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Física Universitaria Volumen 1

12.3 Estrés, tensión y módulo elástico

Física Universitaria Volumen 112.3 Estrés, tensión y módulo elástico
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar los conceptos de estrés y tensión en la descripción de la deformación elástica de los materiales.
  • Describir los tipos de deformación elástica de objetos y materiales.

Un modelo de cuerpo rígido es un ejemplo idealizado de un objeto que no se deforma bajo la acción de fuerzas externas. Es muy útil cuando se analizan sistemas mecánicos. De hecho, muchos objetos físicos son rígidos en gran medida. El punto hasta el cual un objeto se percibe como rígido depende de las propiedades físicas del material del que está hecho. Por ejemplo, una pelota de ping-pong de plástico es frágil, y una pelota de tenis de caucho es elástica cuando se le aplican fuerzas de aplastamiento. Sin embargo, en otras circunstancias, tanto la pelota de ping-pong como la de tenis pueden rebotar bien como cuerpos rígidos. Del mismo modo, quien diseña prótesis puede aproximarse a la mecánica de las extremidades humanas al modelarlas como cuerpos rígidos. Sin embargo, la combinación real de huesos y tejidos es un medio elástico.

En el resto de este capítulo, pasamos de considerar las fuerzas que inciden en el movimiento de un objeto a las que influyen en la forma de un objeto. El cambio de forma debido a la aplicación de una fuerza se conoce como deformación. Se sabe que hasta las fuerzas más pequeñas provocan cierta deformación. La deformación es la que experimentan los objetos o los medios físicos bajo la acción de fuerzas externas; por ejemplo, puede tratarse de aplastar, apretar, rasgar, retorcer, cizallar o tirar de los objetos. En el lenguaje de la física, hay dos términos que describen las fuerzas que se ejercen sobre los objetos que experimentan deformación: estrés y tensión.

El estrés es una cantidad que describe la magnitud de las fuerzas que causan la deformación. El estrés se define generalmente como la fuerza por unidad de superficie. Cuando las fuerzas tiran de un objeto y provocan su elongación, como el estiramiento de una banda elástica, ese estrés lo denominamos tensión de tracción. Cuando las fuerzas provocan la compresión de un objeto, lo llamamos tensión de compresión. Cuando se presiona a un objeto desde todos los lados, como un submarino en las profundidades de un océano, este tipo de estrés lo denominamos tensión de compresibilidad (o tensión de volumen). En otras situaciones, las fuerzas que actúan pueden no ser ni de tracción ni de compresión, y aun así producir una deformación notable. Por ejemplo, suponga que sujeta un libro con fuerza entre las palmas de las manos, y que con una mano presiona y tira de la cubierta delantera en dirección contraria a usted, mientras que con la otra mano presiona y tira de la cubierta trasera hacia usted. En este caso, cuando las fuerzas deformantes actúan tangencialmente a la superficie del objeto, las llamamos fuerzas "de corte" y el estrés que provocan recibe el nombre de tensión de corte.

En el SI la unidad del estrés es el pascal (Pa). Cuando un newton de fuerza presiona sobre una superficie unitaria de un metro cuadrado, el estrés resultante es de un pascal:

un pascal=1,0Pa=1,0N1,0m2.un pascal=1,0Pa=1,0N1,0m2.

En el sistema británico de unidades, la unidad de estrés es "psi", que significa "libra por pulgada cuadrada" (lb/in2).(lb/in2). Otra unidad que se suele utilizar para la tensión de compresibilidad es la atm (atmósfera). Los factores de conversión son

1psi=6.895Pay1Pa=1,450×10−4psi1atm=1,013×105Pa=14,7psi.1psi=6.895Pay1Pa=1,450×10−4psi1atm=1,013×105Pa=14,7psi.

Un objeto o medio sometido a estrés se deforma. La cantidad que describe esta deformación recibe el nombre de tensión. La tensión se da como un cambio fraccional en la longitud (bajo tensión de tracción) o el volumen (bajo tensión de compresibilidad) o la geometría (bajo tensión de corte). Por lo tanto, la tensión es un número adimensional. El esfuerzo bajo una tensión de tracción se denomina esfuerzo de tracción, el esfuerzo bajo una tensión de compresibilidad se denomina esfuerzo de compresibilidad (o esfuerzo de volumen), y el causado por una tensión de corte se denomina esfuerzo cortante.

Cuanto mayor sea el estrés, mayor será la tensión. Sin embargo, la relación entre la tensión y el estrés no tiene por qué ser lineal. Solo cuando el estrés es suficientemente bajo, la deformación que provoca es directamente proporcional a su valor. La constante de proporcionalidad en esta relación se denomina módulo elástico. En el límite lineal de valores bajos de estrés, la relación general entre estrés y tensión es

estrés=(módulo elástico)×tensión.estrés=(módulo elástico)×tensión.
12.33

Como podemos ver en el análisis dimensional de esta relación, el módulo elástico tiene la misma unidad física que el estrés porque la tensión es adimensional.

Asimismo, podemos observar a partir de la Ecuación 12.33 que, cuando un objeto se caracteriza por un gran valor del módulo elástico, el efecto del estrés es pequeño. Por otro lado, un módulo elástico pequeño significa que el estrés produce una gran tensión y una notable deformación. Por ejemplo, el estrés en una banda de goma produce una tensión (deformación) mayor que el mismo estrés en una banda de acero de iguales dimensiones, porque el módulo elástico del caucho es dos órdenes de magnitud menor que el del acero.

El módulo elástico para la tensión de tracción se denomina módulo de Young; el de la tensión de compresibilidad, módulo de compresibilidad, y el de la tensión de corte, módulo de corte. Obsérvese que la relación entre el estrés y la tensión es una relación observada, medida en el laboratorio. Los módulos elásticos de varios materiales se miden en diversas condiciones físicas, como la variación de la temperatura, y se recogen en tablas de datos de ingeniería para su consulta (Tabla 12.1). Estas tablas son una valiosa referencia para la industria y para cualquier persona relacionada con la ingeniería o la construcción. En la siguiente sección, analizamos las relaciones estrés-tensión más allá del límite lineal representado por la Ecuación 12.33, en toda la gama de valores de tensión hasta un punto de fractura. En el resto de esta sección, estudiamos el límite lineal expresado por la Ecuación 12.33.

Material Módulo de Young
×1010Pa×1010Pa
Módulo de compresibilidad
×1010Pa×1010Pa
Módulo de corte
×1010Pa×1010Pa
Aluminio 7,0 7,5 2,5
Hueso (tensión) 1,6 0,8 8,0
Hueso (compresión) 0,9
Latón 9,0 6,0 3,5
Ladrillo 1,5
Hormigón 2,0
Cobre 11,0 14,0 4,4
Vidrio Crown 6,0 5,0 2,5
Granito 4,5 4,5 2,0
Cabello (humano) 1,0
Madera dura 1,5 1,0
Hierro 21,0 16,0 7,7
Plomo 1,6 4,1 0,6
Mármol 6,0 7,0 2,0
Níquel 21,0 17,0 7,8
Poliestireno 3,0
Seda 6,0
Telaraña 3,0
Acero 20,0 16,0 7,5
Acetona 0,07
Etanol 0,09
Glicerina 0,45
Mercurio 2,5
Agua 0,22
Tabla 12.1 Módulos elásticos aproximados de algunos materiales

Tensión de tracción o de compresión, tensión y módulo de Young

La tensión o la compresión se producen cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud actúan sobre un objeto a lo largo de una sola de sus dimensiones, de manera que el objeto no se mueve. Una forma de imaginar esta situación se ilustra en la Figura 12.18. Un segmento de varilla es estirado o comprimido por un par de fuerzas que actúan a lo largo de su longitud y perpendicularmente a su sección transversal. El efecto neto de estas fuerzas es que la varilla cambia su longitud desde la longitud original L0L0 que tenía antes de la aparición de las fuerzas, a una nueva longitud L que tiene bajo la acción de las fuerzas. Este cambio de longitud ΔL=LL0ΔL=LL0 puede ser un alargamiento (cuando L es mayor que la longitud original L0)L0) o contracción (cuando L es menor que la longitud original L0).L0). La tensión y el esfuerzo de tracción se producen cuando las fuerzas estiran un objeto y provocan su elongación, con el cambio de longitud ΔLΔL es positivo. La tensión y el esfuerzo de compresión se producen cuando las fuerzas contraen un objeto y provocan su acortamiento, con el cambio de longitud ΔLΔL es negativo.

En cualquiera de estas situaciones, definimos el estrés como la relación entre la fuerza deformante FF al área de la sección transversal A del objeto que se deforma. El símbolo FF que reservamos para la fuerza deformante significa que esta fuerza actúa perpendicularmente a la sección transversal del objeto. Las fuerzas que actúan en paralelo a la sección transversal no modifican la longitud de un objeto. La definición de la tensión de tracción es

tensión de tracción=FA.tensión de tracción=FA.
12.34

El esfuerzo de tracción es la medida de la deformación de un objeto sometido a una tensión de tracción y se define como el cambio fraccional de la longitud del objeto cuando este experimenta una tensión de tracción

esfuerzo de tracción=ΔLL0.esfuerzo de tracción=ΔLL0.
12.35

La tensión y el esfuerzo de compresión se definen con las mismas fórmulas, Ecuación 12.34 y Ecuación 12.35, respectivamente. La única diferencia con respecto a la situación de tracción es que, para la tensión y el esfuerzo de compresión, tomamos los valores absolutos al lado derecho en la Ecuación 12.34 y la Ecuación 12.35.

La Figura A es el esquema de un cilindro con una longitud L0 que está sometido al esfuerzo de tracción. Dos fuerzas en los diferentes lados del cilindro aumentan su longitud en Delta L. La Figura B es el esquema de un cilindro con una longitud L0 que está bajo el esfuerzo de compresión. Dos fuerzas en los diferentes lados del cilindro reducen su longitud en Delta L.
Figura 12.18 Cuando un objeto está en tensión o compresión, la fuerza neta que se ejerce sobre este es cero, pero el objeto se deforma al cambiar su longitud original L 0 . L 0 . (a) Tensión: La varilla es elongada por Δ L . Δ L . (b) Compresión: La varilla se contrae por Δ L . Δ L . En ambos casos, la fuerza deformante actúa a lo largo de la varilla y perpendicularmente a su sección transversal. En el rango lineal de estrés bajo, el área de la sección transversal de la varilla no cambia.

El módulo de Young Y es el módulo elástico cuando la deformación es causada bien sea por tensión de tracción o de compresión, y se define por la Ecuación 12.33. Al dividir esta ecuación entre el esfuerzo de tracción, obtenemos la expresión del módulo de Young:

Y=tensión de tracciónesfuerzo de tracción=F/AΔL/L0=FAL0ΔL.Y=tensión de tracciónesfuerzo de tracción=F/AΔL/L0=FAL0ΔL.
12.36

Ejemplo 12.7

Tensión de compresión en un pilar

Una escultura que pesa 10.000 N descansa sobre una superficie horizontal en la parte superior de un pilar vertical de 6,0 m de altura (Figura 12.19). El área de la sección transversal del pilar es 0.20 m20.20 m2 y es de granito con una densidad de masa de 2.700kg/m3.2.700kg/m3. Encuentre la tensión de compresión en la sección transversal situada 3,0 m por debajo de la parte superior del pilar y el valor del esfuerzo de compresión del segmento superior de 3,0 m del pilar.
La imagen muestra una fotografía de la Columna de Nelson en Trafalgar Square.
Figura 12.19 Columna de Nelson en Trafalgar Square, Londres, Inglaterra (créditos: modificación de la obra de Cristian Bortes).

Estrategia

Primero calculamos el peso de la sección superior del pilar, de 3,0 m de longitud. La fuerza normal que actúa sobre la sección transversal situada a 3,0 m de la parte superior es la suma del peso del pilar y del peso de la escultura. Una vez que tenemos la fuerza normal, utilizamos la Ecuación 12.34 para calcular el estrés. Para hallar el esfuerzo de compresión, calculamos el valor del módulo de Young para el granito en la Tabla 12.1 e invertimos la Ecuación 12.36.

Solución

El volumen del segmento del pilar con la altura h=3,0mh=3,0m y el área de la sección transversal A=0,20m2A=0,20m2 es
V=Ah=(0,20m2)(3,0m)=0,60m3.V=Ah=(0,20m2)(3,0m)=0,60m3.

Con la densidad del granito ρ=2,7×103kg/m3,ρ=2,7×103kg/m3, la masa del segmento del pilar es

m=ρV=(2,7×103kg/m3)(0,60m3)=1,60×103kg.m=ρV=(2,7×103kg/m3)(0,60m3)=1,60×103kg.

El peso del segmento del pilar es

wp=mg=(1,60×103kg)(9,80m/s2)=1,568×104N.wp=mg=(1,60×103kg)(9,80m/s2)=1,568×104N.

El peso de la escultura es ws=1,0×104N,ws=1,0×104N, por lo que la fuerza normal en la superficie de la sección transversal situada a 3,0 m por debajo de la escultura es

F=wp+ws=(1,568+1,0)×104N=2,568×104N.F=wp+ws=(1,568+1,0)×104N=2,568×104N.

Por lo tanto, el estrés es

estrés=FA=2,568×104N0,20m2=1,284×105Pa=128,4 kPa.estrés=FA=2,568×104N0,20m2=1,284×105Pa=128,4 kPa.

El módulo de Young para el granito es Y=4,5×1010Pa=4,5×107kPa.Y=4,5×1010Pa=4,5×107kPa. Por lo tanto, el esfuerzo de compresión en esta posición es

tensión=estrésY=128,4kPa4,5×107kPa=2,85×10−6.tensión=estrésY=128,4kPa4,5×107kPa=2,85×10−6.

Significación

Observe que la fuerza normal que actúa sobre la sección transversal del pilar no es constante a lo largo de su longitud, sino que varía desde su valor más pequeño en la parte superior hasta su valor más grande en la parte inferior del pilar. Así, si el pilar tiene una sección transversal uniforme a lo largo de su longitud, el estrés es mayor en su base.

Compruebe Lo Aprendido 12.9

Encuentre la tensión y estrés de compresión en la base de la columna de Nelson.

Ejemplo 12.8

Estirar una varilla

Una varilla de acero de 2,0 m de longitud tiene una sección transversal de 0,30cm2.0,30cm2. La varilla forma parte de un soporte vertical que sostiene una pesada plataforma de 550 kg, que cuelga unida al extremo inferior de la varilla. Ignorando el peso de la varilla, ¿cuál es la tensión de tracción en la varilla y la elongación de la varilla bajo el estrés?

Estrategia

Primero calculamos la tensión de tracción en la varilla bajo el peso de la plataforma de acuerdo con la Ecuación 12.34. Luego invertimos la Ecuación 12.36 para hallar la elongación de la varilla, con L0=2,0m.L0=2,0m. De la Tabla 12.1, el módulo de Young para el acero es Y=2,0×1011Pa.Y=2,0×1011Pa.

Solución

Sustituyendo los valores numéricos en las ecuaciones obtenemos
FA=(550kg)(9,8m/s2)3,0×10−5m2=1,8×108PaΔL=FAL0Y=(1,8×108Pa)2,0m2,0×1011Pa=1,8×10−3m=1,8mm.FA=(550kg)(9,8m/s2)3,0×10−5m2=1,8×108PaΔL=FAL0Y=(1,8×108Pa)2,0m2,0×1011Pa=1,8×10−3m=1,8mm.

Significación

Al igual que en el ejemplo de la columna, la tensión de tracción en este ejemplo no es uniforme a lo largo de la varilla. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, si se tiene en cuenta el peso de la varilla, el estrés en la varilla es mayor en la parte superior y menor en la parte inferior de la varilla, donde se fija el equipo.

Compruebe Lo Aprendido 12.10

Un cable de 2,0 m de longitud se estira 1,0 mm cuando se somete a una carga. ¿Cuál es el esfuerzo de tracción en el cable?

A menudo los objetos pueden experimentar simultáneamente tensión de compresión y tensión de tracción (Figura 12.20). Un ejemplo es una estantería larga cargada de libros pesados que se hunde entre los soportes de los extremos por el peso de los libros. La superficie superior de la plataforma está en tensión de compresión y la superficie inferior de la plataforma está en tensión de tracción. Del mismo modo, las vigas largas y pesadas se hunden por su propio peso. En la construcción de edificios modernos, estos esfuerzos de flexión pueden eliminarse prácticamente con el uso de vigas en I (Figura 12.21).

La Figura A es el esquema de las fuerzas experimentadas por el objeto durante la flexión hacia abajo. Experimenta una tensión de tracción (estiramiento) en la sección superior y una tensión de compresión (compresión) en la sección inferior. La Figura B muestra una fotografía de un levantador de pesas durante el levantamiento. La barra de hierro que sostiene está doblada.
Figura 12.20 (a) Un objeto que se dobla hacia abajo experimenta una tensión de tracción (estiramiento) en la sección superior y una tensión de compresión (compresión) en la sección inferior. (b) Los levantadores de pesas de élite suelen doblar las barras de hierro temporalmente durante el levantamiento, como en la competición de los Juegos Olímpicos de 2012 (créditos: b. modificación del trabajo de Oleksandr Kocherzhenko).
La figura es una fotografía de las vigas en I de acero que se utilizan en la construcción.
Figura 12.21 Las vigas en I de acero se utilizan en la construcción para reducir las tensiones de flexión (créditos: modificación de la obra por "US Army Corps of Engineers Europe District"/Flickr).

Interactivo

Una pesada caja descansa sobre una mesa apoyada en tres columnas. Vea esta demostración para mover la caja y ver cómo la compresión (o tensión) en las columnas se ve afectada cuando la caja cambia de posición.

Tensión de compresibilidad, tensión y módulos

Cuando usted se sumerge en el agua, siente una fuerza que presiona cada parte del cuerpo desde todas las direcciones. Lo que usted experimenta entonces es una tensión de compresibilidad, o lo que es lo mismo, una presión. La tensión de compresibilidad siempre tiende a disminuir el volumen encerrado por la superficie de un objeto sumergido. Las fuerzas de este "apretón" son siempre perpendiculares a la superficie sumergida (Figura 12.22). El efecto de estas fuerzas es la disminución del volumen del objeto sumergido en una cantidad ΔVΔV en comparación con el volumen V0V0 del objeto en ausencia de tensión de compresibilidad. Este tipo de deformación se denomina esfuerzo de compresibilidad y se describe mediante un cambio de volumen en relación con el volumen original:

esfuerzo de compresibilidad=ΔVV0.esfuerzo de compresibilidad=ΔVV0.
12.37
La figura es el esquema de las fuerzas que experimenta un objeto sometido a la tensión de compresibilidad. Fuerzas iguales perpendiculares a la superficie actúan desde todas las direcciones y reducen el volumen en la cantidad delta V en comparación con el volumen original, V0.
Figura 12.22 Un objeto sometido a una tensión de compresibilidad en aumento constante experimenta una disminución de su volumen. Fuerzas iguales perpendiculares a la superficie actúan desde todas las direcciones. El efecto de estas fuerzas consiste en disminuir el volumen en la cantidad Δ V Δ V en comparación con el volumen original, V 0 . V 0 .

El esfuerzo de compresibilidad es el resultado de la tensión de compresibilidad, que es una fuerza FF normal a una superficie que presiona sobre la superficie unitaria A de un objeto sumergido. Este tipo de cantidad física, o presión p, se define como

presión=pFA.presión=pFA.
12.38

Estudiaremos la presión en los fluidos con más detalle en Mecánica de Fluidos. Una característica importante de la presión es que es una cantidad escalar y no tiene ninguna dirección particular; es decir, la presión actúa por igual en todas las direcciones posibles. Cuando se sumerge la mano en el agua, se percibe la misma cantidad de presión que actúa sobre la superficie superior de la mano que sobre la superficie inferior, o sobre la superficie lateral, o sobre la superficie de la piel entre los dedos. Lo que se percibe en este caso es un aumento de la presión ΔpΔp sobre lo que se está acostumbrado a sentir cuando su mano no está sumergida en el agua. Lo que se siente cuando la mano no está sumergida en el agua es la presión normal p0p0 de una atmósfera, que sirve de punto de referencia. La tensión de compresibilidad es este aumento de la presión, o Δp,Δp, sobre el nivel normal, p0.p0.

Cuando la tensión de compresibilidad aumenta, el esfuerzo de compresibilidad también aumenta, de acuerdo con la Ecuación 12.33. La constante de proporcionalidad en esta relación se denomina módulo de compresibilidad, B, o

B=tensión de compresibilidadesfuerzo de compresibilidad=ΔpΔV/V0=ΔpV0ΔV.B=tensión de compresibilidadesfuerzo de compresibilidad=ΔpΔV/V0=ΔpV0ΔV.
12.39

El signo menos que aparece en la Ecuación 12.39 es por coherencia, para asegurar que B sea una cantidad positiva. Tenga en cuenta que el signo menos ()() es necesario porque un aumento ΔpΔp en la presión (una cantidad positiva) siempre provoca una disminución ΔVΔV en volumen, y la disminución del volumen es una cantidad negativa. El recíproco del módulo de compresibilidad se denomina compresibilidad k,k, o

k=1B=ΔV/V0Δp.k=1B=ΔV/V0Δp.
12.40

El término "compresibilidad" se utiliza en relación con los fluidos (gases y líquidos). La compresibilidad describe el cambio de volumen de un fluido por unidad de aumento de presión. Los fluidos caracterizados por una gran compresibilidad son relativamente fáciles de comprimir. Por ejemplo, la compresibilidad del agua es 4,64×10−5/atm4,64×10−5/atm y la compresibilidad de la acetona es 1,45×10−4/atm.1,45×10−4/atm. Esto significa que, bajo un aumento de presión de 1,0 atm, la disminución relativa del volumen es aproximadamente el triple con la acetona que con el agua.

Ejemplo 12.9

Prensa hidráulica

En una prensa hidráulica, Figura 12.23, un volumen de 250 litros de aceite se somete a un aumento de presión de 2.300 psi. Si la compresibilidad del petróleo es 2,0×10−5/atm,2,0×10−5/atm, halle el esfuerzo de compresibilidad y la disminución absoluta del volumen de aceite cuando la prensa está en funcionamiento.
La figura es el esquema de una prensa hidráulica. Un pistón pequeño se desplaza hacia abajo y hace que el pistón grande que sostiene el objeto se mueva hacia arriba.
Figura 12.23 En una prensa hidráulica, cuando un pistón pequeño se desplaza hacia abajo, la presión del aceite se transmite por todo el aceite al pistón grande, lo que hace que se desplace hacia arriba. Una pequeña fuerza aplicada a un pistón pequeño provoca una gran fuerza de presión, que el pistón grande ejerce sobre un objeto que se levanta o se aprieta. El dispositivo actúa como una palanca mecánica.

Estrategia

Debemos invertir la Ecuación 12.40 para hallar el esfuerzo de compresibilidad. Primero, convertimos el aumento de presión de psi a atm, Δp=2.300psi=2.300/14,7atm160atm,Δp=2.300psi=2.300/14,7atm160atm, e identificar V0=250L.V0=250L.

Solución

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos
esfuerzo de compresibilidad=ΔVV0=ΔpB=kΔp=(2,0×10−5/atm)(160atm)=0,0032respuesta:ΔV=0,0032V0=0,0032(250L)=0,78L.esfuerzo de compresibilidad=ΔVV0=ΔpB=kΔp=(2,0×10−5/atm)(160atm)=0,0032respuesta:ΔV=0,0032V0=0,0032(250L)=0,78L.

Significación

Obsérvese que, dado que la compresibilidad del agua es 2,32 veces mayor que la del aceite, si la sustancia de trabajo en la prensa hidráulica de este problema se cambiara por agua, el esfuerzo de compresibilidad, así como el cambio de volumen, serían 2,32 veces mayores.

Compruebe Lo Aprendido 12.11

Si la fuerza normal que actúa sobre cada cara de un cubo 1.0-m31.0-m3 pieza de acero se cambia por 1,0×107N,1,0×107N, calcule el cambio resultante en el volumen de la pieza de acero.

Tensión de corte, tensión y módulo

Los conceptos de tensión de corte y tensión solo se refieren a objetos o materiales sólidos. Los edificios y las placas tectónicas son ejemplos de objetos que pueden estar sometidos a tensión de corte. En general, estos conceptos no se aplican a los fluidos.

La deformación por corte se produce cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies opuestas de un objeto sólido, sin causar ninguna deformación en la dirección transversal a la línea de fuerza, como en el ejemplo típico de tensión de corte ilustrado en la Figura 12.24. La deformación por corte se caracteriza por un cambio gradual ΔxΔx de capas en la dirección tangente a las fuerzas actuantes. Esta gradación en ΔxΔx se produce en la dirección transversal a lo largo de cierta distancia L0.L0. El esfuerzo cortante se define por la relación entre el mayor desplazamiento ΔxΔx a la distancia transversal L0L0

esfuerzo cortante=ΔxL0.esfuerzo cortante=ΔxL0.
12.41

El esfuerzo cortante es causado por la tensión de corte. La tensión de corte se debe a las fuerzas que actúan en paralelo a la superficie. Utilizamos el símbolo FF para tales fuerzas. La magnitud FF por área de superficie A donde se aplica la fuerza de corte es la medida de la tensión de corte

tensión de corte=FA.tensión de corte=FA.
12.42

El módulo de corte es la constante de proporcionalidad en la Ecuación 12.33 y se define por el cociente de estrés y tensión. El módulo de corte se denota comúnmente por S:

S=tensión de corteesfuerzo cortante=F/AΔx/L0=FAL0Δx.S=tensión de corteesfuerzo cortante=F/AΔx/L0=FAL0Δx.
12.43
La figura es el esquema de un objeto bajo tensión de corte: Dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies paralelas opuestas del objeto. Como resultado, el objeto se transforma de la forma de rectángulo a la de paralelogramo. Mientras que la altura del objeto permanece igual, las esquinas superiores se mueven hacia la derecha por el Delta X.
Figura 12.24 Objeto sometido a tensión de corte: Dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies paralelas opuestas del objeto. El contorno de la línea discontinua representa la deformación resultante. No hay cambio en la dirección transversal a las fuerzas actuantes y la longitud transversal L 0 L 0 no se ve afectado. La deformación por corte se caracteriza por un cambio gradual Δ x Δ x de capas en la dirección tangente a las fuerzas.

Ejemplo 12.10

Una vieja estantería

Una persona de la limpieza intenta mover una pesada y vieja estantería en un suelo enmoquetado al empujar tangencialmente la superficie del estante superior. Sin embargo, el único efecto perceptible de este esfuerzo es similar al que se observa en la Figura 12.24, y desaparece cuando la persona deja de empujar. La librería tiene 180,0 cm de alto y 90,0 cm de ancho, con cuatro estantes de 30,0 cm de profundidad, todos ellos parcialmente cargados de libros. El peso total de la librería y de los libros es de 600,0 N. Si la persona da un empujón de 50,0 N a la estantería superior que la desplaza horizontalmente 15,0 cm respecto a la estantería inferior inmóvil, halle el módulo de corte de la librería.

Estrategia

Los únicos datos pertinentes son las dimensiones físicas de la librería, el valor de la fuerza tangencial y el desplazamiento que provoca esta fuerza. Identificamos F=50,0N,Δx=15,0cm,F=50,0N,Δx=15,0cm, L0=180,0cm,L0=180,0cm, y A=(30,0 cm)(90,0 cm)=2.700,0cm2,A=(30,0 cm)(90,0 cm)=2.700,0cm2, y utilizamos la Ecuación 12.43 para calcular el módulo de corte.

Solución

Sustituyendo los números en las ecuaciones, obtenemos para el módulo de corte
S=FAL0Δx=50,0N2.700,0cm2180,0cm15,0cm=29Ncm2=29×104Nm2=209×103Pa=2,222 kPa.S=FAL0Δx=50,0N2.700,0cm2180,0cm15,0cm=29Ncm2=29×104Nm2=209×103Pa=2,222 kPa.

También podemos encontrar la tensión de corte y la tensión, respectivamente:

FA=50,0N2.700,0cm2=527kPa=185,2 PaΔxL0=15,0cm180,0cm=112=0,083.FA=50,0N2.700,0cm2=527kPa=185,2 PaΔxL0=15,0cm180,0cm=112=0,083.

Significación

Si la persona de este ejemplo diera un buen empujón a la estantería, podría ocurrir que el corte inducido la derrumbara hasta convertirla en un montón de basura. El mismo mecanismo de corte causa las fallas en las represas y diques rellenos de tierra y, en general, de los deslizamientos de tierra.

Compruebe Lo Aprendido 12.12

Explique por qué los conceptos de módulo de Young y módulo de corte no se aplican a los fluidos.

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