3.4 Movimiento con aceleración constante

Notación

En primer lugar, hagamos algunas simplificaciones en la notación. Tomar el tiempo inicial como cero, como si el tiempo se midiera con un cronómetro, es una gran simplificación. Como el tiempo transcurrido es $\text{Δ}t=t_{\text{f}}-t_0$, al tomar $t_0=0$ significa que$\text{Δ}t=t_{\text{f}}$, el tiempo final del cronómetro. Cuando el tiempo inicial se toma como cero, utilizamos el subíndice 0 para denotar los valores iniciales de posición y velocidad. Es decir, $x_0$ es la posición inicial y $v_0$ es la velocidad inicial. No ponemos subíndices en los valores finales. O sea, t es el tiempo final, x es la posición final y v es la velocidad final. Esto da una expresión más simple para el tiempo transcurrido, $\text{Δ}t=t$. También simplifica la expresión para el desplazamiento x, que ahora es $\text{Δ}x=x-x_0$. Además, simplifica la expresión para el cambio en la velocidad, que ahora es $\text{Δ}v=v-v_0$. En resumen, utilizando la notación simplificada, con el tiempo inicial tomado como cero,

donde el subíndice 0 denota un valor inicial y la ausencia de subíndice denota un valor final en cualquier movimiento que se considere.

Ahora hacemos la importante suposición de que la aceleración es constante. Esta suposición nos permite evitar el uso del cálculo para encontrar la aceleración instantánea. Como la aceleración es constante, las aceleraciones media e instantánea son iguales, es decir,

Por lo tanto, podemos utilizar el símbolo a para la aceleración en todos los tiempos. Suponer que la aceleración es constante no limita seriamente las situaciones que podemos estudiar ni degrada la exactitud de nuestro tratamiento. Por un lado, la aceleración es constante en un gran número de situaciones. Además, en muchas otras situaciones podemos describir el movimiento con exactitud suponiendo una aceleración constante igual a la aceleración media de ese movimiento. Por último, para los movimientos en los que la aceleración cambia drásticamente, como un auto que acelera hasta alcanzar la velocidad máxima y luego frena hasta detenerse, el movimiento puede considerarse en partes separadas, cada una de las cuales tiene su propia aceleración constante.

Desplazamiento y posición a partir de la velocidad

Para obtener nuestras dos primeras ecuaciones, empezamos con la definición de velocidad media:

Sustituir la notación simplificada por $\text{Δ}x$ y $\text{Δ}t$ produce

Al resolver la x obtenemos

donde la velocidad media es

La ecuación $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{v_0+v}{2}$ refleja el hecho de que, cuando la aceleración es constante, $\stackrel{\text{–}}{v}$ es solo el simple promedio de las velocidades inicial y final. La Figura 3.18 ilustra este concepto gráficamente. En la parte (a) de la figura, la aceleración es constante y la velocidad aumenta a una tasa constante. La velocidad media durante el intervalo de 1 hora entre 40 km/h y 80 km/h es de 60 km/h:

En la parte (b), la aceleración no es constante. Durante el intervalo de 1 hora, la velocidad está más cerca de 80 km/h que de 40 km/h. Por lo tanto, la velocidad media es mayor que en la parte (a).

Figura 3.18 (a) Gráfico de velocidad en función del tiempo con aceleración constante que muestra las velocidades inicial y final $v_0\text{y}v$. La velocidad media es $\frac{1}{2}(v_0+v)=60\text{km}\text{/}\text{h}$. (b) Gráfico de velocidad en función del tiempo con una aceleración que cambia con el tiempo. La velocidad media no viene dada por $\frac{1}{2}(v_0+v)$, pero es superior a 60 km/h.

Resolución de la velocidad final a partir de la aceleración y el tiempo

Podemos derivar otra ecuación útil al manipular la definición de aceleración:

Sustituir la notación simplificada por $\text{Δ}v$ y $\text{Δ}t$ nos da

Si se resuelve v, se obtiene

Ejemplo 3.7

Calcular la velocidad final

Un avión aterriza a una velocidad inicial de 70,0 m/s y luego desacelera a 1,50 m/s² durante 40,0 s. ¿Cuál es su velocidad final?

Estrategia

En primer lugar, identificamos los valores conocidos: $v_0=70\text{m/s,}a=\mathrm{-1,50}{\text{m/s}}^2,t=40\text{s}$.

En segundo lugar, identificamos la incógnita; en este caso, es la velocidad final $v_{\text{f}}$.

Por último, determinamos qué ecuación utilizar. Para ello, averiguamos qué ecuación cinemática nos da la incógnita en función de los valores conocidos. Calculamos la velocidad final mediante el empleo de la Ecuación 3.12, $v=v_0+at$.

Solución

Sustituya los valores conocidos y resuelva:

$$v=v_0+at=\mathrm{70,0}\text{m/s}+\left(\mathrm{-1,50}\text{m/}{\text{s}}^2\right)\left(\mathrm{40,0\; s}\right)=\mathrm{10,0\; m/s.}$$

La Figura 3.19 es un esquema que muestra los vectores de aceleración y velocidad.

Figura 3.19 El avión aterriza con una velocidad inicial de 70,0 m/s y reduce su velocidad hasta una velocidad final de 10,0 m/s antes de dirigirse a la terminal. Observe que la aceleración es negativa porque su dirección es opuesta a la velocidad, que es positiva.

Importancia

La velocidad final es mucho menor que la inicial, como se desea al frenar, pero sigue siendo positiva (ver la figura). Con los motores a reacción, el empuje inverso puede mantenerse el tiempo suficiente para detener el avión y empezar a moverlo hacia atrás, lo que se indica con una velocidad final negativa, pero no es el caso aquí.

Además de ser útil en la resolución de problemas, la ecuación $v=v_0+at$ nos permite conocer las relaciones entre la velocidad, la aceleración y el tiempo. Podemos ver, por ejemplo, que

• la velocidad final depende de la magnitud de la aceleración y de su duración;
• si la aceleración es cero, entonces la velocidad final es igual a la velocidad inicial (v = v₀), como era de esperar (en otras palabras, la velocidad es constante);
• si a es negativa, la velocidad final es menor que la inicial.

Todas estas observaciones se ajustan a nuestra intuición. Hay que tener en cuenta que siempre es útil examinar las ecuaciones básicas a tenor de nuestra intuición y experiencia para comprobar que efectivamente describen la naturaleza con exactitud.

Resolución de la posición final a partir de la aceleración constante

Podemos combinar las ecuaciones anteriores para encontrar una tercera ecuación que nos permita calcular la posición final de un objeto que experimenta una aceleración constante. Comenzamos con

Sumando $v_0$ a cada lado de esta ecuación y dividiendo entre 2 se obtiene

Dado que $\frac{v_0+v}{2}=\stackrel{\text{–}}{v}$ para una aceleración constante, tenemos

Ahora sustituimos esta expresión por $\stackrel{\text{–}}{v}$ en la ecuación del desplazamiento, $x=x_0+\stackrel{\text{–}}{v}t$, que produce

Ejemplo 3.8

Calcular el desplazamiento de un objeto en aceleración

Los dragsters pueden alcanzar una aceleración media de 26,0 m/s². Supongamos que un dragster acelera desde el reposo a esta tasa durante 5,56 s como en la Figura 3.20. ¿Qué distancia recorre en este tiempo?

Figura 3.20 El piloto de Top Fuel del ejército estadounidense, Tony "The Sarge" (el sargento) Schumacher, comienza la carrera con el calentamiento de neumáticos controlado (créditos: teniente coronel William Thurmond. Foto cortesía del Ejército de los EE. UU.).

Estrategia

En primer lugar, dibujemos un esquema como la Figura 3.21. Se nos pide que encontremos el desplazamiento, que es x si tomamos $x_0$ como cero. (Piense en $x_0$ como la línea de salida de una carrera. Puede estar en cualquier lugar, pero lo llamamos cero y medimos todas las demás posiciones en relación con él). Podemos utilizar la ecuación $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ cuando identificamos $v_0$, $a$, y t del enunciado del problema.

Figura 3.21 Esquema de un dragster en aceleración.

Solución

En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos. Partir del reposo significa que $v_0=0$, a se da como 26,0 m/s² y t se da como 5,56 s.

En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación para resolver la incógnita:

$$x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2.$$

Dado que la posición y la velocidad iniciales son ambas cero, esta ecuación se simplifica a

$$x=\frac{1}{2}a{t}^2.$$

Al sustituir los valores identificados de a y t obtenemos

$$x=\frac{1}{2}(\mathrm{26,0}{\text{m/s}}^2){(\mathrm{5,56}\text{s})}^2=402\text{m}\text{.}$$

Importancia

Si convertimos 402 m a millas, encontramos que la distancia recorrida es muy cercana a un cuarto de milla, la distancia estándar para las carreras de aceleración. Por lo tanto, nuestra respuesta es razonable. Este es un desplazamiento impresionante para cubrir en solo 5,56 s, pero los dragsters de primera categoría pueden hacer un cuarto de milla incluso en menos tiempo. Si al dragster se le diera una velocidad inicial, esto añadiría otro término a la ecuación de la distancia. Si se utiliza la misma aceleración y tiempo en la ecuación, la distancia recorrida sería mucho mayor.

¿Qué más podemos aprender examinando la ecuación $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2?$ Podemos ver las siguientes relaciones:

• El desplazamiento depende del cuadrado del tiempo transcurrido cuando la aceleración no es cero. En el Ejemplo 3.8, el dragster cubre solo una cuarta parte de la distancia total en la primera mitad del tiempo transcurrido.
• Si la aceleración es cero, la velocidad inicial es igual a la velocidad media $(v_0=\stackrel{\text{–}}{v})$ y $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\text{se convierte en}x=x_0+v_{0}t.$

Resolución de la velocidad final a partir de la distancia y la aceleración

Se puede obtener una cuarta ecuación útil a partir de otra manipulación algebraica de las ecuaciones anteriores. Si resolvemos $v=v_0+at$ para t, obtenemos

Al sustituir esto y $\stackrel{\text{–}}{v}=\frac{v_0+v}{2}$ en $x=x_0+\stackrel{\text{–}}{v}t$, obtenemos

El examen de la ecuación $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$ aportaría más información sobre las relaciones generales entre las cantidades físicas:

• La velocidad final depende de cuán grande es la aceleración y la distancia sobre la que actúa.
• Para una aceleración fija, un auto que va el doble de rápido no se detiene simplemente en el doble de distancia. La distancia para detenerse es mayor. (Por eso tenemos zonas de velocidad reducida cerca de los colegios).

Cómo juntar las ecuaciones

En los siguientes ejemplos, seguimos explorando el movimiento unidimensional, pero en situaciones que requieren una manipulación ligeramente más algebraica. Los ejemplos también permiten conocer las técnicas de resolución de problemas. La nota que sigue se proporciona para facilitar la referencia a las ecuaciones necesarias. Tenga en cuenta que estas ecuaciones no son independientes. En muchas situaciones tenemos dos incógnitas y necesitamos dos ecuaciones del conjunto para resolver las incógnitas. Necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas para resolver una situación determinada.

Antes de mencionar los ejemplos, analicemos las ecuaciones con más atención para ver el comportamiento de la aceleración en valores extremos. Al reordenar la Ecuación 3.12, tenemos

De ello se deduce que, para un tiempo finito, si la diferencia entre las velocidades inicial y final es pequeña, la aceleración es pequeña, y se aproxima a cero en el límite en que las velocidades inicial y final son iguales. Por el contrario, en el límite $t\to 0$ para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final, la aceleración se vuelve infinita.

Del mismo modo, al reordenar la Ecuación 3.14, podemos expresar la aceleración en términos de velocidad y desplazamiento:

Por lo tanto, para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final la aceleración se hace infinita en el límite en que el desplazamiento se aproxima a cero. La aceleración se aproxima a cero en el límite en que la diferencia entre la velocidad inicial y final se aproxima a cero para un desplazamiento finito.

Ejemplo 3.10

¿Hasta dónde llega un auto?

En el hormigón seco, un auto puede desacelerar a una tasa de 7,00 m/s², mientras que en el hormigón húmedo solo puede desacelerar a 5,00 m/s². Calcule las distancias necesarias para detener un auto que se desplaza a 30,0 m/s (unos 110 km/h) sobre (a) hormigón seco y (b) hormigón húmedo. (c) Repita ambos cálculos y halle el desplazamiento desde el punto en que el conductor ve que un semáforo se pone en rojo, teniendo en cuenta su tiempo de reacción de 0,500 s para poner el pie en el freno.

Estrategia

En primer lugar, tenemos que dibujar un esquema como en la Figura 3.22. Para determinar cuáles ecuaciones son las mejores para utilizar, tenemos que enumerar todos los valores conocidos e identificar exactamente lo que tenemos que resolver.

Figura 3.22 Esquema de ejemplo para visualizar la desaceleración y la distancia de frenado de un auto.

Solución

1. En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v₀ = 30,0 m/s, v = 0, y a = -7,00 m/s² (a es negativa porque está en dirección opuesta a la velocidad). Tomamos x₀ como cero. Buscamos desplazamientos $\text{Δ}x$, o x - x₀.
   En segundo lugar, identificamos la ecuación que nos permitirá resolver el problema. La mejor ecuación a utilizar es
   $$v^2=v_0^2+2a(x-x_0).$$
   Esta ecuación es la mejor porque incluye solo una incógnita, x. Conocemos los valores de todas las demás variables de esta ecuación. (Otras ecuaciones nos permitirían resolver x, pero requieren que conozcamos el tiempo de parada, t, que no conocemos. Podríamos utilizarlas, pero implicaría cálculos adicionales).
   En tercer lugar, reordenamos la ecuación para resolver x:
   $$x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$$
   y sustituir los valores conocidos:
   $$x-0=\frac{0^2-{(\mathrm{30,0}\text{m/s})}^2}{2(\mathrm{-7,00}{\text{m/s}}^2)}.$$
   Por lo tanto,
   $$x=\mathrm{64,3}\text{m en hormigón seco}\text{.}$$
2. Esta parte puede resolverse exactamente de la misma manera que (a). La única diferencia es que la aceleración es de -5,00 m/s². El resultado es
   $$x_{\text{húmedo}}=\mathrm{90,0}\text{m en el hormigón húmedo.}$$
3. Cuando el conductor reacciona, la distancia de parada es la misma que en (a) y (b) para el hormigón seco y húmedo. Por lo tanto, para responder a esta pregunta, tenemos que calcular la distancia que recorre el auto durante el tiempo de reacción, y luego sumarlo al tiempo de parada. Es razonable suponer que la velocidad se mantiene constante durante el tiempo de reacción del conductor.
   Para ello, una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que $\stackrel{\text{–}}{v}=\mathrm{30,0}\text{m/s}$, $t_{\text{reacción}}=\mathrm{0,500}\text{s}$ y $a_{\text{reacción}}=0$. Tomamos $x_{\text{0-reacción}}$ como cero. Buscamos $x_{\text{reacción}}$.
   En segundo lugar, como antes, identificamos la mejor ecuación a utilizar. En este caso, $x=x_0+\stackrel{\text{–}}{v}t$ funciona bien porque la única incógnita es x, que es lo que queremos resolver.
   En tercer lugar, sustituimos los valores conocidos para resolver la ecuación:
   $$x=0+\left(3\mathrm{0,0}\text{m/s}\right)\left(\mathrm{0,500}\text{s}\right)=15\mathrm{,0}\text{m}.$$
   Esto significa que el auto se desplaza 15,0 m mientras el conductor reacciona, lo que hace que los desplazamientos totales en los dos casos de hormigón seco y húmedo sean 15,0 m mayores que si reacciona instantáneamente.
   Por último, sumamos el desplazamiento durante el tiempo de reacción al desplazamiento en el momento del frenado (Figura 3.23),
   $$x_{\text{frenado}}+x_{\text{reacción}}=x_{\text{total}},$$
   y encontramos que (a) es de 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m en seco y (b) es de 90,0 m + 15,0 m = 105 m en húmedo.

Figura 3.23 La distancia necesaria para detener un auto varía mucho, dependiendo de las condiciones de la carretera y del tiempo de reacción del conductor. Aquí se muestran las distancias de frenado para el pavimento seco y húmedo, tal y como se ha calculado en este ejemplo, para un auto que viaja inicialmente a 30,0 m/s. También se muestran las distancias totales recorridas desde el punto en que el conductor ve por primera vez el semáforo en rojo, suponiendo un tiempo de reacción de 0,500 s.

Importancia

Los desplazamientos encontrados en este ejemplo parecen razonables para detener un auto que se mueve rápidamente. Debería tardar más detener un auto en pavimento húmedo que en seco. Es interesante que el tiempo de reacción aumente significativamente los desplazamientos, pero lo más importante es el enfoque general de la resolución de problemas. Identificamos los valores conocidos y las cantidades a determinar, y luego encontramos una ecuación adecuada. Si hay más de una incógnita, necesitamos tantas ecuaciones independientes como incógnitas a resolver. A menudo hay más de una forma de resolver un problema. Las distintas partes de este ejemplo pueden, de hecho, resolverse por otros métodos, pero las soluciones presentadas aquí son las más breves.

Ejemplo 3.11

Calcular el tiempo

Supongamos que un auto se incorpora al tráfico de la autopista en una rampa de 200 m de longitud. Si su velocidad inicial es de 10,0 m/s y acelera a 2,00 m/s², ¿cuánto tiempo tarda el auto en recorrer los 200 m de la rampa? (Esta información podría ser útil para un ingeniero de tráfico).

Estrategia

En primer lugar, trazamos un esquema como en la Figura 3.24. Se nos pide que resolvamos el tiempo t. Como antes, identificamos las cantidades conocidas para elegir una relación física conveniente (es decir, una ecuación con una incógnita, t).

Figura 3.24 Esquema de un auto que acelera en una rampa de autopista.

Solución

Una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que $x_0=0,$
$v_0=10\text{m/s},a=\mathrm{2,00}\text{m/}{\text{s}}^2$, y x = 200 m.

Tenemos que resolver t. La ecuación $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ funciona mejor porque la única incógnita en la ecuación es la variable t, para la que necesitamos resolver. A partir de esta idea, vemos que, cuando introducimos los valores conocidos en la ecuación, obtenemos una ecuación cuadrática.

Tenemos que reordenar la ecuación para resolver la variable t, y luego sustituir los valores conocidos en la ecuación:

$$200\text{m}=0\text{m}+(\mathrm{10,0}\text{m/s})t+\frac{1}{2}\left(\mathrm{2,00}{\text{m/s}}^2\right)t^2.$$

Ahora, simplificamos la ecuación. Las unidades de metros se cancelan porque están en cada término. Podemos conseguir que las unidades de los segundos se cancelen tomando t = t s, donde t es la magnitud del tiempo y s es la unidad. Al hacerlo, nos deja

$$200=10t+t^2.$$

Luego, utilizamos la fórmula cuadrática para resolver t,

$$\begin{array}{c}{t}^2+10t-200=0\\ \\ \\ t=\frac{\text{−}b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},\end{array}$$

que arroja dos soluciones: t = 10,0 y t = -20,0. Un valor negativo para el tiempo es poco razonable, ya que significaría que el evento ocurrió 20 s antes de que comenzara el movimiento. Podemos descartar esa solución. Por lo tanto,

$$t=\mathrm{10,0}\text{s}\text{.}$$

Importancia

Siempre que una ecuación contiene una incógnita al cuadrado, hay dos soluciones. En algunos problemas, ambas soluciones tienen sentido; en otros, solo una solución es razonable. La respuesta de 10,0 s parece razonable para una rampa de acceso a una autopista típica.

Una vez establecidos los fundamentos de la cinemática, podemos pasar a muchos otros ejemplos y aplicaciones interesantes. En el proceso de desarrollo de la cinemática, también hemos vislumbrado un enfoque general para la resolución de problemas que produce tanto respuestas correctas como conocimientos sobre las relaciones físicas. El siguiente nivel de complejidad en nuestros problemas de cinemática implica el movimiento de dos cuerpos interrelacionados, denominados problemas de persecución de dos cuerpos.

Problemas de persecución de dos cuerpos

Hasta ahora hemos visto ejemplos de movimiento en los que interviene un solo cuerpo. Incluso para el problema con dos autos y las distancias de parada en carreteras húmedas y secas, dividimos este problema en dos problemas separados para encontrar las respuestas. En un problema de persecución de dos cuerpos, los movimientos de los objetos están acoplados, es decir, la incógnita que buscamos depende del movimiento de ambos objetos. Para resolver estos problemas escribimos las ecuaciones de movimiento de cada objeto y las resolvemos simultáneamente para encontrar la incógnita. Esto se ilustra en la Figura 3.25.

Figura 3.25 Un escenario de persecución de dos cuerpos donde el auto 2 tiene una velocidad constante y el auto 1 está detrás con una aceleración constante. El auto 1 alcanza al auto 2 en un momento posterior.

El tiempo y la distancia necesarios para que el auto 1 alcance al auto 2 dependen de la distancia inicial a la que se encuentra el auto 1 con respecto al auto 2, así como de las velocidades de ambos autos y de la aceleración del auto 1. Para encontrar estas incógnitas hay que resolver las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento de ambos autos.

Considere el siguiente ejemplo.