3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media

Posición

Para describir el movimiento de un objeto, primero hay que poder describir su posición (x): dónde se encuentra en un momento determinado. Más concretamente, necesitamos especificar su posición respecto a un marco de referencia conveniente. Un marco de referencia es un conjunto arbitrario de ejes a partir del cual se describen la posición y el movimiento de un objeto. La Tierra se utiliza a menudo como marco de referencia, y con frecuencia describimos la posición de un objeto en relación con los objetos estacionarios de la Tierra. Por ejemplo, el lanzamiento de un cohete podría describirse en términos de la posición del cohete con respecto a la Tierra en su conjunto, mientras que la posición de una ciclista podría describirse en términos de dónde se encuentra en relación con los edificios por los que pasa en la Figura 3.2. En otros casos, utilizamos marcos de referencia que no son estacionarios, sino que están en movimiento respecto a la Tierra. Para describir la posición de una persona en un avión, por ejemplo, utilizamos el avión, no la Tierra, como marco de referencia. Para describir la posición de un objeto que experimenta un movimiento unidimensional, solemos utilizar la variable x. Más adelante en el capítulo, durante el análisis de la caída libre, utilizamos la variable y.

Figura 3.2 Estos ciclistas en Vietnam pueden describirse por sus posiciones con respecto a los edificios o al canal. Sus movimientos pueden describirse mediante sus cambios de posición, o desplazamientos, en un marco de referencia (créditos: modificación de un trabajo de Suzan Black).

Desplazamiento

Si un objeto se mueve con respecto a un marco de referencia, por ejemplo, si una profesora se desplaza hacia la derecha con respecto a una pizarra como en la Figura 3.3, la posición del objeto cambia. Este cambio de posición se denomina desplazamiento. La palabra desplazamiento implica que un objeto se ha movido o ha sido desplazado. Si bien la posición es el valor numérico de la x a lo largo de una línea recta en la que puede estar situado un objeto, el desplazamiento da el cambio de posición a lo largo de esta línea. Dado que el desplazamiento indica la dirección, es un vector y puede ser positivo o negativo, dependiendo de la elección de la dirección positiva. Además, en un análisis de movimiento puede haber muchos desplazamientos. Si la derecha es positiva y un objeto se desplaza 2 m a la derecha y luego 4 m a la izquierda, los desplazamientos individuales son 2 m y $\mathrm{-4}$ m, respectivamente.

Figura 3.3 La profesora se pasea a la izquierda y a la derecha mientras da una conferencia. Su posición respecto a la Tierra viene dada por la x. El desplazamiento de +2,0 m de la profesora con respecto a la Tierra está representado por una flecha que apunta a la derecha.

Utilizamos la letra griega mayúscula delta (Δ) con el significado de "cambio en" cualquier cantidad que le siga; así, $\text{Δ}x$ significa cambio de posición (posición final menos posición inicial). Siempre resolvemos el desplazamiento restando la posición inicial $x_0$ de la posición final $x_{\text{f}}$. Hay que tener en cuenta que la unidad del SI para el desplazamiento es el metro, pero a veces utilizamos kilómetros u otras unidades de longitud. Asimismo, que cuando en un problema se utilicen unidades distintas a los metros, es posible que tenga que convertirlas a metros para completar el cálculo (vea el Apéndice B).

Los objetos en movimiento también pueden tener una serie de desplazamientos. En el ejemplo anterior de la profesora que se paseaba, los desplazamientos individuales son de 2 m y $\mathrm{-4}$ m, lo que supone un desplazamiento total de -2 m. Definimos el desplazamiento total $\text{Δ}{x}_{\text{Total}}$, como la suma de los desplazamientos individuales, y lo expresamos matemáticamente con la ecuación

donde $\text{Δ}{x}_i$ son cada uno de los desplazamientos. En el ejemplo anterior,

De la misma manera,

Por lo tanto,

El desplazamiento total es de 2 - 4 = -2 m hacia la izquierda, es decir, en dirección negativa. También es útil para calcular la magnitud del desplazamiento, o su tamaño. La magnitud del desplazamiento siempre es positiva. Es el valor absoluto del desplazamiento, porque el desplazamiento es un vector y no puede tener un valor negativo de magnitud. En nuestro ejemplo, la magnitud del desplazamiento total es de 2 m, mientras que las magnitudes de cada uno de los desplazamientos son de 2 m y 4 m.

La magnitud del desplazamiento total no debe confundirse con la distancia recorrida. La distancia recorrida $x_{\text{Total}}$, es la longitud total del camino recorrido entre dos posiciones. En el problema anterior, la distancia recorrida es la suma de las magnitudes de cada uno de los desplazamientos:

Velocidad media

Para calcular las demás magnitudes físicas de la cinemática debemos introducir la variable de tiempo. La variable de tiempo nos permite no solo indicar dónde está el objeto (su posición) durante su movimiento, sino también a qué velocidad se mueve. La velocidad a la que se mueve un objeto viene dada por la tasa en la que cambia la posición con el tiempo.

Para cada posición $x_{\text{i}}$, asignamos un tiempo determinado $t_{\text{i}}$. Si los detalles del movimiento en cada instante no son importantes, la tasa suele expresarse como la velocidad media $\stackrel{\text{–}}{v}$. Esta cantidad vectorial es simplemente el desplazamiento total entre dos puntos, dividido entre el tiempo que tarda en viajar entre ellos. El tiempo que tarda en viajar entre dos puntos se denomina tiempo transcurrido $\text{Δ}t$.

Es importante señalar que la velocidad media es un vector y puede ser negativa, dependiendo de las posiciones $x_1$ y $x_2$.

Ejemplo 3.1

Entrega de volantes

Jill sale de su casa para entregar volantes para su venta de garaje; viaja hacia el este a lo largo de la calle bordeada de casas. A $\mathrm{0,5}$ km y 9 minutos después se queda sin volantes y tiene que volver sobre sus pasos hasta su casa para conseguir más. Esto le toma 9 minutos más. Tras recoger más volantes, vuelve a emprender el mismo camino al continuar por donde lo dejó, y termina a 1,0 km de su casa. En esta tercera etapa de su viaje tarda $15$ minutos. En ese momento regresa hacia su casa, en dirección al oeste. Después de $\mathrm{1,75}$ km y $25$ minutos se detiene a descansar.

1. ¿Cuál es el desplazamiento total de Jill hasta el punto en que se detiene a descansar?
2. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento final?
3. ¿Cuál es la velocidad media durante todo su viaje?
4. ¿Cuál es la distancia total recorrida?
5. Haga un gráfico de la posición en función del tiempo.

Se muestra un esquema de los movimientos de Jill en la Figura 3.4.

Figura 3.4 Línea del tiempo de los movimientos de Jill.

Estrategia

El problema contiene datos sobre los distintos tramos del viaje de Jill, por lo que valdría la pena hacer una tabla con las cantidades físicas. En el enunciado del problema se nos da la posición y el tiempo para poder calcular los desplazamientos y el tiempo transcurrido. Consideramos que el este es la dirección positiva. A partir de esta información podemos encontrar el desplazamiento total y la velocidad media. La casa de Jill es el punto de partida $x_0$. En la siguiente tabla se indican la hora y la posición de Jill en las dos primeras columnas, y los desplazamientos se calculan en la tercera columna.

Tiempo ti (min)	Posición $x_i$ (km)	Desplazamiento $\text{Δ}{x}_{\text{i}}$ (km)
$t_0=0$	$x_0=0$	$\text{Δ}{x}_0=0$
$t_1=9$	$x_1=\mathrm{0,5}$	$\text{Δ}{x}_1=x_1-x_0=\mathrm{0,5}$
$t_2=18$	$x_2=0$	$\text{Δ}{x}_2=x_2-x_1=\mathrm{-0,5}$
$t_3=33$	$x_3=\mathrm{1,0}$	$\text{Δ}{x}_3=x_3-x_2=\mathrm{1,0}$
$t_4=58$	$x_4=\mathrm{-0,75}$	$\text{Δ}{x}_4=x_4-x_3=\mathrm{-1,75}$

Solución

1. De la tabla anterior, el desplazamiento total es
   $${\displaystyle \sum \text{Δ}{x}_{\text{i}}=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}+\mathrm{1,0}-\mathrm{1,75}}\text{km}=\mathrm{-0,75}\text{km}\text{.}$$
2. La magnitud del desplazamiento total es $\left|\mathrm{-0,75}\right|\text{km}=\mathrm{0,75}\text{km}$.
3. $\text{Velocidad media}=\frac{\text{Desplazamiento}\text{total}}{\text{Tiempo}\text{transcurrido}}=\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{\mathrm{-0,75}\text{km}}{58\text{min}}=\mathrm{-0,013}\text{km/min}$
4. La distancia total recorrida (suma de las magnitudes de cada uno de los desplazamientos) es $x_{\text{Total}}={\displaystyle \sum \left|\text{Δ}{x}_{\text{i}}\right|=\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}+\mathrm{1,0}+\mathrm{1,75}}\text{km}=\mathrm{3,75}\text{km}$.
5. Podemos graficar la posición de Jill en función del tiempo como una herramienta útil para ver el movimiento; el gráfico se muestra en la Figura 3.5.
   

   Figura 3.5 Este gráfico representa la posición de Jill en función del tiempo. La velocidad media es la pendiente de una línea que une los puntos inicial y final.

Importancia

El desplazamiento total de Jill es de -0,75 km, lo que significa que al final de su viaje termina $\mathrm{0,75}\text{km}$ al oeste de su casa. La velocidad media significa que si alguien caminara hacia el oeste a $\mathrm{0,013}$ km/min comenzando a la misma hora que Jill salió de su casa, ambos llegarían al punto de parada final al mismo tiempo. Hay que tener en cuenta que si Jill terminara su viaje en su casa, su desplazamiento total sería cero, así como su velocidad media. La distancia total recorrida durante los 58 minutos de tiempo transcurrido de su viaje es de 3,75 km.

Compruebe Lo Aprendido 3.1

Un ciclista recorre 3 km hacia el oeste y luego da la vuelta y recorre 2 km hacia el este. (a) ¿Cuál es su desplazamiento? (b) ¿Cuál es la distancia recorrida? (c) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento?