15.1 Movimiento armónico simple

El movimiento periódico es una oscilación que se repite. El tiempo de una oscilación es el periodo T y el número de oscilaciones por unidad de tiempo es la frecuencia f. Estas cantidades están relacionadas por $f = \frac{1}{T}$ .
El movimiento armónico simple (SHM) es un movimiento oscilatorio para un sistema en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y actúa en la dirección opuesta al desplazamiento.
El desplazamiento máximo es la amplitud A. La frecuencia angular $ω$ , el periodo T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple vienen dados por $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ , $T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}, y f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}$ , donde m es la masa del sistema y k es la constante de fuerza.
El desplazamiento como una función de tiempo en SHM viene dado por $x (t) = A cos (\frac{2 π}{T} t + ϕ) = A cos (ω t + ϕ)$ .
La velocidad viene dada por $v (t) = − A ω sen (ω t + ϕ) = − v_{máx.} sen (ω t + ϕ),$ donde $v_{máx.} = A ω = A \sqrt{\frac{k}{m}}$ .
La aceleración es $a (t) = − A ω^{2} cos (ω t + ϕ) = − a_{máx.} cos (ω t + ϕ)$ , donde $a_{máx.} = A ω^{2} = A \frac{k}{m}$ .

15.2 Energía en el movimiento armónico simple

El tipo más sencillo de oscilaciones está relacionado con los sistemas que pueden describirse mediante la ley de Hooke, F = −kx, donde F es la fuerza restauradora, x es el desplazamiento desde el equilibrio o la deformación y k es la constante de fuerza del sistema.
La energía potencial elástica U almacenada en la deformación de un sistema que se puede describir por la ley de Hooke viene dada por $U = \frac{1}{2} k x^{2} .$
La energía en el oscilador armónico simple se reparte entre la energía potencial elástica y la energía cinética, siendo el total constante:
$E_{Total} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} = constante.$
La magnitud de la velocidad como una función de posición para el oscilador armónico simple se puede calcular mediante
$| v | = \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})} .$

Una proyección de movimiento circular uniforme experimenta una oscilación armónica simple.
Considere un círculo de radio A que se mueve con una velocidad angular constante $ω$ . Un punto en el borde del círculo se mueve con una velocidad tangencial constante de $v_{máx.} = A ω$ . La proyección del radio sobre el eje x es $x (t) = A cos (ω t + ϕ)$ , donde $(ϕ)$ es el deslizamiento de fase. El componente x de la velocidad tangencial es $v (t) = – A ω sen (ω t + ϕ)$ .

Una masa m suspendida por un cable de longitud L y masa insignificante es un péndulo simple y experimenta SHM para amplitudes inferiores a $15 °$ . El periodo de un péndulo simple es $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ , donde L es la longitud de la cuerda y g es la aceleración debido a la gravedad.
El periodo de un péndulo físico $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{m g L}}$ se puede calcular si se conoce el momento de inercia. La longitud entre el punto de rotación y el centro de masa es L.
El periodo de un péndulo de torsión $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{κ}}$ se puede calcular si se conoce el momento de inercia y la constante de torsión.

Los osciladores armónicos amortiguados tienen fuerzas no conservativas que disipan su energía.
La amortiguación crítica devuelve el sistema al equilibrio lo más rápido posible sin sobrepasarlo.
Un sistema subamortiguado oscilará a través de la posición de equilibrio.
Un sistema sobreamortiguado se mueve más lentamente hacia el equilibrio que uno amortiguado críticamente.

La frecuencia natural de un sistema es la frecuencia a la que el sistema oscila si no se ve afectado por fuerzas impulsoras o amortiguadoras.
Una fuerza periódica que impulsa un oscilador armónico a su frecuencia natural produce resonancia. Se dice que el sistema resuena.
Cuanto menos amortiguación tenga un sistema, mayor será la amplitud de las oscilaciones forzadas cerca de la resonancia. Cuanto más amortiguación tenga un sistema, más amplia será su respuesta a las distintas frecuencias de impulso.