero; de lo contrario, el auto se acelerará (ganará rapidez). Para resolver problemas en los que intervienen las leyes de Newton, debemos entender si hay que aplicar la primera ley de Newton (donde ${\displaystyle \sum \overrightarrow{F}}=\overrightarrow{0}$) o la segunda ley de Newton (donde ${\displaystyle \sum \overrightarrow{F}}$ no es cero). Esto será evidente a medida que vea más ejemplos e intente resolver los problemas por su cuenta.

Ejemplo 5.4

¿Qué empuje de cohete acelera este trineo?

Antes de los vuelos espaciales que transportaban astronautas, los trineos de cohetes se utilizaban para probar aeronaves, equipos de misiles y los efectos fisiológicos en el ser humano a altas velocidades. Consistían en una plataforma montada sobre uno o dos rieles e impulsada por varios cohetes.

Calcule la magnitud de la fuerza ejercida por cada cohete, llamada su empuje T, para el sistema de propulsión de cuatro cohetes mostrado en la Figura 5.14. La aceleración inicial del trineo es $49{\text{m/s}}^2$, la masa del sistema es de 2.100 kg, y la fuerza de fricción que se opone al movimiento es de 650 N.

Figura 5.14 Un trineo experimenta el empuje de un cohete que lo acelera hacia la derecha. Cada cohete crea un empuje idéntico T. El sistema aquí es el trineo, sus cohetes y su conductor, por lo que no se considera ninguna de las fuerzas entre estos objetos. La flecha que representa la fricción $(\overrightarrow{f})$ se dibuja más grande que la escala.

Estrategia

Aunque las fuerzas actúan tanto vertical como horizontalmente, suponemos que las fuerzas verticales se cancelan porque no hay aceleración vertical. Esto nos deja solo con las fuerzas horizontales y un problema unidimensional más simple. Las direcciones se indican con signos de más o menos, tomándose la derecha como la dirección positiva. Vea el diagrama de cuerpo libre en la Figura 5.14.

Solución

Como la aceleración, la masa y la fuerza de fricción están dadas, partimos de la segunda ley de Newton y buscamos la forma de encontrar el empuje de los motores. Hemos definido la dirección de la fuerza y la aceleración como actuando "hacia la derecha", por lo que necesitamos considerar solo la magnitud de estas cantidades en los cálculos. Por lo tanto, comenzamos con

$$F_{\text{neta}}=ma$$

donde $F_{\text{neta}}$ es la fuerza neta a lo largo de la dirección horizontal. Podemos ver en la figura que los empujes del motor se suman, mientras que la fricción se opone al empuje. En forma de ecuación, la fuerza externa neta es

$$F_{\text{neta}}=4T-f.$$

Sustituyendo esto en la segunda ley de Newton obtenemos

$$F_{\text{neta}}=ma=4T-f.$$

Utilizando un poco de álgebra, resolvemos el empuje total 4T:

$$4T=ma+f.$$

Sustituyendo los valores conocidos produce

$$4T=ma+f=\left(2.100\text{kg}\right)(49{\text{m}\text{/}\text{s}}^2)+650\text{N}.$$

Por lo tanto, el empuje total es

$$4T=\mathrm{1,0}\times {10}^5\text{N},$$

y los empujes individuales son

$$T=\frac{\mathrm{1,0}\times {10}^5\text{N}}{4}=\mathrm{2,5}\times {10}^4\text{N}.$$

Importancia

Las cifras son bastante grandes, por lo que el resultado podría sorprenderle. Este tipo de experimentos se realizaron a principios de la década de los años 60 del siglo XX para probar los límites de la resistencia humana, y el montaje se diseñó para proteger a los sujetos humanos en las eyecciones de emergencia de los jets de combate. Se obtuvieron valores de rapidez de 1.000 km/h, con aceleraciones de 45 g. (Recordemos que g, la aceleración debida a la gravedad, es $\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2$. Cuando decimos que la aceleración es de 45 g, significa $45\times \mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2,$ que es aproximadamente $440{\text{m/s}}^2$). Aunque ya no se utilizan sujetos vivos, se ha obtenido una rapidez terrestre de 10.000 km/h con un trineo de cohetes.

En este ejemplo, como en el anterior, el sistema de interés es evidente. En ejemplos posteriores veremos que la elección del sistema de interés es crucial, y la elección no siempre es obvia.

La segunda ley de Newton es más que una definición; es una relación entre aceleración, fuerza y masa. Nos permite hacer predicciones. Cada una de esas cantidades físicas puede definirse de forma independiente, por lo que la segunda ley nos dice algo básico y universal sobre la naturaleza.

Forma de los componentes de la segunda ley de Newton

Hemos desarrollado la segunda ley de Newton y la hemos presentado como una ecuación vectorial en la Ecuación 5.3. Esta ecuación vectorial puede escribirse como ecuaciones de tres componentes:

La segunda ley es una descripción de cómo un cuerpo responde mecánicamente a su entorno. La influencia del entorno es la fuerza neta ${\overrightarrow{F}}_{\text{neta}},$ la respuesta del cuerpo es la aceleración $\overrightarrow{a},$ y la fuerza de la respuesta es inversamente proporcional a la masa m. Cuanto mayor sea la masa de un objeto, menor será su respuesta (su aceleración) a la influencia del entorno (una fuerza neta determinada). Por lo tanto, la masa de un cuerpo es una medida de su inercia, como explicamos en la Primera ley de Newton.

Ejemplo 5.7

Varias fuerzas sobre una partícula

Una partícula de masa $m=\mathrm{4,0}\text{kg}$ está sometida a la acción de cuatro fuerzas de magnitud $F_1=\mathrm{10,0}\text{N},F_2=\mathrm{40,0}\text{N},F_3=\mathrm{5,0}\text{N},\text{y}{F}_4=\mathrm{2,0}\text{N}$, con las direcciones indicadas en el diagrama de cuerpo libre en la Figura 5.15. ¿Cuál es la aceleración de la partícula?

Figura 5.15 Se aplican cuatro fuerzas en el plano xy a una partícula de 4,0 kg.

Estrategia

Como se trata de un problema bidimensional, debemos utilizar un diagrama de cuerpo libre. Primero, ${\overrightarrow{F}}_1$ debe resolverse en componentes x y y. Entonces podemos aplicar la segunda ley en cada dirección.

Solución

Dibujamos un diagrama de cuerpo libre como se muestra en la Figura 5.15. Ahora aplicamos la segunda ley de Newton. Consideramos todos los vectores resueltos en componentes de x y y:

$$\begin{array}{cccc}{\displaystyle \sum F_x}=m{a}_x\hfill & & & {\displaystyle \sum F_y}=m{a}_y\hfill \\ F_{1x}-F_{3x}=m{a}_x\hfill & & & F_{1y}+F_{4y}-F_{2y}=m{a}_y\hfill \\ F_1\text{cos}30\text{°}-F_{3x}=m{a}_x\hfill & & & F_1\text{sen}30\text{°}+F_{4y}-F_{2y}=m{a}_y\hfill \\ \left(\mathrm{10,0}\text{N}\right)\left(\text{cos}30\text{°}\right)-\mathrm{5,0}\text{N}=\left(\mathrm{4,0}\text{kg}\right)a_x\hfill & & & \left(\mathrm{10,0}\text{N}\right)\left(\text{sen}30\text{°}\right)+\mathrm{2,0}\text{N}-\mathrm{40,0}\text{N}=\left(\mathrm{4,0}\text{kg}\right)a_y\hfill \\ a_x=\mathrm{0,92}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.\hfill & & & a_y=\mathrm{-8,3}{\text{m}\text{/}\text{s}}^2.\hfill \end{array}$$

Así, la aceleración neta es

$$\overrightarrow{a}=\left(\mathrm{0,92}\widehat{i}-\mathrm{8,3}\widehat{j}\right)\text{m}\text{/}{\text{s}}^2,$$

que es un vector de magnitud $\mathrm{8,4}{\text{m/s}}^2$ dirigido a $276\text{°}$ al eje de la x positiva.

Importancia

Se pueden encontrar numerosos ejemplos en la vida cotidiana que implican tres o más fuerzas que actúan sobre un mismo objeto, como los cables que van desde el puente Golden Gate o un jugador de fútbol que es abordado por tres defensores. Podemos ver que la solución de este ejemplo es solo una extensión de lo que ya hemos hecho.

Compruebe Lo Aprendido 5.5

Un auto tiene fuerzas que actúan sobre él, como se muestra a continuación. La masa del auto es de 1.000,0 kg. La carretera está resbaladiza, por lo que se puede ignorar la fricción. (a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre el auto? (b) ¿Cuál es la aceleración del auto?

Segunda ley de Newton y el momento

En realidad, Newton planteó su segunda ley en términos de momento: "La tasa instantánea a la que cambia el momento de un cuerpo es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo" ("tasa instantánea" implica que la derivada está involucrada). Esto puede estar dado por la ecuación vectorial

Esto significa que la segunda ley de Newton aborda la pregunta central del movimiento: ¿qué causa un cambio en el movimiento de un objeto? Newton describió el momento como "cantidad de movimiento", una forma de combinar la velocidad de un objeto y su masa. Dedicamos Momento lineal y colisiones al estudio del momento.

Por ahora, basta con definir el momento $\overrightarrow{p}$ como el producto de la masa del objeto m y su velocidad $\overrightarrow{v}$:

Ya que la velocidad es un vector, también lo es el momento.

Es fácil visualizar el momento. Un tren que se mueve a 10 m/s tiene más momento que uno que se mueve a 2 m/s. En la vida cotidiana, hablamos de que un equipo deportivo "tiene momento" cuando anota puntos contra el equipo contrario.

Si sustituimos la Ecuación 5.7 en la Ecuación 5.6, obtenemos

Cuando m es constante, tenemos

Así, vemos que la forma del momento de la segunda ley de Newton se reduce a la forma dada anteriormente en esta sección.