William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Expresar matemáticamente la fuerza de arrastre.
Describir las aplicaciones de la fuerza de arrastre.
Definir la velocidad límite.
Determinar la velocidad límite de un objeto dada su masa.

Otra fuerza interesante en la vida cotidiana es la fuerza de arrastre sobre un objeto cuando se mueve en un fluido (ya sea un gas o un líquido). Siente la fuerza de arrastre cuando usted mueve la mano en el agua. También puede sentirla si mueve la mano durante un viento fuerte. Cuanto más rápido se mueva la mano, más difícil será el movimiento. Sentirá una menor fuerza de arrastre cuando incline la mano de manera que solo el lado pase por el aire: habrá disminuido el área de la mano que se enfrenta a la dirección del movimiento.

Fuerzas de arrastre

Al igual que la fricción, la fuerza de arrastre siempre se opone al movimiento de un objeto. A diferencia de la fricción simple, la fuerza de arrastre es proporcional a alguna función de la velocidad del objeto en ese fluido. Esta funcionalidad es complicada y depende de la forma del objeto, su tamaño, su velocidad y el fluido en el que se encuentra. Para la mayoría de los objetos grandes, como ciclistas, autos y pelotas de béisbol que no se mueven demasiado despacio, la magnitud de la fuerza de arrastre $F_{D}$ es proporcional al cuadrado de la rapidez del objeto. Podemos escribir esta relación matemáticamente como $F_{D} \propto v^{2} .$ Si se tienen en cuenta otros factores, esta relación se convierte en

F_{D} = \frac{1}{2} C ρ A v^{2},

6.5

donde C es el coeficiente de arrastre, A es el área del objeto frente al fluido, y $ρ$ es la densidad del fluido. (Recordemos que la densidad es la masa por unidad de volumen). Esta ecuación también puede escribirse de forma más generalizada como $F_{D} = b v^{n},$ donde b es una constante equivalente a $0,5 C ρ A .$ Hemos fijado el exponente n para estas ecuaciones en 2 porque, cuando un objeto se mueve a gran velocidad por el aire, la magnitud de la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la rapidez. Como veremos en Mecánica de fluidos, para partículas pequeñas que se mueven a poca rapidez en un fluido, el exponente n es igual a 1.

Fuerza de arrastre

Fuerza de arrastre $F_{D}$ es proporcional al cuadrado de la rapidez del objeto. Matemáticamente,

F_{D} = \frac{1}{2} C ρ A v^{2},

donde C es el coeficiente de arrastre, A es el área del objeto frente al fluido, y $ρ$ es la densidad del fluido.

Tanto los atletas como los diseñadores de autos buscan reducir la fuerza de arrastre para disminuir su tiempo de carrera (Figura 6.29). La configuración aerodinámica de un automóvil puede reducir la fuerza de arrastre y, por ende, aumentar el kilometraje de un auto.

Fotografía de un trineo de carreras en una pista de los Juegos Olímpicos.

Figura 6.29 Desde los autos de carreras hasta los corredores de trineo, la forma aerodinámica es crucial para alcanzar velocidades máximas. Los trineos de carreras están diseñados para la rapidez y tienen forma de bala con aletas cónicas (crédito: "Ejército de los EE. UU."/Wikimedia Commons).

El valor del coeficiente de arrastre C se determina empíricamente, normalmente con el uso de un túnel de viento (Figura 6.30).

Fotografía de un modelo de avión en un túnel de viento.

Figura 6.30 Investigadores de la NASA prueban un modelo de avión en un túnel de viento (créditos: NASA/Ames).

El coeficiente de arrastre puede depender de la velocidad, pero aquí suponemos que es una constante. La Tabla 6.2 enumera algunos coeficientes de arrastre típicos para una variedad de objetos. Observe que el coeficiente de arrastre es una cantidad sin dimensiones. A velocidades de autopista, más del $50 %$ de la potencia de un auto se utiliza para superar el arrastre del aire. La velocidad de crucero más eficiente en cuanto a consumo de combustible es de unos 70 a 80 km/h (unas 45 a 50 mi/h). Por esta razón, durante la crisis del petróleo de la década de los años 70 del siglo XX en los Estados Unidos, la velocidad máxima en las autopistas se fijó en unos 90 km/h (55 mi/h).

Objeto	C
Perfil alar	0,05
Toyota Camry	0,28
Ford Focus	0,32
Honda Civic	0,36
Ferrari Testarossa	0,37
Dodge Ram Pickup	0,43
Esfera	0,45
Vehículo todoterreno Hummer H2	0,64
Paracaidista (con los pies por delante)	0,70
Bicicleta	0,90
Paracaidista (horizontal)	1,0
Placa plana circular	1,12

Tabla 6.2 Valores típicos del coeficiente de arrastre C

En el mundo del deporte se está investigando mucho para minimizar el arrastre. Los hoyuelos de las pelotas de golf se están rediseñando, al igual que la ropa que llevan los deportistas. Los ciclistas y algunos nadadores y corredores llevan trajes de cuerpo entero. La australiana Cathy Freeman llevó un traje de cuerpo entero en los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 y ganó una medalla de oro en la carrera de 400 metros. Muchos nadadores de los Juegos Olímpicos de Pekín 2008 llevaban trajes de baño de cuerpo entero (Speedo), lo que podría haber marcado la diferencia a la hora de batir muchos récords mundiales (Figura 6.31). La mayoría de los nadadores de élite (y los ciclistas) se afeitan el vello corporal. Estas innovaciones tendrían el efecto de recortar milésimas de segundo en una carrera, lo que a veces marca la diferencia entre una medalla de oro y una de plata. Una de las consecuencias es que hay que elaborar continuamente directrices cuidadosas y precisas para mantener la integridad del deporte.

Fotografía de tres nadadores con trajes de baño de cuerpo entero.

Figura 6.31 A los trajes de cuerpo entero, como este LZR Racer Suit, se les atribuye la ayuda en muchos récords mundiales luego de su lanzamiento en 2008. Una "piel" más suave y más fuerzas de compresión en el cuerpo del nadador proporcionan al menos

10 %

menos arrastre (créditos: NASA/Kathy Barnstorff).

Velocidad límite

Algunas situaciones interesantes relacionadas con la segunda ley de Newton se producen al considerar los efectos de las fuerzas de arrastre sobre un objeto en movimiento. Por ejemplo, pensemos en un paracaidista que se lanza bajo la influencia de la gravedad. Las dos fuerzas que actúan sobre él son la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre (sin tomar en cuenta la pequeña fuerza de flotación). La fuerza de gravedad hacia abajo se mantiene constante, independientemente de la velocidad a la que se mueva la persona. Sin embargo, a medida que aumenta la velocidad de la persona, la magnitud de la fuerza de arrastre aumenta hasta que la magnitud de la fuerza de arrastre es igual a la fuerza gravitatoria, lo que produce una fuerza neta de cero. La fuerza neta de cero significa que no hay aceleración, como lo demuestra la segunda ley de Newton. En este punto, la velocidad de la persona permanece constante y decimos que la persona ha alcanzado su velocidad límite $(v_{T}) .$ Dado que $F_{D}$ es proporcional a la rapidez al cuadrado, un paracaidista más pesado deberá ir más rápido para que $F_{D}$ sea igual a su peso. Veamos cómo funciona esto de forma más cuantitativa.

En la velocidad terminal,

F_{neta} = m g - F_{D} = m a = 0 .

Por lo tanto,

m g = F_{D} .

Al utilizar la ecuación de la fuerza de arrastre, tenemos

m g = \frac{1}{2} C ρ A v_{T}^{2} .

Al resolver la velocidad, obtenemos

v_{T} = \sqrt{\frac{2 m g}{ρ C A}} .

Supongamos que la densidad del aire es $ρ = 1,21 {kg/m}^{3} .$ Un paracaidista de 75 kg que desciende de cabeza tiene un área transversal de aproximadamente $A = 0,18 m^{2}$ y un coeficiente de arrastre de aproximadamente $C = 0,70$ . Encontramos que

v_{T} = \sqrt{\frac{2 (75 kg) (9,80 {m/s}^{2})}{(1,21 {kg/m}^{3}) (0,70) (0,18 m^{2})}} = 98 m/s = 350 km/h .

Esto significa que un paracaidista con una masa de 75 kg alcanza una velocidad límite de unos 350 km/h mientras se desplaza en posición de cabeza, lo que minimiza el área y su resistencia. En una posición de águila extendida, esa velocidad límite puede disminuir a unos 200 km/h a medida que aumenta el área. Esta velocidad límite se reduce mucho después de que se abra el paracaídas.

Ejemplo 6.17

Velocidad límite de un paracaidista

Halle la velocidad límite de un paracaidista de 85 kg que cae en posición de águila extendida.

Estrategia

Para la velocidad límite,

F_{neta} = 0 .

Por lo tanto, la fuerza de arrastre sobre el paracaidista deberá ser igual a la fuerza de gravedad (el peso de la persona). Al utilizar la ecuación de la fuerza de arrastre, encontramos

m g = \frac{1}{2} ρ C A v^{2} .

Solución

La velocidad límite

v_{T}

puede escribirse como

v_{T} = \sqrt{\frac{2 m g}{ρ C A}} = \sqrt{\frac{2 (85 kg) (9,80 {m/s}^{2})}{(1,21 {kg/m}^{3}) (1,0) (0,70 m^{2})}} = 44 m/s .

Importancia

Este resultado es coherente con el valor de

v_{T}

mencionado anteriormente. El paracaidista de 75 kg que iba con los pies por delante tenía una velocidad límite de

v_{T} = 98 m/s .

Pesaba menos, pero tenía un área frontal más pequeña y, por ende, menor arrastre debido al aire.

Compruebe Lo Aprendido 6.10

Halle la velocidad límite de un paracaidista de 50 kg que cae en forma de águila extendida.

El tamaño del objeto que cae por el aire presenta otra interesante aplicación del arrastre del aire. Si se cae de una rama de un árbol de 5 metros de altura, es probable que se haga daño, y posiblemente se fracture un hueso. Sin embargo, una ardilla pequeña hace esto todo el tiempo, sin hacerse daño. Usted no alcanza una velocidad límite en una distancia tan corta, pero la ardilla sí.

La siguiente cita interesante sobre el tamaño de los animales y la velocidad límite procede de un ensayo de 1928 de un biólogo británico, J. B. S. Haldane, titulado "Sobre ser del tamaño correcto" ("On Being the Right Size").

"Para el ratón y cualquier animal más pequeño, [la gravedad] no presenta prácticamente ningún peligro. Se puede dejar caer un ratón por el pozo de una mina de mil metros; y, al llegar al fondo, recibe una ligera sacudida y se aleja, siempre que el suelo sea bastante blando. Una rata muere, un hombre se fractura los huesos y un caballo se desparrama. Esto se debe a que la resistencia que presenta el aire al movimiento es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Dividiendo por diez la longitud, la anchura y la altura de un animal, su peso se reduce a una milésima parte, pero su superficie solo a una centésima parte. Así que la resistencia a la caída en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza motriz".

La anterior dependencia cuadrática del arrastre del aire con respecto a la velocidad no se cumple si el objeto es muy pequeño, va muy lento o se encuentra en un medio más denso que el aire. Entonces encontramos que la fuerza de arrastre es proporcional justo a la velocidad. Esta relación viene dada por la ley de Stokes.

Ley de Stokes

Para un objeto esférico que cae en un medio, la fuerza de arrastre es

F_{s} = 6 π r η v,

6.6

donde r es el radio del objeto, $η$ es la viscosidad del fluido y v es la velocidad del objeto.

Los microorganismos, el polen y las partículas de polvo son buenos ejemplos de la ley de Stokes. Como cada uno de estos objetos es tan pequeño, nos encontramos con que muchos de ellos se desplazan sin ayuda solo a una velocidad constante (límite). Las velocidades límites de las bacterias (tamaño de aproximadamente de $1 μm)$ pueden ser casi $2 μm/s .$ Para desplazarse a mayor rapidez, muchas bacterias nadan con flagelos (orgánulos con forma de pequeñas colas) que son impulsados por pequeños motores incrustados en la célula.

Los sedimentos en un lago pueden moverse a una velocidad límite mayor (alrededor de $5 μm/s),$ por lo que puede tardar días en llegar al fondo del lago después de haberse depositado en la superficie.

Si comparamos los animales terrestres con los acuáticos, se observa cómo el arrastre ha influido en la evolución. Los peces, los delfines e incluso las enormes ballenas tienen una forma aerodinámica para reducir las fuerzas de arrastre. Las aves son aerodinámicas y las especies migratorias que vuelan grandes distancias suelen tener características particulares, como cuellos largos. Las bandadas de pájaros vuelan en forma de punta de lanza mientras la bandada forma un patrón aerodinámico (Figura 6.32). En los seres humanos, un ejemplo importante de aerodinámica es la forma de los espermatozoides, que deben ser eficientes en el uso de la energía.

Fotografía de gansos que vuelan en formación de V.

Figura 6.32 Los gansos vuelan en formación de V durante sus largos viajes migratorios. Esta forma reduce el arrastre y el consumo de energía de cada una de las aves, y también les permite comunicarse mejor (créditos: modificación de la obra de "Julo"/Wikimedia Commons).

Interactivo

En las exposiciones de clase, hacemos mediciones de la fuerza de arrastre en diferentes objetos. Los objetos se colocan en una corriente de aire uniforme creada por un ventilador. Calcule el número de Reynolds y el coeficiente de arrastre.

El cálculo de las fuerzas de fricción dependientes de la velocidad

Cuando un cuerpo se desliza por una superficie, la fuerza de fricción sobre este es aproximadamente constante y viene dada por $μ_{k} N .$ Desgraciadamente, la fuerza de fricción sobre un cuerpo que se mueve a través de un líquido o un gas no se comporta de forma tan sencilla. Esta fuerza de arrastre es generalmente una función complicada de la velocidad del cuerpo. Sin embargo, para un cuerpo que se mueve en línea recta a una rapidez moderada a través de un líquido como el agua, la fuerza de fricción puede aproximarse a menudo por

f_{R} = - b v,

donde b es una constante, cuyo valor depende de las dimensiones y la forma del cuerpo y de las propiedades del líquido, y v es la velocidad del cuerpo. Dos situaciones para las que la fuerza de fricción puede representarse mediante esta ecuación son una lancha a motor que se mueve por el agua y un pequeño objeto que cae lentamente por un líquido.

Consideremos el objeto que cae a través de un líquido. El diagrama de cuerpo libre de este objeto con la dirección positiva hacia abajo se muestra en la Figura 6.33. La segunda ley de Newton en la dirección vertical da la ecuación diferencial

m g - b v = m \frac{d v}{d t},

donde hemos escrito la aceleración como $d v / d t .$ A medida que v aumenta, la fuerza de fricción -bv aumenta hasta igualar a mg. En este punto, no hay aceleración y la velocidad se mantiene constante en la velocidad límite $v_{T} .$ De la ecuación anterior,

m g - b v_{T} = 0,

así que

v_{T} = \frac{m g}{b} .

El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas m por el vector g que apuntan verticalmente hacia abajo y b por el vector v que apunta verticalmente hacia arriba. La velocidad, el vector v, es vertical hacia abajo. La dirección de la y positiva es también verticalmente hacia abajo.

Figura 6.33 Diagrama de cuerpo libre de un objeto que cae a través de un medio resistivo.

Podemos encontrar la velocidad del objeto al integrar la ecuación diferencial para v. Primero, reordenamos los términos de esta ecuación para obtener

\frac{d v}{g - (b / m) v} = d t .

Suponiendo que $v = 0 en t = 0,$ la integración de esta ecuación da como resultado

\int_{0}^{v} \frac{d v^{'}}{g - (b / m) v^{'}} = \int_{0}^{t} d t^{'},

o

{- \frac{m}{b} ln (g - \frac{b}{m} v^{'}) |}_{0}^{v} = {t^{'} |}_{0}^{t},

donde $v' y t'$ son variables ficticias de integración. Con los límites dados, encontramos

- \frac{m}{b} [ln (g - \frac{b}{m} v) - ln g] = t .

Dado que $ln A - ln B = ln (A / B),$ y $ln (A / B) = x implica e^{x} = A / B,$ obtenemos

\frac{g - (b v / m)}{g} = e^{- b t / m},

y

v = \frac{m g}{b} (1 - e^{- b t / m}) .

Observe que, como $t \to \infty, v \to m g / b = v_{T},$ que es la velocidad límite.

La posición en cualquier momento se encuentra al integrar la ecuación de v. Con $v = d y / d t,$

d y = \frac{m g}{b} (1 - e^{- b t / m}) d t .

Suponiendo que $y = 0 cuando t = 0,$

\int_{0}^{y} d y^{'} = \frac{m g}{b} \int_{0}^{t} (1 - e^{- b t' / m}) d t^{'},

que se integra en

y = \frac{m g}{b} t + \frac{m^{2} g}{b^{2}} (e^{- b t / m} - 1) .

Ejemplo 6.18

Efecto de la fuerza de resistencia en una lancha a motor

Una lancha a motor se desplaza por un lago a una rapidez

v_{0}

cuando su motor se congela y se para de repente. La lancha desacelera entonces por la fuerza de fricción

f_{R} = - b v .

(a) ¿Cuáles son la velocidad y la posición de la lancha en función del tiempo? (b) Si la lancha desacelera de 4,0 a 1,0 m/s en 10 s, ¿qué distancia recorre antes de detenerse?

Solución

Con el motor detenido, la única fuerza horizontal sobre la lancha es $f_{R} = - b v,$ por lo que de la segunda ley de Newton,
$m \frac{d v}{d t} = - b v,$
que podemos escribir como
$\frac{d v}{v} = - \frac{b}{m} d t .$
Integrando esta ecuación entre el tiempo cero cuando la velocidad es $v_{0}$ y el tiempo t cuando la velocidad es $v$ , tenemos
$\int_{0}^{v} \frac{d v^{'}}{v^{'}} = - \frac{b}{m} \int_{0}^{t} d t^{'} .$
Por lo tanto,
$ln \frac{v}{v_{0}} = - \frac{b}{m} t,$
que, dado que $ln A = x implica e^{x} = A,$ podemos escribirlo como
$v = v_{0} e^{- b t / m} .$
Ahora, desde la definición de velocidad,
$\frac{d x}{d t} = v_{0} e^{- b t / m},$
por lo que tenemos
$d x = v_{0} e^{- b t / m} d t .$
Con la posición inicial cero, tenemos
$\int_{0}^{x} d x' = v_{0} \int_{0}^{t} e^{- b t' / m} d t',$
y
${x = - \frac{m v_{0}}{b} e^{- b t' / m} |}_{0}^{t} = \frac{m v_{0}}{b} (1 - e^{- b t / m}) .$
A medida que aumenta el tiempo, $e^{- b t / m} \to 0,$ y la posición de la lancha se acerca a un valor límite
$x_{máx} = \frac{m v_{0}}{b} .$
Aunque esto nos dice que la lancha tarda infinidad de tiempo en llegar $x_{máx},$ la lancha se detiene efectivamente después de un tiempo razonable. Por ejemplo, en $t = 10 m / b,$ tenemos
$v = v_{0} e^{−10} ≃ 4,5 \times 10^{−5} v_{0},$
mientras que también tenemos
$x = x_{máx} (1 - e^{−10}) ≃ 0,99995 x_{máx} .$
Por lo tanto, la velocidad y la posición de la lancha han alcanzado esencialmente sus valores finales.
Con $v_{0} = 4,0 m/s$ y $v = 1,0 m/s,$ tenemos $1,0 m/s = (4,0 m/s) e^{- (b / m) (10 s)},$ así que
$ln 0,25 = - ln 4,0 = - \frac{b}{m} (10 s),$
y
$\frac{b}{m} = \frac{1}{10} ln 4,0 s^{-1} = 0,14 s^{-1} .$
Ahora la posición límite del barco es
$x_{máx} = \frac{m v_{0}}{b} = \frac{4,0 m/s}{0,14 s^{−1}} = 29 m .$

Importancia

En los dos ejemplos anteriores, hallamos valores "límite". La velocidad límite es la misma que la velocidad terminal, que es la velocidad del objeto que cae después de un tiempo (relativamente) largo. Del mismo modo, la distancia límite de la lancha es la distancia que la lancha recorrerá después de que haya transcurrido una gran cantidad de tiempo. Debido a las propiedades del decaimiento exponencial, el tiempo necesario para alcanzar cualquiera de estos valores no es en realidad demasiado largo (¡ciertamente no es un tiempo infinito!), pero se encuentran rápidamente para llevar el límite al infinito.

Compruebe Lo Aprendido 6.11

Supongamos que la fuerza de resistencia del aire sobre un paracaidista puede aproximarse mediante $f = - b v^{2}$ . Si la velocidad terminal de un paracaidista de 100 kg es de 60 m/s, ¿cuál es el valor de b?

6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite

Fuerzas de arrastre

Velocidad límite

Velocidad límite de un paracaidista

Estrategia

Solución

Importancia

El cálculo de las fuerzas de fricción dependientes de la velocidad

Efecto de la fuerza de resistencia en una lancha a motor

Solución

Importancia