William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Calcular vectores de posición en un problema de desplazamiento multidimensional.
Resolver el desplazamiento en dos o tres dimensiones.
Calcular el vector velocidad dado el vector de posición en función del tiempo.
Calcular la velocidad media en varias dimensiones.

El desplazamiento y la velocidad en dos o tres dimensiones son extensiones directas de las definiciones unidimensionales. Sin embargo, ahora son cantidades vectoriales, por lo que los cálculos con ellas tienen que seguir las reglas del álgebra vectorial, no del álgebra escalar.

Vector de desplazamiento

Para describir el movimiento en dos y tres dimensiones, primero debemos establecer un sistema de coordenadas y una convención para los ejes. Generalmente utilizamos las coordenadas de la x, la y y la z para localizar una partícula en el punto P(x, y, z) en tres dimensiones. Si la partícula se mueve, las variables de la x, la y y la z son funciones del tiempo (t):

x = x (t) y = y (t) z = z (t) .

4.1

El vector de posición desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto P es $\vec{r} (t) .$ En notación vectorial unitaria, presentada en Sistemas de coordenadas y componentes de un vector, $\vec{r} (t)$ es

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} + z (t) \hat{k} .

4.2

La Figura 4.2 muestra el sistema de coordenadas y el vector hacia el punto P, donde una partícula podría estar situada en un tiempo t determinado. Observe la orientación de los ejes de la x, la y y la z. Esta orientación se denomina sistema de coordenadas de la mano derecha (Sistemas de coordenadas y componentes de un vector) y se utiliza a lo largo del capítulo.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z, con la x positiva fuera de la página, la y positiva a la derecha y la z positiva hacia arriba. Se muestra un punto P, con coordenadas de la x de t, la y de t, y la z de t. Todas las coordenadas de P son positivas. El vector r de t desde el origen a P también se muestra como una flecha púrpura. Las coordenadas de la x de t, la y de t y la z de t se muestran como líneas discontinuas. La x de t es un segmento en el plano x y, paralelo al eje de la x, la y de t es un segmento en el plano x y, paralelo al eje de la y, y la z de t es un segmento paralelo al eje de la z.

Figura 4.2 Un sistema de coordenadas tridimensional con una partícula en la posición P(x(t), y(t), z(t)).

Con nuestra definición de la posición de una partícula en el espacio tridimensional, podemos formular el desplazamiento tridimensional. La Figura 4.3 muestra una partícula en el tiempo $t_{1}$ situada en $P_{1}$ con vector de posición $\vec{r} (t_{1}) .$ En un tiempo posterior $t_{2},$ la partícula se encuentra en $P_{2}$ con vector de posición $\vec{r} (t_{2})$ . El vector de desplazamiento $Δ \vec{r}$ se encuentra restando $\vec{r} (t_{1})$ de $\vec{r} (t_{2}) :$

Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1}) .

4.3

La adición de vectores se trata en Vectores. Observe que es la misma operación que hicimos en una dimensión, pero ahora los vectores están en un espacio tridimensional.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z, con la x positiva fuera de la página, la y positiva a la derecha y la z positiva hacia arriba. Se muestran dos puntos, P 1 y P 2. El vector r de t 1 desde el origen a P 1 y el vector r de t 2 desde el origen a P 2 se muestran como flechas púrpuras. El vector delta r se muestra como una flecha púrpura cuya cola está en P 1 y la cabeza en P 2.

Figura 4.3 El desplazamiento

Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})

es el vector desde

P_{1}

hasta

P_{2}

.

Los siguientes ejemplos ilustran el concepto de desplazamiento en múltiples dimensiones.

Ejemplo 4.1

Satélite de órbita polar

Un satélite se encuentra en una órbita polar circular alrededor de la Tierra a una altitud de 400 km, lo que significa que pasa directamente por encima de los polos norte y sur. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del vector de desplazamiento desde que está directamente sobre el Polo Norte hasta que está a

−45 °

de latitud?

Estrategia

Hacemos un dibujo del problema para visualizar la solución gráficamente. Esto nos permitirá entender el desplazamiento. A continuación, utilizamos los vectores unitarios para resolver el desplazamiento.

Solución

La Figura 4.4 muestra la superficie de la Tierra y un círculo que representa la órbita del satélite. Aunque los satélites se mueven en el espacio tridimensional, siguen trayectorias de elipses, que pueden graficarse en dos dimensiones. Los vectores de posición se dibujan desde el centro de la Tierra, que tomamos como origen del sistema de coordenadas, con el eje de la y como norte y el eje de la x como este. El vector entre ellos es el desplazamiento del satélite. Tomamos el radio de la Tierra como 6370 km, por lo que la longitud de cada vector de posición es de 6770 km.

Se muestra un sistema de coordenadas x y, centrado en la tierra. La x positiva está al este y la y positiva al norte. Se muestra un círculo azul más grande y concéntrico que la Tierra. El vector r de t 1 es una flecha naranja desde el origen hasta el lugar donde el círculo azul cruza el eje de la y (90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje de la x positiva). El vector r de t 2 es una flecha naranja que va desde el origen hasta el lugar del círculo azul a menos 45 grados. El vector delta r se muestra como una flecha púrpura que apunta hacia abajo y hacia la derecha, comienza en la cabeza del vector r de t 1 y termina en la cabeza del vector r de t 2.

Figura 4.4 Se dibujan dos vectores de posición desde el centro de la Tierra, que es el origen del sistema de coordenadas, con el eje de la y como norte y el eje de la x como este. El vector entre ellos es el desplazamiento del satélite.

En notación vectorial unitaria, los vectores de posición son

\begin{matrix} \vec{r} (t_{1}) = 6770. km \hat{j} \\ \vec{r} (t_{2}) = 6770. km (cos (-45 °)) \hat{i} + 6770. km (sen (−45 °)) \hat{j} . \end{matrix}

Al evaluar el seno y el coseno, tenemos

\begin{matrix} \vec{r} (t_{1}) & = & 6770. \hat{j} \\ \vec{r} (t_{2}) & = & 4.787 \hat{i} - 4.787 \hat{j} . \end{matrix}

Ahora podemos encontrar $Δ \vec{r}$ , el desplazamiento del satélite:

Δ \vec{r} = \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1}) = 4.787 \hat{i} - 11.557 \hat{j} .

La magnitud del desplazamiento es $| Δ \vec{r} | = \sqrt{{(4.787)}^{2} + {(−11.557)}^{2}} = 12.509 km .$ El ángulo que forma el desplazamiento con el eje de la x es $θ = {tan}^{−1} (\frac{−11.557}{4.787}) = -67,5 ° .$

Importancia

El trazado del desplazamiento brinda información y significado a la solución del vector unitario del problema. Al trazar el desplazamiento, debemos incluir sus componentes, así como su magnitud y el ángulo que forma con un eje elegido, en este caso, el eje de la x (Figura 4.5).

Se muestra un sistema de coordenadas x y. La x positiva está al este y la y positiva al norte. El vector delta r sub x apunta al este y tiene una magnitud de 4787 kilómetros. El vector delta r sub y apunta al sur y tiene una magnitud de 11.557 kilómetros. El vector delta r apunta hacia el sureste, comienza en la cola del delta r sub x y termina en la cabeza del delta r sub y y tiene una magnitud de 12.509 kilómetros.

Figura 4.5 Vector de desplazamiento con componentes, ángulo y magnitud.

Observe que, en este ejemplo, el satélite tomó una trayectoria curva a lo largo de su órbita circular para llegar desde su posición inicial hasta su posición final. También podría haber viajado 4.787 km al este y luego 11.557 km al sur para llegar al mismo lugar. Ambas trayectorias son más largas que la longitud del vector de desplazamiento. De hecho, el vector de desplazamiento da el trayecto más corto entre dos puntos en una, dos o tres dimensiones.

Muchas aplicaciones en física pueden tener una serie de desplazamientos, como se ha comentado en el capítulo anterior. El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos individuales, solo que esta vez hay que tener cuidado, porque estamos sumando vectores. Ilustramos este concepto con un ejemplo de movimiento browniano.

Ejemplo 4.2

Movimiento browniano

El movimiento browniano es un movimiento aleatorio y caótico de las partículas suspendidas en un fluido, resultante de las colisiones con las moléculas del mismo. Este movimiento es tridimensional. Los desplazamientos en orden numérico de una partícula que experimenta un movimiento browniano podrían tener el siguiente aspecto, en micrómetros (Figura 4.6):

\begin{matrix} Δ {\vec{r}}_{1} & = & 2,0 \hat{i} + \hat{j} + 3,0 \hat{k} \\ Δ {\vec{r}}_{2} & = & − \hat{i} + 3,0 \hat{k} \\ Δ {\vec{r}}_{3} & = & 4,0 \hat{i} - 2,0 \hat{j} + \hat{k} \\ Δ {\vec{r}}_{4} & = & −3,0 \hat{i} + \hat{j} + 2,0 \hat{k} . \end{matrix}

¿Cuál es el desplazamiento total de la partícula desde el origen?

Se muestra un sistema de coordenadas x y z con distancias medidas en micrómetros y que van de -10 a +10 micrómetros. Los desplazamientos delta r sub 1 es igual a 2 vector I más vector j más 2 vector k, delta r sub 2 es igual a -1 vector I más 3 vector k, y delta r sub 3 es igual a -3 vector I más el vector j más 2 vector k se muestran como segmentos de línea azul. El vector unitario r 1 comienza en el origen. Cada desplazamiento posterior comienza donde termina el anterior. El vector delta r total se muestra como una línea roja que comienza en el origen y termina en el final del vector delta r 4. Delta r total es igual a 2 vector I más 0 por el vector y más 9 por el vector k.

Figura 4.6 Trayectoria de una partícula sometida a desplazamientos aleatorios de movimiento browniano. El desplazamiento total se muestra en rojo.

Solución

Formamos la suma de los desplazamientos y los sumamos como vectores:

\begin{matrix} Δ {\vec{r}}_{Total} & = \sum Δ {\vec{r}}_{i} = Δ {\vec{r}}_{1} + Δ {\vec{r}}_{2} + Δ {\vec{r}}_{3} + Δ {\vec{r}}_{4} \\ = (2,0 - 1,0 + 4,0 - 3,0) \hat{i} + (1,0 + 0 - 2,0 + 1,0) \hat{j} + (3,0 + 3,0 + 1,0 + 2,0) \hat{k} \\ = 2,0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 9,0 \hat{k} μ m . \end{matrix}

Para completar la solución, expresamos el desplazamiento como magnitud y dirección,

| Δ {\vec{r}}_{Total} | = \sqrt{{2,0}^{2} + 0^{2} + {9,0}^{2}} = 9,2 μ m, θ = {tan}^{−1} (\frac{9}{2}) = 77 °,

con respecto al eje de la x en el plano xz.

Importancia

En la figura podemos ver que la magnitud del desplazamiento total es menor que la suma de la magnitud de cada uno de los desplazamientos.

Vector de velocidad

En el capítulo anterior encontramos la velocidad instantánea calculando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. Podemos hacer la misma operación en dos y tres dimensiones, pero utilizamos vectores. El vector de velocidad instantánea ahora es

\vec{v} (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{r} (t + Δ t) - \vec{r} (t)}{Δ t} = \frac{d \vec{r}}{d t} .

4.4

Veamos gráficamente la orientación relativa del vector de posición y del vector de velocidad. En la Figura 4.7 mostramos los vectores $\vec{r} (t)$ y $\vec{r} (t + Δ t),$ que dan la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria representada por la línea gris. Cuando $Δ t$ llega a cero, el vector de velocidad, dado por la Ecuación 4.4, se vuelve tangente a la trayectoria de la partícula en el tiempo t.

Los vectores r de t y r de t más delta t se muestran como flechas rojas en el sistema de coordenadas x y. Ambos vectores parten del origen. El vector delta r apunta desde la cabeza del vector r de t hasta la cabeza del vector r de t más delta t.

Figura 4.7 Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria dada por la línea gris. En el límite cuando

Δ t

se acerca a cero, el vector velocidad se vuelve tangente a la trayectoria de la partícula.

La Ecuación 4.4 también puede escribirse en términos de los componentes de $\vec{v} (t) .$ Dado que

\vec{r} (t) = x (t) \hat{i} + y (t) \hat{j} + z (t) \hat{k},

podemos escribir

\vec{v} (t) = v_{x} (t) \hat{i} + v_{y} (t) \hat{j} + v_{z} (t) \hat{k}

4.5

donde

v_{x} (t) = \frac{d x (t)}{d t}, v_{y} (t) = \frac{d y (t)}{d t}, v_{z} (t) = \frac{d z (t)}{d t} .

4.6

Si solo interesa la velocidad media, tenemos el equivalente vectorial de la velocidad media unidimensional para dos y tres dimensiones:

{\vec{v}}_{avg} = \frac{\vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} .

4.7

Ejemplo 4.3

Calcular el vector de velocidad

La función de posición de una partícula es

\vec{r} (t) = 2,0 t^{2} \hat{i} + (2,0 + 3,0 t) \hat{j} + 5,0 t \hat{k} m .

(a) ¿Cuál es la velocidad instantánea y la rapidez en t = 2,0 s? (b) ¿Cuál es la velocidad media entre 1,0 s y 3,0 s?

Solución

Utilizando la Ecuación 4.5 y la Ecuación 4.6, y tomando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, encontramos

(a) $v (t) = \frac{d r (t)}{d t} = 4,0 t \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} m/s$

$\vec{v} (2,0 s) = 8,0 \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} m/s$

Rapidez $| \vec{v} (2,0 s) | = \sqrt{8^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = 9,9 m/s .$

(b) De la Ecuación 4.7,
$\begin{matrix} {\vec{v}}_{avg} & = \frac{\vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1})}{t_{2} - t_{1}} = \frac{\vec{r} (3,0 s) - \vec{r} (1,0 s)}{3,0 s - 1,0 s} = \frac{(18 \hat{i} + 11 \hat{j} + 15 \hat{k}) m - (2 \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}) m}{2,0 s} \\ = \frac{(16 \hat{i} + 6 \hat{j} + 10 \hat{k}) m}{2,0 s} = 8,0 \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 5,0 \hat{k} m/s . \end{matrix}$

Importancia

Vemos que la velocidad media es la misma que la velocidad instantánea en t = 2,0 s, como resultado de que la función de velocidad es lineal. En general, esto no debería ser así. De hecho, la mayoría de las veces, las velocidades instantáneas y medias no son las mismas.

Compruebe Lo Aprendido 4.1

La función de posición de una partícula es $\vec{r} (t) = 3,0 t^{3} \hat{i} + 4,0 \hat{j} .$ (a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 3 s? (b) ¿Es la velocidad media entre 2 s y 4 s igual a la velocidad instantánea en t = 3 s?

La independencia de los movimientos perpendiculares

Cuando observamos las ecuaciones tridimensionales de posición y velocidad escritas en notación vectorial unitaria, la Ecuación 4.2 y la Ecuación 4.5, vemos que los componentes de estas ecuaciones son funciones separadas y únicas del tiempo que no dependen unas de otras. El movimiento a lo largo de la dirección de la x no tiene parte de su movimiento a lo largo de las direcciones de la y y la z, y de forma similar para los otros dos ejes de coordenadas. Por lo tanto, el movimiento de un objeto en dos o tres dimensiones puede dividirse en movimientos separados e independientes a lo largo de los ejes perpendiculares del sistema de coordenadas en el que se produce el movimiento.

Para ilustrar este concepto con respecto al desplazamiento, considere a una mujer que camina del punto A al punto B en una ciudad conformada por cuadras. La mujer que toma el trayecto de A a B puede caminar hacia el este durante tantas cuadras y luego hacia el norte (dos direcciones perpendiculares) durante otra serie de cuadras para llegar a B. La distancia que camina hacia el este solo se ve afectada por su movimiento hacia el este. Del mismo modo, la distancia que recorre hacia el norte solo se ve afectada por su movimiento hacia el norte.

Independencia del movimiento

En la descripción cinemática del movimiento, podemos tratar por separado los componentes horizontal y vertical del movimiento. En muchos casos, el movimiento en la dirección horizontal no afecta al movimiento en la dirección vertical, y viceversa.

Un ejemplo que ilustra la independencia de los movimientos verticales y horizontales viene dado por dos pelotas de béisbol. Una pelota de béisbol se deja caer del reposo. En el mismo instante, se lanza otra horizontalmente desde la misma altura y sigue una trayectoria curva. Un estroboscopio capta las posiciones de las pelotas a intervalos de tiempo fijos mientras caen (Figura 4.8).

Se ilustran dos pelotas idénticas en 5 lugares a intervalos de tiempo iguales. Las pelotas comienzan en la misma posición vertical. Las flechas verdes representan las velocidades horizontales y las flechas moradas representan las velocidades verticales en cada posición. La pelota de la derecha tiene una velocidad horizontal inicial mientras que la de la izquierda no tiene velocidad horizontal. El movimiento horizontal es una velocidad horizontal constante en todo momento para ambas pelotas. El movimiento vertical es una aceleración vertical constante. La velocidad vertical de cada pelota aumenta en magnitud y apunta hacia abajo. En cada instante de tiempo, ambas pelotas tienen idénticas posiciones verticales y velocidades verticales.

Figura 4.8 Un diagrama de los movimientos de dos pelotas idénticas: una cae desde el reposo y la otra tiene una velocidad inicial horizontal. Cada posición posterior es un intervalo de tiempo igual. Las flechas representan las velocidades horizontal y vertical en cada posición. La pelota de la derecha tiene una velocidad horizontal inicial mientras que la de la izquierda no tiene velocidad horizontal. A pesar de la diferencia de velocidades horizontales, las velocidades y posiciones verticales son idénticas para ambas pelotas, lo que demuestra que los movimientos verticales y horizontales son independientes.

Es notable que, para cada destello del estroboscopio, las posiciones verticales de las dos pelotas son las mismas. Esta similitud implica que el movimiento vertical es independiente de si la pelota se mueve horizontalmente. (Suponiendo que no hay resistencia del aire, el movimiento vertical de un objeto que cae está influenciado solo por la gravedad, no por ninguna fuerza horizontal). Un examen minucioso de la pelota lanzada horizontalmente muestra que recorre la misma distancia horizontal entre los destellos. Esto se debe a que no hay fuerzas adicionales sobre la pelota en la dirección horizontal después de su lanzamiento. Este resultado significa que la velocidad horizontal es constante y no se ve afectada ni por el movimiento vertical ni por la gravedad (que es vertical). Tenga en cuenta que este caso solo es válido para condiciones ideales. En el mundo real, la resistencia del aire afecta a la rapidez de las pelotas en ambas direcciones.

La trayectoria curva bidimensional de la pelota lanzada horizontalmente se compone de dos movimientos unidimensionales independientes (horizontal y vertical). La clave para analizar este movimiento, llamado movimiento de proyectil, es resolverlo en movimientos a lo largo de direcciones perpendiculares. Resolver el movimiento bidimensional en componentes perpendiculares es posible porque los componentes son independientes.

4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad

Vector de desplazamiento

Satélite de órbita polar

Estrategia

Solución

Importancia

Movimiento browniano

Solución

Importancia

Vector de velocidad

Calcular el vector de velocidad

Solución

Importancia

La independencia de los movimientos perpendiculares