7.1 Trabajo

En física, el trabajo se realiza sobre un objeto cuando se le transfiere energía. En otras palabras, el trabajo se realiza cuando una fuerza actúa sobre algo que sufre un desplazamiento de una posición a otra. Las fuerzas pueden variar en función de la posición, y los desplazamientos pueden ser a lo largo de varias trayectorias entre dos puntos. Primero definimos el incremento de trabajo dW realizado por una fuerza $\overrightarrow{F}$ actuando a través de un desplazamiento infinitesimal $d\overrightarrow{r}$ como el producto punto de estos dos vectores:

Entonces, podemos sumar los aportes a los desplazamientos infinitesimales, a lo largo de una trayectoria entre dos posiciones, para obtener el trabajo total.

Los vectores que intervienen en la definición del trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre una partícula se ilustran en la Figura 7.2.

Figura 7.2 Vectores utilizados para definir el trabajo. La fuerza que actúa sobre una partícula y su desplazamiento infinitesimal se muestran en un punto de la trayectoria entre A y B. El trabajo infinitesimal es el producto punto de estos dos vectores; el trabajo total es la integral del producto punto a lo largo de la trayectoria.

Elegimos expresar el producto punto en términos de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos, porque el significado del producto punto para el trabajo se puede poner en palabras más directamente en términos de magnitudes y ángulos. También podríamos haber expresado el producto punto en términos de los distintos componentes introducidos en Vectores. En dos dimensiones, eran los componentes de la x y la y en coordenadas cartesianas, o los componentes r y $\phi$ en coordenadas polares; en tres dimensiones, solo eran los componentes de la x, la yy la z. La elección más conveniente depende de la situación. En palabras, se puede expresar la Ecuación 7.1 para el trabajo realizado por una fuerza que actúa sobre un desplazamiento como producto de un componente que actúa paralelo al otro componente. Por las propiedades de los vectores, no importa si toma el componente de la fuerza paralelo al desplazamiento o el componente del desplazamiento paralelo a la fuerza: obtiene el mismo resultado de cualquier manera.

Recordemos que la magnitud de una fuerza multiplicada por el coseno del ángulo que forma la fuerza con una dirección determinada es el componente de la fuerza en esa dirección. Los componentes de un vector pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de si el ángulo entre el vector y la dirección del componente está entre $0\text{°}$ y $90\text{°}$ o $90\text{°}$ y $180\text{°}$, o es igual a $90\text{°}$. Como resultado, el trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de si la fuerza está generalmente en la dirección del desplazamiento, generalmente opuesta al desplazamiento o perpendicular al desplazamiento. El trabajo máximo es realizado por una fuerza dada cuando se encuentra a lo largo de la dirección del desplazamiento ($\text{cos}\theta =\pm 1$), y el trabajo es cero cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento ($\text{cos}\theta =0$).

Las unidades de trabajo son unidades de fuerza multiplicadas por unidades de longitud, que en el sistema SI son newtons por metros, $\text{N}·\text{m.}$ Esta combinación se denomina julio, por razones históricas que mencionaremos más adelante, y se abrevia como J. En el sistema inglés, aún utilizado en los Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra (lb) y la unidad de distancia es el pie(ft), por lo que la unidad de trabajo es el pie-libra $(\text{ft}·\text{lb})\text{.}$

Trabajo realizado por fuerzas constantes y fuerzas de contacto

El trabajo más sencillo de evaluar es el que realiza una fuerza que es constante en magnitud y dirección. En este caso, podemos factorizar la fuerza; la integral restante es solo el desplazamiento total, que solo depende de los puntos finales A y B, pero no de la trayectoria entre ellos:

$$W_{AB}=\overrightarrow{F}·{\displaystyle {\int }_A^{B}d\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{F}·\left({\overrightarrow{r}}_B-{\overrightarrow{r}}_A\right)=\left|\overrightarrow{F}\right|\left|{\overrightarrow{r}}_B-{\overrightarrow{r}}_A\right|\text{cos}\theta \text{(fuerza constante).}$$

También podemos ver esto escribiendo la Ecuación 7.2 en coordenadas cartesianas y utilizando el hecho de que los componentes de la fuerza son constantes:

$$\begin{array}{cc}\hfill W_{AB}& ={\displaystyle \underset{\text{trayectoria}AB}{\int }\overrightarrow{F}·d}\overrightarrow{r}={\displaystyle \underset{\text{trayectoria}AB}{\int }\left(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz\right)}=F_x{\displaystyle {\int }_A^{B}dx}+F_y{\displaystyle {\int }_A^{B}dy}+F_z{\displaystyle {\int }_A^{B}dz}\hfill \\ & =F_x\left(x_B-x_A\right)+F_y\left(y_B-y_A\right)+F_z\left(z_B-z_A\right)=\overrightarrow{F}·({\overrightarrow{r}}_B-{\overrightarrow{r}}_A).\hfill \end{array}$$

La Figura 7.3(a) muestra a una persona ejerciendo una fuerza constante $\overrightarrow{F}$ a lo largo del mango de un cortacésped, que hace un ángulo $\theta$ con la horizontal. El desplazamiento horizontal del cortacésped, sobre el que actúa la fuerza, es $\overrightarrow{d}.$ El trabajo realizado sobre el cortacésped es$W=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{d}=Fd\text{cos}\theta$, que la figura también ilustra como el componente horizontal de la fuerza por la magnitud del desplazamiento.

Figura 7.3 Trabajo realizado por una fuerza constante. (a) Una persona empuja un cortacésped con una fuerza constante. El componente de la fuerza paralelo al desplazamiento es el trabajo realizado, como se muestra en la ecuación de la figura. (b) Una persona sostiene un maletín. No se realiza ningún trabajo porque el desplazamiento es cero. (c) La persona de (b) camina horizontalmente mientras sostiene el maletín. No se realiza ningún trabajo porque $\text{cos}\theta$ es cero.

La Figura 7.3(b) muestra a una persona que sostiene un maletín. La persona debe ejercer una fuerza hacia arriba, de magnitud igual al peso del maletín, pero esta fuerza no realiza ningún trabajo, porque el desplazamiento sobre el que actúa es cero.

En la Figura 7.3(c), donde la persona en (b) camina horizontalmente con rapidez constante, el trabajo que realiza la persona sobre el maletín sigue siendo cero, pero ahora porque el ángulo entre la fuerza ejercida y el desplazamiento es $90\text{°}$ ($\overrightarrow{F}$ perpendicular a $\overrightarrow{d}$) y $\text{cos}90\text{°}=0$.

Ejemplo 7.1

Calcular el trabajo que realiza al empujar un cortacésped

¿Cuánto trabajo realiza la persona que aparece en la Figura 7.3(a) sobre el cortacésped si ejerce una fuerza constante de 75,0 N en un ángulo de $35\text{°}$ por debajo de la horizontal y empuja el cortacésped 25,0 m en terreno llano?

Estrategia

Podemos resolver este problema sustituyendo los valores dados en la definición de trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza constante, indicada en la ecuación $W=Fd\text{cos}\theta$. La fuerza, el ángulo y el desplazamiento están dados, por lo que solo se desconoce el trabajo W.

Solución

La ecuación para el trabajo es

$$W=Fd\text{cos}\theta .$$

Al sustituir los valores conocidos se obtiene

$$W=(\mathrm{75,0}\text{N})(\mathrm{25,0}\text{m})\text{cos}(\mathrm{35,0}\text{°})=\mathrm{1,54}\times {10}^3\text{J}\text{.}$$

Importancia

Aunque un kilojulio y medio puede parecer mucho trabajo, veremos en Energía potencial y conservación de la energía que es solo la misma cantidad de trabajo que podría hacer al quemar una sexta parte de un gramo de grasa.

Cuando corta el césped, sobre el cortacésped actúan otras fuerzas además de la que usted ejerce: la fuerza de contacto del suelo y la fuerza gravitatoria de la Tierra. Consideremos el trabajo que realizan estas fuerzas en general. Para un objeto que se mueve sobre una superficie, el desplazamiento $d\overrightarrow{r}$ es tangente a la superficie. La parte de la fuerza de contacto sobre el objeto que es perpendicular a la superficie es la fuerza normal $\overrightarrow{N}.$ Dado que el coseno del ángulo entre la normal y la tangente a una superficie es cero, tenemos

$$d{W}_{\text{N}}=\overrightarrow{N}·d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}.$$

La fuerza normal realiza trabajo en estas circunstancias. (Tenga en cuenta que si el desplazamiento $d\overrightarrow{r}$ tuviera un componente relativo perpendicular a la superficie, el objeto abandonaría la superficie o la atravesaría, y ya no habría ninguna fuerza de contacto normal. Sin embargo, si el objeto es más que una partícula y tiene una estructura interna, la fuerza normal de contacto puede realizar un trabajo sobre él, por ejemplo, desplazándolo o deformando su forma. Esto se mencionará en el próximo capítulo).

La parte de la fuerza de contacto sobre el objeto que es paralela a la superficie es la fricción, $\overrightarrow{f}.$ Para este objeto que se desliza por la superficie, la fricción cinética ${\overrightarrow{f}}_{\text{k}}$ es opuesta a $d\overrightarrow{r},$ con respecto a la superficie, por lo que el trabajo realizado por la fricción cinética es negativo. Si la magnitud de ${\overrightarrow{f}}_{\text{k}}$ es constante (como lo sería si todas las demás fuerzas sobre el objeto fueran constantes), entonces el trabajo realizado por la fricción es

$$W_{\text{fr}}={\displaystyle {\int }_A^B{\overrightarrow{f}}_k}·d\overrightarrow{r}=\text{-}{f}_k{\displaystyle {\int }_A^B\left|dr\right|}=\text{-}{f}_k\left|l_{AB}\right|,$$

7.3

donde $\left|l_{AB}\right|$ es la longitud de la trayectoria en la superficie. La fuerza de fricción estática no realiza ningún trabajo en el marco de referencia entre dos superficies porque nunca hay desplazamiento entre las superficies. Como fuerza externa, la fricción estática puede realizar trabajo. La fricción estática evita que alguien se deslice de un trineo cuando este se mueve y realizar un trabajo positivo sobre la persona. Si conduce su auto a la velocidad máxima en un tramo recto y llano de la autopista, el trabajo negativo realizado por la resistencia del aire se equilibra con el trabajo positivo realizado por la fricción estática de la carretera sobre las ruedas motrices. Se puede sacar la alfombra de debajo de un objeto de manera que se deslice hacia atrás con respecto a la alfombra, pero hacia delante con respecto al suelo. En este caso, la fricción cinética ejercida por la alfombra sobre el objeto podría estar en la misma dirección que el desplazamiento del objeto, con respecto al suelo, y realizar un trabajo positivo. La conclusión es que hay que analizar cada caso particular para determinar el trabajo realizado por las fuerzas, ya sea positivo, negativo o cero.

Ejemplo 7.2

Mover un sofá

Decide mover su sofá a una nueva posición en el suelo horizontal de su sala. La fuerza normal sobre el sofá es de 1 kN y el coeficiente de fricción es de 0,6. (a) Primero empuja el sofá 3 m paralelos a una pared y luego 1 m perpendicular a la pared (de A a B en la Figura 7.4). ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de fricción? (b) No le gusta la nueva posición, así que devuelve el sofá a su posición original (de B a A en la Figura 7.4). ¿Cuál fue el trabajo total realizado contra la fricción al alejar el sofá de su posición original y volver a ella?

Figura 7.4 Vista superior de las trayectorias para mover un sofá.

Estrategia

La magnitud de la fuerza de fricción cinética sobre el sofá es constante, igual al coeficiente de fricción por la fuerza normal, $f_K={\mu }_{K}N$. Por lo tanto, el trabajo realizado por esta es $W_{\text{fr}}=\text{-}{f}_{K}d$, donde d es la longitud de la trayectoria recorrida. Los segmentos de las trayectorias son los lados de un triángulo rectángulo, por lo que las longitudes de las trayectorias se calculan fácilmente. En la parte (b), puede utilizar el hecho de que el trabajo realizado contra una fuerza es el negativo del trabajo realizado por la fuerza.

Solución

1. El trabajo realizado por la fricción es
   $$W=-\left(\mathrm{0,6}\right)\left(1\text{kN}\right)\left(3\text{m}+1\text{m}\right)=-\mathrm{2,4}\text{kJ}\text{.}$$
2. La longitud de la trayectoria a lo largo de la hipotenusa es $\sqrt{10}\text{m}$, por lo que el trabajo total realizado contra la fricción es
   $$W=\left(\mathrm{0,6}\right)\left(1\text{kN}\right)(3\text{m}+1\text{m}+\sqrt{10}\text{m})=\mathrm{4,3}\text{kJ}\text{.}$$

Importancia

La trayectoria total sobre la que se evaluó el trabajo de fricción comenzaba y terminaba en el mismo punto (era una trayectoria cerrada), de modo que el desplazamiento total del sofá era cero. Sin embargo, el trabajo total no fue cero. La razón es que fuerzas como la fricción se clasifican como fuerzas no conservativas, o fuerzas disipativas, tal y como veremos en el próximo capítulo.

Compruebe Lo Aprendido 7.1

¿Puede la fricción cinética ser alguna vez una fuerza constante para todas las trayectorias?

La otra fuerza sobre el cortacésped mencionada anteriormente era la fuerza gravitatoria de la Tierra, o el peso del cortacésped. Cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre un objeto de masa m tiene una magnitud constante, mg, y una dirección constante, verticalmente hacia abajo. Por lo tanto, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto es el producto punto de su peso y su desplazamiento. En muchos casos, es conveniente expresar el producto punto para el trabajo gravitatorio en términos de los componentes x, y y z de los vectores. Un sistema de coordenadas típico tiene el eje de la x horizontal y el eje de la y verticalmente hacia arriba. Entonces la fuerza gravitatoria es $\text{-}mg\widehat{j},$ por lo que el trabajo realizado por la gravedad, en cualquier trayectoria de A a B, es

$$W_{\text{gravedad},AB}=\text{-}mg\widehat{j}·({\overrightarrow{r}}_B-{\overrightarrow{r}}_A)=\text{-}mg\left(y_B-y_A\right).$$

7.4

El trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante sobre un objeto depende únicamente del peso del objeto y de la diferencia de altura por la que se desplaza el objeto. La gravedad realiza un trabajo negativo sobre un objeto que se mueve hacia arriba ($y_B>y_A$), o, en otras palabras, hay que hacer un trabajo positivo contra la gravedad para levantar un objeto hacia arriba. Alternativamente, la gravedad hace un trabajo positivo sobre un objeto que se mueve hacia abajo ($y_B<y_A$), o se realiza un trabajo negativo contra la gravedad para "levantar" un objeto hacia abajo, controlando su descenso para que no caiga al suelo. ("levantar" se utiliza en contraposición a "caer").

Ejemplo 7.3

Poner un libro en la estantería

Usted levanta un libro de biblioteca de gran tamaño, que pesa 20 N, 1 m en vertical desde una estantería, y lo lleva 3 m en horizontal hasta una mesa (Figura 7.5). ¿Cuánto trabajo hace la gravedad sobre el libro? (b) Cuando ha terminado, mueve el libro en línea recta hasta su lugar original en la estantería. ¿Cuál ha sido el trabajo total realizado contra la gravedad, alejando el libro de su posición original en la estantería y volviéndolo a colocar?

Figura 7.5 Vista lateral de los recorridos para mover un libro hacia y desde una estantería.

Estrategia

Acabamos de ver que el trabajo realizado por una fuerza de gravedad constante depende únicamente del peso del objeto desplazado y de la diferencia de altura por la trayectoria recorrida, $W_{AB}=\text{-}mg\left(y_B-y_A\right)$. Podemos evaluar la diferencia de altura para responder (a) y (b).

Solución

1. Como el libro empieza en la estantería y se levanta hacia abajo $y_B-y_A=\text{-}1\text{m}$, tenemos
   $$W=\text{-}(20\text{N})(-1\text{m})=20\text{J}\text{.}$$
2. La diferencia de altura es cero para cualquier trayectoria que comience y termine en el mismo lugar de la estantería, por lo que $W=0.$

Importancia

La gravedad realiza un trabajo positivo (20 J) cuando el libro se mueve hacia abajo desde la estantería. La fuerza gravitatoria entre dos objetos es una fuerza de atracción, que realiza un trabajo positivo cuando los objetos se acercan. La gravedad realiza un trabajo cero (0 J) cuando el libro se desplaza horizontalmente de la estantería a la mesa y un trabajo negativo (-20 J) cuando el libro se desplaza de la mesa a la estantería. El trabajo total realizado por la gravedad es cero $[20\text{J}+0\text{J}+\left(\text{-}20\text{J}\right)=0].$ A diferencia de la fricción u otras fuerzas disipativas, descritas en el Ejemplo 7.2, el trabajo total realizado contra la gravedad, en cualquier trayectoria cerrada, es cero. Se realiza un trabajo positivo contra la gravedad en las partes ascendentes de una trayectoria cerrada, pero se realiza una cantidad igual de trabajo negativo contra la gravedad en las partes descendentes. En otras palabras, el trabajo realizado contra la gravedad, levantando un objeto, se "devuelve" cuando el objeto vuelve a bajar. Fuerzas como la gravedad (las que realizan un trabajo cero en cualquier trayectoria cerrada) se clasifican como fuerzas conservativas y desempeñan un papel importante en la física.

Compruebe Lo Aprendido 7.2

¿Puede la gravedad de la Tierra ser una fuerza constante para todas las trayectorias?

Trabajo realizado por fuerzas que varían

En general, las fuerzas pueden variar en magnitud y dirección en puntos del espacio, y las trayectorias entre dos puntos pueden ser curvas. El trabajo infinitesimal que realiza una fuerza variable puede expresarse en términos de los componentes de la fuerza y del desplazamiento a lo largo de la trayectoria,

$$dW=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz.$$

Aquí, los componentes de la fuerza son funciones de la posición a lo largo de la trayectoria, y los desplazamientos dependen de las ecuaciones de la trayectoria. (Aunque hemos elegido ilustrar dW en coordenadas cartesianas, otras coordenadas son más adecuadas para algunas situaciones). La Ecuación 7.2 define el trabajo total como una integral de línea, o el límite de una suma de cantidades infinitesimales de trabajo. El concepto físico de trabajo es sencillo: se calcula el trabajo para pequeños desplazamientos y se suman. A veces las matemáticas pueden parecer complicadas, pero el siguiente ejemplo demuestra la limpieza con la que pueden funcionar.

Ejemplo 7.4

Trabajo realizado por una fuerza variable en una trayectoria curva

Un objeto se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica $y=(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x^2$ desde el origen $A=(0,0)$ al punto $B=(2\text{m,}2\text{m})$ bajo la acción de una fuerza $\overrightarrow{F}=(5\text{N/m})y\widehat{i}+(10\text{N/m})x\widehat{j}$ (Figura 7.6). Calcule el trabajo realizado.

Figura 7.6 La trayectoria parabólica de una partícula sobre la que actúa una fuerza determinada.

Estrategia

Las componentes de la fuerza son funciones dadas de la x y la y. Podemos utilizar la ecuación de la trayectoria para expresar la y y la dy en términos de la x y la dx; esto es

$$y=(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\mathrm{-1}})x^2\text{y}dy=2(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\mathrm{-1}})xdx.$$

Entonces, la integral del trabajo es solo una integral definida de una función de la x.

Solución

El elemento infinitesimal del trabajo es

$$\begin{array}{cc}\hfill dW& =F_{x}dx+F_{y}dy=(5\text{N/m})ydx+(10\text{N/m})xdy\hfill \\ & =(5\text{N/m})(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\text{-}1})x^{2}dx+(10\text{N/m})2(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\text{-}1})x^{2}dx=(\mathrm{12,5}{\text{N/m}}^2)x^{2}dx.\hfill \end{array}$$

La integral de $x^2$ es $x^3\text{/}3,$ así que

$$W={\displaystyle {\int }_0^{2\text{m}}(\mathrm{12,5}{\text{N/m}}^2)x^{2}dx}=(\mathrm{12,5}{\text{N/m}}^2){\frac{x^3}{3}|}_0^{2\text{m}}=(\mathrm{12,5}{\text{N/m}}^2)\left(\frac{8}{3}\right)=\mathrm{33,3}\text{J}\text{.}$$

Importancia

Esta integral no era difícil de hacer. Puede seguir los mismos pasos, como en este ejemplo, para calcular las integrales de línea que representan el trabajo para fuerzas y trayectorias más complicadas. En este ejemplo, todo se ha dado en términos de componentes de x y y, que son los más fáciles de usar para evaluar el trabajo en este caso. En otras situaciones, las magnitudes y los ángulos pueden ser más fáciles.

Compruebe Lo Aprendido 7.3

Calcule el trabajo realizado por la misma fuerza en el Ejemplo 7.4 sobre una trayectoria cúbica, $y=(\mathrm{0,25}{\text{m}}^{\text{−2}})x^3$, entre los mismos puntos $A=(0,0)$ y $B=(2\text{m,}2\text{m})\text{.}$

En el Ejemplo 7.4 ha visto que para evaluar una integral de línea, puede reducirla a una integral sobre una sola variable o parámetro. Normalmente, hay varias formas de hacerlo, que pueden ser más o menos convenientes, según el caso. En el Ejemplo 7.4, hemos reducido la integral de línea a una integral sobre la x, pero podríamos haber optado igualmente por reducir todo a una función de la y. No lo hicimos porque las funciones en la y implican la raíz cuadrada y los exponentes fraccionarios, que pueden ser menos familiares, pero para fines ilustrativos, lo hacemos ahora. Al resolver la x y dx, en términos de la y, a lo largo de la trayectoria parabólica, obtenemos

$$x=\sqrt{y\text{/}(\mathrm{0,5}{\text{m}}^{\mathrm{-1}})}=\sqrt{(2\text{m})y}\text{y}dx=\sqrt{(2\text{m})}\times \frac{1}{2}dy\text{/}\sqrt{y}=dy\text{/}\sqrt{(2{\text{m}}^{\mathrm{-1}})y}.$$

Los componentes de la fuerza, en términos de y, son

$$F_x=(5\text{N/m})y\text{y}{F}_y=(10\text{N/m})x=(10\text{N/m})\sqrt{(2\text{m})y},$$

por lo que el elemento de trabajo infinitesimal se convierte en

$$\begin{array}{cc}\hfill dW& =F_{x}dx+F_{y}dy=\frac{(5\text{N/m})ydy}{\sqrt{(2{\text{m}}^{\mathrm{-1}})y}}+(10\text{N/m})\sqrt{(2\text{m})y}dy\hfill \\ & =(5\text{N}·{\text{m}}^{\mathrm{-1}\text{/}2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}\right)\sqrt{y}dy=(\mathrm{17,7}\text{N}·{\text{m}}^{\mathrm{-1}\text{/}2})y^{1\text{/}2}dy.\hfill \end{array}$$

La integral de $y^{1\text{/}2}$ es $\frac{2}{3}{y}^{3\text{/}2}$, por lo que el trabajo realizado de A a B es

$$W={\displaystyle {\int }_0^{2\text{m}}(\mathrm{17,7}\text{N}·{\text{m}}^{\mathrm{-1}\text{/}2})y^{1\text{/}2}dy=}(\mathrm{17,7}\text{N}·{\text{m}}^{\mathrm{-1}\text{/}2})\frac{2}{3}{(2\text{m})}^{3\text{/}2}=\mathrm{33,3}\text{J}\text{.}$$

Como era de esperar, el resultado es exactamente el mismo que antes.

Una fuerza variable muy importante y ampliamente aplicable es la fuerza que ejerce un resorte perfectamente elástico, que satisface la ley de Hooke $\overrightarrow{F}=\text{-}k\text{Δ}\overrightarrow{x},$ donde k es la constante del resorte, y $\text{Δ}\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_{\text{eq}}$ es el desplazamiento desde la posición no estirada (de equilibrio) del resorte (leyes de movimiento de Newton). Tenga en cuenta que la posición no estirada solo es igual a la posición de equilibrio si no actúan otras fuerzas (o, si lo hacen, se anulan entre sí). Las fuerzas entre moléculas, o en cualquier sistema que sufra pequeños desplazamientos desde un equilibrio estable, se comportan aproximadamente como una fuerza de resorte.

Para calcular el trabajo que realiza la fuerza de un resorte, podemos elegir el eje de la x a lo largo del resorte, en la dirección de la longitud creciente, como en la Figura 7.7, con el origen en la posición de equilibrio $x_{\text{eq}}=0.$ (Entonces la x positiva corresponde a un estiramiento y la x negativa a una compresión). Con esta elección de coordenadas, la fuerza del resorte solo tiene un componente x,$F_x=\text{-}kx$, y el trabajo realizado cuando x cambia de $x_A$ a $x_B$ es

$$W_{\text{resorte},AB}={\displaystyle {\int }_A^B{F}_{x}dx=}-k{\displaystyle {\int }_A^{B}xdx}=\text{-}k{\frac{x^2}{2}|}_A^B=-\frac{1}{2}k\left(x_B^2-x_A^2\right).$$

7.5

Figura 7.7 (a) El resorte no ejerce ninguna fuerza en su posición de equilibrio. El resorte ejerce una fuerza en sentido contrario a (b) una extensión o estiramiento, y (c) una compresión.

Observe que $W_{AB}$ solo depende de los puntos de partida y de llegada, A y B, y es independiente de la trayectoria real entre ellos, siempre que empiece en A y termine en B. Es decir, la trayectoria real podría implicar ir y venir antes de terminar.

Otro aspecto interesante que hay que observar en la Ecuación 7.5 es que, para este caso unidimensional, se puede ver fácilmente la correspondencia entre el trabajo que realiza una fuerza y el área bajo la curva de la fuerza frente a su desplazamiento. Recordemos que, en general, una integral unidimensional es el límite de la suma de infinitesimales,$f(x)dx$, que representa el área de las franjas, como se muestra en la Figura 7.8. En la Ecuación 7.5, dado que $F=\text{-}kx$ es una línea recta con pendiente $\text{-}k$, cuando se representa en función de la x, el "área" bajo la línea no es más que una combinación algebraica de "áreas" triangulares, donde las "áreas" por encima del eje de la x son positivas y las que están por debajo son negativas, como se muestra en la Figura 7.9. La magnitud de una de estas "áreas" es justo la mitad de la base del triángulo, a lo largo del eje de la x, por la altura del triángulo, a lo largo del eje de la fuerza. (Hay comillas alrededor de "área" porque este producto de altura base tiene las unidades de trabajo, en lugar de metros cuadrados).

Figura 7.8 Curva de f(x) en función de x que muestra el área de una franja infinitesimal, f(x)dx, y la suma de dichas áreas, que es la integral de f(x) de $x_1$ a $x_2$.

Figura 7.9 Curva de la fuerza del resorte $f(x)=\text{-}kx$ en función de la x, donde se muestran las áreas bajo la línea, entre $x_A$ y $x_B$, tanto para valores positivos como negativos de $x_A$. Cuando $x_A$ es negativa, el área total bajo la curva de la integral en la Ecuación 7.5 es la suma de las áreas triangulares positivas y negativas. Cuando $x_A$ es positiva, el área total bajo la curva es la diferencia entre dos triángulos negativos.

Ejemplo 7.5

Trabajo que realiza la fuerza de un resorte

Un resorte perfectamente elástico requiere 0,54 J de trabajo para estirarse 6 cm desde su posición de equilibrio, como en la Figura 7.7(b). (a) ¿Cuál es su constante k de resorte? (b) ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo 6 cm más?

Estrategia

El trabajo "requerido" significa el trabajo realizado contra la fuerza del resorte, que es el negativo del trabajo en la Ecuación 7.5, es decir

$$W=\frac{1}{2}k(x_B^2-x_A^2).$$

Para la parte (a), $x_A=0$ y $x_B=6\text{cm}$; para la parte (b), $x_B=6\text{cm}$ y $x_B=12\text{cm}$. En la parte (a), se da el trabajo y puede resolver la constante del resorte; en la parte (b), puede utilizar el valor de k, de la parte (a), para resolver el trabajo.

Solución

1. $W=\mathrm{0,54}\text{J}=\frac{1}{2}k[{(6\text{cm})}^2-0]$, así que $k=3\text{N/cm}\text{.}$
2. $W=\frac{1}{2}(3\text{N/cm})[{(12\text{cm})}^2-{(6\text{cm})}^2]=\mathrm{1,62}\text{J}.$

Importancia

Dado que el trabajo realizado por la fuerza de un resorte es independiente de la trayectoria, solo había que calcular la diferencia de la cantidad $\mathrm{½}k{x}^2$ en los puntos finales. Observe que el trabajo necesario para estirar el resorte de 0 a 12 cm es el cuádruple del necesario para estirarlo de 0 a 6 cm, porque ese trabajo depende del cuadrado de la cantidad de estiramiento desde el equilibrio, $\mathrm{½}k{x}^2$. En esta circunstancia, el trabajo para estirar el resorte de 0 a 12 cm es también igual al trabajo para una trayectoria compuesta de 0 a 6 cm seguida de un estiramiento adicional de 6 cm a 12 cm. Por lo tanto, $4W(0\text{cm}\text{a}6\text{cm})=W(0\text{cm}\text{a}6\text{cm})+W(6\text{cm}\text{a}12\text{cm})$, o $W(6\text{cm}\text{a}12\text{cm})=3W(0\text{cm}\text{a}6\text{cm})$, tal y como hemos comprobado anteriormente.

Compruebe Lo Aprendido 7.4

El resorte del Ejemplo 7.5 se comprime 6 cm desde su longitud de equilibrio. (a) ¿La fuerza del resorte realiza un trabajo positivo o negativo y (b) cuál es la magnitud?