14.1 Fluidos, densidad y presión

Características de los sólidos

Los sólidos son rígidos y tienen formas específicas y volúmenes definidos. Los átomos o moléculas de un sólido están muy cerca unos de otros y existe una fuerza importante entre estas moléculas. Los sólidos adoptarán una forma determinada por la naturaleza de estas fuerzas entre las moléculas. Aunque los verdaderos sólidos no son incompresibles, se requiere una gran fuerza para cambiar la forma de un sólido. En algunos casos, la fuerza entre moléculas puede hacer que estas se organicen en una red, como se muestra en la Figura 14.2. La estructura de este entramado tridimensional se representa como moléculas conectadas por enlaces inflexibles (modelados como resortes rígidos), lo cual permite una libertad de movimiento limitada. Incluso una gran fuerza solo produce pequeños desplazamientos en los átomos o las moléculas de la red, y el sólido mantiene su forma. Los sólidos también resisten fuerzas de cizallamiento (fuerzas de cizallamiento son aquellas que se aplican tangencialmente a una superficie, como se describe en la sección Equilibrio estático y elasticidad).

Características de los fluidos

Los líquidos y los gases se consideran fluidos porque ceden a las fuerzas de cizallamiento, mientras que los sólidos las resisten. Al igual que los sólidos, las moléculas de un líquido están unidas a las moléculas vecinas, pero poseen muchos menos enlaces. Las moléculas de un líquido no están encerradas en su sitio y se pueden mover unas respecto a otras. La distancia entre moléculas es similar a las distancias en un sólido, por lo que los líquidos tienen volúmenes definidos, pero la forma de un líquido cambia según la forma de su recipiente. Los gases no están unidos a átomos vecinos y pueden tener grandes separaciones entre moléculas. Los gases no tienen formas específicas ni volúmenes definidos, ya que sus moléculas se mueven para llenar el recipiente en el que se encuentran (Figura 14.2).

Figura 14.2 (a) Los átomos de un sólido están siempre en estrecho contacto con átomos vecinos, y se mantienen en su sitio por fuerzas representadas aquí por resortes. (b) Los átomos de un líquido están también en estrecho contacto pero pueden deslizarse unos sobre otros. Las fuerzas entre los átomos resisten en gran medida intentos de comprimirlos. (c) Los átomos de un gas se mueven libremente y están separados por grandes distancias. Un gas debe mantenerse en un recipiente cerrado para evitar que se expanda libremente y se escape.

Los líquidos se deforman fácilmente cuando se les somete a estrés y no recuperan su forma original cuando se les retira la fuerza. Esto ocurre porque los átomos o las moléculas de un líquido son libres de deslizarse y cambiar de vecinos. Es decir, los líquidos fluyen (por lo que son un tipo de fluido) y las moléculas se mantienen unidas por atracción mutua. Cuando se coloca un líquido en un recipiente sin tapa, este permanece en el recipiente. Debido a que los átomos están estrechamente empaquetados, los líquidos, al igual que los sólidos, se resisten a la compresión; se necesita una fuerza extremadamente grande para cambiar el volumen de un líquido.

En cambio, los átomos de los gases están separados por grandes distancias, por lo que las fuerzas entre los átomos de un gas son muy débiles, excepto cuando los átomos chocan entre sí. Esto hace que los gases sean relativamente fáciles de comprimir y les permite fluir (lo que los convierte en fluidos). Cuando se colocan en un recipiente abierto, los gases, a diferencia de los líquidos, se escapan.

En este capítulo, generalmente, nos referimos a gases y a líquidos simplemente como fluidos, y haremos una distinción entre ellos solo cuando se comportan de manera diferente. Existe otra fase de la materia, el plasma, que existe a muy altas temperaturas. A altas temperaturas, las moléculas se pueden disociar en átomos, y los átomos se disocian en electrones (con cargas negativas) y protones (con cargas positivas), lo que forma un plasma. El plasma no se tratará en profundidad en este capítulo porque tiene propiedades muy diferentes de las otras tres fases comunes de la materia, tratadas en este capítulo, debido a las fuertes fuerzas eléctricas entre las cargas.

Densidad

Supongamos que un bloque de latón y un bloque de madera tienen exactamente la misma masa. Si se dejan caer ambos bloques en un tanque de agua, ¿por qué la madera flota y el latón se hunde (Figura 14.3)? Esto ocurre porque el latón tiene una densidad mayor que el agua, mientras que la madera tiene una densidad menor que el agua.

Figura 14.3 (a) Un bloque de latón y un bloque de madera tienen ambos el mismo peso y masa, pero el bloque de madera tiene un volumen mucho mayor. (b) Cuando se coloca en una pecera llena de agua, el cubo de latón se hunde y el bloque de madera flota (el bloque de madera es el mismo en ambas imágenes; se le dio la vuelta para que cupiera en la balanza) (créditos: modificación de trabajos de Joseph J. Trout, Universidad de Stockton).

La densidad es una característica importante de las sustancias. Es crucial, por ejemplo, para determinar si un objeto se hunde o flota en un fluido.

La unidad SI de densidad es ${\text{kg/m}}^{\text{3}}$. En la Tabla 14.1 se enumeran algunos valores representativos. La unidad de densidad cgs es gramo por centímetro cúbico, ${\text{g/cm}}^3$, donde

El sistema métrico se concibió originalmente para que el agua tuviera una densidad de $1{\text{g/cm}}^3$, equivalente a ${10}^3{\text{kg/m}}^3$ Así, la unidad de masa básica, el kilogramo, se concibió por primera vez como la masa de 1.000 mL de agua, que tiene un volumen de $1.000{\text{cm}}^3$

Como se puede ver al examinar la Tabla 14.1, la densidad de un objeto puede ayudar a identificar su composición. La densidad del oro, por ejemplo, es unas 2,5 veces la del hierro, que es unas 2,5 veces la del aluminio. La densidad también revela algo sobre la fase de la materia y su subestructura. Obsérvese que las densidades de los líquidos y de los sólidos son más o menos comparables, lo que concuerda con el hecho de que sus átomos están en estrecho contacto. Las densidades de los gases son mucho menores que las de los líquidos y los sólidos porque los átomos de los gases están separados por grandes cantidades de espacio vacío. Los gases se muestran para una temperatura estándar de $\mathrm{0,0}\text{°}\text{C}$ y una presión estándar de 101,3 kPa, y existe una fuerte dependencia de las densidades con la temperatura y la presión. Las densidades de los sólidos y los líquidos mostrados se dan para la temperatura estándar de $\mathrm{0,0}\text{°}\text{C}$ y las densidades de sólidos y líquidos dependen de la temperatura. La densidad de sólidos y los líquidos aumenta normalmente con la disminución de la temperatura.

La Tabla 14.2 muestra la densidad del agua en varias fases y temperaturas. La densidad del agua aumenta con la disminución de la temperatura, y alcanza un máximo a $\mathrm{4,0}\text{°}\text{C,}$ y luego disminuye cuando la temperatura cae por debajo de $\mathrm{4,0}\text{°}\text{C}$ Este comportamiento de la densidad del agua explica por qué se forma hielo en la parte superior de una masa de agua.

La densidad de una sustancia no es necesariamente constante en todo su volumen. Si la densidad es constante en toda una sustancia, se dice que es una sustancia homogénea. Una barra de hierro maciza es un ejemplo de sustancia homogénea. La densidad es constante en todo momento, y la densidad de cualquier muestra de la sustancia es la misma que su densidad media. Si la densidad de una sustancia no fuera constante, se dice que es una sustancia heterogénea. Un trozo de queso suizo es un ejemplo de material heterogéneo que contiene tanto el queso sólido como vacíos llenos de gas. La densidad en un lugar específico dentro de un material heterogéneo se llama densidad local, y se da como una función de lugar, $\rho =\rho (x,y,z)$ (Figura 14.4).

Figura 14.4 La densidad puede variar en una mezcla heterogénea. La densidad local en un punto se obtiene de la división de la masa entre el volumen en un pequeño volumen alrededor de un punto dado.

La densidad local se puede obtener mediante un proceso de limitación, basado en la densidad media en un pequeño volumen alrededor del punto en cuestión, tomando el límite en el que el tamaño del volumen se aproxima a cero,

donde $\rho$ es la densidad, m es la masa y V es el volumen.

Dado que los gases son libres de expandirse y contraerse, sus densidades varían considerablemente con la temperatura, mientras que las densidades de los líquidos varían poco con la temperatura. Por ello, las densidades de los líquidos suelen tratarse como constantes, con la densidad igual a la densidad media.

La densidad es una propiedad dimensional; por lo tanto, al comparar las densidades de dos sustancias hay que tener en cuenta las unidades. Por esto, para comparar densidades se suele usar una cantidad más conveniente y sin dimensiones llamada gravedad específica. La gravedad específica se define como la relación entre la densidad del material y la densidad del agua a $\mathrm{4,0}\text{°C}$ y una atmósfera de presión, la cual es $1.000{\text{kg/m}}^3$:

La comparación usa el agua porque la densidad del agua es $1{\text{g/cm}}^3$, que se usó originalmente para definir el kilogramo. La gravedad específica, al ser sin dimensiones, permite comparar fácilmente los materiales sin tener que preocuparse por la unidad de densidad. Por ejemplo, la densidad del aluminio es de 2,7 en ${\text{g/cm}}^3$ (2.700 en ${\text{kg/m}}^3$), pero su gravedad específica es de 2,7, independientemente de la unidad de densidad. La gravedad específica es una magnitud especialmente útil en relación con la flotabilidad, de la que hablaremos más adelante en este capítulo.

Presión

Seguro que ha oído la palabra “presión” en relación con la sangre (presión arterial alta o baja) y en relación con las condiciones meteorológicas (sistemas meteorológicos de alta y baja presión). Estos son solo dos de los muchos ejemplos de presión en fluidos (recordemos que introdujimos la idea de presión en la sección Equilibrio estático y elasticidad, en el contexto de tensión de compresibilidad y tensión).

Una fuerza determinada puede tener un efecto significativamente diferente, según sea el área sobre la que se ejerce la fuerza. Por ejemplo, una fuerza aplicada a un área de $1{\text{mm}}^2$ tiene una presión que es 100 veces mayor que la misma fuerza aplicada a un área de $1{\text{cm}}^2.$ Por eso una aguja afilada es capaz de atravesar la piel cuando se ejerce una pequeña fuerza, pero al aplicar la misma fuerza con un dedo no se perfora la piel (Figura 14.5).

Figura 14.5 (a) Una persona a quien se le pincha con un dedo puede irritarse, pero la fuerza tiene un efecto poco duradero. (b) En cambio, la misma fuerza aplicada a un área del tamaño del extremo afilado de una aguja es suficiente para romper la piel.

Tenga en cuenta que aunque la fuerza es un vector, la presión es un escalar. La presión es una cantidad escalar porque se define como proporcional a la magnitud de la fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie. La unidad del SI para la presión es el pascal (Pa), llamado así por el matemático y físico francés Blaise Pascal (1623-1662), donde

Para la presión se usan otras unidades, de las que hablaremos más adelante en el capítulo.

Variación de presión con profundidad en un fluido de densidad constante

La presión se define para todos los estados de la materia, pero es especialmente importante cuando se habla de fluidos. Una característica importante de los fluidos es que no existe una resistencia significativa al componente de una fuerza aplicada en paralelo a la superficie de un fluido. Las moléculas del fluido simplemente circulan para acomodar la fuerza horizontal. Una fuerza aplicada perpendicularmente a la superficie comprime o expande el fluido. Si se intenta comprimir un fluido, se observa que se desarrolla una fuerza de reacción en cada punto del interior del fluido en dirección hacia el exterior, lo que equilibra la fuerza aplicada sobre las moléculas en el límite.

Consideremos un fluido de densidad constante como se muestra en la Figura 14.6. La presión en el fondo del recipiente se debe a la presión de la atmósfera $\left(p_0\right)$ más la presión debido al peso del fluido. La presión debido al fluido es igual al peso del fluido dividido entre el área. El peso del fluido es igual a su masa por la aceleración debido a la gravedad.

Figura 14.6 El fondo de este recipiente soporta todo el peso del fluido que contiene. Los lados verticales no pueden ejercer una fuerza ascendente sobre el fluido (ya que no puede soportar una fuerza de cizallamiento), por lo que el fondo debe soportarlo todo.

Como la densidad es constante, el peso se puede calcular usando la densidad:

$$w=mg=\rho Vg=\rho Ahg.$$

La presión en el fondo del recipiente es, por tanto, igual a la presión atmosférica sumada al peso del fluido dividido entre el área:

$$p=p_0+\frac{\rho Ahg}{A}=p_0+\rho hg.$$

Esta ecuación solo sirve para presión a una profundidad para un fluido de densidad constante.

Presión en una profundidad para un fluido de densidad constante

La presión a una profundidad en un fluido de densidad constante es igual a la presión de la atmósfera más la presión debido al peso del fluido, o

$$p=p_0+\rho hg,$$

14.4

Donde p es la presión a una profundidad determinada, $p_0$ es la presión de la atmósfera, $\rho$ es la densidad del fluido, g es la aceleración debido a la gravedad y h es la profundidad.

Figura 14.7 La presa de las Tres Gargantas, erigida en el río Yangtze en el centro de China en 2008, creó un enorme embalse que desplazó a más de un millón de personas (créditos: modificación de trabajo de “Le Grand Portage”/Flickr).

Ejemplo 14.1

¿Qué fuerza debe soportar una presa?

Consideremos la presión y la fuerza que actúan sobre la presa que retiene un embalse de agua (Figura 14.7). Supongamos que la presa tiene 500 m de ancho y el agua tiene 80,0 m de profundidad en la presa, como se ilustra a continuación. (a) ¿Cuál es la presión media sobre la presa debido al agua? (b) Calcule la fuerza ejercida contra la presa.

La presión media p debido al peso del agua es la presión a la profundidad media h de 40,0 m, ya que la presión aumenta linealmente con la profundidad. La fuerza ejercida por el agua sobre la presa es la presión media por el área de contacto, $F=pA.$

solución

1. La presión media debido al peso de un fluido es
   $$p=h\rho g.$$

   14.5
   Al introducir la densidad del agua de la Tabla 14.2 y tomando h como la profundidad media de 40,0 m, obtenemos
   $$\begin{array}{cc}\hfill p& =(\mathrm{40,0}\text{m})\left({10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\right)\left(\mathrm{9,80}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)\hfill \\ & =\mathrm{3,92}\times {10}^5\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}=392\text{kPa}\text{.}\hfill \end{array}$$
2. Ya hemos encontrado el valor de p. El área de la presa es
   $$A=\mathrm{80,0}\text{m}\times 500\text{m}=\mathrm{4,00}\times {10}^4{\text{m}}^2,$$
   para que
   $$\begin{array}{}\\ \hfill F& =(\mathrm{3,92}\times {10}^5{\text{N/m}}^2)(\mathrm{4,00}\times {10}^4{\text{m}}^2)\hfill \\ & =\mathrm{1,57}\times {10}^{10}\text{N}\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Aunque esta fuerza parece grande, es pequeña comparada con el $\mathrm{1,96}\times {10}^{13}\text{N}$ peso del agua en el embalse. De hecho, es solo el 0,0800 % del peso.

Compruebe Lo Aprendido 14.1

Si el embalse del Ejemplo 14.1 cubriera el doble de superficie, pero se mantuviera a la misma profundidad, ¿habría que rediseñar la presa?

Presión en un fluido estático en un campo gravitacional uniforme

Un fluido estático es un fluido que no está en movimiento. En cualquier punto dentro de un fluido estático, la presión en todos los lados debe ser igual; de lo contrario, el fluido en ese punto reaccionaría a una fuerza neta y se aceleraría.

La presión en cualquier punto de un fluido estático depende únicamente de la profundidad en ese punto. Como se ha comentado, la presión de un fluido cerca de la Tierra varía con la profundidad debido al peso del fluido por encima de un nivel determinado. En los ejemplos anteriores hemos supuesto que la densidad es constante y que la densidad media del fluido es una buena representación de la densidad. Esta es una aproximación razonable para líquidos como el agua, donde se requieren grandes fuerzas para comprimir el líquido o cambiar el volumen. En una piscina, por ejemplo, la densidad es aproximadamente constante, y el agua del fondo se comprime muy poco por el peso del agua de arriba. Sin embargo, viajar por la atmósfera es una situación muy diferente. La densidad del aire comienza a cambiar significativamente a poca distancia de la superficie de la Tierra.

Para obtener una fórmula de la variación de la presión con la profundidad en un tanque que contiene un fluido de densidad ρ en la superficie de la Tierra, debemos partir de la hipótesis de que la densidad del fluido no es constante. El fluido situado en niveles más profundos está sometido a más fuerza que el fluido más cercano a la superficie debido al peso del fluido que está por encima. Por lo tanto, la presión calculada a una profundidad determinada es diferente de la presión calculada usando una densidad constante.

Imagine un elemento delgado de fluido a una profundidad h, como se muestra en la Figura 14.8. Supongamos que el elemento tenga un área de sección transversal A y una altura $\text{Δ}y$ Las fuerzas que actúan sobre el elemento son debido a las presiones p(y) por encima y $p\left(y+\text{Δ}y\right)$ debajo de ella. El peso del propio elemento también se muestra en el diagrama de cuerpo-libre.

Figura 14.8 Fuerzas sobre un elemento de masa dentro de un fluido. El peso del propio elemento se muestra en el diagrama de cuerpo-libre.

Dado que el elemento de fluido entre y y $y+\text{Δ}y$ no se acelera, las fuerzas están equilibradas. Usando un eje cartesiano yorientado hacia arriba, encontramos la siguiente ecuación para el componente y:

$$p\left(y+\text{Δ}y\right)A-p\left(y\right)A-g\text{Δ}m=0\left(\text{Δ}y<0\right).$$

14.6

Obsérvese que si el elemento tuviera un componente de aceleración ydistinto de cero, el lado derecho no sería cero, sino que sería la masa por la aceleración y. La masa del elemento se puede escribir en términos de la densidad del fluido y del volumen de los elementos:

$$\text{Δ}m=\left|\rho A\text{Δ}y\right|=\text{−}\rho A\text{Δ}y\left(\text{Δ}y<0\right).$$

Al poner esta expresión para $\text{Δ}m$ en la Ecuación 14.6 y luego dividir ambos lados entre $A\text{Δ}y$, encontramos

$$\frac{p(y+\text{Δ}y)-p(y)}{\text{Δ}y}=\text{−}\rho g.$$

14.7

Al tomar el límite del elemento infinitesimal $\text{Δ}y\to 0$, obtenemos la siguiente ecuación diferencial, la cual da la variación de la presión en un fluido:

$$\frac{dp}{dy}=\text{−}\rho g.$$

14.8

Esta ecuación nos dice que la tasa de cambio de presión en un fluido es proporcional a su densidad. La solución de esta ecuación depende de si la densidad ρ es constante o cambia con la profundidad, es decir, de la función ρ(y).

Si el rango de la profundidad analizada no es demasiado grande, podemos suponer que la densidad es constante. Pero si el rango de profundidad es lo suficientemente grande como para que la densidad varíe de forma apreciable, como en el caso de la atmósfera, hay un cambio significativo en densidad con profundidad. En ese caso, no podemos usar la aproximación de una densidad constante.

Presión en un fluido con densidad constante

Usemos la Ecuación 14.9 para elaborar una fórmula de la presión a una profundidad h de la superficie en un tanque de un líquido como agua, donde la densidad del líquido se puede tomar como constante.

Tenemos que integrar la Ecuación 14.9 de $y=0,$ donde la presión es la presión atmosférica $\left(p_0\right),$ hasta $y=\text{−}h,$ la coordenada yde la profundidad:

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\int }_{p_0}^{p}dp}& =\hfill & \text{−}{\displaystyle {\int }_0^{\text{−}h}\rho gdy}\hfill \\ \hfill p-p_0& =\hfill & \rho gh\hfill \\ \hfill p& =\hfill & p_0+\rho gh.\hfill \end{array}$$

14.9

Por lo tanto, la presión a una profundidad del fluido en la superficie de la Tierra es igual a la presión atmosférica más ρgh si la densidad del fluido es constante a lo largo de la altura, como hemos comprobado anteriormente.

Obsérvese que la presión en un fluido solo depende de la profundidad desde la superficie y no de la forma del recipiente. Así, en un recipiente en el que un fluido puede moverse libremente en varias partes, el líquido se mantiene al mismo nivel en cada parte, independientemente de la forma, como se muestra en la Figura 14.9.

Figura 14.9 Si un fluido puede circular libremente entre las partes de un recipiente, sube a la misma altura en cada una de ellas. En el recipiente de la imagen, la presión en el fondo de cada columna es la misma; si no lo fuera, el fluido circularía hasta que las presiones se igualaran.

Dirección de la presión en un fluido

La presión de los fluidos no tiene dirección, ya que es una cantidad escalar, mientras que las fuerzas debido a la presión tienen direcciones bien definidas: Siempre se ejercen perpendicularmente a cualquier superficie. La explicación es que los fluidos no pueden soportar ni ejercer fuerzas de cizallamiento. Así, en un fluido estático encerrado en un tanque, la fuerza ejercida sobre sus paredes se ejerce perpendicularmente a la superficie interior. Asimismo, la presión se ejerce perpendicularmente a las superficies de cualquier objeto dentro del fluido. La Figura 14.10 ilustra la presión que ejerce el aire sobre las paredes de un neumático y por el agua sobre el cuerpo de un nadador.

Figura 14.10 (a) La presión en el interior de este neumático ejerce fuerzas perpendiculares a todas las superficies con las que entra en contacto. Las flechas representan las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas en varios puntos. (b) La presión se ejerce perpendicularmente a todos los lados de este nadador, ya que el agua fluiría en el espacio que él ocupa si no estuviera allí. Las flechas representan las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas en varios puntos del nadador. Obsérvese que las fuerzas son mayores por debajo, debido a la mayor profundidad, dando una fuerza neta ascendente o fuerza de flotación. La fuerza vertical neta sobre el nadador es igual a la suma de la fuerza de flotación y el peso del nadador.