11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente

Campos magnéticos producidos por corrientes eléctricas

Al hablar de los descubrimientos históricos del magnetismo, mencionamos el hallazgo de Oersted de que un cable que portaba una corriente eléctrica provocaba la desviación de una brújula cercana. Se estableció la conexión de que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos (esta conexión entre la electricidad y el magnetismo se trata con más detalle en Fuentes de campos magnéticos).

La aguja de brújula cerca del cable experimenta una fuerza que alinea la aguja tangente a un círculo alrededor del cable. Por lo tanto, un cable portador de corriente produce bucles circulares de campo magnético. Para determinar la dirección del campo magnético generado a partir de un cable, utilizamos una segunda regla de la mano derecha. En la RHR-2, el pulgar apunta en la dirección de la corriente mientras los dedos envuelven el cable, apuntando en la dirección del campo magnético producido (Figura 11.11). Si el campo magnético viniera hacia usted o fuera de la página, lo representamos con un punto. Si el campo magnético entrara en la página, lo representaríamos con una $\times .$ Estos símbolos provienen de la consideración de una flecha vectorial: Una flecha apuntando hacia usted, desde su perspectiva, se vería como un punto o la punta de una flecha. Una flecha apuntando en dirección contraria a usted, desde su perspectiva, se vería como una cruz o una $\times .$ En la Figura 11.11 se muestra un esquema compuesto de los círculos magnéticos, en el que se muestra que la intensidad del campo disminuye a medida que se aleja del cable mediante bucles más separados.

Figura 11.11 (a) Cuando el cable está en el plano del papel, el campo es perpendicular al papel. Observe los símbolos utilizados para el campo que apunta hacia adentro (como la cola de una flecha) y el campo que apunta hacia afuera (como la punta de una flecha). (b) Un cable largo y recto crea un campo con líneas de campo magnético que forman bucles circulares.

Cálculo de la fuerza magnética

La corriente eléctrica es un movimiento ordenado de carga. Por lo tanto, un cable portador de corriente en un campo magnético debe experimentar una fuerza debida al campo. Para investigar esta fuerza, consideremos la sección infinitesimal de cable que se muestra en la Figura 11.12. La longitud y el área transversal de la sección son dl y A, respectivamente, por lo que su volumen es $V=A·dl.$ El cable está formado por un material que contiene n portadores de carga por unidad de volumen, por lo que el número de portadores de carga en la sección es $nA·dl.$ Si los portadores de carga se mueven con velocidad de deriva ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}},$ la corriente I en el cable es (a partir de Corriente y resistencia)

La fuerza magnética sobre cualquier portador de carga individual es $e{\overrightarrow{v}}_{\text{d}}\times \overrightarrow{B},$ por lo que la fuerza magnética total $d\overrightarrow{F}$ en los portadores de carga $nA·dl$ en la sección de cable es

Podemos definir dl como un vector de longitud dl que apunta a lo largo de ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}},$ lo que nos permite reescribir esta ecuación como

o

Esta es la fuerza magnética sobre la sección de cable. Observe que en realidad es la fuerza neta ejercida por el campo sobre los propios portadores de carga. La dirección de esta fuerza viene dada por la RHR-1, en la que se apuntan los dedos en la dirección de la corriente y se curvan hacia el campo. El pulgar apunta entonces en la dirección de la fuerza.

Figura 11.12 Una sección infinitesimal de cable portador de corriente en un campo magnético.

Para determinar la fuerza magnética $\overrightarrow{F}$ en un cable de longitud y forma arbitrarias, debemos integrar la Ecuación 11.12 en todo el cable. Si la sección del cable resulta ser recta y B es uniforme, las diferenciales de la ecuación se convierten en cantidades absolutas, dándonos

Esta es la fuerza que se ejerce sobre un cable recto portador de corriente en un campo magnético uniforme.

Ejemplo 11.4

Equilibrio de las fuerzas gravitacionales y magnéticas en un cable portador de corriente

Un cable de 50 cm de longitud y 10 g de masa está suspendido en un plano horizontal por un par de cables flexibles (Figura 11.13). A continuación, el cable se somete a un campo magnético constante de magnitud 0,50 T, que se dirige como se indica. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la corriente en el cable necesaria para eliminar la tensión en los cables de soporte?

Figura 11.13 (a) Un cable suspendido en un campo magnético. (b) El diagrama de cuerpo-libre del cable.

Estrategia

Según el diagrama de cuerpo-libre de la figura, las tensiones en los cables de soporte llegan a cero cuando las fuerzas gravitacionales y magnéticas se equilibran. Con el uso de la RHR-1, hallamos que la fuerza magnética apunta hacia arriba. Entonces podemos determinar la corriente I al guiar las dos fuerzas.

Solución

Iguale las dos fuerzas del peso y la fuerza magnética sobre el cable:

$$mg=IlB.$$

Así,

$$I=\frac{mg}{lB}=\frac{(\mathrm{0,010}\text{kg})(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)}{(\mathrm{0,50}\text{m})(\mathrm{0,50}\text{T})}=\mathrm{0,39}\text{A.}$$

Importancia

Este gran campo magnético crea una fuerza significativa sobre una longitud de cable para contrarrestar su peso.

Ejemplo 11.6

Fuerza en un cable circular

Un bucle circular de radio R que porta una corriente I se sitúa en el plano xy. Un campo magnético uniforme y constante atraviesa el bucle paralelamente al eje y (Figura 11.14). Halle la fuerza magnética sobre la mitad superior del bucle, la mitad inferior del bucle y la fuerza total sobre este.

Figura 11.14 Un bucle de cable que porta una corriente en un campo magnético.

Estrategia

La fuerza magnética sobre el bucle superior debe escribirse en términos de la fuerza diferencial que actúa sobre cada segmento de él. Si integramos sobre cada pieza diferencial, resolvemos la fuerza global en esa sección del bucle. La fuerza en el bucle inferior se calcula de manera similar, y la fuerza total es la suma de estas dos fuerzas.

Solución

Una fuerza diferencial sobre un trozo de cable arbitrario situado en el anillo superior es:

$$dF=IB\text{sen}\theta dl.$$

donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección del campo magnético (y +) y el segmento de cable. Un segmento diferencial se encuentra en el mismo radio, por lo que al utilizar una fórmula de longitud de arco, tenemos:

$$\begin{array}{ccc}\hfill dl& =\hfill & Rd\theta \hfill \\ \hfill dF& =\hfill & IBR\text{sen}\theta d\theta .\hfill \end{array}$$

Para hallar la fuerza sobre un segmento, integramos sobre la mitad superior del círculo, de 0 a $\pi .$ Esto da como resultado:

$$F=IBR{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\text{sen}\theta d\theta =IBR(\text{−}\text{cos}\pi +\text{cos}0)}}^{}=2IBR.$$

La mitad inferior del bucle se integra de $\pi$ a cero, lo que nos da:

$$F=IBR{{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{0}{\int }}\text{sen}\theta d\theta =IBR(\text{−}\text{cos}0+\text{cos}\pi )}}^{}=\mathrm{-2}IBR.$$

La fuerza neta es la suma de estas fuerzas, que es cero.

Importancia

La fuerza total sobre cualquier bucle cerrado en un campo magnético uniforme es cero. Aunque cada pieza del bucle tiene una fuerza que actúa sobre él, la fuerza neta sobre el sistema es cero. (Observe que hay un torque neto en el bucle, que consideramos en la siguiente sección).