2.1 Escalares y vectores

Álgebra de vectores en una dimensión

Los vectores pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros. Podemos ilustrar estos conceptos vectoriales con un ejemplo de excursión de pesca, que se ve en la Figura 2.6.

Figura 2.6 Vectores de desplazamiento para una excursión de pesca. (a) Parada para descansar en el punto C mientras se camina desde el campamento (punto A) hasta el estanque (punto B). (b) Regreso para recoger la caja de anzuelos que se cayó (punto D). (c) Finaliza en el estanque de pesca.

Supongamos que su amigo parte del punto A (el campamento) y camina en dirección al punto B (el estanque de pesca), pero, por el camino, se detiene a descansar en algún punto C situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B, partiendo del punto A (Figura 2.6(a)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{AC}$ cuando llega al punto C? Sabemos que si camina hasta B, su vector de desplazamiento con respecto a A es ${\overrightarrow{D}}_{AB}$, que tiene una magnitud $D_{AB}=6\text{km}$ y una dirección al noreste. Si camina solo una fracción de 0,75 de la distancia total, y mantiene la dirección noreste, en el punto C debe estar a $\mathrm{0,75}{D}_{AB}=\mathrm{4,5}\text{km}$ lejos del campamento en A. Así, su vector de desplazamiento en el punto de reposo C tiene magnitud $D_{AC}=\mathrm{4,5}\text{km}=\mathrm{0,75}{D}_{AB}$ y es paralelo al vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{AB}$. Todo esto se puede resumir en la siguiente ecuación vectorial:

En una ecuación vectorial, ambos lados de la ecuación son vectores. La ecuación anterior es un ejemplo de vector multiplicado por un escalar positivo (número) $\alpha =\mathrm{0,75}$. El resultado, ${\overrightarrow{D}}_{AC}$, de tal multiplicación es un nuevo vector con una dirección paralela a la dirección del vector original ${\overrightarrow{D}}_{AB}$.

En general, cuando un vector $\overrightarrow{A}$ se multiplica por un escalar positivo $\alpha$, el resultado es un nuevo vector $\overrightarrow{B}$ que es paralelo a $\overrightarrow{A}$:

La magnitud $\left|\overrightarrow{B}\right|$ de este nuevo vector se obtiene al multiplicar la magnitud $\left|\overrightarrow{A}\right|$ del vector original, expresada por la ecuación escalar:

En una ecuación escalar, ambos lados de la ecuación son números. La Ecuación 2.2 es una ecuación escalar porque las magnitudes de los vectores son cantidades escalares (y números positivos). Si el escalar $\alpha$ es negativo en la ecuación vectorial de la Ecuación 2.1, entonces la magnitud $\left|\overrightarrow{B}\right|$ del nuevo vector sigue siendo dada por la Ecuación 2.2, pero la dirección del nuevo vector $\overrightarrow{B}$ es antiparalela a la dirección de $\overrightarrow{A}$. Estos principios se ilustran en la Figura 2.7(a) con dos ejemplos en los que la longitud del vector $\overrightarrow{A}$ es de 1,5 unidades. Cuando $\alpha =2$, el nuevo vector $\overrightarrow{B}=2\overrightarrow{A}$ tiene longitud $B=2A=\mathrm{3,0}\text{unidades}$ (el doble de largo que el vector original) y es paralelo al vector original. Cuando $\alpha =\mathrm{-2}$, el nuevo vector $\overrightarrow{C}=\mathrm{-2}\overrightarrow{A}$ tiene longitud $C=|-2|A=\mathrm{3,0}\text{unidades}$ (dos veces más largo que el vector original) y es antiparalelo al vector original.

Figura 2.7 Álgebra de vectores en una dimensión. (a) Multiplicación por un escalar. (b) Suma de dos vectores $(\overrightarrow{R}$ se llama la resultante de los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B})$. (c) Sustracción de dos vectores $(\overrightarrow{D}$ es la diferencia de vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B})$.

Supongamos ahora que su compañero de pesca parte del punto A (el campamento), y camina en dirección al punto B (el agujero de pesca), pero se da cuenta de que ha perdido su caja de anzuelos cuando se ha parado a descansar en el punto C (situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B, al partir del punto A). Entonces, da la vuelta y vuelve sobre sus pasos en dirección al campamento y encuentra la caja tirada en el camino en un punto D a solo 1,2 km del punto C (vea la Figura 2.6(b)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{AD}$ cuando encuentra la caja en el punto D? ¿Cuál es su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{DB}$ desde el punto D hasta el agujero? Ya hemos establecido que en el punto de reposo C su vector de desplazamiento es ${\overrightarrow{D}}_{AC}=\mathrm{0,75}{\overrightarrow{D}}_{AB}$. Partiendo del punto C, camina hacia el suroeste (hacia el campamento), lo que significa que su nuevo vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{CD}$ del punto C al punto D es antiparalelo a ${\overrightarrow{D}}_{AB}$. Su magnitud $\left|{\overrightarrow{D}}_{CD}\right|$ es $D_{CD}=\mathrm{1,2}\text{km}=\mathrm{0,2}{D}_{AB}$, por lo que su segundo vector de desplazamiento es ${\overrightarrow{D}}_{CD}=\mathrm{-0,2}{\overrightarrow{D}}_{AB}$. Su desplazamiento total ${\overrightarrow{D}}_{AD}$ con respecto al campamento es la suma vectorial de los dos vectores de desplazamiento: vector ${\overrightarrow{D}}_{AC}$ (desde el campamento hasta el punto de descanso) y el vector ${\overrightarrow{D}}_{CD}$ (desde el punto de descanso hasta el punto donde encuentra su caja):

La suma vectorial de dos (o más) vectores se denomina vector resultante o, para abreviar, la resultante. Cuando se conocen los vectores del lado derecho de la Ecuación 2.3, podemos encontrar la resultante ${\overrightarrow{D}}_{AD}$ de la siguiente forma:

Cuando su amigo llega finalmente al estanque en B, su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{AB}$ desde el punto A es la suma vectorial de su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{AD}$ del punto A al punto D y su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{DB}$ desde el punto D hasta el agujero de pesca: ${\overrightarrow{D}}_{AB}={\overrightarrow{D}}_{AD}+{\overrightarrow{D}}_{DB}$ (vea la Figura 2.6(c)). Esto significa que su vector de desplazamiento ${\overrightarrow{D}}_{DB}$ es la diferencia de dos vectores:

Observe que una diferencia de dos vectores no es más que la suma vectorial de dos vectores porque el segundo término de la Ecuación 2.5 es el vector $\text{−}{\overrightarrow{D}}_{AD}$ (que es antiparalelo a ${\overrightarrow{D}}_{AD})$. Cuando sustituimos la Ecuación 2.4 en la Ecuación 2.5, obtenemos el segundo vector de desplazamiento:

Este resultado significa que su amigo caminó $D_{DB}=\mathrm{0,45}{D}_{AB}=\mathrm{0,45}(\mathrm{6,0}\text{km})=\mathrm{2,7}\text{km}$ desde el punto donde encuentra su caja de anzuelos hasta el agujero de pesca.

Cuando los vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ se encuentran a lo largo de una línea (es decir, en una dimensión), como en el ejemplo del campamento, su resultante $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ y su diferencia $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ ambas se encuentran en la misma dirección. Podemos ilustrar la suma o la resta de vectores dibujando los vectores correspondientes a escala en una dimensión, como se muestra en la Figura 2.7.

Para ilustrar la resultante cuando $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ son dos vectores paralelos, los dibujamos a lo largo de una línea al colocar el origen de un vector en el extremo del otro vector en forma de cabeza a cola (vea la Figura 2.7(b)). La magnitud de esta resultante es la suma de sus magnitudes: R = A + B. La dirección de la resultante es paralela a ambos vectores. Cuando el vector $\overrightarrow{A}$ es antiparalelo al vector $\overrightarrow{B}$, los dibujamos a lo largo de una línea, ya sea de cabeza a cabeza (Figura 2.7(c)) o de cola a cola. La magnitud de la diferencia de vectores, entonces, es el valor absoluto $D=|A-B|$ de la diferencia de sus magnitudes. La dirección de la diferencia de vectores $\overrightarrow{D}$ es paralela a la dirección del vector más largo.

En general, en una dimensión, así como en dimensiones superiores, como en un plano o en el espacio, podemos sumar cualquier número de vectores y podemos hacerlo en cualquier orden porque la suma de vectores es conmutativa,

y asociativa,

Además, la multiplicación por un escalar es distributiva:

Utilizamos la propiedad distributiva en la Ecuación 2.4 y la Ecuación 2.6.

Al sumar muchos vectores en una dimensión, es conveniente utilizar el concepto de vector unitario. Un vector unitario, que se denota con un símbolo de letra con acento circunflejo, como $\widehat{u}$, tiene una magnitud de uno y no tiene ninguna unidad física de modo que $\left|\widehat{u}\right|\equiv u=1$. La única función de un vector unitario es especificar la dirección. Por ejemplo, en lugar de decir que el vector ${\overrightarrow{D}}_{AB}$ tiene una magnitud de 6,0 km y una dirección de noreste, podemos introducir un vector unitario $\widehat{u}$ que apunta al noreste y decir de forma resumida que ${\overrightarrow{D}}_{AB}=(\mathrm{6,0}\text{km})\widehat{u}$. Entonces la dirección suroeste viene dada simplemente por el vector unitario $\text{−}\widehat{u}$. De este modo, el desplazamiento de 6,0 km en dirección suroeste se expresa mediante el vector

Ejemplo 2.1

Una mariquita caminante

Una larga regla para medir se apoya en la pared de un laboratorio de física con su extremo de 200 cm en el suelo. Una mariquita se posa en la marca de 100 cm y se arrastra aleatoriamente por la regla. Primero camina 15 cm hacia el suelo, luego camina 56 cm hacia la pared, y después vuelve a caminar 3 cm hacia el suelo. A continuación, tras una breve parada, continúa 25 cm hacia el suelo y luego, de nuevo, se arrastra 19 cm hacia la pared antes de detenerse por completo (Figura 2.8). Halle el vector de su desplazamiento total y su posición final de reposo en la regla.

Estrategia

Si elegimos la dirección a lo largo de la regla hacia el suelo como la dirección del vector unitario $\widehat{u}$, entonces la dirección hacia el suelo es $+\widehat{u}$ y la dirección hacia la pared es $\text{−}\widehat{u}$. La mariquita realiza un total de cinco desplazamientos:

$$\begin{array}{c}{\overrightarrow{D}}_1=(15\text{cm})(+\widehat{u}),\hfill \\ {\overrightarrow{D}}_2=(56\text{cm})(\text{−}\widehat{u}),\hfill \\ {\overrightarrow{D}}_3=(3\text{cm})(+\widehat{u}),\hfill \\ {\overrightarrow{D}}_4=(25\text{cm})(+\widehat{u}),\text{y}\hfill \\ {\overrightarrow{D}}_5=(19\text{cm})(\text{−}\widehat{u}).\hfill \end{array}$$

El desplazamiento total $\overrightarrow{D}$ es la resultante de todos sus vectores de desplazamiento.

Figura 2.8 Cinco desplazamientos de la mariquita. Observe que en este dibujo esquemático, las magnitudes de los desplazamientos no están dibujadas a escala (créditos de "mariquita": modificación de la obra de "Persian Poet Gal"/Wikimedia Commons).

Solución

La resultante de todos los vectores de desplazamiento es

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{D}& ={\overrightarrow{D}}_1+{\overrightarrow{D}}_2+{\overrightarrow{D}}_3+{\overrightarrow{D}}_4+{\overrightarrow{D}}_5\hfill \\ & =(15\text{cm})(+\widehat{u})+(56\text{cm})(\text{−}\widehat{u})+(3\text{cm})(+\widehat{u})+(25\text{cm})(+\widehat{u})+(19\text{cm})(\text{−}\widehat{u})\hfill \\ & =(15-56+3+25-19)\text{cm}\widehat{u}\hfill \\ & =\mathrm{-32}\text{cm}\widehat{u}.\hfill \end{array}$$

En este cálculo, utilizamos la ley distributiva dada por la Ecuación 2.9. El resultado es que el vector de desplazamiento total apunta lejos de la marca de 100 cm (lugar de aterrizaje inicial) hacia el extremo de la regla para medir que toca la pared. El extremo que toca la pared está marcado 0 cm, por lo que la posición final de la mariquita está en la marca (100 - 32)cm = 68 cm.

Álgebra de vectores en dos dimensiones

Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros de acuerdo con las leyes generales expresadas por la Ecuación 2.1, la Ecuación 2.2, la Ecuación 2.7 y la Ecuación 2.8. Sin embargo, la regla de adición de dos vectores en un plano se complica más que la regla de adición de vectores en una dimensión. Tenemos que utilizar las leyes de la geometría para construir vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores. Este enfoque geométrico se utiliza habitualmente en la navegación (Figura 2.9). En este apartado, necesitamos tener a mano dos reglas, una escuadra, un transportador, un lápiz y una goma de borrar para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas.

Figura 2.9 En la navegación, las leyes de la geometría se utilizan para dibujar los desplazamientos resultantes en los mapas náuticos.

Para una construcción geométrica de la suma de dos vectores en un plano, seguimos la regla del paralelogramo. Supongamos que dos vectores $\overrightarrow{A}$ y $\overrightarrow{B}$ están en las posiciones arbitrarias indicadas en la Figura 2.10. Traslade cualquiera de ellos en paralelo al inicio del otro vector, de forma que, luego de la traslación, ambos vectores tengan su origen en el mismo punto. Ahora, al final del vector $\overrightarrow{A}$ dibujamos una línea paralela al vector $\overrightarrow{B}$ y al final del vector $\overrightarrow{B}$ dibujamos una línea paralela al vector $\overrightarrow{A}$ (las líneas discontinuas en la Figura 2.10). De este modo, obtenemos un paralelogramo. Desde el origen de los dos vectores dibujamos una diagonal que es la resultante $\overrightarrow{R}$ de los dos vectores: $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ (Figura 2.10(a)). La otra diagonal de este paralelogramo es la diferencia de los dos vectores $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$, como se muestra en la Figura 2.10(b). Observe que el final de la diferencia de vectores se sitúa al final del vector $\overrightarrow{A}$.

Figura 2.10 La regla del paralelogramo para la suma de dos vectores. Realice la traslación paralela de cada vector a un punto en el que coincidan sus orígenes (marcados por el punto) y construya un paralelogramo con dos lados sobre los vectores y los otros dos lados (indicados con líneas discontinuas) paralelos a los vectores. (a) Dibuje el vector resultante $\overrightarrow{R}$ a lo largo de la diagonal del paralelogramo, desde el punto común hasta la esquina opuesta. La longitud R del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores. (b) Dibuje la diferencia de vectores $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$ a lo largo de la diagonal que conecta los extremos de los vectores. Sitúe el origen del vector $\overrightarrow{D}$ al final del vector $\overrightarrow{B}$ y el final (cabeza de flecha) del vector $\overrightarrow{D}$ al final del vector $\overrightarrow{A}$. La longitud D de la diferencia de vectores no es igual a la diferencia de magnitudes de los dos vectores.

De la regla del paralelogramo se deduce que ni la magnitud del vector resultante ni la magnitud de la diferencia de vectores pueden expresarse como una simple suma o diferencia de las magnitudes A y B, porque la longitud de una diagonal no puede expresarse como una simple suma de las longitudes de los lados. Cuando se utiliza una construcción geométrica para encontrar las magnitudes $\left|\overrightarrow{R}\right|$ y $\left|\overrightarrow{D}\right|$, tenemos que utilizar las leyes de la trigonometría para los triángulos, lo que puede llevar a un álgebra complicada. Hay dos maneras de evitar esta complejidad algebraica. Una forma es utilizar el método de los componentes, que examinamos en la siguiente sección. La otra forma es dibujar los vectores a escala, como se hace en la navegación, y leer las longitudes y ángulos aproximados de los vectores (direcciones) a partir de los gráficos. En esta sección examinamos el segundo enfoque.

Si necesitamos sumar tres o más vectores, repetimos la regla del paralelogramo para los pares de vectores hasta encontrar la resultante de todas las resultantes. Para tres vectores, por ejemplo, primero encontramos la resultante del vector 1 y el vector 2, y luego encontramos la resultante de esta resultante y el vector 3. El orden en el que seleccionemos los pares de vectores no importa porque la operación de suma de vectores es conmutativa y asociativa (vea la Ecuación 2.7 y la Ecuación 2.8). Antes de enunciar una regla general que derive de las aplicaciones repetidas de la regla del paralelogramo, veamos el siguiente ejemplo.

Suponga que planea un viaje de vacaciones en Florida. Saliendo de Tallahassee, la capital del estado, planea visitar a su tío Joe en Jacksonville, ver a su primo Vinny en Daytona Beach, realizar una parada para divertirse un poco en Orlando, ver un espectáculo de circo en Tampa y visitar la Universidad de Florida en Gainesville. Su ruta se puede representar por cinco vectores de desplazamiento $\overrightarrow{A},$ $\overrightarrow{B}$, $\overrightarrow{C}$, $\overrightarrow{D}$ y $\overrightarrow{E}$, que se indican con los vectores rojos en la Figura 2.11. ¿Cuál es su desplazamiento total al llegar a Gainesville? El desplazamiento total es la suma vectorial de los cinco vectores de desplazamiento, que se puede encontrar con la regla del paralelogramo cuatro veces. Alternativamente, recordemos que el vector de desplazamiento tiene su comienzo en la posición inicial (Tallahassee) y su final en la posición final (Gainesville), por lo que el vector de desplazamiento total puede dibujarse directamente como una flecha que conecta Tallahassee con Gainesville (vea el vector verde en la Figura 2.11). Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, la resultante $\overrightarrow{R}$ que obtenemos es exactamente este vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville: $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E}$.

Figura 2.11 Cuando utilizamos la regla del paralelogramo cuatro veces, obtenemos el vector resultante $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E}$, que es el vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville.

El dibujo del vector resultante de muchos vectores puede generalizarse con la siguiente construcción geométrica de cola a cabeza. Supongamos que queremos dibujar el vector resultante $\overrightarrow{R}$ de cuatro vectores $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$, $\overrightarrow{C}$ y $\overrightarrow{D}$ (Figura 2.12(a)). Seleccionamos cualquiera de los vectores como primer vector y hacemos una traslación paralela de un segundo vector a una posición en la que el origen ("cola") del segundo vector coincide con el final ("cabeza") del primer vector. Luego, seleccionamos un tercer vector y realizamos una traslación paralela del tercer vector a una posición en la que el origen del tercer vector coincida con el final del segundo vector. Repetimos este procedimiento hasta que todos los vectores estén en una disposición de cabeza a cola como la que se muestra en la Figura 2.12. Dibujamos el vector resultante $\overrightarrow{R}$ conectando el origen ("cola") del primer vector con el final ("cabeza") del último vector. El final del vector resultante está en el final del último vector. Como la suma de vectores es asociativa y conmutativa, obtenemos el mismo vector resultante, independientemente del vector que elijamos como primero, segundo, tercero o cuarto en esta construcción.

Figura 2.12 Método de cola a cabeza para dibujar el vector resultante $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}$. (a) Cuatro vectores de diferentes magnitudes y direcciones. (b) Los vectores de (a) se trasladan a nuevas posiciones en las que el origen ("cola") de un vector está en el extremo ("cabeza") de otro vector. El vector resultante se dibuja desde el origen ("cola") del primer vector hasta el final ("cabeza") del último vector en esta disposición.

Ejemplo 2.2

Construcción geométrica de la resultante

Los tres vectores de desplazamiento $\overrightarrow{A}$, $\overrightarrow{B}$ y $\overrightarrow{C}$ en la Figura 2.13 se especifican por sus magnitudes A = 10,0, B = 7,0 y C = 8,0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la dirección horizontal $\alpha =35\text{°}$, $\beta =\mathrm{-110}\text{°}$ y $\gamma =30\text{°}$. Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Elija una escala conveniente y utilice una regla y un transportador para encontrar las siguientes sumas vectoriales: (a) $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$, (b) $\overrightarrow{D}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\text{, y}$ (c) $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{A}-3\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}$.

Figura 2.13 Vectores utilizados en el Ejemplo 2.2 y en el apartado Compruebe lo aprendido, que aparece a continuación.

Estrategia

En la construcción geométrica, encontrar un vector significa encontrar su magnitud y su ángulo direccional con la dirección horizontal. La estrategia consiste en dibujar a escala los vectores que aparecen en el lado derecho de la ecuación y construir el vector resultante. Luego, utilice una regla y un transportador para leer la magnitud de la resultante y el ángulo direccional. Para las partes (a) y (b) utilizamos la regla del paralelogramo. Para (c) utilizamos el método de cola a cabeza.

Solución

Para las partes (a) y (b), unimos el origen del vector $\overrightarrow{B}$ al origen del vector $\overrightarrow{A}$, como se muestra en la Figura 2.14, y construimos un paralelogramo. La diagonal más corta de este paralelogramo es la suma $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$. La mayor de las diagonales es la diferencia $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$. Utilizamos una regla para medir las longitudes de las diagonales y un transportador para medir los ángulos con la horizontal. Para la resultante $\overrightarrow{R}$, obtenemos R = 5,8 cm y ${\theta }_R\approx 0\text{°}$. Para la diferencia $\overrightarrow{D}$, obtenemos D = 16,2 cm y ${\theta }_D=\mathrm{49,3}\text{°}$, que se muestran en la Figura 2.14.

Figura 2.14 Utilizamos la regla del paralelogramo para resolver (a) (encontrar la resultante, en rojo) y (b) (encontrar la diferencia, en azul).

Para (c), podemos empezar con el vector $\mathrm{-3}\overrightarrow{B}$ y dibujar los vectores restantes de cola a cabeza como se muestra en la Figura 2.15. En la suma de vectores, el orden en el que dibujamos los vectores no es importante, pero dibujar los vectores a escala sí es muy importante. A continuación, dibujamos el vector $\overrightarrow{S}$ desde el origen del primer vector hasta el final del último vector y colocamos la punta de la flecha al final de $\overrightarrow{S}$. Utilizamos una regla para medir la longitud de $\overrightarrow{S}$, y encontramos que su magnitud es
S = 36,9 cm. Usamos un transportador y encontramos que su ángulo direccional es ${\theta }_S=\mathrm{52,9}\text{°}$. Esta solución se muestra en la Figura 2.15.

Figura 2.15 Utilizando el método de cola a cabeza para resolver (c) (encontrar el vector $\overrightarrow{S}$, en verde).