William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el cálculo integral.
Utilizar la formulación integral de las ecuaciones cinemáticas en el análisis del movimiento.
Hallar la forma funcional de la velocidad en función del tiempo dada la función de aceleración.
Hallar la forma funcional de la posición en función del tiempo dada la función de velocidad.

En esta sección se asume que usted tiene suficiente experiencia en cálculo para estar familiarizado con la integración. En Velocidad y rapidez instantáneas y Aceleración media e instantánea introducimos las funciones cinemáticas de velocidad y aceleración con el empleo de la derivada. Al tomar la derivada de la función de posición encontramos la función de velocidad; igualmente, al tomar la derivada de la función de velocidad encontramos la función de aceleración. Mediante el cálculo integral, podemos trabajar hacia atrás y calcular la función de velocidad a partir de la función de aceleración, y la función de posición a partir de la función de velocidad.

Ecuaciones cinemáticas del cálculo integral

Empecemos con una partícula con una aceleración a(t) que es una función conocida del tiempo. Dado que la derivada de tiempo de la función de velocidad es la aceleración,

\frac{d}{d t} v (t) = a (t),

podemos tomar la integral indefinida de ambos lados, al encontrar

\int \frac{d}{d t} v (t) d t = \int a (t) d t + C_{1},

donde C₁ es una constante de integración. Dado que $\int \frac{d}{d t} v (t) d t = v (t)$ , la velocidad viene dada por

v (t) = \int a (t) d t + C_{1} .

3.18

Del mismo modo, la derivada temporal de la función de posición es la función de velocidad,

\frac{d}{d t} x (t) = v (t) .

Por lo tanto, podemos utilizar las mismas manipulaciones matemáticas que acabamos de emplear y encontrar

x (t) = \int v (t) d t + C_{2},

3.19

donde C₂ es una segunda constante de integración.

Podemos derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el empleo de estas integrales. Con a(t) = a una constante, y al hacer la integración en la Ecuación 3.18, encontramos

v (t) = \int a d t + C_{1} = a t + C_{1} .

Si la velocidad inicial es v(0) = v₀, entonces

v_{0} = 0 + C_{1} .

Luego, C₁ = v₀ y

v (t) = v_{0} + a t,

que es la Ecuación 3.12. Al sustituir esta expresión en la Ecuación 3.19 obtenemos

x (t) = \int (v_{0} + a t) d t + C_{2} .

Haciendo la integración, encontramos

x (t) = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} + C_{2} .

Si x(0) = x₀, tenemos

x_{0} = 0 + 0 + C_{2};

por lo tanto, C₂ = x₀. Al sustituir de nuevo en la ecuación de x(t), tenemos finalmente

x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2},

que es la Ecuación 3.13.

Ejemplo 3.17

Movimiento de una lancha a motor

Una lancha a motor viaja a una velocidad constante de 5,0 m/s cuando comienza a desacelerar para llegar al muelle. Su aceleración es

a (t) = - \frac{1}{4} t m/ s^{3}

. (a) ¿Cuál es la función de velocidad de la lancha a motor? (b) ¿En qué momento la velocidad llega a cero? (c) ¿Cuál es la función de posición de la lancha a motor? (d) ¿Cuál es el desplazamiento de la lancha a motor desde que comienza a desacelerar hasta que la velocidad es cero? (e) Grafique las funciones de velocidad y posición.

Estrategia

(a) Para obtener la función de velocidad debemos integrar y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (b) Establecemos la función de velocidad igual a cero y resolvemos t. (c) De forma similar, debemos integrar para encontrar la función de posición y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (d) Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero.

Solución

Tomamos t = 0 como el tiempo en que la lancha comienza a desacelerar.

A partir de la forma funcional de la aceleración podemos resolver la Ecuación 3.18 para obtener v(t):
$v (t) = \int a (t) d t + C_{1} = \int - \frac{1}{4} t d t + C_{1} = - \frac{1}{8} t^{2} + C_{1} .$
En t = 0 tenemos v(0) = 5,0 m/s = 0 + C₁, por lo que C₁ = 5,0 m/s o $v (t) = 5,0 m/ s - \frac{1}{8} t^{2}$ .
$v (t) = 0 = 5,0 m/ s - \frac{1}{8} t^{2} m/ s^{3} \Rightarrow t = 6,3 s$
Resolvemos la Ecuación 3.19:
$x (t) = \int v (t) d t + C_{2} = \int (5,0 - \frac{1}{8} t^{2}) d t + C_{2} = 5,0 t m/s - \frac{1}{24} t^{3} m/ s^{3} + C_{2} .$
En t = 0, suponemos que x(0) = 0 = x₀, dado que solo nos interesa el desplazamiento a partir del momento en que la lancha comienza a desacelerar. Tenemos
$x (0) = 0 = C_{2} .$
Por lo tanto, la ecuación de la posición es
$x (t) = 5,0 t - \frac{1}{24} t^{3} .$
Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero. Esto ocurre en t = 6,3 s. Por lo tanto, el desplazamiento es
$x (6,3) = 5,0 (6,3 s) - \frac{1}{24} (6,3 s)^{3} = 21,1 m .$

El gráfico A traza la velocidad en metros por segundo en función del tiempo en segundos. La velocidad es de cinco metros por segundo al principio y disminuye hasta cero. El gráfico B traza la posición en metros en función del tiempo en segundos. La posición es cero al principio, aumenta hasta alcanzar el máximo entre seis y siete segundos, y luego comienza a disminuir.

Figura 3.30 (a) Velocidad de la lancha a motor en función del tiempo. La lancha reduce su velocidad a cero en 6,3 s. En tiempos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, la lancha invierte su dirección. (b) Posición de la lancha a motor en función del tiempo. En t = 6,3 s, la velocidad es cero y la lancha se ha detenido. En momentos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, si la lancha sigue moviéndose con la misma aceleración, invierte la dirección y se dirige de vuelta al lugar de origen.

Importancia

La función de aceleración es lineal en el tiempo, por lo que la integración implica polinomios simples. En la Figura 3.30, vemos que si extendemos la solución más allá del punto en que la velocidad es cero, la velocidad se vuelve negativa y la lancha invierte su dirección. Esto nos dice que las soluciones pueden darnos información fuera de nuestro interés inmediato y que debemos tener cuidado al interpretarlas.

Compruebe Lo Aprendido 3.8

Una partícula parte del reposo y tiene una función de aceleración $a (t) = (5 - (10 \frac{1}{s}) t) \frac{m}{s^{2}}$ . (a) ¿Cuál es la función de velocidad? (b) ¿Cuál es la función de posición? (c) ¿Cuándo es cero la velocidad?

3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración

Ecuaciones cinemáticas del cálculo integral

Movimiento de una lancha a motor

Estrategia

Solución

Importancia