Capítulo 4

(a) Tomando la derivada con respecto al tiempo de la función de posición, tenemos $\overrightarrow{v}(t)=\mathrm{9,0}{t}^2\widehat{i}\text{y}\overrightarrow{v}\text{(3,0s)}=\mathrm{81,0}\widehat{i}\text{m/s}.$ (b) Como la función de velocidad no es lineal, sospechamos que la velocidad media no es igual a la velocidad instantánea. Lo revisamos y encontramos
${\overrightarrow{v}}_{\text{avg}}=\frac{\overrightarrow{r}(t_2)-\overrightarrow{r}(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\overrightarrow{r}(\mathrm{4,0}\text{s})-\overrightarrow{r}(\mathrm{2,0}\text{s})}{\mathrm{4,0}\text{s}-\mathrm{2,0}\text{s}}=\frac{(188\widehat{i}-20\widehat{i})\text{m}}{\mathrm{2,0}\text{s}}=84\widehat{i}\text{m/s},$
que es diferente de $\overrightarrow{v}\text{(3,0s)}=\mathrm{81,0}\widehat{i}\text{m/s}.$

El vector de aceleración es constante y no cambia con el tiempo. Si a, b y c no son cero, entonces la función de velocidad debe ser lineal en el tiempo. Tenemos $\overrightarrow{v}(t)={\displaystyle \int \overrightarrow{a}dt=}{\displaystyle \int (a\widehat{i}+b\widehat{j}+c\widehat{k})dt=}(a\widehat{i}+b\widehat{j}+c\widehat{k})t\text{m/s},$ ya que al tomar la derivada de la función de velocidad se obtiene $\overrightarrow{a}(t).$ Si alguno de los componentes de la aceleración es cero, entonces ese componente de la velocidad sería una constante.

(a) Elija la parte superior del acantilado donde se lanza la roca como el origen del sistema de coordenadas. Aunque es arbitrario, solemos elegir el tiempo t = 0 para que corresponda al origen. (b) La ecuación que describe el movimiento horizontal es $x=x_0+v_{x}t.$ Con $x_0=0,$ esta ecuación se convierte en $x=v_{x}t.$ (c) La Ecuación 4.16 a la Ecuación 4.18 y la Ecuación 4.19 describen el movimiento vertical, pero dado que $y_0=0\text{y}{v}_{0y}=0,$ estas ecuaciones se simplifican en gran medida para convertirse en $y=\frac{1}{2}(v_{0y}+v_y)t=\frac{1}{2}{v}_{y}t,$$v_y=\text{−}gt,$$y=-\frac{1}{2}g{t}^2,$ y $v_y^2=\mathrm{-2}gy.$ (d) Utilizamos las ecuaciones cinemáticas para encontrar los componentes de la x y de la y de la velocidad en el punto de impacto. Utilizando $v_y^2=\mathrm{-2}gy$ y observando que el punto de impacto es -100,0 m, encontramos que el componente y de la velocidad en el impacto es $v_y=\mathrm{44,3}\text{m}\text{/}\text{s}.$ Se nos da el componente x, $v_x=\mathrm{15,0}\text{m}\text{/}\text{s},$ por lo que podemos calcular la velocidad total en el momento del impacto: v = 46,8 m/s y $\theta =\mathrm{71,3}\text{°}$ por debajo de la horizontal.

El tiro de golf a $30\text{°}.$

134,0 cm/s

Al marcar los subíndices de la ecuación vectorial, tenemos B = barco, R = río y E = Tierra. La ecuación vectorial se convierte en ${\overrightarrow{v}}_{\text{BE}}={\overrightarrow{v}}_{\text{BR}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{RE}}.$ Tenemos una geometría de triángulo rectángulo que se muestra en la figura 04_05_BoatRiv_img. Al resolver ${\overrightarrow{v}}_{\text{BE}}$, tenemos
$v_{\text{BE}}=\sqrt{v_{\text{BR}}^2+v_{\text{RE}}^2}=\sqrt{{\mathrm{4,5}}^2+{\mathrm{3,0}}^2}$
$v_{\text{BE}}=\mathrm{5,4}\text{m}\text{/}\text{s,}\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{3,0}}{\mathrm{4,5}}\right)=\mathrm{33,7}\text{°}.$

línea recta

La pendiente debe ser cero porque el vector velocidad es tangente al gráfico de la función posición.

No, los movimientos en direcciones perpendiculares son independientes.

a. no; b. mínima en el vértice de la trayectoria y máxima en el lanzamiento y el impacto; c. no, la velocidad es un vector; d. sí, donde cae

Ambas caen al suelo al mismo tiempo.

sí

Si va a pasar el balón a otro jugador, tiene que mantener la vista en el marco de referencia en el que se encuentran los demás jugadores del equipo.

$\overrightarrow{r}=\mathrm{1,0}\widehat{i}-\mathrm{4,0}\widehat{j}+\mathrm{6,0}\widehat{k}$

$\text{Δ}{\overrightarrow{r}}_{\text{Total}}=\mathrm{472,0}\text{m}\widehat{i}+\mathrm{80,3}\text{m}\widehat{j}$

$\text{Suma de los desplazamientos}=\mathrm{-6,4}\text{km}\widehat{i}+\mathrm{9,4}\text{km}\widehat{j}$

a. $\overrightarrow{v}(t)=\mathrm{8,0}t\widehat{i}+\mathrm{6,0}{t}^2\widehat{k},\overrightarrow{v}(0)=0,\overrightarrow{v}(\mathrm{1,0})=\mathrm{8,0}\widehat{i}+\mathrm{6,0}\widehat{k}\text{m/s}$,
b. ${\overrightarrow{v}}_{\text{avg}}=\mathrm{4,0}\text{}\widehat{i}+\mathrm{2,0}\widehat{k}\text{m/s}$

$\text{Δ}{\overrightarrow{r}}_1=\mathrm{20,00}\text{m}\widehat{j},\text{Δ}{\overrightarrow{r}}_2=(\mathrm{2,000}\times {10}^4\text{m})(\text{cos}30\text{°}\widehat{i}+\text{sen}30\text{°}\widehat{j})$
$\text{Δ}\overrightarrow{r}=\mathrm{1,700}\times {10}^4\text{m}\widehat{i}+\mathrm{1,002}\times {10}^4\text{m}\widehat{j}$

a. $\overrightarrow{v}(t)=(\mathrm{4,0}t\widehat{i}+\mathrm{3,0}t\widehat{j})\text{m/s},$$\overrightarrow{r}(t)=(\mathrm{2,0}{t}^2\widehat{i}+\frac{3}{2}{t}^2\widehat{j})\text{m}$,
b. $x(t)=\mathrm{2,0}{t}^2\text{m,}y(t)=\frac{3}{2}{t}^2\text{m,}{t}^2=\frac{x}{2}\Rightarrow y=\frac{3}{4}x$

a. $\overrightarrow{v}(t)=(\mathrm{6,0}t\widehat{i}-\mathrm{21,0}{t}^2\widehat{j}+\mathrm{10,0}{t}^{\mathrm{-3}}\widehat{k})\text{m/s}$,
b. $\overrightarrow{a}(t)=(\mathrm{6,0}\widehat{i}-\mathrm{42,0}t\widehat{j}-30t^{\mathrm{-4}}\widehat{k})\text{m/}{\text{s}}^2$,
c. $\overrightarrow{v}(\mathrm{2,0}s)=(\mathrm{12,0}\widehat{i}-\mathrm{84,0}\widehat{j}+\mathrm{1,25}\widehat{k})\text{m/s}$,
d. $\overrightarrow{v}(\mathrm{1,0}\text{s})=\mathrm{6,0}\widehat{i}-\mathrm{21,0}\widehat{j}+\mathrm{10,0}\widehat{k}\text{m/s},\left|\overrightarrow{v}(\mathrm{1,0}\text{s})\right|=\mathrm{24,0}\text{m/s}$
$\overrightarrow{v}(\mathrm{3,0}\text{s})=\mathrm{18,0}\widehat{i}-\mathrm{189,0}\widehat{j}+\mathrm{0,37}\widehat{k}\text{m/s},$$\left|\overrightarrow{v}(\mathrm{3,0}\text{s})\right|=190\text{m/s}$,
e. $\overrightarrow{r}(t)=(\mathrm{3,0}{t}^2\widehat{i}-\mathrm{7,0}{t}^3\widehat{j}-\mathrm{5,0}{t}^{\mathrm{-2}}\widehat{k})\text{m}$
$\begin{array}{}\\ \\ \hfill {\overrightarrow{v}}_{\text{avg}}& =\mathrm{9,0}\widehat{i}-\mathrm{49,0}\widehat{j}+\mathrm{3,75}\widehat{k}\text{m/s}\hfill \end{array}$

a. $\overrightarrow{v}(t)=\text{-sen}(\mathrm{1,0}t)\widehat{i}+\text{cos}(\mathrm{1,0}t)\widehat{j}+\widehat{k}$, b. $\overrightarrow{a}(t)=\text{-cos}(\mathrm{1,0}t)\widehat{i}-\text{sen}(\mathrm{1,0}t)\widehat{j}$

a. $t=\mathrm{0,55}\text{s}$, b. $x=110\text{m}$

a. $t=\mathrm{0,24}\text{s,}d=\mathrm{0,28}\text{m}$, b. Apuntan alto.

a., $t=\mathrm{12,8}\text{s,}x=5.619\text{m}$ b. $v_y=\mathrm{125,0}\text{m}\text{/}\text{s,}{v}_x=\mathrm{439,0}\text{m}\text{/}\text{s,}\left|\overrightarrow{v}\right|=\mathrm{456,0}\text{m}\text{/}\text{s}$

a. $v_y=v_{0y}-gt,t=10\text{s,}{v}_y=0,v_{0y}=\mathrm{98,0}\text{m}\text{/}\text{s},v_0=\mathrm{196,0}\text{m}\text{/}\text{s}$,
b. $h=\mathrm{490,0}\text{m},$
c. $v_{0x}=\mathrm{169,7}\text{m}\text{/}\text{s,}x=\mathrm{3394,0}\text{m,}$
d. $\begin{array}{}\\ \\ x=\mathrm{169,7}\text{m/s}(\mathrm{15,0}\text{s})=2.550\text{m}\hfill \\ y=(\mathrm{98,0}\text{m/s})(\mathrm{15,0}\text{s})–\mathrm{4,9}(\mathrm{15,0}\text{s}{)}^2=368\text{m}\hfill \\ \stackrel{\text{r}}{s}=2.550\text{m}\widehat{i}+368\text{m}\widehat{j}\hfill \end{array}$

$\mathrm{-100}\text{m}=(\mathrm{-2,0}\text{m}\text{/}\text{s})t-(\mathrm{4,9}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)t^2,$ $t=\mathrm{4,3}\text{s,}$$x=\mathrm{86,0}\text{m}$

$R_{Moon}=48\text{m}$

a. $$$v_{0y}=24\text{m}\text{/}\text{s}$$v_y^2=v_{0y}^2-2gy\Rightarrow h=\mathrm{29,3}\text{m}$,
b. $t=\mathrm{2,4}\text{s}{v}_{0x}=18\text{m/s}x=\mathrm{43,2}\text{m}$,
c. $y=\mathrm{-100}\text{m}{y}_0=0$ $y-y_0=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2-100=24t-\mathrm{4,9}{t}^2$ $\Rightarrow t=\mathrm{7,58}\text{s}$,
d. $x=\mathrm{136,44}\text{m}$,
e. $t=\mathrm{2,0}\text{s}y=\mathrm{28,4}\text{m}x=36\text{m}$
$t=\mathrm{4,0}\text{s}y=\mathrm{17,6}\text{m}x=72\text{m}$
$t=\mathrm{6,0}\text{s}y=\mathrm{-32,4}\text{m}x=108\text{m}$

$v_{0y}=\mathrm{12,9}\text{m}\text{/}\text{s}y-y_0=v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2-\mathrm{20,0}=\mathrm{12,9}t-\mathrm{4,9}{t}^2$
$t=\mathrm{3,7}\text{s}{v}_{0x}=\mathrm{15,3}\text{m}\text{/}\text{s}\Rightarrow x=\mathrm{56,7}\text{m}$
Por lo tanto el tiro de la golfista cae a 13,3 m del green.

a. $R=\mathrm{60,8}\text{m}$,
b. $R=\mathrm{137,8}\text{m}$

a. $v_y^2=v_{0y}^2-2gy\Rightarrow y=\mathrm{2,9}\text{m}\text{/}\text{s}$
$y=\mathrm{3,3}\text{m}\text{/}\text{s}$
$y=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{{(v_0\text{sen}\theta )}^2}{2g}\Rightarrow \text{sen}\theta =\mathrm{0,91}\Rightarrow \theta =\mathrm{65,5}\text{°}$

$R=\mathrm{18,5}\text{m}$

$y=(\text{tan}{\theta }_0)x-\left[\frac{g}{2{(v_0\text{cos}{\theta }_0)}^2}\right]x^2\Rightarrow v_0=\mathrm{16,4}\text{m}\text{/}\text{s}$

$R=\frac{v_0^2\text{sen}2{\theta }_0}{g}\Rightarrow {\theta }_0=\mathrm{15,9}\text{°}$

El receptor tarda 1,1 s en recorrer los últimos 10 m de su recorrido.
$T_{\text{tof}}=\frac{2(v_0\text{sen}\theta )}{g}\Rightarrow \text{sen}\theta =\mathrm{0,27}\Rightarrow \theta =\mathrm{15,6}\text{°}$

$a_{\text{C}}=40\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

$a_{\text{C}}=\frac{v^2}{r}\Rightarrow v^2=r{a}_{\text{C}}=\mathrm{78,4},v=\mathrm{8,85}\text{m}\text{/}\text{s}$
$T=\mathrm{5,68}\text{s,}$ que es $\mathrm{0,176}\text{rev}\text{/}\text{s}=\mathrm{10,6}\text{rev}\text{/}\text{min}$

Venus se encuentra a 108,2 millones de km del Sol y tiene un periodo orbital de 0,6152 años (year, y).
$r=\mathrm{1,082}\times {10}^{11}\text{m}T=\mathrm{1,94}\times {\text{10}}^7\text{s}$
$v=\mathrm{3,5}\times {10}^4\text{m/s,}{\text{a}}_{\text{C}}=\mathrm{1,135}\times {10}^{\mathrm{-2}}{\text{m/s}}^2$

$360\text{rev}\text{/}\text{min}=6\text{rev}\text{/}\text{s}$
$v=\mathrm{3,8}\text{m}\text{/}\text{s}$ $a_{\text{C}}=144.\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

a. $O^{\prime }(t)=(\mathrm{4,0}\widehat{i}+\mathrm{3,0}\widehat{j}+\mathrm{5,0}\widehat{k})t\text{m}$,
b. ${\overrightarrow{r}}_{PS}={\overrightarrow{r}}_{P{S}^{\prime }}+{\overrightarrow{r}}_{S^{\prime }S},$ $\overrightarrow{r}(t)={\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)+(\mathrm{4,0}\widehat{i}+\mathrm{3,0}\widehat{j}+\mathrm{5,0}\widehat{k})t\text{m}$,
c. $\overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{v}}^{\prime }(t)+(\mathrm{4,0}\widehat{i}+\mathrm{3,0}\widehat{j}+\mathrm{5,0}\widehat{k})\text{m/s}$, d. Las aceleraciones son las mismas.

${\overrightarrow{v}}_{PC}=(\mathrm{2,0}\widehat{i}+\mathrm{5,0}\widehat{j}+\mathrm{4,0}\widehat{k})\text{m}\text{/}\text{s}$

a. A = aire, S = gaviota, G = suelo
${\overrightarrow{v}}_{\text{SA}}=\mathrm{9,0}\text{m}\text{/}\text{s}$ velocidad de la gaviota con respecto al aire en calma
${\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}=?{\overrightarrow{v}}_{\text{SG}}=5\text{m}\text{/}\text{s}$ ${\overrightarrow{v}}_{\text{SG}}={\overrightarrow{v}}_{\text{SA}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}\Rightarrow {\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}={\overrightarrow{v}}_{\text{SG}}-{\overrightarrow{v}}_{\text{SA}}$
${\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}=\mathrm{-4,0}\text{m}\text{/}\text{s}$
b. ${\overrightarrow{v}}_{\text{SG}}={\overrightarrow{v}}_{\text{SA}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}\Rightarrow {\overrightarrow{v}}_{\text{SG}}=\mathrm{-13,0}\text{m}\text{/}\text{s}$
$\frac{-6000\text{m}}{\mathrm{-13,0}\text{m}\text{/}\text{s}}=\text{7 min 42 s}$

Tome la dirección positiva como la misma dirección en la que fluye el río, es decir, el este. S = orilla/tierra, W = agua y B = bote.
a ${\overrightarrow{v}}_{\text{BS}}=11\text{km}\text{/}\text{h}$
$t=\mathrm{8,2}\text{min}$
b. ${\overrightarrow{v}}_{\text{BS}}=\mathrm{-5}\text{km}\text{/}\text{h}$
$t=18\text{min}$
c. ${\overrightarrow{v}}_{\text{BS}}={\overrightarrow{v}}_{\text{BW}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{WS}}$ $\theta =22\text{°}$ al oeste del norte

d. $\left|{\overrightarrow{v}}_{\text{BS}}\right|=\mathrm{7,4}\text{km}\text{/}\text{h}$ $t=\mathrm{6,5}\text{min}$
e. ${\overrightarrow{v}}_{\text{BS}}=\mathrm{8,54}\text{km}\text{/}\text{h},$ pero solo se utiliza el componente de la velocidad en línea recta para obtener el tiempo

$t=\mathrm{6,0}\text{min}$
Aguas abajo = 0,3 km

${\overrightarrow{v}}_{AG}={\overrightarrow{v}}_{AC}+{\overrightarrow{v}}_{CG}$
$\left|{\overrightarrow{v}}_{AC}\right|=\text{25}\text{km}\text{/}\text{h}\left|{\overrightarrow{v}}_{CG}\right|=15\text{km}\text{/}\text{h}\left|{\overrightarrow{v}}_{AG}\right|=\mathrm{29,15}\text{km}\text{/}\text{h}$ ${\overrightarrow{v}}_{AG}={\overrightarrow{v}}_{AC}+{\overrightarrow{v}}_{CG}$
El ángulo entre ${\overrightarrow{v}}_{AC}$ y ${\overrightarrow{v}}_{AG}$ es $31\text{°},$ por lo que la dirección del viento es $14\text{°}$ al norte del este.

$a_{\text{C}}=\mathrm{39,6}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

$\mathrm{90,0}\text{km}\text{/}\text{h}=\mathrm{25,0}\text{m}\text{/}\text{s,}\mathrm{9,0}\text{km}\text{/}\text{h}=\mathrm{2,5}\text{m}\text{/}\text{s},$ $\mathrm{60,0}\text{km}\text{/}\text{h}=\mathrm{16,7}\text{m}\text{/}\text{s}$
$a_{\text{T}}=\mathrm{-2,5}{\text{m/s}}^{\text{2}}\text{,}{a}_{\text{C}}=\mathrm{1,86}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2,a=\mathrm{3,1}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

El radio del círculo de revolución en la latitud $\lambda$ es $R_E\text{cos}\lambda .$ La velocidad del cuerpo es $\frac{2\pi r}{T}.a_C=\frac{4{\pi }^2{R}_E\text{cos}\lambda }{T^2}$ para $\lambda =40\text{°},a_{\text{C}}=\mathrm{0,26}\text{\%}g$

$a_{\text{T}}=\mathrm{3,00}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$
$v(5\text{s})=\mathrm{15,00}\text{m}\text{/}\text{s}{a}_{\text{C}}=\mathrm{150,00}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\theta =\mathrm{88,8}\text{°}$ con respecto a la tangente al círculo de revolución dirigida hacia el interior. $\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{150,03}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

$\overrightarrow{a}(t)=\text{-}A{\omega }^2\text{cos}\omega t\widehat{i}-A{\omega }^2\text{sen}\omega t\widehat{j}$
$a_C=\mathrm{5,0}\text{m}{\omega }^2\omega =\mathrm{0,89}\text{rad}\text{/}\text{s}$
$\overrightarrow{v}(t)=\mathrm{-2,24}\text{m}\text{/}\text{s}\widehat{i}-\mathrm{3,87}\text{m}\text{/}\text{s}\widehat{j}$

${\overrightarrow{r}}_1=\mathrm{1,5}\widehat{j}+\mathrm{4,0}\widehat{k}{\overrightarrow{r}}_2=\text{Δ}\overrightarrow{r}+{\overrightarrow{r}}_1=\mathrm{2,5}\widehat{i}+\mathrm{4,7}\widehat{j}+\mathrm{2,8}\widehat{k}$

$v_x(t)=\mathrm{265,0}\text{m}\text{/}\text{s}$
$v_y(t)=\mathrm{20,0}\text{m}\text{/}\text{s}$
$\overrightarrow{v}(\mathrm{5,0}\text{s})=(\mathrm{265,0}\widehat{i}+\mathrm{20,0}\widehat{j})\text{m}\text{/}\text{s}$

$R=\mathrm{1,07}\text{m}$

$v_0=\mathrm{20,1}\text{m}\text{/}\text{s}$

$v=\mathrm{3072,5}\text{m}\text{/}\text{s}$
$a_{\text{C}}=\mathrm{0,223}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

a. $\text{-}\mathrm{400,0}\text{m}=v_{0y}t-\mathrm{4,9}{t}^2\mathrm{359,0}\text{m}=v_{0x}tt=\frac{\mathrm{359,0}}{v_{0x}}-\mathrm{400,0}=\mathrm{359,0}\frac{v_{0y}}{v_{0x}}-\mathrm{4,9}{(\frac{\mathrm{359,0}}{v_{0x}})}^2$
$\mathrm{-400,0}=\mathrm{359,0}\text{tan}40-\frac{\mathrm{631516,9}}{v_{0x}^2}\Rightarrow v_{0x}^2=\mathrm{900,6}{v}_{0x}=\mathrm{30,0}\text{m}\text{/}\text{s}{v}_{0y}=v_{0x}\text{tan}40=\mathrm{25,2}\text{m}\text{/}\text{s}$
$v=\mathrm{39,2}\text{m}\text{/}\text{s}$, b. $t=\mathrm{12,0}\text{s}$

a. ${\overrightarrow{r}}_{TC}=(\mathrm{-32}+80t)\widehat{i}+50t\widehat{j},{\left|{\overrightarrow{r}}_{TC}\right|}^2={(\mathrm{-32}+80t)}^2+{\left(50t\right)}^2$
$2r\frac{dr}{dt}=2(\mathrm{-32}+80t)\left(80\right)+5.000t\frac{dr}{dt}=\frac{160(\mathrm{-32}+80t)+5.000t}{2r}=0$
$17800t=5.184\Rightarrow t=\text{0,29 hr}$,
b. $\left|{\overrightarrow{r}}_{TC}\right|=17\text{km}$