William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar la relación entre longitud de onda y frecuencia del sonido.
Determinar la velocidad del sonido en diferentes medios.
Derivar la ecuación de la velocidad del sonido en el aire.
Determinar la velocidad del sonido en el aire para una temperatura dada.

El sonido, como todas las ondas, se desplaza a cierta velocidad y tiene las propiedades de frecuencia y longitud de onda. Puede observar una prueba directa de la velocidad del sonido cuando vea un espectáculo de fuegos artificiales (Figura 17.4). Verá el destello de una explosión mucho antes de oír su sonido y, posiblemente, sentirá la onda de presión, lo que implica tanto que el sonido se desplaza a una velocidad finita como que es mucho más lento que la luz.

La imagen muestra una fotografía de fuegos artificiales de colores que iluminan el cielo nocturno.

Figura 17.4 Cuando explota un proyectil de fuegos artificiales percibimos la energía luminosa antes que la sonora porque el sonido se desplaza más lentamente que la luz.

La diferencia entre la velocidad de la luz y la del sonido también puede experimentarse durante una tormenta eléctrica. El destello de la luz se ve, a menudo, antes de escuchar el estruendo del trueno. Es posible que haya oído que si cuenta el número de segundos entre el destello y el sonido, puedes estimar la distancia a la fuente. Cada cinco segundos se convierte en una milla aproximadamente. La velocidad de cualquier onda está relacionada con su frecuencia y longitud de onda mediante

v = f λ,

17.3

donde v es la velocidad de la onda, f es su frecuencia y $λ$ es su longitud de onda. De la sección Ondas recordamos que la longitud de onda es la longitud de la onda medida entre puntos idénticos consecutivos. Por ejemplo, para una onda acuática superficial o una onda sinusoidal en una cuerda, la longitud de onda se puede medir entre cualesquiera dos puntos secuenciales convenientes con la misma altura y pendiente, como entre dos crestas secuenciales o dos depresiones secuenciales. Del mismo modo, la longitud de onda de una onda sonora es la distancia entre partes secuenciales idénticas de una onda, por ejemplo, entre compresiones secuenciales (Figura 17.5). La frecuencia es la misma que la de la fuente y es el número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo.

La imagen es un dibujo esquemático de un diapasón que emite ondas sonoras.

Figura 17.5 Una onda sonora emana de una fuente, como un diapasón, que vibra a una frecuencia f. Se propaga a una velocidad v y tiene una longitud de onda

λ

.

Velocidad del sonido en varios medios

En la Tabla 17.1 se muestra que la velocidad del sonido varía mucho en distintos medios. La velocidad del sonido en un medio depende de la rapidez con la que la energía vibratoria se puede transferir a través del medio. Por esto, la derivación de la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. En general, la ecuación de la velocidad de una onda mecánica en un medio depende de la raíz cuadrada de la fuerza restauradora, o de las propiedades elásticas, dividida entre la propiedad inercial,

v = \sqrt{\frac{propiedad elástica}{propiedad inercial}} .

Además, las ondas sonoras satisfacen la ecuación de onda derivada de la sección Ondas,

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

Recuerde de la sección Ondas que velocidad de una onda en una cuerda es igual a $v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}},$ donde la fuerza restauradora es la tensión en la cuerda $F_{T}$ y la densidad lineal $μ$ es la propiedad inercial. En un fluido, la velocidad del sonido depende del módulo de compresibilidad y de la densidad,

v = \sqrt{\frac{B}{ρ}} .

17.4

La velocidad del sonido en un sólido depende del módulo de Young del medio y de la densidad,

v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}} .

17.5

En un gas ideal (vea el capítulo La teoría cinética de los gases) la ecuación de la velocidad del sonido es

v = \sqrt{\frac{γ R T_{K}}{M}},

17.6

donde $γ$ es el índice adiabático, $R = 8,31 J/mol \cdot K$ es la constante universal de los gases ideales, $T_{K}$ es la temperatura absoluta en kelvin y M es la masa molar. En general, cuanto más rígido (o menos comprimible) sea el medio, más rápida será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia del movimiento armónico simple es directamente proporcional a la rigidez del objeto oscilante, medida por k, la constante del resorte. Cuanto mayor sea la densidad de un medio, más lenta será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia de un movimiento armónico simple es inversamente proporcional a m, la masa del objeto que oscila. La velocidad del sonido en el aire es baja, ya que el aire es fácilmente comprimible. Como los líquidos y los sólidos son relativamente rígidos y muy difíciles de comprimir, la velocidad del sonido en estos medios suele ser mayor que en los gases.

Medio	v (m/s)
Gases a $0 ° C$
Aire	331
Dióxido de carbono	259
Oxígeno	316
Helio	965
Hidrógeno	1.290
Líquidos a $20 ° C$
Etanol	1.160
Mercurio	1.450
Agua dulce	1.480
Agua de mar	1.540
Tejido humano	1.540
Sólidos (longitudinales o de compresibilidad)
Caucho vulcanizado	54
Polietileno	920
Mármol	3.810
Vidrio, Pyrex	5.640
Plomo	1.960
Aluminio	5.120
Acero	5.960

Tabla 17.1 Velocidad del sonido en varios medios

Dado que la velocidad del sonido depende de la densidad del material, y la densidad depende de la temperatura, existe una relación entre la temperatura en un medio determinado y la velocidad del sonido en el medio. Para el aire a nivel del mar, la velocidad del sonido viene dada por

v = 331 \frac{m}{s} \sqrt{1 + \frac{T_{C}}{273 ° C}} = 331 \frac{m}{s} \sqrt{\frac{T_{K}}{273 K}}

17.7

donde la temperatura en la primera ecuación (denotada como $T_{C}$ ) está en grados Celsius y la temperatura en la segunda ecuación (denotada como $T_{K}$ ) está en kelvin. La velocidad del sonido en los gases está relacionada con la rapidez media de las partículas del gas, $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}},$ donde $k_{B}$ es la constante de Boltzmann $(1,38 \times 10^{−23} J/K)$ y m es la masa de cada partícula (idéntica) en el gas. Note que v se refiere a la velocidad de propagación coherente de una alteración (la onda), mientras que $v_{rms}$ describe las velocidades de las partículas en direcciones aleatorias. Por tanto, es razonable que la velocidad del sonido en el aire y otros gases dependa de la raíz cuadrada de la temperatura. Aunque no es insignificante, no es una dependencia fuerte. En $0 °C$ , la velocidad del sonido es de 331 m/s, mientras que en $20,0 °C$ , es de 343 m/s, menos de un $4 %$ de aumento. La Figura 17.6 muestra cómo un murciélago utiliza la velocidad del sonido para percibir distancias.

La imagen es un dibujo de un murciélago en vuelo que emite ondas sonoras. Las ondas se reflejan en el insecto que vuela y se devuelven al murciélago.

Figura 17.6 Un murciélago utiliza los ecos de sonido para orientarse y atrapar a sus presas. El tiempo de retorno del eco es directamente proporcional a la distancia.

Derivación de la velocidad del sonido en el aire

Como ya se ha dicho, la velocidad del sonido en un medio depende del medio y de su estado. La derivación de la ecuación de la velocidad del sonido en el aire parte de la ecuación de tasa de flujo de masa y de la ecuación de continuidad analizadas en la sección Mecánica de fluidos.

Considere el flujo de un fluido a través de un tubo con área de sección transversal A (Figura 17.7). La masa en un pequeño volumen de longitud x del tubo es igual a la densidad por el volumen, o $m = ρ V = ρ A x .$ La tasa de flujo de masa es

\frac{d m}{d t} = \frac{d}{d t} (ρ V) = \frac{d}{d t} (ρ A x) = ρ A \frac{d x}{d t} = ρ A v .

La ecuación de continuidad de la sección Mecánica de fluidos establece que la tasa de flujo de masa que entra en un volumen tiene que ser igual a la tasa de flujo de masa que sale del volumen, $ρ_{entra} A_{entra} v_{entra} = ρ_{sale} A_{sale} v_{sale} .$

La imagen es un dibujo esquemático de una masa que fluye con la velocidad v para la distancia x a través del cilindro con el área de la sección transversal A.

Figura 17.7 La masa de un fluido en un volumen es igual a la densidad por el volumen,

m = ρ V = ρ A x .

La tasa de flujo de masa es la derivada temporal de la masa.

Considere ahora una onda sonora que se mueve a través de una parcela de aire. Una parcela de aire es un pequeño volumen de aire con fronteras imaginarias (Figura 17.8). La densidad, la temperatura y la velocidad en un lado del volumen del fluido están dadas como $ρ, T, v,$ y en el otro lado están $ρ + d ρ, T + d T, v + d v .$

La imagen es un dibujo esquemático de una onda sonora moviéndose a través de un volumen de fluido. La densidad, la temperatura y la velocidad del fluido cambian de un lado a otro.

Figura 17.8 Una onda sonora se mueve a través de un volumen de fluido. La densidad, la temperatura y la velocidad del fluido cambian de un lado a otro.

La ecuación de continuidad establece que la tasa de flujo de masa que entra en el volumen es igual a la tasa de flujo de masa que sale del volumen, por lo que

ρ A v = (ρ + d ρ) A (v + d v) .

Esta ecuación se puede simplificar, al notar que el área se cancela y considerar que la multiplicación de dos infinitesimales es aproximadamente igual a cero: $d ρ (d v) \approx 0,$

\begin{matrix} ρ v & = & (ρ + d ρ) (v + d v) \\ ρ v & = & ρ v + ρ (d v) + (d ρ) v + (d ρ) (d v) \\ 0 & = & ρ (d v) + (d ρ) v \\ ρ d v & = & – v d ρ . \end{matrix}

La fuerza neta sobre el volumen de fluido (Figura 17.9) es igual a la suma de las fuerzas sobre el lado izquierdo y el lado derecho:

\begin{matrix} F_{neto} & = & p d y d z - (p + d p) d y d z \\ = & p d y d z - p d y d z - d p d y d z \\ = & – d p d y d z \\ m a & = & – d p d y d z . \end{matrix}

La imagen es un dibujo esquemático de una onda sonora que se mueve a través de un volumen de fluido con los lados de dimensiones dx, dy y dz. La presión es diferente en los lados opuestos.

Figura 17.9 Una onda sonora se mueve a través de un volumen de fluido. La fuerza en cada lado se puede calcular mediante la presión por el área.

La aceleración es la fuerza dividida entre la masa, y la masa es igual a la densidad por el volumen, $m = ρ V = ρ d x d y d z .$ Tenemos

\begin{matrix} m a & = & – d p d y d z \\ a & = & - \frac{d p d y d z}{m} = - \frac{d p d y d z}{ρ d x d y d z} = - \frac{d p}{(ρ d x)} \\ \frac{d v}{d t} & = & - \frac{d p}{(ρ d x)} \\ d v & = & - \frac{d p}{(ρ d x)} d t = - \frac{d p}{ρ} \frac{1}{v} \\ ρ v d v & = & – d p . \end{matrix}

A partir de la ecuación de continuidad $ρ d v = – v d ρ$ , obtenemos

\begin{matrix} ρ v d v & = & – d p \\ (– v d ρ) v & = & – d p \\ v & = & \sqrt{\frac{d p}{d ρ}} . \end{matrix}

Considere una onda sonora que se mueve en el aire. Durante el proceso de compresión y expansión del gas, no se añade ni se elimina calor del sistema. Un proceso en el que no se añade ni se elimina calor del sistema se conoce como sistema adiabático. Los procesos adiabáticos se tratan con detalle en el capítulo La primera ley de termodinámica, pero por ahora basta con decir que para un proceso adiabático, $p V^{γ} = constante,$ donde p es la presión, V es el volumen y gamma $(γ)$ es una constante que depende del gas. Para el aire, $γ = 1,40$ . La densidad es igual al número de moles por la masa molar dividida entre el volumen, por lo que el volumen es igual a $V = \frac{n M}{ρ} .$ El número de moles y la masa molar son constantes y se pueden absorber en la constante $p {(\frac{1}{ρ})}^{γ} = constante .$ Tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene $ln p - γ ln ρ = constante .$ Al diferenciar con respecto a la densidad, la ecuación se convierte en

\begin{matrix} ln p - γ ln ρ & = & constante \\ \frac{d}{d ρ} (ln p - γ ln ρ) & = & \frac{d}{d ρ} (constante) \\ \frac{1}{p} \frac{d p}{d ρ} - \frac{γ}{ρ} & = & 0 \\ \frac{d p}{d ρ} & = & \frac{γ p}{ρ} . \end{matrix}

Si el aire puede considerarse un gas ideal, podemos utilizar la ley de los gases ideales:

\begin{matrix} p V & = & n R T = \frac{m}{M} R T \\ p & = & \frac{m}{V} \frac{R T}{M} = ρ \frac{R T}{M} . \end{matrix}

Aquí M es la masa molar del aire:

\frac{d p}{d ρ} = \frac{γ p}{ρ} = \frac{γ (ρ \frac{R T}{M})}{ρ} = \frac{γ R T}{M} .

Como la velocidad del sonido es igual a $v = \sqrt{\frac{d p}{d ρ}}$ , la velocidad es igual a

v = \sqrt{\frac{γ R T}{M}} .

Observe que la velocidad es más rápida a temperaturas más altas y más lenta para gases más pesados. Para el aire, $γ = 1,4,$ $M = 0,02897 \frac{kg}{mol},$ y $R = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K} .$ Si la temperatura es $T_{C} = 20 ° C (T = 293 K),$ la velocidad del sonido es $v = 343 m/s .$

La ecuación de la velocidad del sonido en el aire $v = \sqrt{\frac{γ R T}{M}}$ se puede simplificar para obtener la ecuación de la velocidad del sonido en el aire como una función de temperatura absoluta:

\begin{matrix} v & = \sqrt{\frac{γ R T}{M}} \\ = \sqrt{\frac{γ R T}{M} (\frac{273 K}{273 K})} = \sqrt{\frac{(273 K) γ R}{M}} \sqrt{\frac{T}{273 K}} \\ \approx 331 \frac{m}{s} \sqrt{\frac{T}{273 K} .} \end{matrix}

Una de las propiedades más importantes del sonido es que su velocidad es casi independiente de la frecuencia. Esta independencia es definitivamente cierta al aire libre para sonidos en el rango audible. Si esta independencia no fuera cierta, sin duda lo notaría en la música interpretada por una banda de música en un estadio de fútbol, por ejemplo. Suponga que los sonidos de alta frecuencia se desplazan más rápido; entonces, cuanto más lejos esté de la banda, el sonido de los instrumentos de tono grave irá más retrasado que el de los de tono agudo. Pero la música de todos los instrumentos llega en cadencia independiente de la distancia, por lo que todas las frecuencias deben desplazarse casi a la misma velocidad. Recuerde que

v = f λ .

En un medio determinado en condiciones fijas, v es constante, por lo que existe una relación entre f y $λ;$ cuanto mayor sea la frecuencia, menor será la longitud de onda (Figura 17.10).

La imagen es un dibujo esquemático de un sistema de altavoces que emite ondas sonoras. Los sonidos de menor frecuencia son emitidos por el altavoz grande inferior; los sonidos de mayor frecuencia son emitidos por el altavoz pequeño superior.

Figura 17.10 Como se desplazan a la misma velocidad en un medio determinado, los sonidos de baja frecuencia deben tener una mayor longitud de onda que los de alta frecuencia. Aquí, los sonidos de menor frecuencia son emitidos por el altavoz grande, llamado woofer, mientras que los sonidos de mayor frecuencia son emitidos por el altavoz pequeño, llamado altavoz de alta frecuencia (tweeter) (créditos: modificación de un trabajo de Jane Whitney).

Ejemplo 17.1

Calcular longitudes de onda

Calcule las longitudes de onda de los sonidos en los extremos del rango audible, 20 y 20.000 Hz, en aire a

30,0 °C

(suponga que los valores de frecuencia tienen una precisión de dos cifras significativas).

Estrategia

Para calcular la longitud de onda a partir de la frecuencia, podemos usar

v = f λ .

Solución

Identifique aspectos conocidos. El valor de v viene dado por
$v = (331 m/s) \sqrt{\frac{T}{273 K}} .$
Convierta la temperatura en kelvin y luego introduzca la temperatura en la ecuación
$v = (331 m/s) \sqrt{\frac{303 K}{273 K}} = 348,7 m/s .$
Resuelva la relación entre la velocidad y la longitud de onda para λ:
$λ = \frac{v}{f} .$
Introduzca la velocidad y la frecuencia mínima para obtener la longitud de onda máxima:
$λ_{máx.} = \frac{348,7 m/s}{20 Hz} = 17 m .$
Introduzca la velocidad y la frecuencia máxima para obtener la longitud de onda mínima:
$λ_{min} = \frac{348,7 m/s}{20.000 Hz} = 0,017 m = 1,7 cm .$

Importancia

Porque el producto de f multiplicado por

λ

es igual a una constante, cuanto menor sea f, mayor será

λ

, y viceversa.

La velocidad del sonido puede cambiar cuando el sonido se desplaza de un medio a otro, pero la frecuencia suele ser la misma. Esto es similar a la frecuencia de una onda en una cuerda que es igual a la frecuencia de la fuerza que oscila la cuerda. Si v cambia y f permanece igual, entonces la longitud de onda $λ$ debe cambiar. Es decir, porque $v = f λ$ , cuanto mayor sea la velocidad de un sonido, mayor será su longitud de onda para una frecuencia determinada.

Compruebe Lo Aprendido 17.1

Imagine que observa la explosión de dos proyectiles de fuegos artificiales. Oye la explosión de uno tan pronto como lo ve. Sin embargo, puede ver el otro proyectil durante varios milisegundos antes de oír la explosión. Explique por qué es así.

Aunque las ondas sonoras en un fluido son longitudinales, en un sólido se desplazan tanto como ondas longitudinales como transversales. Las ondas sísmicas, que son esencialmente ondas sonoras en la corteza terrestre producidas por terremotos, son un ejemplo interesante de cómo la velocidad del sonido depende de la rigidez del medio. Los terremotos producen ondas longitudinales y transversales, y estas se desplazan a diferentes velocidades. El módulo de compresibilidad del granito es mayor que su módulo de corte. Por ello, la rapidez de ondas longitudinales o de presión (ondas P) en terremotos en granito es significativamente mayor que la rapidez de ondas transversales o de corte (ondas S). Ambos tipos de ondas sísmicas se desplazan más lentamente en materiales menos rígidos, como los sedimentos. Las ondas P tienen una velocidad de 4 a 7 km/s, y las ondas S oscilan entre 2 y 5 km/s, siendo ambas más rápidas en materiales más rígidos. La onda P se adelanta progresivamente a la onda S a medida que se desplazan por la corteza terrestre. El tiempo entre las ondas P y S se utiliza habitualmente para determinar la distancia a su fuente, el epicentro del terremoto. Como las ondas S no atraviesan el núcleo líquido, se producen dos regiones de sombra (Figura 17.11).

La imagen es un dibujo de ondas P y S que se desplazan desde una fuente. También se indican las regiones de sombra, donde las ondas S están ausentes. Hay un código de colores para la corteza, el manto, el núcleo externo líquido y el núcleo interno sólido.

Figura 17.11 Los terremotos producen tanto ondas longitudinales (ondas P) como transversales (ondas S), y estas se desplazan a diferentes velocidades. Ambas ondas se desplazan a diferentes velocidades en las distintas regiones de la Tierra, pero en general, las ondas P se desplazan más rápido que las S. El núcleo líquido no puede soportar las ondas S, lo que produce regiones de sombra.

A medida que las ondas sonoras se alejan de un altavoz, o del epicentro de un terremoto, su potencia por unidad de área disminuye. Por eso el sonido es muy fuerte cerca de un altavoz y se vuelve menos fuerte a medida que se aleja de él. Esto también explica por qué puede haber una cantidad extrema de daños en el epicentro de un terremoto pero solo se sienten los temblores en áreas alejadas del epicentro. La potencia por unidad de área se conoce como intensidad, y en la siguiente sección estudiaremos cómo la intensidad depende de la distancia de la fuente.

17.2 Velocidad del sonido