William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Resumen

10.1 Variables rotacionales

La posición angular $θ$ de un cuerpo en rotación es el ángulo que ha rotado el cuerpo en un sistema de coordenadas fijo, que sirve como marco de referencia.
La velocidad angular de un cuerpo en rotación alrededor de un eje fijo se define como $ω (rad / s)$ , la tasa rotacional del cuerpo en radianes por segundo. La velocidad angular instantánea de un cuerpo en rotación $ω = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{d θ}{d t}$ es la derivada con respecto al tiempo de la posición angular $θ$ , calculada al tomar el límite $Δ t \to 0$ en la velocidad angular media $\bar{ω} = \frac{Δ θ}{Δ t}$ . La velocidad angular relaciona $v_{t}$ con la rapidez tangencial de un punto del cuerpo en rotación mediante la relación $v_{t} = r ω$ , donde r es el radio al punto y $v_{t}$ es la rapidez tangencial en el punto dado.
La velocidad angular $\vec{ω}$ se calcula al utilizar la regla de la mano derecha. Si los dedos se doblan en el sentido de rotación alrededor de un eje fijo, el pulgar apunta en la dirección de $\vec{ω}$ (vea la Figura 10.5).
Si la velocidad angular del sistema no es constante, entonces el sistema tiene una aceleración angular. La aceleración angular media en un intervalo de tiempo determinado es la variación de la velocidad angular en ese intervalo, $\bar{α} = \frac{Δ ω}{Δ t}$ . La aceleración angular instantánea es la derivada de tiempo de la velocidad angular, $α = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ ω}{Δ t} = \frac{d ω}{d t}$ . La aceleración angular $\vec{α}$ se calcula al localizar la velocidad angular. Si la tasa de rotación de un cuerpo en rotación disminuye, la aceleración angular es en sentido contrario a $\vec{ω}$ . Si la tasa de rotación se incrementa, la aceleración angular es en la misma dirección que $\vec{ω}$ .
La aceleración tangencial de un punto a un radio del eje de rotación es la aceleración angular por el radio al punto.

10.2 Rotación con aceleración angular constante

La cinemática del movimiento rotacional describe las relaciones entre el ángulo de rotación (posición angular), la velocidad angular, la aceleración angular y el tiempo.
En una aceleración angular constante, la velocidad angular varía linealmente. Por lo tanto, la velocidad angular media es la 1/2 de la velocidad angular inicial más la final en un tiempo determinado:
$\bar{ω} = \frac{ω_{0} + ω_{f}}{2} .$
Utilizamos un análisis gráfico para hallar soluciones a la rotación de eje fijo con aceleración angular constante. A partir de la relación $ω = \frac{d θ}{d t}$ , hallamos que el área bajo la curva de velocidad angular en función del tiempo da el desplazamiento angular, $θ_{f} - θ_{0} = Δ θ = \int_{t_{0}}^{t} ω (t) d t$ . Los resultados del análisis gráfico se verificaron mediante las ecuaciones cinemáticas para una aceleración angular constante. Del mismo modo, dado que $α = \frac{d ω}{d t}$ , el área bajo un gráfico de aceleración angular en función del tiempo da el cambio en la velocidad angular $ω_{f} - ω_{0} = Δ ω = \int_{t_{0}}^{t} α (t) d t$ .

10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales

Las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus contrapartes rotacionales de tal manera que existe un mapeo de $x \to θ, v \to ω, a \to α$ .
Un sistema que experimenta un movimiento circular uniforme tiene una velocidad angular constante, pero los puntos situados a una distancia r del eje de rotación tienen una aceleración centrípeta lineal.
Un sistema que experimenta un movimiento circular no uniforme tiene una aceleración angular y, por lo tanto, tiene una aceleración lineal centrípeta y una aceleración lineal tangencial en un punto a una distancia r del eje de rotación.
La aceleración lineal total es la suma vectorial del vector de aceleración centrípeta y del vector de aceleración tangencial. Ya que los vectores de aceleración centrípeta y tangencial son perpendiculares entre sí para el movimiento circular, la magnitud de la aceleración lineal total es $| \vec{a} | = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}}$ .

10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional

La energía cinética rotacional es la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido o sistema de partículas en rotación, y viene dada por $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ , donde I es el momento de inercia, o "masa rotacional" del cuerpo rígido o sistema de partículas.
El momento de inercia para un sistema de partículas puntuales que rotan en torno a un eje fijo es $I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}$ , donde $m_{j}$ es la masa de la partícula puntual y $r_{j}$ es la distancia de la partícula puntual al eje de rotación. Debido al término $r^{2}$ , el momento de inercia aumenta como el cuadrado de la distancia al eje fijo de rotación. El momento de inercia es la contraparte rotacional de la masa en movimiento lineal.
En los sistemas que están en rotación y traslación, la conservación de la energía mecánica puede utilizarse si no hay fuerzas no conservativas en funcionamiento. La energía mecánica total se conserva entonces y es la suma de las energías cinéticas rotacional y traslacional, y la energía potencial gravitacional.

10.5 Calcular momentos de inercia

Los momentos de inercia se hallan al sumar o integrar cada "pieza de masa" que compone un objeto, multiplicado por el cuadrado de la distancia de cada "pieza de masa" al eje. En forma integral el momento de inercia es $I = \int r^{2} d m$ .
El momento de inercia es mayor cuando la masa de un objeto está más alejada del eje de rotación.
Es posible hallar el momento de inercia de un objeto en torno a un nuevo eje de rotación una vez que se conoce para un eje paralelo. Esto se denomina el teorema del eje paralelo dado por $I_{eje paralelo} = I_{centro de masa} + m d^{2}$ , donde d es la distancia del eje inicial al eje paralelo.
El momento de inercia de un objeto compuesto es simplemente la suma de los momentos de inercia de cada uno de los objetos que lo componen.

10.6 Torque

La magnitud de un torque en torno a un eje fijo se calcula al hallar el brazo de palanca hasta el punto donde se aplica la fuerza y utilizar la relación $| \vec{τ} | = r_{⊥} F$ , donde $r_{⊥}$ es la distancia perpendicular del eje a la línea sobre la que se encuentra el vector de fuerza.
El signo del torque se halla con la regla de la mano derecha. Si la página es el plano que contiene $\vec{r}$ y $\vec{F}$ , entonces $\vec{r} \times \vec{F}$ está fuera de la página para los torques positivos y dentro de la página para los torques negativos.
El torque neto se halla al sumar cada uno de los torques en torno a un eje determinado.

10.7 Segunda ley de Newton para la rotación

La segunda ley de Newton para la rotación, $\sum_{i} τ_{i} = I α$ , establece que la suma de los torques en un sistema que rota en torno a un eje fijo es igual al producto del momento de inercia y la aceleración angular. Es el análogo rotacional de la segunda ley de Newton del movimiento lineal.
En la forma vectorial de la segunda ley de Newton para la rotación, el vector de torque $\vec{τ}$ está en la misma dirección que la aceleración angular $\vec{α}$ . Si la aceleración angular de un sistema en rotación es positiva, el torque en el sistema también es positivo, y si la aceleración angular es negativa, el torque es negativo.

10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional

El trabajo incremental dW en la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo es la suma de los torques alrededor del eje a por el ángulo incremental $d θ$ .
El trabajo total realizado para la rotación de un cuerpo rígido a través de un ángulo $θ$ alrededor de un eje fijo es la suma de los torques integrados sobre el desplazamiento angular. Si el torque es una constante como función de $θ$ , entonces $W_{A B} = τ (θ_{B} - θ_{A})$ .
El teorema de trabajo-energía relaciona el trabajo rotacional realizado con el cambio en la energía cinética rotacional: $W_{A B} = K_{B} - K_{A}$ donde $K = \frac{1}{2} I ω^{2} .$
La potencia suministrada a un sistema que rota alrededor de un eje fijo es el torque por la velocidad angular, $P = τ ω$ .