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Física Universitaria Volumen 2

3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal

Física Universitaria Volumen 23.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Definir la expansión adiabática de un gas ideal.
  • Demostrar la diferencia cualitativa entre expansiones adiabáticas e isotérmicas.

Cuando un gas ideal se comprime adiabáticamente (Q=0),(Q=0), se realiza trabajo sobre él y su temperatura aumenta; en una expansión adiabática, el gas realiza trabajo y su temperatura desciende. Las compresiones adiabáticas se producen en realidad en los cilindros de un automóvil, donde las compresiones de la mezcla de gas y aire ocurren tan rápidamente que no hay tiempo para que la mezcla intercambie calor con su ambiente. Aun así, como se realiza un trabajo sobre la mezcla durante la compresión, su temperatura aumenta considerablemente. De hecho, los aumentos de temperatura pueden ser tan grandes que la mezcla puede explotar sin necesidad de una chispa. Estas explosiones, al no estar cronometradas, hacen que el automóvil funcione con deficiencia: suele “golpear”. Dado que la temperatura de ignición aumenta con el octanaje de la gasolina, una forma de superar este problema es utilizar una gasolina de mayor octanaje.

Otro proceso adiabático interesante es la expansión libre de un gas. En la Figura 3.13 se muestra un gas confinado por una membrana a un lado de un recipiente de dos compartimentos aislado térmicamente. Cuando se perfora la membrana, el gas entra en el lado vacío del recipiente y se expande libremente. Porque el gas se expande “contra el vacío” (p=0)(p=0), no realiza ningún trabajo, y como el recipiente está aislado térmicamente, la expansión es adiabática. Con Q=0Q=0 y W=0W=0 en la primera ley, ΔEint=0,ΔEint=0, así que Einti=EintfEinti=Eintf para la expansión libre.

La figura de la izquierda es una ilustración del estado de equilibrio inicial de un recipiente con una división en el centro que lo separa en dos cámaras. Las paredes exteriores están aisladas. La cámara de la izquierda está llena de gas, indicada por un sombreado azul y muchos puntos pequeños que representan las moléculas de gas. La cámara derecha está vacía. La figura de la derecha es una ilustración del estado de equilibrio final del recipiente. La división tiene un agujero. Todo el recipiente, a ambos lados de la división, está lleno de gas, lo que se indica por el sombreado azul y muchos puntos pequeños que representan las moléculas de gas. Los puntos de la segunda ilustración, la del estado de equilibrio final, son menos densos que los de la primera ilustración, la del estado inicial.
Figura 3.13 El gas de la cámara izquierda se expande libremente hacia la cámara derecha cuando se perfora la membrana.

Si el gas es ideal, la energía interna depende solo de la temperatura. Por lo tanto, cuando un gas ideal se expande libremente, su temperatura no cambia.

Una expansión cuasiestática adiabática de un gas ideal se representa en la Figura 3.14, que muestra un cilindro aislado que contiene 1 mol de un gas ideal. Se hace que el gas se expanda de forma cuasiestática al retirar un grano de arena a la vez de la parte superior del pistón. Cuando el gas se expande en dV, el cambio en su temperatura es dT. El trabajo realizado por el gas en la expansión es dW=pdV;dQ=0dW=pdV;dQ=0 porque el cilindro está aislado; y el cambio en la energía interna del gas es, desde la Ecuación 3.9, dEint=CVndT.dEint=CVndT. Por lo tanto, a partir de la primera ley,

CVndT=0pdV=pdV,CVndT=0pdV=pdV,

así que

dT=pdVCVn.dT=pdVCVn.
La figura es una ilustración de un recipiente. Las paredes y el fondo están rellenos con una gruesa capa de aislamiento. La cámara del recipiente se cierra desde arriba mediante un pistón. Dentro de la cámara hay un gas. Hay un montón de arena encima del pistón, y una mano con pinzas está sacando granos del montón.
Figura 3.14 Cuando se retira la arena del pistón, grano a grano, el gas se expande adiabática y cuasiestáticamente en el recipiente aislado.

Además, para 1 mol de un gas ideal,

d(pV)=d(RnT),d(pV)=d(RnT),

así que

pdV+Vdp=RndTpdV+Vdp=RndT

y

dT=pdV+VdpRn.dT=pdV+VdpRn.

Ahora tenemos dos ecuaciones para dT. Al equipararlos, hallamos que

CVnVdp+(CVn+Rn)pdV=0.CVnVdp+(CVn+Rn)pdV=0.

Ahora, dividimos esta ecuación entre npV y usamos Cp=CV+RCp=CV+R. Nos quedamos entonces con

CVdpp+CpdVV=0,CVdpp+CpdVV=0,

que se convierte en

dpp+γdVV=0,dpp+γdVV=0,

donde definimos γγ como la relación de las capacidades térmicas molares:

γ=CpCV.γ=CpCV.
3.11

Así,

dpp+γdVV=0dpp+γdVV=0

y

lnp+γlnV=constante.lnp+γlnV=constante.

Por último, al usar ln(Ax)=xlnAylnAB=lnA+lnBln(Ax)=xlnAylnAB=lnA+lnB, podemos escribirla de la forma

pVγ=constante.pVγ=constante.
3.12

Esta ecuación es la condición que debe cumplir un gas ideal en un proceso adiabático cuasiestático. Por ejemplo, si un gas ideal realiza una transición adiabática cuasiestática desde un estado con presión y volumen p1p1 y V1V1 a un estado con p2p2 y V2,V2, entonces debe ser cierto que p1V1γ=p2V2γ.p1V1γ=p2V2γ.

La condición adiabática de la Ecuación 3.12 se puede escribir en términos de otros pares de variables termodinámicas combinándola con la ley de los gases ideales. Al hacer esto, hallamos que

p1γTγ=constantep1γTγ=constante
3.13

y

TVγ1=constante.TVγ1=constante.
3.14

Una expansión adiabática reversible de un gas ideal se representa en el diagrama pV de la Figura 3.15. La pendiente de la curva en cualquier punto es

dpdV=ddV(constanteVγ)=γpV.dpdV=ddV(constanteVγ)=γpV.
La figura es un trazado de presión, p, en el eje vertical como una función de volumen, V, en el eje horizontal. Se trazan dos curvas. Ambos son monótonamente decrecientes y cóncavos. Uno es ligeramente más alto y tiene una mayor curvatura. Esta curva está identificada como “isotérmica”. La segunda curva está por debajo de la curva isotérmica y tiene una curvatura ligeramente menor. Esta curva está identificada como “adiabática”.
Figura 3.15 Expansiones adiabáticas e isotérmicas cuasiestáticas de un gas ideal.

La curva discontinua que se muestra en este diagrama de pV representa una expansión isotérmica en la que T (y por tanto pV) es constante. La pendiente de esta curva es útil cuando consideramos la segunda ley de la termodinámica en el próximo capítulo. Esta pendiente es

dpdV=ddVnRTV=pV.dpdV=ddVnRTV=pV.

Porque γ>1,γ>1, la curva isotérmica no es tan pronunciada como la de la expansión adiabática.

Ejemplo 3.7

Compresión de un gas ideal en un motor de automóvil

El vapor de la gasolina se inyecta en el cilindro de un motor de automóvil cuando el pistón está en posición de expansión. La temperatura, la presión y el volumen de la mezcla gas-aire resultante son 20°C20°C, 1,00×105N/m2,1,00×105N/m2, y 240cm3240cm3, respectivamente. A continuación, la mezcla se comprime adiabáticamente hasta un volumen de 40cm340cm3. Tome en cuenta que en el funcionamiento real de un motor de automóvil, la compresión no es cuasiestática, aunque aquí hagamos esa suposición. (a) ¿Cuáles son la presión y la temperatura de la mezcla después de la compresión? (b) ¿Cuánto trabajo realiza la mezcla durante la compresión?

Estrategia

Como estamos modelando el proceso como una compresión adiabática cuasiestática de un gas ideal, tenemos pVγ=constantepVγ=constante y pV=nRTpV=nRT. El trabajo necesario se puede entonces evaluar con W=V1V2pdVW=V1V2pdV.

Solución

  1. Para una compresión adiabática tenemos
    p2=p1(V1V2)γ,p2=p1(V1V2)γ,
    por lo que después de la compresión, la presión de la mezcla es
    p2=(1,00×105N/m2)(240×10−6m340×10−6m3)1,40=1,23×106N/m2.p2=(1,00×105N/m2)(240×10−6m340×10−6m3)1,40=1,23×106N/m2.
    A partir de la ley de los gases ideales, la temperatura de la mezcla después de la compresión es
    T2=(p2V2p1V1)T1=(1,23×106N/m2)(40×10−6m3)(1,00×105N/m2)(240×10−6m3)·293K=600K=328°C.T2=(p2V2p1V1)T1=(1,23×106N/m2)(40×10−6m3)(1,00×105N/m2)(240×10−6m3)·293K=600K=328°C.
  2. El trabajo realizado por la mezcla durante la compresión es
    W=V1V2pdV.W=V1V2pdV.
    Con la condición adiabática de la Ecuación 3.12, podemos escribir p como K/Vγ,K/Vγ, donde K=p1V1γ=p2V2γ.K=p1V1γ=p2V2γ. Por lo tanto, el trabajo es
    W=V1V2KVγdV=K1γ(1V2γ11V1γ1)=11γ(p2V2γV2γ1p1V1γV1γ1)=11γ(p2V2p1V1)=111,40[(1,23×106N/m2)(40×10−6m3)(1,00×105N/m2)(240×10−6m3)]=-63J.W=V1V2KVγdV=K1γ(1V2γ11V1γ1)=11γ(p2V2γV2γ1p1V1γV1γ1)=11γ(p2V2p1V1)=111,40[(1,23×106N/m2)(40×10−6m3)(1,00×105N/m2)(240×10−6m3)]=-63J.

Importancia

El signo negativo del trabajo hecho indica que el pistón realiza un trabajo sobre la mezcla gas-aire. El motor no funcionaría si la mezcla de gas y aire funcionara en el pistón.
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