5.6 Fuerzas comunes

Fuerza normal

El peso (también llamado fuerza de gravedad) es una fuerza omnipresente que actúa en todo momento y que debe contrarrestarse para evitar que un objeto caiga. Debe soportar el peso de un objeto pesado empujándolo hacia arriba cuando lo mantiene fijo, como se ilustra en la Figura 5.21(a). ¿Cómo soportan los objetos inanimados, como una mesa, el peso de una masa colocada sobre ellos, como se muestra en la Figura 5.21(b)? Cuando se coloca la bolsa de comida para perros sobre la mesa, esta cede ligeramente bajo la carga. Esto se notaría si la carga se colocara sobre una mesa de juego, pero incluso una mesa de roble resistente se deforma cuando se le aplica una fuerza. A menos que un objeto se deforme más allá de su límite, ejercerá una fuerza restauradora muy parecida a la de un resorte deformado (o un trampolín). Cuanto mayor sea la deformación, mayor será la fuerza restauradora. Así, cuando se coloca la carga sobre la mesa, esta cede hasta que la fuerza restauradora es tan grande como el peso de la carga. En este punto, la fuerza externa neta sobre la carga es cero. Esta es la situación cuando la carga está estacionaria en la mesa. La mesa cede rápidamente y el hundimiento es leve, por lo que no lo notamos. Sin embargo, es semejante al hundimiento de un trampolín cuando se sube a esta.

Figura 5.21 (a) La persona que sostiene la bolsa de comida para perros debe suministrar una fuerza ascendente ${\overrightarrow{F}}_{\text{mano}}$ de magnitud igual y dirección contraria al peso del alimento $\overrightarrow{w}$ para que no se caiga al suelo. (b) La mesa de juego cede cuando se coloca la comida para perros sobre ella, como si fuera un trampolín rígido. Las fuerzas restauradoras elásticas en la mesa crecen a medida que se hunde hasta que suministran una fuerza $\overrightarrow{N}$ de magnitud igual y dirección contraria al peso de la carga.

Debemos concluir que cualquier cosa que soporte una carga, sea animada o no, deberá suministrar una fuerza ascendente igual al peso de la carga, como hemos supuesto en algunos de los ejemplos anteriores. Si la fuerza que soporta el peso de un objeto, o una carga, es perpendicular a la superficie de contacto entre la carga y su soporte, se define como fuerza normal y aquí viene dada por el símbolo $\overrightarrow{N}.$ (No es la unidad de newton para la fuerza, o N.) La palabra normal significa perpendicular a una superficie. Esto significa que la fuerza normal experimentada por un objeto que descansa sobre una superficie horizontal puede expresarse en forma vectorial de la siguiente manera:

En forma escalar, esto se convierte en

La fuerza normal puede ser menor que el peso del objeto si este se encuentra en una pendiente.

Ejemplo 5.12

Peso en una inclinación

Considere la esquiadora en la pendiente en la Figura 5.22. Su masa, incluso el equipo, es de 60,0 kg. (a) ¿Cuál es su aceleración si la fricción es despreciable? (b) ¿Cuál es su aceleración si la fricción es de 45,0 N?

Figura 5.22 Dado que la aceleración es paralela a la pendiente y actúa hacia abajo, lo más conveniente es proyectar todas las fuerzas sobre un sistema de coordenadas en el que un eje es paralelo a la pendiente y el otro es perpendicular a esta (ejes mostrados a la izquierda de la esquiadora). $\overrightarrow{N}$ es perpendicular a la pendiente y $\overrightarrow{f}$ es paralela a la pendiente, pero $\overrightarrow{w}$ tiene componentes a lo largo de ambos ejes, es decir: $w_y$ y $w_x$. Aquí, $\overrightarrow{w}$ tiene una línea ondulada para mostrar que ha sido sustituido por estos componentes. La fuerza $\overrightarrow{N}$ es igual en magnitud a $w_y$, por lo que no hay aceleración perpendicular a la pendiente, pero f es menor que $w_x$, por lo que se produce una aceleración dirigida hacia abajo (a lo largo del eje paralelo a la pendiente).

Estrategia

Se trata de un problema bidimensional, ya que no todas las fuerzas sobre la esquiadora (el sistema de interés) son paralelas. El enfoque que hemos utilizado en la cinemática bidimensional también funciona bien aquí. Elija un sistema de coordenadas conveniente y proyecte los vectores sobre sus ejes, para crear dos problemas unidimensionales por resolver. El sistema de coordenadas más conveniente para el movimiento en una pendiente es aquel que tiene una coordenada paralela a la pendiente y otra perpendicular. (Los movimientos a lo largo de ejes mutuamente perpendiculares son independientes). Utilizamos la x y la y para las direcciones paralela y perpendicular, respectivamente. Esta elección de ejes simplifica este tipo de problemas, porque no hay movimiento perpendicular a la pendiente y la aceleración se dirige hacia abajo. En cuanto a las fuerzas, la fricción se dibuja en oposición al movimiento (la fricción siempre se opone al avance) y siempre es paralela a la pendiente, $w_x$ se dibuja en paralelo a la pendiente y dirigida hacia abajo (provoca el movimiento de la esquiadora hacia abajo de la pendiente), y $w_y$ se dibuja como el componente del peso perpendicular a la pendiente. Entonces, podemos considerar los problemas separados de las fuerzas paralelas a la pendiente y las fuerzas perpendiculares a la pendiente.

Solución

La magnitud del componente del peso paralelo a la pendiente es

$$w_x=w\text{sen}25\text{°}=mg\text{sen}25\text{°},$$

y la magnitud del componente del peso perpendicular a la pendiente es

$$w_y=w\text{cos}25\text{°}=mg\text{cos}25\text{°}.$$

a. Ignore la fricción. Dado que la aceleración es paralela a la pendiente, solo debemos considerar las fuerzas paralelas. (Las fuerzas perpendiculares a la pendiente suman cero, ya que no hay aceleración en esa dirección). Las fuerzas paralelas a la pendiente son el componente del peso de la esquiadora paralelo a la pendiente $w_x$ y la fricción f. Utilizando la segunda ley de Newton, con subíndices para denotar las cantidades paralelas a la pendiente,

$$a_x=\frac{F_{\text{neta}x}}{m}$$

donde $F_{\text{neta}x}=w_x-mg\text{sen}25\text{°},$ asumiendo que no hay fricción para esta parte. Por lo tanto,

$$\begin{array}{}\\ \\ \\ a_x=\frac{F_{\text{neta}x}}{m}=\frac{mg\text{sen}25\text{°}}{m}=g\text{sen}25\text{°}\hfill \\ \left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)\left(\mathrm{0,4226}\right)=\mathrm{4,14}{\text{m/s}}^2\hfill \end{array}$$

es la aceleración.

b. Incluya la fricción. Tenemos un valor dado para la fricción, y sabemos que su dirección es paralela a la pendiente y que se opone al movimiento entre superficies en contacto. Así que la fuerza externa neta es

$$F_{\text{neta}x}=w_x-f.$$

Al sustituir esto en la segunda ley de Newton, $a_x=F_{\text{neta}x}\text{/}m,$ da

$$a_x=\frac{F_{\text{neta}x}}{m}=\frac{w_x-f}{m}=\frac{mg\text{sen}25\text{°}-f}{m}.$$

Sustituimos los valores conocidos para obtener

$$a_x=\frac{\left(\mathrm{60,0}\text{kg}\right)\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)\left(\mathrm{0,4226}\right)-\mathrm{45,0}\text{N}}{\mathrm{60,0}\text{kg}}.$$

Esto nos da

$$a_x=\mathrm{3,39}{\text{m/s}}^2,$$

que es la aceleración paralela a la pendiente cuando hay 45,0 N de fricción opuesta.

Importancia

Como la fricción siempre se opone al movimiento entre superficies, la aceleración es menor cuando hay fricción. Es un resultado general que, si la fricción en una pendiente es despreciable, entonces la aceleración hacia abajo de la pendiente es $a=g\text{sen}\theta$, independientemente de la masa. Como se ha comentado anteriormente, todos los objetos caen con la misma aceleración en ausencia de resistencia del aire. Del mismo modo, todos los objetos, independientemente de su masa, se deslizan por una pendiente sin fricción con la misma aceleración (si el ángulo es el mismo).

Cuando un objeto se apoya en una pendiente que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto se divide en dos componentes: una fuerza que actúa perpendicularmente al plano, $w_y$, y una fuerza que actúa paralela al plano, $w_x$ (Figura 5.23). La fuerza normal $\overrightarrow{N}$ suele ser de igual magnitud y de dirección opuesta al componente perpendicular del peso $w_y$. La fuerza que actúa paralela al plano, $w_x$, hace que el objeto se acelere por la pendiente.

Figura 5.23 Un objeto se apoya en una pendiente que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal.

Tenga cuidado al resolver el peso del objeto en componentes. Si la inclinación es en ángulo $\theta$ a la horizontal, entonces las magnitudes de los componentes del peso son

y

Utilizamos la segunda ecuación para escribir la fuerza normal que experimenta un objeto en reposo sobre un plano inclinado:

En lugar de memorizar estas ecuaciones, es útil poder determinarlas a partir de la razón. Para ello, dibujamos el ángulo recto formado por los tres vectores de peso. El ángulo $\theta$ de la inclinación es igual al ángulo formado entre w y $w_y$. Conociendo esta propiedad, podemos utilizar la trigonometría para determinar la magnitud de los componentes del peso:

Tensión

La tensión es una fuerza a lo largo de un medio; en particular, es una fuerza de tracción que actúa a lo largo de un conector flexible estirado, como una cuerda o un cable. La palabra "tensión" proviene de la palabra latina que significa "estirar". No por casualidad, las cuerdas flexibles que llevan las fuerzas musculares a otras partes del cuerpo se llaman tendones.

Cualquier conector flexible, como un cordel, una cuerda, una cadena, un alambre o un cable, solo puede ejercer un tirón paralelo a su longitud; por lo tanto, una fuerza transportada por un conector flexible es una tensión con una dirección paralela al conector. La tensión es un tirón en un conector. Considere la frase: "No puede empujar una cuerda". En cambio, la fuerza de tensión hala hacia afuera a lo largo de los dos extremos de una cuerda.

Considere a una persona que sostiene una masa en una cuerda, como se muestra en la Figura 5.24. Si la masa de 5,00 kg de la figura está inmóvil, su aceleración es cero y la fuerza neta es cero. Las únicas fuerzas externas que actúan sobre la masa son su peso y la tensión suministrada por la cuerda. Por lo tanto,

donde T y w son las magnitudes de la tensión y el peso, respectivamente, y sus signos indican la dirección, y es positivo hacia arriba. Como hemos demostrado con la segunda ley de Newton, la tensión es igual al peso de la masa apoyada:

Por lo tanto, para una masa de 5,00 kg (descartando la masa de la cuerda), vemos que

Si cortamos la cuerda e introducimos un resorte, este se extendería en una longitud correspondiente a una fuerza de 49,0 N, lo cual proporciona una observación y medida directa de la fuerza de tensión en la cuerda.

Figura 5.24 Cuando un conector perfectamente flexible (que no requiere fuerza para doblarlo) como esta cuerda transmite una fuerza $\overrightarrow{T},$ esa fuerza deberá ser paralela a la longitud de la cuerda, como se muestra. Por la tercera ley de Newton, la cuerda hala con igual fuerza, pero en direcciones opuestas de la mano y de la masa apoyada (descartando el peso de la cuerda). La cuerda es el medio que transporta las fuerzas iguales y opuestas entre los dos objetos. La tensión en cualquier parte de la cuerda entre la mano y la masa es igual. Una vez que haya determinado la tensión en un lugar, habrá determinado la tensión en todos los lugares a lo largo de la cuerda.

Los conectores flexibles se utilizan a menudo para transmitir fuerzas en las esquinas, como en un sistema de tracción hospitalaria, un tendón o un cable de freno de bicicleta. Si no hay fricción, la transmisión de la tensión no disminuye, solamente cambia de dirección, y siempre es paralela al conector flexible, como se muestra en la Figura 5.25.

Figura 5.25 (a) Los tendones del dedo transportan la fuerza T desde los músculos a otras partes del dedo; normalmente cambia la dirección de la fuerza, pero no su magnitud (los tendones están relativamente sin fricción). (b) El cable de freno de una bicicleta transporta la tensión T desde la palanca de freno del manillar hasta el mecanismo de freno. Una vez más, cambia la dirección, pero no la magnitud de T.

Ejemplo 5.13

¿Qué es la tensión en la cuerda floja?

Calcule la tensión en el alambre que sostiene al equilibrista de 70,0 kg que se muestra en la Figura 5.26.

Figura 5.26 El peso de un equilibrista hace que el alambre se hunda en $\mathrm{5,0}\text{°}$. El sistema de interés es el punto del alambre en el que se encuentra el equilibrista.

Estrategia

Como puede ver en la Figura 5.26, el alambre se dobla bajo el peso de la persona. Por lo tanto, la tensión a ambos lados de la persona tiene un componente ascendente que soporta su peso. Como es habitual, las fuerzas son vectores representados pictóricamente por flechas que tienen la misma dirección que las fuerzas y longitudes proporcionales a sus magnitudes. El sistema es el equilibrista, y las únicas fuerzas externas que actúan sobre él son su peso $\overrightarrow{w}$ y las dos tensiones ${\overrightarrow{T}}_{\text{L}}$ (tensión izquierda) y ${\overrightarrow{T}}_{\text{R}}$ (tensión derecha). Es razonable descartar el peso del alambre. La fuerza externa neta es cero, porque el sistema es estático. Podemos utilizar la trigonometría para encontrar las tensiones. Una conclusión es posible desde el principio: podemos ver en la Figura 5.26(b) que las magnitudes de las tensiones $T_{\text{L}}$ y $T_{\text{R}}$ deben ser iguales. Lo sabemos porque no hay aceleración horizontal en la cuerda y las únicas fuerzas que actúan a la izquierda y a la derecha son $T_{\text{L}}$ y $T_{\text{R}}$. Por lo tanto, la magnitud de esos componentes horizontales de las fuerzas deberá ser igual para que se anulen mutuamente.

Cuando tenemos problemas vectoriales bidimensionales en los que no hay dos vectores paralelos, el método más sencillo de solución es elegir un sistema de coordenadas conveniente y proyectar los vectores sobre sus ejes. En este caso, el mejor sistema de coordenadas tiene un eje horizontal (x) y un eje vertical (y).

Solución

En primer lugar, tenemos que resolver los vectores de tensión en sus componentes horizontal y vertical. Es útil observar un nuevo diagrama de cuerpo libre que muestre todos los componentes horizontales y verticales de cada fuerza que actúa sobre el sistema (Figura 5.27).

Figura 5.27 Cuando los vectores se proyectan sobre los ejes vertical y horizontal, sus componentes a lo largo de estos ejes deben sumar cero, ya que el equilibrista está inmóvil. El pequeño ángulo hace que T sea mucho mayor que w.

Consideremos los componentes horizontales de las fuerzas (denotadas con un subíndice x):

$$F_{\text{neta}x}=T_{\text{R}x}-T_{\text{L}x}.$$

La fuerza horizontal externa neta $F_{\text{neta}x}=0,$ ya que la persona está inmóvil. Por lo tanto,

$$\begin{array}{ccc}\hfill F_{\text{neta}x}& =\hfill & 0=T_{\text{R}x}-T_{\text{L}x}\hfill \\ \hfill T_{\text{L}x}& =\hfill & T_{\text{R}x}.\hfill \end{array}$$

Ahora observe la Figura 5.27. Puede utilizar la trigonometría para determinar la magnitud de $T_{\text{L}}$ y $T_{\text{R}}$:

$$\begin{array}{}\\ \\ \hfill \text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}& =\hfill & \frac{T_{\text{L}x}}{T_{\text{L}}},T_{\text{L}x}=T_{\text{L}}\text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}\hfill \\ \hfill \text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}& =\hfill & \frac{T_{\text{R}x}}{T_{\text{R}}},T_{\text{R}x}=T_{\text{R}}\text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}.\hfill \end{array}$$

Igualando T_Lx y T_Rx:

$$T_{\text{L}}\text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}=T_{\text{R}}\text{cos}\mathrm{5,0}\text{°}.$$

Por lo tanto,

$$T_{\text{L}}=T_{\text{R}}=T,$$

como se predijo. Ahora, considerando los componentes verticales (denotadas por un subíndice y), podemos resolver T. De nuevo, dado que la persona está inmóvil, la segunda ley de Newton implica que $F_{\text{neta}y}=0$. Por lo tanto, como se ilustra en el diagrama de cuerpo libre,

$$F_{\text{neta}y}=T_{\text{L}y}+T_{\text{R}y}-w=0.$$

Podemos utilizar la trigonometría para determinar las relaciones entre $T_{\text{Ly}},T_{\text{Ry}},$ y T. Como determinamos a partir del análisis en la dirección horizontal, $T_{\text{L}}=T_{\text{R}}=T$:

$$\begin{array}{}\\ \hfill \text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}& =\hfill & \frac{T_{\text{L}y}}{T_{\text{L}}},T_{\text{L}y}=T_{\text{L}}\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}=T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}\hfill \\ \hfill \text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}& =\hfill & \frac{T_{\text{R}y}}{T_{\text{R}}},T_{\text{R}y}=T_{\text{R}}\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}=T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}.\hfill \end{array}$$

Ahora podemos sustituir los valores por $T_{\text{Ly}}$ y $T_{\text{Ry}}$, en la ecuación de la fuerza neta en la dirección vertical:

$$\begin{array}{ccc}\hfill F_{\text{neta}y}& =\hfill & T_{\text{L}y}+T_{\text{R}y}-w=0\hfill \\ \hfill F_{\text{neta}y}& =\hfill & T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}+T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}-w=0\hfill \\ \hfill 2T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}-w& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill 2T\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}& =\hfill & w\hfill \end{array}$$

y

$$T=\frac{w}{2\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}}=\frac{mg}{2\text{sen}\mathrm{5,0}\text{°}},$$

así que

$$T=\frac{\left(\mathrm{70,0}\text{kg}\right)\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)}{2\left(\mathrm{0,0872}\right)},$$

y la tensión es

$$T=3.930\text{N}\text{.}$$

Importancia

La tensión vertical en el alambre actúa como una fuerza que soporta el peso del equilibrista. La tensión es casi seis veces superior al peso de 686 N del equilibrista. Como el alambre es casi horizontal, el componente vertical de su tensión es apenas una fracción de la tensión en el alambre. Los grandes componentes horizontales están en direcciones opuestas y se anulan, por lo que la mayor parte de la tensión del alambre no se utiliza para soportar el peso del equilibrista.

Si queremos crear una gran tensión, basta con ejercer una fuerza perpendicular a un conector flexible tenso, como se ilustra en la Figura 5.26. Como vimos en el Ejemplo 5.13, el peso del equilibrista actúa como una fuerza perpendicular a la cuerda. Hemos visto que la tensión de la cuerda está relacionada con el peso del equilibrista de la siguiente manera:

Podemos extender esta expresión para describir la tensión T creada cuando una fuerza perpendicular $\left(F_{\perp }\right)$ se ejerce en el centro de un conector flexible:

El ángulo entre la horizontal y el conector doblado está representado por $\theta$. En este caso, T se agranda a medida que $\theta$ se acerca a cero. Incluso el peso relativamente pequeño de cualquier conector flexible hará que se hunda, ya que se produciría una tensión infinita si estuviera horizontal (es decir, $\theta =0$ y sen de $\theta =0$). Por ejemplo, la Figura 5.28 muestra una situación en la que queremos sacar un auto del barro cuando no hay grúa disponible. Cada vez que el auto avanza, la cadena se tensa para mantenerla lo más recta posible. La tensión en la cadena viene dada por $T=\frac{F_{\perp }}{2\text{sen}\theta },$ y dado que $\theta$ es pequeño, T es grande. Esta situación es análoga a la del equilibrista, salvo que las tensiones que se muestran aquí son las que se transmiten al auto y al árbol, en lugar de las que actúan en el punto donde $F_{\perp }$ se aplica.

Figura 5.28 Podemos crear una gran tensión en la cadena, y posiblemente un gran desastre, al empujarla perpendicularmente a su longitud, como se muestra.

En Aplicaciones de las leyes de Newton, ampliamos el debate sobre la tensión en un cable para incluir casos en los que los ángulos indicados no son iguales.

Fricción

La fricción es una fuerza de resistencia que se opone al movimiento o a su tendencia. Imagine un objeto en reposo sobre una superficie horizontal. La fuerza neta que actúa sobre el objeto debe ser cero, lo que lleva a la igualdad del peso y la fuerza normal, que actúan en direcciones opuestas. Si la superficie está inclinada, la fuerza normal equilibra el componente del peso perpendicular a la superficie. Si el objeto no se desliza hacia abajo, el componente del peso paralelo al plano inclinado se equilibra por la fricción. La fricción se trata con más detalle en el siguiente capítulo.

Fuerza del resorte

Un resorte es un medio especial con una estructura atómica específica que tiene la capacidad de recuperar su forma, si se deforma. Para recuperar su forma, el resorte ejerce una fuerza restauradora proporcional y en el sentido contrario al que se estira o comprime. Este es el enunciado de una ley conocida como ley de Hooke, que tiene la forma matemática

La constante de proporcionalidad k es una medida de la rigidez del resorte. La línea de acción de esta fuerza es paralela al eje del resorte, y el sentido de la fuerza está en la dirección opuesta al vector de desplazamiento (Figura 5.29). El desplazamiento deberá medirse desde la posición de relajación $x=0$ cuando el resorte está relajado.

Figura 5.29 Un resorte ejerce su fuerza de forma proporcional a un desplazamiento, tanto si está comprimido como estirado. (a) El resorte está en posición relajada y no ejerce ninguna fuerza sobre el bloque. (b) El resorte está comprimido por el desplazamiento $\text{Δ}{\overrightarrow{x}}_1$ del objeto y ejerce una fuerza restauradora $\text{-}k\text{Δ}{\overrightarrow{x}}_1.$ (c) El resorte está estirado por el desplazamiento $\text{Δ}{\overrightarrow{x}}_2$ del objeto y ejerce una fuerza restauradora $\text{-}k\text{Δ}{\overrightarrow{x}}_2.$