William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Definir oscilaciones forzadas.
Enumerar las ecuaciones de movimiento asociadas a oscilaciones forzadas.
Explicar el concepto de resonancia y su efecto en la amplitud de un oscilador.
Enumerar las características de un sistema que oscila en resonancia.

Siéntese alguna vez delante de un piano y cante una breve nota fuerte con los apagadores fuera de sus cuerdas (Figura 15.28). Le devolverá la misma nota: las cuerdas, que tienen las mismas frecuencias que su voz, están resonando en respuesta a las fuerzas de las ondas sonoras que les envió. Este es un buen ejemplo del hecho de que los objetos —en este caso, las cuerdas del piano— se pueden forzar a oscilar, y oscilan más fácilmente en su frecuencia natural. En esta sección exploramos brevemente la aplicación de una fuerza impulsora periódica que actúa sobre un oscilador armónico simple. La fuerza impulsora introduce energía en el sistema a una determinada frecuencia, que no es necesariamente la misma que la frecuencia natural del sistema. Recuerde que la frecuencia natural es la frecuencia a la que oscilaría un sistema si no hubiera ninguna fuerza impulsora ni amortiguadora.

Una foto de cerca de las cuerdas de un piano

Figura 15.28 Puede hacer vibrar las cuerdas de un piano simplemente produciendo ondas sonoras con su voz (créditos: Matt Billings).

La mayoría de nosotros se ha entretenido con juguetes que implican un objeto apoyado en una banda elástica, algo así como la pelota de pádel suspendida de un dedo en la Figura 15.29. Imagine que el dedo de la figura es su dedo. Al principio, mantiene el dedo firme y la pelota rebota hacia arriba y hacia abajo con una pequeña amortiguación. Si mueve el dedo hacia arriba y hacia abajo lentamente, la pelota sigue sin rebotar mucho por sí sola. A medida que se aumenta la frecuencia con la que mueva el dedo hacia arriba y hacia abajo, la pelota responde oscilando con una amplitud cada vez mayor. Cuando impulsa la pelota a su frecuencia natural, las oscilaciones de la pelota aumentan en amplitud con cada oscilación durante el tiempo que usted la impulsa. El fenómeno de impulsar un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural se llama resonancia. Se dice que un sistema que se mueve a su frecuencia natural resuena. A medida que la frecuencia de impulso es progresivamente más alta que la frecuencia de resonancia o natural, la amplitud de las oscilaciones se hace más pequeña hasta que las oscilaciones casi desaparecen, y su dedo, simplemente, se mueve hacia arriba y hacia abajo con poco efecto sobre la pelota.

La figura muestra tres imágenes de una horizontal vista una cuerda suspendida de un dedo con una pelota atada en su extremo inferior. En la primera figura, el dedo se mueve hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia baja f, y la pelota se mueve hacia arriba y hacia abajo a cierta distancia de su altura de equilibrio, el desplazamiento se muestra en las figuras como sombras difuminadas de la pelota y la posición de equilibrio como una imagen más oscura. En la segunda figura, el dedo se mueve hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia f sub cero y el movimiento de la pelota es mucho mayor que en la primera. En la tercera figura, el dedo se mueve hacia arriba y hacia abajo con una alta frecuencia f, y el movimiento de la pelota es menor que en la primera figura. En las tres figuras la distancia total desde la posición más baja a la más alta de la pelota se indica como 2 A.

Figura 15.29 La pelota de pádel en su banda elástica se mueve en respuesta al dedo que la sostiene. Si el dedo se mueve con la frecuencia natural

f_{0}

de la pelota en la banda elástica, entonces se alcanza una resonancia, y la amplitud de las oscilaciones de la pelota aumenta drásticamente. A frecuencias de impulso más altas y más bajas, la energía se transfiere a la pelota con menos eficacia, y esta responde con oscilaciones de menor amplitud.

Considere un simple experimento. Sujete una masa m a un resorte en un fluido viscoso, de forma similar al aparato comentado en el oscilador armónico amortiguado. Esta vez, en vez de fijar el extremo libre del resorte, sujete el extremo libre a un disco impulsado por un motor de velocidad variable. El motor gira con una frecuencia de impulso angular de $ω$ . El disco giratorio proporciona energía al sistema por el trabajo hecho por la fuerza impulsora $(F_{d} = F_{0} sen (ω t))$ . El aparato experimental se muestra en la Figura 15.30.

Una masa m está suspendida de un resorte vertical y sumergida en un fluido que tiene una viscosidad eta. La parte superior del resorte está unida al borde de un disco vertical que gira sobre un eje horizontal con velocidad angular omega.

Figura 15.30 Movimiento armónico amortiguado y forzado producido por el impulso de un resorte y una masa con un disco impulsado por un motor de velocidad variable.

Al usar la segunda ley de Newton $({\vec{F}}_{neta} = m \vec{a}),$ podemos analizar el movimiento de la masa. La ecuación resultante es similar a la ecuación de fuerza para el oscilador armónico amortiguado, con la adición de la fuerza impulsora:

– k x - b \frac{d x}{d t} + F_{0} sen (ω t) = m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .

15.27

Cuando se fuerza un oscilador con una fuerza impulsora periódica, el movimiento puede parecer caótico. Los movimientos del oscilador se conocen como transitorios. Una vez que los transitorios desaparecen, el oscilador alcanza un estado estable, en el que el movimiento es periódico. Después de algún tiempo, la solución en estado estable de esta ecuación diferencial es

x (t) = A cos (ω t + ϕ) .

15.28

Una vez más, se deja como ejercicio demostrar que esta ecuación es una solución. Tomando la primera y la segunda derivada temporal de x(t) y sustituyéndolas en la ecuación de fuerza se observa que $x (t) = A sen (ω t + ϕ)$ es una solución siempre que la amplitud sea igual a

A = \frac{F_{0}}{\sqrt{m^{2} {(ω^{2} - ω_{0}^{2})}^{2} + b^{2} ω^{2}}}

15.29

donde $ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ es la frecuencia angular de la fuerza impulsora. Recuerde que la frecuencia angular, y por tanto la frecuencia, del motor se puede ajustar. Al observar el denominador de la ecuación de la amplitud, cuando la frecuencia de impulso es mucho menor, o mucho mayor, que la frecuencia natural, el cuadrado de la diferencia de las dos frecuencias angulares ${(ω^{2} - ω_{0}^{2})}^{2}$ es positivo y grande, lo que hace que el denominador sea grande, y el resultado es una pequeña amplitud para las oscilaciones de la masa. A medida que la frecuencia de la fuerza impulsora se acerca a la frecuencia natural del sistema, el denominador se hace pequeño y la amplitud de las oscilaciones se hace grande. La amplitud máxima se genera cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del sistema $(A_{máx.} = \frac{F_{0}}{b ω})$ .

La Figura 15.31 muestra un gráfico de la amplitud de un oscilador armónico amortiguado como función de la frecuencia de la fuerza periódica que lo impulsa. Cada una de las tres curvas del gráfico representa una cantidad diferente de amortiguación. Las tres curvas alcanzan su pico en el punto en el que la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador armónico. El pico más alto, o la mayor respuesta, es para la menor cantidad de amortiguación, ya que se elimina menos energía por la fuerza de amortiguación. Observe que, dado que la amplitud crece a medida que disminuye la amortiguación, y al llevar esto al límite en el que no hay amortiguación $(b = 0)$ , la amplitud se vuelve infinita.

Tenga en cuenta que una fuerza impulsora de pequeña amplitud puede producir una respuesta de gran amplitud. Este fenómeno se conoce como resonancia. Un ejemplo común de resonancia es el de un padre que empuja a un niño pequeño en un columpio. Cuando el niño quiere ir más alto, el padre no retrocede y entonces, tomando carrerilla, se abalanza sobre el niño y aplica una gran fuerza en un corto intervalo. En cambio, el padre aplica pequeños empujones al niño con la frecuencia adecuada, y la amplitud de los balanceos del niño aumenta.

Un gráfico de la amplitud versus la frecuencia de impulso que muestra curvas para amortiguaciones pequeña, media y fuerte. Las frecuencias f sub cero sobre dos, f sub cero y tres f sub cero sobre dos están identificadas en el eje horizontal. Las curvas son simétricas y todas con su máxima amplitud a la frecuencia f sub cero. La curva de amortiguación pequeña tiene el máximo más grande, y la curva de amortiguación pesada tiene el máximo más pequeño. Se indican las anchuras de las curvas a la mitad de su valor máximo. La curva más estrecha es la curva de amortiguación pequeña, la más ancha es la curva de amortiguación fuerte.

Figura 15.31 Amplitud de un oscilador armónico como una función de la frecuencia de la fuerza impulsora. Las curvas representan el mismo oscilador con la misma frecuencia natural, pero con diferentes cantidades de amortiguación. La resonancia se produce cuando la frecuencia de impulso es igual a la frecuencia natural, y la mayor respuesta es para la menor cantidad de amortiguación. La respuesta más estrecha es también para la menor amortiguación.

Es interesante observar que las anchuras de las curvas de resonancia mostradas en la Figura 15.31 dependen de la amortiguación: cuanto menos amortiguación, más estrecha es la resonancia. La consecuencia es que si quiere que un oscilador impulsado resuene a una frecuencia muy específica, necesitará la menor amortiguación posible. Por ejemplo, una radio tiene un circuito que se utiliza para elegir una determinada emisora de radio. En este caso, el oscilador amortiguado forzado consiste en un resistor, un condensador y un inductor, lo cual se analizará más adelante en este curso. El circuito se “sintoniza” para elegir una emisora de radio específica. Aquí es deseable que la curva de resonancia sea muy estrecha, para captar la frecuencia exacta de la emisora elegida. La estrechez del gráfico, y la capacidad de elegir una determinada frecuencia, se conoce como la calidad del sistema. La calidad se define como la dispersión de la frecuencia angular, o lo que es lo mismo, la dispersión en la frecuencia, a la mitad de la amplitud máxima, dividida entre la frecuencia natural $(Q = \frac{ω_{0}}{Δ ω})$ como se muestra en la Figura 15.32. Para una pequeña amortiguación, la calidad es, aproximadamente, igual a $Q \approx \frac{2 b}{m}$ .

Un gráfico de amplitud versus frecuencia angular. La curva es simétrica y tiene un pico, con una amplitud máxima de A en una frecuencia identificada como omega sub cero. Se indica la anchura de la curva, en la que la amplitud es una mitad A a cada lado del máximo.

Figura 15.32 La calidad de un sistema se define como la dispersión de las frecuencias a la mitad de la amplitud dividida entre la frecuencia natural.

Estas características de los osciladores armónicos impulsados se aplican a una enorme variedad de sistemas. Por ejemplo, la imagen de resonancia magnética (IRM) es una herramienta de diagnóstico médico muy utilizada en la que se hace resonar núcleos atómicos (principalmente núcleos de hidrógeno o protones) mediante ondas de radio entrantes (en el orden de 100 MHz). En todos estos casos, la eficacia de la transferencia de energía de la fuerza impulsora al oscilador es mejor en la resonancia. En la Figura 15.33 se muestra la pasarela London Millennium que permite a los peatones cruzar el río Támesis en Londres. Este puente recibió el apodo de “wobbly bridge” (puente tambaleante) cuando los peatones experimentaban movimientos de vaivén al cruzarlo. El puente estuvo cerrado durante unos dos años para eliminar este movimiento.

Una imagen muestra la pasarela London Millennium.

Figura 15.33 Al principio, cuando la gente cruzaba la pasarela London Millennium experimentaba un movimiento de vaivén. El hecho de que las personas sigan cruzando reforzó la amplitud de la oscilación, lo que aumentó el problemático vaivén (créditos: Adrian Pingstone/Wikimedia Commons).

Compruebe Lo Aprendido 15.6

Un famoso truco de magia consiste en que un artista canta una nota hacia una copa de cristal hasta que esta se rompe. Explique por qué el truco funciona en términos de resonancia y frecuencia natural.

15.6 Oscilaciones forzadas