2.4 Productos de los vectores

El producto escalar de dos vectores (el producto punto)

La multiplicación escalar de dos vectores da como resultado un producto escalar.

En la definición del producto punto, la dirección del ángulo $\phi$ no importa, y $\phi$ se puede medir desde cualquiera de los dos vectores hacia el otro porque $\text{cos}\phi =\text{cos}(\text{−}\phi )=\text{cos}(2\pi -\phi )$. El producto punto es un número negativo cuando $90\text{°}<\phi \le 180\text{°}$ y es un número positivo cuando $0\text{°}\le \phi <90\text{°}$. Además, el producto punto de dos vectores paralelos es $\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}=AB\text{cos}0\text{°}=AB$, y el producto punto de dos vectores antiparalelos es $\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}=AB\text{cos}180\text{°}=\text{−}AB$. El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero: $\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}=AB\text{cos}90\text{°}=0$. El producto escalar de un vector consigo mismo es el cuadrado de su magnitud:

Figura 2.27 El producto escalar de dos vectores. (a) El ángulo entre los dos vectores. (b) La proyección ortogonal $A_{\perp }$ del vector $\overrightarrow{A}$ en la dirección del vector $\overrightarrow{B}$. (c) La proyección ortogonal $B_{\perp }$ del vector $\overrightarrow{B}$ en la dirección del vector $\overrightarrow{A}$.

En el sistema de coordenadas cartesianas, los productos escalares del vector unitario de un eje con otros vectores unitarios de ejes siempre son iguales a cero porque estos vectores unitarios son ortogonales:

En estas ecuaciones, utilizamos el hecho de que la magnitud de todos los vectores unitarios es uno: $\left|\widehat{i}\right|=\left|\widehat{j}\right|=\left|\widehat{k}\right|=1$. Para los vectores unitarios de los ejes, la Ecuación 2.28 da las siguientes identidades:

El producto escalar $\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}$ también puede interpretarse como el producto de B con la proyección $A_{ǁ}$ del vector $\overrightarrow{A}$ en la dirección del vector $\overrightarrow{B}$ (Figura 2.27(b)) o el producto de A con la proyección $B_{ǁ}$ del vector $\overrightarrow{B}$ en la dirección del vector $\overrightarrow{A}$ (Figura 2.27(c)):

Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares en un plano, el componente escalar x de un vector es su producto punto con el vector unitario $\widehat{i}$, y el componente escalar y de un vector es su producto punto con el vector unitario $\widehat{j}$:

La multiplicación escalar de vectores es conmutativa,

y obedece a la ley distributiva:

Podemos utilizar las leyes conmutativa y distributiva para derivar varias relaciones para los vectores, como expresar el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes escalares.

Cuando los vectores en la Ecuación 2.27 se dan en sus formas de componentes vectoriales,

podemos calcular su producto escalar de la siguiente manera:

Como los productos escalares de dos vectores unitarios diferentes de los ejes dan cero, y los productos escalares de los vectores unitarios con ellos mismos dan uno (vea la Ecuación 2.29 y la Ecuación 2.30), solo hay tres términos que no son cero en esta expresión. Por lo tanto, el producto escalar se simplifica a

Podemos utilizar la Ecuación 2.33 para el producto escalar en términos de componentes escalares de vectores para encontrar el ángulo entre dos vectores. Si dividimos la Ecuación 2.27 entre AB, obtenemos la ecuación para $\text{cos}\phi$, en la que sustituimos la Ecuación 2.33:

El ángulo $\phi$ entre los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ se obtiene tomando el coseno inverso de la expresión en la Ecuación 2.34.

Ejemplo 2.16

Ángulo entre dos fuerzas

Tres perros halan de un palo en diferentes direcciones, como se muestra en la Figura 2.28. El primer perro hala con fuerza ${\overrightarrow{F}}_1=(\mathrm{10,0}\widehat{i}-\mathrm{20,4}\widehat{j}+\mathrm{2,0}\widehat{k})\text{N}$, el segundo perro hala con fuerza ${\overrightarrow{F}}_2=(\mathrm{-15,0}\widehat{i}-\mathrm{6,2}\widehat{k})\text{N}$, y el tercer perro hala con fuerza ${\overrightarrow{F}}_3=(\mathrm{5,0}\widehat{i}+\mathrm{12,5}\widehat{j})\text{N}$. ¿Cuál es el ángulo entre las fuerzas ${\overrightarrow{F}}_1$ y ${\overrightarrow{F}}_2$?

Figura 2.28 Tres perros juegan con un palo.

Estrategia

Los componentes del vector de fuerza ${\overrightarrow{F}}_1$ son $F_{1x}=\mathrm{10,0}\text{N}$, $F_{1y}=\mathrm{-20,4}\text{N}$ y $F_{1z}=\mathrm{2,0}\text{N}$, mientras que los del vector de fuerza ${\overrightarrow{F}}_2$ son $F_{2x}=\mathrm{-15,0}\text{N}$, $F_{2y}=\mathrm{0,0}\text{N}$ y $F_{2z}=\mathrm{-6,2}\text{N}$. Calculando el producto escalar de estos vectores y sus magnitudes, y sustituyendo en la Ecuación 2.34 se obtiene el ángulo de interés.

Solución

Las magnitudes de las fuerzas ${\overrightarrow{F}}_1$ y ${\overrightarrow{F}}_2$ son

$$F_1=\sqrt{F_{1x}^2+F_{1y}^2+F_{1z}^2}=\sqrt{{\mathrm{10,0}}^2+{\mathrm{20,4}}^2+{\mathrm{2,0}}^2}\text{N}=\mathrm{22,8}\text{N}$$

y

$$F_2=\sqrt{F_{2x}^2+F_{2y}^2+F_{2z}^2}=\sqrt{{\mathrm{15,0}}^2+{\mathrm{6,2}}^2}\text{N}=\mathrm{16,2}\text{N}.$$

Sustituyendo los componentes escalares en la Ecuación 2.33 produce el producto escalar

$$\begin{array}{cc}\hfill {\overrightarrow{F}}_1·{\overrightarrow{F}}_2& =F_{1x}{F}_{2x}+F_{1y}{F}_{2y}+F_{1z}{F}_{2z}\hfill \\ & =(\mathrm{10,0}\text{N})(\mathrm{-15,0}\text{N})+(\mathrm{-20,4}\text{N})(\mathrm{0,0}\text{N})+(\mathrm{2,0}\text{N})(\mathrm{-6,2}\text{N})\hfill \\ & =\mathrm{-162,4}{\text{N}}^2.\hfill \end{array}$$

Finalmente, sustituyendo todo en la Ecuación 2.34 se obtiene el ángulo

$$\text{cos}\phi =\frac{{\overrightarrow{F}}_1·{\overrightarrow{F}}_2}{F_1{F}_2}=\frac{\mathrm{-162,4}{\text{N}}^2}{(\mathrm{22,8}\text{N})(\mathrm{16,2}\text{N})}=\mathrm{-0,439}\Rightarrow \phi ={\text{cos}}^{\mathrm{-1}}(\mathrm{-0,439})=\mathrm{116,0}\text{°}.$$

Importancia

Observe que, cuando los vectores se dan en términos de los vectores unitarios de los ejes, podemos encontrar el ángulo entre ellos sin conocer los detalles de las direcciones geográficas que representan los vectores unitarios. En este caso, por ejemplo, la dirección de la x + puede ser hacia el este y la dirección de la +y puede ser hacia el norte. Sin embargo, el ángulo entre las fuerzas en el problema es el mismo si la dirección de la x + está al oeste y la dirección de la +y está al sur.

El producto vectorial de dos vectores (el producto cruz)

La multiplicación de dos vectores da como resultado un producto vectorial.

Según la Ecuación 2.35, el producto vectorial es igual a cero para pares de vectores que son paralelos $\left(\phi =0\text{°}\right)$ o antiparalelos $\left(\phi =180\text{°}\right)$ porque $\text{sen}0\text{°}=\text{sen}180\text{°}=0$.

Figura 2.29 El producto vectorial de dos vectores se dibuja en un espacio tridimensional. (a) El producto vectorial $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ es un vector perpendicular al plano que contiene los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$. Los pequeños cuadrados dibujados en perspectiva marcan los ángulos rectos entre $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{C}$, y entre $\overrightarrow{B}$ y $\overrightarrow{C}$ de modo que si $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ están acostados en el suelo, el vector $\overrightarrow{C}$ apunta verticalmente hacia arriba. (b) El producto vectorial $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}$ es un vector antiparalelo al vector $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$.

En la línea perpendicular al plano que contiene los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ hay dos direcciones alternativas: hacia arriba o hacia abajo, como se muestra en la Figura 2.29, y la dirección del producto vectorial puede ser cualquiera de ellas. En la orientación estándar de la mano derecha, donde el ángulo entre los vectores se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el primer vector, el vector $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ apunta hacia arriba, como se ve en la Figura 2.29(a). Si invertimos el orden de la multiplicación, de modo que ahora $\overrightarrow{B}$ es lo primero en el producto, entonces el vector $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}$ debe apuntar hacia abajo, como se ve en la Figura 2.29(b). Esto significa que los vectores $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ y $\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}$ son antiparalelos entre sí y que la multiplicación de vectores no es conmutativa, sino anticonmutativa. La anticonmutatividad significa que el producto vectorial invierte el signo cuando se invierte el orden de la multiplicación:

La regla de la mano derecha es un mnemotécnico común que sirve para determinar la dirección del producto vectorial. Como se muestra en la Figura 2.30, un sacacorchos se coloca en una dirección perpendicular al plano que contiene los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$, y su mango se gira en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos.

Figura 2.30 La regla de la mano derecha sirve para determinar la dirección del producto cruz $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$. Coloque un sacacorchos en la dirección perpendicular al plano que contiene los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$, y gírelo en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos. (a) El movimiento hacia arriba significa que el vector del producto cruz apunta hacia arriba. (b) El movimiento hacia abajo significa que el vector del producto cruz apunta hacia abajo.

Ejemplo 2.18

El torque de una fuerza

La ventaja mecánica que proporciona una herramienta familiar llamada llave inglesa (Figura 2.31) depende de la magnitud F de la fuerza aplicada, de su dirección con respecto al mango de la llave y de la distancia a la que se aplica esta fuerza. La distancia R desde la tuerca hasta el punto donde el vector de fuerza $\overrightarrow{F}$ se une está representado por el vector radial $\overrightarrow{R}$. La cantidad física vectorial que hace girar la tuerca se denomina torque (denotado por $\overrightarrow{\tau })$, y es el producto vectorial de la distancia entre el pivote a la fuerza con la fuerza: $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$.

Para aflojar una tuerca oxidada, se aplica una fuerza de 20,00 N al mango de la llave en ángulo $\phi =40\text{°}$ y a una distancia de 0,25 m de la tuerca, como se muestra en la Figura 2.31(a). Calcule la magnitud y la dirección del torque aplicado a la tuerca. ¿Cuál sería la magnitud y la dirección del torque si la fuerza se aplicara con un ángulo $\phi =45\text{°}$, como se muestra en la Figura 2.31(b)? ¿Para qué valor del ángulo $\phi$ el torque tiene la mayor magnitud?

Figura 2.31 Una llave proporciona agarre y ventaja mecánica al aplicar el torque para girar una tuerca. (a) Gire en sentido contrario a las agujas del reloj para aflojar la tuerca. (b) Gire en sentido de las agujas del reloj para apretar la tuerca.

Estrategia

Adoptamos el marco de referencia mostrado en la Figura 2.31, donde los vectores $\overrightarrow{R}$ y $\overrightarrow{F}$ se encuentran en el plano xy y el origen está en la posición de la tuerca. La dirección radial a lo largo del vector $\overrightarrow{R}$ (apuntando lejos del origen) es la dirección de referencia para medir el ángulo $\phi$ porque $\overrightarrow{R}$ es el primer vector del producto vectorial $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$. El vector $\overrightarrow{\tau }$ debe estar a lo largo del eje de la z porque este es el eje perpendicular al plano xy, donde ambos $\overrightarrow{R}$ y $\overrightarrow{F}$ están. Para calcular la magnitud de $\tau$, utilizamos la Ecuación 2.35. Para encontrar la dirección de $\overrightarrow{\tau }$, utilizamos la regla de la mano derecha (Figura 2.30).

Solución

Para la situación de (a), la regla del sacacorchos nos da la dirección de $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$ en la dirección positiva del eje z. Físicamente, significa que el vector de torque $\overrightarrow{\tau }$ apunta fuera de la página, perpendicular al mango de la llave. Identificamos F = 20,00 N y R = 0,25 m, y calculamos la magnitud utilizando la Ecuación 2.35:

$$\tau =|\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}|=RF\text{sen}\phi =(\mathrm{0,25}\text{m})(\mathrm{20,00}\text{N})\text{sen}40\text{°}=\mathrm{3,21}\text{N}·\text{m}.$$

Para la situación en (b), la regla del sacacorchos da la dirección de $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$ en la dirección negativa del eje z. Físicamente, significa que el vector $\overrightarrow{\tau }$ apunta a la página, perpendicular al mango de la llave. La magnitud de este torque es

$$\tau =|\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}|=RF\text{sen}\phi =(\mathrm{0,25}\text{m})(\mathrm{20,00}\text{N})\text{sen}45\text{°}=\mathrm{3,53}\text{N}·\text{m}.$$

El torque tiene el mayor valor cuando el $\text{sen}\phi =1$, lo que se produce cuando $\phi =90\text{°}$. Físicamente, significa que la llave inglesa es más eficaz, es decir, nos proporciona la mejor ventaja mecánica, cuando aplicamos la fuerza perpendicular al mango de la llave. Para la situación de este ejemplo, este valor óptimo de torque es ${\tau }_{\text{óptimo}}=RF=(\mathrm{0,25}\text{m})(\mathrm{20,00}\text{N})=\mathrm{5,00}\text{N}·\text{m}$.

Importancia

Cuando resolvemos problemas de mecánica, a menudo no necesitamos utilizar la regla del sacacorchos en absoluto, como veremos ahora en la siguiente solución equivalente. Observe que una vez que hemos identificado ese vector $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$ que se encuentra a lo largo del eje z, podemos escribir este vector en términos del vector unitario $\widehat{k}$ del eje z:

$$\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}=RF\text{sen}\phi \widehat{k}.$$

En esta ecuación, el número que multiplica $\widehat{k}$ es el componente escalar z del vector $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}$. En el cálculo de este componente, hay que tener en cuenta que el ángulo $\phi$ se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde $\overrightarrow{R}$ (primer vector) al $\overrightarrow{F}$ (segundo vector). Siguiendo este principio para los ángulos, obtenemos $RF\text{sen}(+40\text{°})=+\mathrm{3,2}\text{N}·\text{m}$ para la situación en (a), y obtenemos $RF\text{sen}(\mathrm{-45}\text{°})=\mathrm{-3,5}\text{N}·\text{m}$ para la situación en (b). En este último caso, el ángulo es negativo porque el gráfico en la Figura 2.31 indica que el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj; pero, el mismo resultado se obtiene cuando este ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj porque $+(360\text{°}-45\text{°})=+315\text{°}$ y $\text{sen}(+315\text{°})=\text{sen}(\mathrm{-45}\text{°})$. De este modo, obtenemos la solución sin referencia a la regla del sacacorchos. Para la situación en (a), la solución es $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}=+\mathrm{3,2}\text{N}·\text{m}\widehat{k}$; para la situación en (b), la solución es $\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{F}=\mathrm{-3,5}\text{N}·\text{m}\widehat{k}$.

Al igual que el producto punto (Ecuación 2.32), el producto cruz tiene la siguiente propiedad distributiva:

La propiedad distributiva se aplica frecuentemente cuando los vectores se expresan en sus formas componentes, en términos de vectores unitarios de ejes cartesianos.

Cuando aplicamos la definición del producto cruz, la Ecuación 2.35, a los vectores unitarios $\widehat{i}$, $\widehat{j}$ y $\widehat{k}$ que definen las direcciones de la x, la y y la z positivas en el espacio, encontramos que

Todos los demás productos cruz de estos tres vectores unitarios deben ser vectores de magnitud unitaria porque $\widehat{i}$, $\widehat{j}$ y $\widehat{k}$ son ortogonales. Por ejemplo, para el par $\widehat{i}$ y $\widehat{j}$, la magnitud es $|\widehat{i}\times \widehat{j}|=ij\text{sen}90\text{°}=(1)(1)(1)=1$. La dirección del producto vectorial $\widehat{i}\times \widehat{j}$ debe ser ortogonal al plano xy, lo que significa que debe estar a lo largo del eje de la z. Los únicos vectores unitarios a lo largo del eje z son $\text{−}\widehat{k}$ o $+\widehat{k}$. Por la regla del sacacorchos, la dirección del vector $\widehat{i}\times \widehat{j}$ debe ser paralela al eje z positivo. Por lo tanto, el resultado de la multiplicación $\widehat{i}\times \widehat{j}$ es idéntico a $+\widehat{k}$. Podemos repetir un razonamiento similar para los pares restantes de vectores unitarios. Los resultados de estas multiplicaciones son

Observe que en la Ecuación 2.39, los tres vectores unitarios $\widehat{i}$, $\widehat{j}$ y $\widehat{k}$ aparecen en el orden cíclico que se muestra en el diagrama de la Figura 2.32(a). El orden cíclico significa que en la fórmula del producto, $\widehat{i}$ le sigue $\widehat{k}$ y viene antes de $\widehat{j}$, o $\widehat{k}$ le sigue $\widehat{j}$ y viene antes de $\widehat{i}$, o $\widehat{j}$ le sigue $\widehat{i}$ y viene antes de $\widehat{k}$. El producto cruz de dos vectores unitarios diferentes siempre es un tercer vector unitario. Cuando dos vectores unitarios en el producto cruz aparecen en el orden cíclico, el resultado de dicha multiplicación es el vector unitario restante, como se ilustra en la Figura 2.32(b). Cuando los vectores unitarios en el producto cruz aparecen en un orden diferente, el resultado es un vector unitario antiparalelo al vector unitario restante (es decir, el resultado es con el signo menos, como muestran los ejemplos de la Figura 2.32(c) y la Figura 2.32(d). En la práctica, cuando la tarea es encontrar productos cruz de vectores que están dados en forma de componentes vectoriales, esta regla para la multiplicación cruzada de vectores unitarios es muy útil.

Figura 2.32 (a) El diagrama del orden cíclico de los vectores unitarios de los ejes. (b) Los únicos productos cruz donde los vectores unitarios aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo positivo. (c, d) Dos ejemplos de productos cruz donde los vectores unitarios no aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo negativo.

Supongamos que queremos encontrar el producto cruz $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}$ para los vectores $\overrightarrow{A}=A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j}+A_z\widehat{k}$ y $\overrightarrow{B}=B_x\widehat{i}+B_y\widehat{j}+B_z\widehat{k}$. Podemos utilizar la propiedad distributiva (Ecuación 2.37), la anticonmutatividad (Ecuación 2.36), y los resultados en la Ecuación 2.38 y la Ecuación 2.39 para vectores unitarios para realizar la siguiente operación de álgebra: