William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Definir la expansión adiabática de un gas ideal.
Demostrar la diferencia cualitativa entre expansiones adiabáticas e isotérmicas.

Cuando un gas ideal se comprime adiabáticamente $(Q = 0),$ se realiza trabajo sobre él y su temperatura aumenta; en una expansión adiabática, el gas realiza trabajo y su temperatura desciende. Las compresiones adiabáticas se producen en realidad en los cilindros de un automóvil, donde las compresiones de la mezcla de gas y aire ocurren tan rápidamente que no hay tiempo para que la mezcla intercambie calor con su ambiente. Aun así, como se realiza un trabajo sobre la mezcla durante la compresión, su temperatura aumenta considerablemente. De hecho, los aumentos de temperatura pueden ser tan grandes que la mezcla puede explotar sin necesidad de una chispa. Estas explosiones, al no estar cronometradas, hacen que el automóvil funcione con deficiencia: suele “golpear”. Dado que la temperatura de ignición aumenta con el octanaje de la gasolina, una forma de superar este problema es utilizar una gasolina de mayor octanaje.

Otro proceso adiabático interesante es la expansión libre de un gas. En la Figura 3.13 se muestra un gas confinado por una membrana a un lado de un recipiente de dos compartimentos aislado térmicamente. Cuando se perfora la membrana, el gas entra en el lado vacío del recipiente y se expande libremente. Porque el gas se expande “contra el vacío” $(p = 0)$ , no realiza ningún trabajo, y como el recipiente está aislado térmicamente, la expansión es adiabática. Con $Q = 0$ y $W = 0$ en la primera ley, $Δ E_{int} = 0,$ así que $E_{int}_{i} = E_{int}_{f}$ para la expansión libre.

La figura de la izquierda es una ilustración del estado de equilibrio inicial de un recipiente con una división en el centro que lo separa en dos cámaras. Las paredes exteriores están aisladas. La cámara de la izquierda está llena de gas, indicada por un sombreado azul y muchos puntos pequeños que representan las moléculas de gas. La cámara derecha está vacía. La figura de la derecha es una ilustración del estado de equilibrio final del recipiente. La división tiene un agujero. Todo el recipiente, a ambos lados de la división, está lleno de gas, lo que se indica por el sombreado azul y muchos puntos pequeños que representan las moléculas de gas. Los puntos de la segunda ilustración, la del estado de equilibrio final, son menos densos que los de la primera ilustración, la del estado inicial.

Figura 3.13 El gas de la cámara izquierda se expande libremente hacia la cámara derecha cuando se perfora la membrana.

Si el gas es ideal, la energía interna depende solo de la temperatura. Por lo tanto, cuando un gas ideal se expande libremente, su temperatura no cambia.

Una expansión cuasiestática adiabática de un gas ideal se representa en la Figura 3.14, que muestra un cilindro aislado que contiene 1 mol de un gas ideal. Se hace que el gas se expanda de forma cuasiestática al retirar un grano de arena a la vez de la parte superior del pistón. Cuando el gas se expande en dV, el cambio en su temperatura es dT. El trabajo realizado por el gas en la expansión es $d W = p d V; d Q = 0$ porque el cilindro está aislado; y el cambio en la energía interna del gas es, desde la Ecuación 3.9, $d E_{int} = C_{V} n d T .$ Por lo tanto, a partir de la primera ley,

C_{V} n d T = 0 - p d V = − p d V,

así que

d T = - \frac{p d V}{C_{V} n} .

La figura es una ilustración de un recipiente. Las paredes y el fondo están rellenos con una gruesa capa de aislamiento. La cámara del recipiente se cierra desde arriba mediante un pistón. Dentro de la cámara hay un gas. Hay un montón de arena encima del pistón, y una mano con pinzas está sacando granos del montón.

Figura 3.14 Cuando se retira la arena del pistón, grano a grano, el gas se expande adiabática y cuasiestáticamente en el recipiente aislado.

Además, para 1 mol de un gas ideal,

d (p V) = d (R n T),

así que

p d V + V d p = R n d T

y

d T = \frac{p d V + V d p}{R n} .

Ahora tenemos dos ecuaciones para dT. Al equipararlos, hallamos que

C_{V} n V d p + (C_{V} n + R n) p d V = 0 .

Ahora, dividimos esta ecuación entre npV y usamos $C_{p} = C_{V} + R$ . Nos quedamos entonces con

C_{V} \frac{d p}{p} + C_{p} \frac{d V}{V} = 0,

que se convierte en

\frac{d p}{p} + γ \frac{d V}{V} = 0,

donde definimos $γ$ como la relación de las capacidades térmicas molares:

γ = \frac{C_{p}}{C_{V}} .

3.11

Así,

\int \frac{d p}{p} + γ \int \frac{d V}{V} = 0

y

ln p + γ ln V = constante .

Por último, al usar $ln (A^{x}) = x ln A y ln A B = ln A + ln B$ , podemos escribirla de la forma

p V^{γ} = constante .

3.12

Esta ecuación es la condición que debe cumplir un gas ideal en un proceso adiabático cuasiestático. Por ejemplo, si un gas ideal realiza una transición adiabática cuasiestática desde un estado con presión y volumen $p_{1}$ y $V_{1}$ a un estado con $p_{2}$ y $V_{2},$ entonces debe ser cierto que $p_{1} V_{1}^{γ} = p_{2} V_{2}^{γ} .$

La condición adiabática de la Ecuación 3.12 se puede escribir en términos de otros pares de variables termodinámicas combinándola con la ley de los gases ideales. Al hacer esto, hallamos que

p^{1 - γ} T^{γ} = constante

3.13

y

T V^{γ - 1} = constante .

3.14

Una expansión adiabática reversible de un gas ideal se representa en el diagrama pV de la Figura 3.15. La pendiente de la curva en cualquier punto es

\frac{d p}{d V} = \frac{d}{d V} (\frac{constante}{V^{γ}}) = − γ \frac{p}{V} .

La figura es un trazado de presión, p, en el eje vertical como una función de volumen, V, en el eje horizontal. Se trazan dos curvas. Ambos son monótonamente decrecientes y cóncavos. Uno es ligeramente más alto y tiene una mayor curvatura. Esta curva está identificada como “isotérmica”. La segunda curva está por debajo de la curva isotérmica y tiene una curvatura ligeramente menor. Esta curva está identificada como “adiabática”.

Figura 3.15 Expansiones adiabáticas e isotérmicas cuasiestáticas de un gas ideal.

La curva discontinua que se muestra en este diagrama de pV representa una expansión isotérmica en la que T (y por tanto pV) es constante. La pendiente de esta curva es útil cuando consideramos la segunda ley de la termodinámica en el próximo capítulo. Esta pendiente es

\frac{d p}{d V} = \frac{d}{d V} \frac{n R T}{V} = - \frac{p}{V} .

Porque $γ > 1,$ la curva isotérmica no es tan pronunciada como la de la expansión adiabática.

Ejemplo 3.7

Compresión de un gas ideal en un motor de automóvil

El vapor de la gasolina se inyecta en el cilindro de un motor de automóvil cuando el pistón está en posición de expansión. La temperatura, la presión y el volumen de la mezcla gas-aire resultante son

20 ° C

,

1,00 \times 10^{5} {N/m}^{2},

y

240 {cm}^{3}

, respectivamente. A continuación, la mezcla se comprime adiabáticamente hasta un volumen de

40 {cm}^{3}

. Tome en cuenta que en el funcionamiento real de un motor de automóvil, la compresión no es cuasiestática, aunque aquí hagamos esa suposición. (a) ¿Cuáles son la presión y la temperatura de la mezcla después de la compresión? (b) ¿Cuánto trabajo realiza la mezcla durante la compresión?

Estrategia

Como estamos modelando el proceso como una compresión adiabática cuasiestática de un gas ideal, tenemos

p V^{γ} = constante

y

p V = n R T

. El trabajo necesario se puede entonces evaluar con

W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V

.

Solución

Para una compresión adiabática tenemos
$p_{2} = p_{1} {(\frac{V_{1}}{V_{2}})}^{γ},$
por lo que después de la compresión, la presión de la mezcla es
$p_{2} = (1,00 \times 10^{5} {N/m}^{2}) {(\frac{240 \times 10^{−6} m^{3}}{40 \times 10^{−6} m^{3}})}^{1,40} = 1,23 \times 10^{6} {N/m}^{2} .$
A partir de la ley de los gases ideales, la temperatura de la mezcla después de la compresión es
$\begin{matrix} T_{2} & = (\frac{p_{2} V_{2}}{p_{1} V_{1}}) T_{1} \\ = \frac{(1,23 \times 10^{6} {N/m}^{2}) (40 \times 10^{−6} m^{3})}{(1,00 \times 10^{5} {N/m}^{2}) (240 \times 10^{−6} m^{3})} \cdot 293 K \\ = 600 K = 328 ° C . \end{matrix}$
El trabajo realizado por la mezcla durante la compresión es
$W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p d V .$
Con la condición adiabática de la Ecuación 3.12, podemos escribir p como $K / V^{γ},$ donde $K = p_{1} V_{1}^{γ} = p_{2} V_{2}^{γ} .$ Por lo tanto, el trabajo es
$\begin{matrix} W & = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{K}{V^{γ}} d V \\ = \frac{K}{1 - γ} (\frac{1}{V_{2}^{γ - 1}} - \frac{1}{V_{1}^{γ - 1}}) \\ = \frac{1}{1 - γ} (\frac{p_{2} V_{2}^{γ}}{V_{2}^{γ - 1}} - \frac{p_{1} V_{1}^{γ}}{V_{1}^{γ - 1}}) \\ = \frac{1}{1 - γ} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1}) \\ = \frac{1}{1 - 1,40} [(1,23 \times 10^{6} {N/m}^{2}) (40 \times 10^{−6} m^{3}) \\ - (1,00 \times 10^{5} {N/m}^{2}) (240 \times 10^{−6} m^{3})] \\ = -63 J . \end{matrix}$

Importancia

El signo negativo del trabajo hecho indica que el pistón realiza un trabajo sobre la mezcla gas-aire. El motor no funcionaría si la mezcla de gas y aire funcionara en el pistón.

3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal

Compresión de un gas ideal en un motor de automóvil

Estrategia

Solución

Importancia