12.3 Estrés, tensión y módulo elástico

Tensión de tracción o de compresión, tensión y módulo de Young

La tensión o la compresión se producen cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud actúan sobre un objeto a lo largo de una sola de sus dimensiones, de manera que el objeto no se mueve. Una forma de imaginar esta situación se ilustra en la Figura 12.18. Un segmento de varilla es estirado o comprimido por un par de fuerzas que actúan a lo largo de su longitud y perpendicularmente a su sección transversal. El efecto neto de estas fuerzas es que la varilla cambia su longitud desde la longitud original $L_0$ que tenía antes de la aparición de las fuerzas, a una nueva longitud L que tiene bajo la acción de las fuerzas. Este cambio de longitud $\text{Δ}L=L-L_0$ puede ser un alargamiento (cuando L es mayor que la longitud original $L_0)$ o contracción (cuando L es menor que la longitud original $L_0).$ La tensión y el esfuerzo de tracción se producen cuando las fuerzas estiran un objeto y provocan su elongación, con el cambio de longitud $\text{Δ}L$ es positivo. La tensión y el esfuerzo de compresión se producen cuando las fuerzas contraen un objeto y provocan su acortamiento, con el cambio de longitud $\text{Δ}L$ es negativo.

En cualquiera de estas situaciones, definimos el estrés como la relación entre la fuerza deformante $F_{\perp }$ al área de la sección transversal A del objeto que se deforma. El símbolo $F_{\perp }$ que reservamos para la fuerza deformante significa que esta fuerza actúa perpendicularmente a la sección transversal del objeto. Las fuerzas que actúan en paralelo a la sección transversal no modifican la longitud de un objeto. La definición de la tensión de tracción es

El esfuerzo de tracción es la medida de la deformación de un objeto sometido a una tensión de tracción y se define como el cambio fraccional de la longitud del objeto cuando este experimenta una tensión de tracción

La tensión y el esfuerzo de compresión se definen con las mismas fórmulas, Ecuación 12.34 y Ecuación 12.35, respectivamente. La única diferencia con respecto a la situación de tracción es que, para la tensión y el esfuerzo de compresión, tomamos los valores absolutos al lado derecho en la Ecuación 12.34 y la Ecuación 12.35.

Figura 12.18 Cuando un objeto está en tensión o compresión, la fuerza neta que se ejerce sobre este es cero, pero el objeto se deforma al cambiar su longitud original $L_0.$ (a) Tensión: La varilla es elongada por $\text{Δ}L.$ (b) Compresión: La varilla se contrae por $\text{Δ}L.$ En ambos casos, la fuerza deformante actúa a lo largo de la varilla y perpendicularmente a su sección transversal. En el rango lineal de estrés bajo, el área de la sección transversal de la varilla no cambia.

El módulo de Young Y es el módulo elástico cuando la deformación es causada bien sea por tensión de tracción o de compresión, y se define por la Ecuación 12.33. Al dividir esta ecuación entre el esfuerzo de tracción, obtenemos la expresión del módulo de Young:

Ejemplo 12.7

Tensión de compresión en un pilar

Una escultura que pesa 10.000 N descansa sobre una superficie horizontal en la parte superior de un pilar vertical de 6,0 m de altura (Figura 12.19). El área de la sección transversal del pilar es $0{\text{.20 m}}^2$ y es de granito con una densidad de masa de ${2.700\text{kg/m}}^3.$ Encuentre la tensión de compresión en la sección transversal situada 3,0 m por debajo de la parte superior del pilar y el valor del esfuerzo de compresión del segmento superior de 3,0 m del pilar.

Figura 12.19 Columna de Nelson en Trafalgar Square, Londres, Inglaterra (créditos: modificación de la obra de Cristian Bortes).

Estrategia

Primero calculamos el peso de la sección superior del pilar, de 3,0 m de longitud. La fuerza normal que actúa sobre la sección transversal situada a 3,0 m de la parte superior es la suma del peso del pilar y del peso de la escultura. Una vez que tenemos la fuerza normal, utilizamos la Ecuación 12.34 para calcular el estrés. Para hallar el esfuerzo de compresión, calculamos el valor del módulo de Young para el granito en la Tabla 12.1 e invertimos la Ecuación 12.36.

Solución

El volumen del segmento del pilar con la altura $h=\mathrm{3,0}\text{m}$ y el área de la sección transversal $A=\mathrm{0,20}{\text{m}}^2$ es

$$V=Ah=(\mathrm{0,20}{\text{m}}^2)(\mathrm{3,0}\text{m})=\mathrm{0,60}{\text{m}}^3.$$

Con la densidad del granito $\rho =\mathrm{2,7}\times {10}^3{\text{kg/m}}^3,$ la masa del segmento del pilar es

$$m=\rho V=(\mathrm{2,7}\times {10}^3{\text{kg/m}}^3)(\mathrm{0,60}{\text{m}}^3)=\mathrm{1,60}\times {10}^3\text{kg}.$$

El peso del segmento del pilar es

$$w_p=mg=(\mathrm{1,60}\times {10}^3\text{kg})(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2)=\mathrm{1,568}\times {10}^4\text{N.}$$

El peso de la escultura es $w_s=\mathrm{1,0}\times {10}^4\text{N},$ por lo que la fuerza normal en la superficie de la sección transversal situada a 3,0 m por debajo de la escultura es

$$F_{\perp }=w_p+w_s=(\mathrm{1,568}+\mathrm{1,0})\times {10}^4\text{N}=\mathrm{2,568}\times {10}^4\text{N.}$$

Por lo tanto, el estrés es

$$\text{estrés}=\frac{F_{\perp }}{A}=\frac{\mathrm{2,568}\times {10}^4\text{N}}{\mathrm{0,20}{\text{m}}^2}=\mathrm{1,284}\times {10}^5\text{Pa}=\text{128,4 kPa.}$$

El módulo de Young para el granito es $Y=\mathrm{4,5}\times {10}^{10}\text{Pa}=\mathrm{4,5}\times {10}^7\text{kPa}.$ Por lo tanto, el esfuerzo de compresión en esta posición es

$$\text{tensión}=\frac{\text{estrés}}{Y}=\frac{\mathrm{128,4}\text{kPa}}{\mathrm{4,5}\times {10}^7\text{kPa}}=\mathrm{2,85}\times {10}^{\mathrm{-6}}.$$

Significación

Observe que la fuerza normal que actúa sobre la sección transversal del pilar no es constante a lo largo de su longitud, sino que varía desde su valor más pequeño en la parte superior hasta su valor más grande en la parte inferior del pilar. Así, si el pilar tiene una sección transversal uniforme a lo largo de su longitud, el estrés es mayor en su base.

A menudo los objetos pueden experimentar simultáneamente tensión de compresión y tensión de tracción (Figura 12.20). Un ejemplo es una estantería larga cargada de libros pesados que se hunde entre los soportes de los extremos por el peso de los libros. La superficie superior de la plataforma está en tensión de compresión y la superficie inferior de la plataforma está en tensión de tracción. Del mismo modo, las vigas largas y pesadas se hunden por su propio peso. En la construcción de edificios modernos, estos esfuerzos de flexión pueden eliminarse prácticamente con el uso de vigas en I (Figura 12.21).

Figura 12.20 (a) Un objeto que se dobla hacia abajo experimenta una tensión de tracción (estiramiento) en la sección superior y una tensión de compresión (compresión) en la sección inferior. (b) Los levantadores de pesas de élite suelen doblar las barras de hierro temporalmente durante el levantamiento, como en la competición de los Juegos Olímpicos de 2012 (créditos: b. modificación del trabajo de Oleksandr Kocherzhenko).

Figura 12.21 Las vigas en I de acero se utilizan en la construcción para reducir las tensiones de flexión (créditos: modificación de la obra por "US Army Corps of Engineers Europe District"/Flickr).

Tensión de compresibilidad, tensión y módulos

Cuando usted se sumerge en el agua, siente una fuerza que presiona cada parte del cuerpo desde todas las direcciones. Lo que usted experimenta entonces es una tensión de compresibilidad, o lo que es lo mismo, una presión. La tensión de compresibilidad siempre tiende a disminuir el volumen encerrado por la superficie de un objeto sumergido. Las fuerzas de este "apretón" son siempre perpendiculares a la superficie sumergida (Figura 12.22). El efecto de estas fuerzas es la disminución del volumen del objeto sumergido en una cantidad $\text{Δ}V$ en comparación con el volumen $V_0$ del objeto en ausencia de tensión de compresibilidad. Este tipo de deformación se denomina esfuerzo de compresibilidad y se describe mediante un cambio de volumen en relación con el volumen original:

Figura 12.22 Un objeto sometido a una tensión de compresibilidad en aumento constante experimenta una disminución de su volumen. Fuerzas iguales perpendiculares a la superficie actúan desde todas las direcciones. El efecto de estas fuerzas consiste en disminuir el volumen en la cantidad $\text{Δ}V$ en comparación con el volumen original, $V_0.$

El esfuerzo de compresibilidad es el resultado de la tensión de compresibilidad, que es una fuerza $F_{\perp }$ normal a una superficie que presiona sobre la superficie unitaria A de un objeto sumergido. Este tipo de cantidad física, o presión p, se define como

Estudiaremos la presión en los fluidos con más detalle en Mecánica de Fluidos. Una característica importante de la presión es que es una cantidad escalar y no tiene ninguna dirección particular; es decir, la presión actúa por igual en todas las direcciones posibles. Cuando se sumerge la mano en el agua, se percibe la misma cantidad de presión que actúa sobre la superficie superior de la mano que sobre la superficie inferior, o sobre la superficie lateral, o sobre la superficie de la piel entre los dedos. Lo que se percibe en este caso es un aumento de la presión $\text{Δ}p$ sobre lo que se está acostumbrado a sentir cuando su mano no está sumergida en el agua. Lo que se siente cuando la mano no está sumergida en el agua es la presión normal $p_0$ de una atmósfera, que sirve de punto de referencia. La tensión de compresibilidad es este aumento de la presión, o $\text{Δ}p,$ sobre el nivel normal, $p_0.$

Cuando la tensión de compresibilidad aumenta, el esfuerzo de compresibilidad también aumenta, de acuerdo con la Ecuación 12.33. La constante de proporcionalidad en esta relación se denomina módulo de compresibilidad, B, o

El signo menos que aparece en la Ecuación 12.39 es por coherencia, para asegurar que B sea una cantidad positiva. Tenga en cuenta que el signo menos $(–)$ es necesario porque un aumento $\text{Δ}p$ en la presión (una cantidad positiva) siempre provoca una disminución $\text{Δ}V$ en volumen, y la disminución del volumen es una cantidad negativa. El recíproco del módulo de compresibilidad se denomina compresibilidad $k,$ o

El término "compresibilidad" se utiliza en relación con los fluidos (gases y líquidos). La compresibilidad describe el cambio de volumen de un fluido por unidad de aumento de presión. Los fluidos caracterizados por una gran compresibilidad son relativamente fáciles de comprimir. Por ejemplo, la compresibilidad del agua es $\mathrm{4,64}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{/atm}$ y la compresibilidad de la acetona es $\mathrm{1,45}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{/atm}.$ Esto significa que, bajo un aumento de presión de 1,0 atm, la disminución relativa del volumen es aproximadamente el triple con la acetona que con el agua.

Ejemplo 12.9

Prensa hidráulica

En una prensa hidráulica, Figura 12.23, un volumen de 250 litros de aceite se somete a un aumento de presión de 2.300 psi. Si la compresibilidad del petróleo es $\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{/}\text{atm},$ halle el esfuerzo de compresibilidad y la disminución absoluta del volumen de aceite cuando la prensa está en funcionamiento.

Figura 12.23 En una prensa hidráulica, cuando un pistón pequeño se desplaza hacia abajo, la presión del aceite se transmite por todo el aceite al pistón grande, lo que hace que se desplace hacia arriba. Una pequeña fuerza aplicada a un pistón pequeño provoca una gran fuerza de presión, que el pistón grande ejerce sobre un objeto que se levanta o se aprieta. El dispositivo actúa como una palanca mecánica.

Estrategia

Debemos invertir la Ecuación 12.40 para hallar el esfuerzo de compresibilidad. Primero, convertimos el aumento de presión de psi a atm, $\text{Δ}p=2.300\text{psi}=2.300\text{/}\mathrm{14,7}\text{atm}\approx 160\text{atm},$ e identificar $V_0=250\text{L}.$

Solución

Sustituyendo los valores en la ecuación, tenemos

$$\begin{array}{}\\ \\ \text{esfuerzo de compresibilidad}=\frac{\text{Δ}V}{V_0}=\frac{\text{Δ}p}{B}=k\text{Δ}p=(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{/atm})(160\text{atm})=\mathrm{0,0032}\hfill \\ \text{respuesta:}\text{Δ}V=\mathrm{0,0032}{V}_0=\mathrm{0,0032}(250\text{L})=\mathrm{0,78}\text{L.}\hfill \end{array}$$

Significación

Obsérvese que, dado que la compresibilidad del agua es 2,32 veces mayor que la del aceite, si la sustancia de trabajo en la prensa hidráulica de este problema se cambiara por agua, el esfuerzo de compresibilidad, así como el cambio de volumen, serían 2,32 veces mayores.

Tensión de corte, tensión y módulo

Los conceptos de tensión de corte y tensión solo se refieren a objetos o materiales sólidos. Los edificios y las placas tectónicas son ejemplos de objetos que pueden estar sometidos a tensión de corte. En general, estos conceptos no se aplican a los fluidos.

La deformación por corte se produce cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies opuestas de un objeto sólido, sin causar ninguna deformación en la dirección transversal a la línea de fuerza, como en el ejemplo típico de tensión de corte ilustrado en la Figura 12.24. La deformación por corte se caracteriza por un cambio gradual $\text{Δ}x$ de capas en la dirección tangente a las fuerzas actuantes. Esta gradación en $\text{Δ}x$ se produce en la dirección transversal a lo largo de cierta distancia $L_0.$ El esfuerzo cortante se define por la relación entre el mayor desplazamiento $\text{Δ}x$ a la distancia transversal $L_0$

El esfuerzo cortante es causado por la tensión de corte. La tensión de corte se debe a las fuerzas que actúan en paralelo a la superficie. Utilizamos el símbolo $F_{\parallel }$ para tales fuerzas. La magnitud $F_{\parallel }$ por área de superficie A donde se aplica la fuerza de corte es la medida de la tensión de corte

El módulo de corte es la constante de proporcionalidad en la Ecuación 12.33 y se define por el cociente de estrés y tensión. El módulo de corte se denota comúnmente por S:

Figura 12.24 Objeto sometido a tensión de corte: Dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies paralelas opuestas del objeto. El contorno de la línea discontinua representa la deformación resultante. No hay cambio en la dirección transversal a las fuerzas actuantes y la longitud transversal $L_0$ no se ve afectado. La deformación por corte se caracteriza por un cambio gradual $\text{Δ}x$ de capas en la dirección tangente a las fuerzas.