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Física universitaria volumen 2

1.3 Dilatación térmica

Física universitaria volumen 21.3 Dilatación térmica

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Responder preguntas cualitativas sobre los efectos de la dilatación térmica.
  • Resolver problemas de dilatación térmica, incluidos los de tensión térmica.

La expansión del alcohol en un termómetro es uno de los muchos ejemplos habituales de dilatación térmica, lo cual es el cambio de tamaño o volumen de un sistema determinado al cambiar su temperatura. El ejemplo más visible es la expansión del aire caliente. Cuando el aire se calienta, se expande y se vuelve menos denso que el aire circundante, que entonces ejerce una fuerza (ascendente) sobre el aire caliente y hace que el vapor de agua y el humo suban, los globos de aire caliente floten, etc. El mismo comportamiento se produce en todos los líquidos y gases, lo que impulsa la transferencia natural de calor hacia arriba en hogares, océanos y sistemas meteorológicos, como veremos en una próxima sección. Los sólidos también están sometidos a dilatación térmica. Las vías férreas y los puentes, por ejemplo, tienen juntas de expansión que les permiten expandirse y contraerse libremente con los cambios de temperatura, como se muestra en la Figura 1.5.

La fotografía a muestra una junta de dilatación como un pequeño espacio en una carretera. La fotografía b muestra el puente del puerto de Auckland.
Figura 1.5 (a) Las juntas de dilatación térmica como estas en el (b) puente del puerto de Auckland, en Nueva Zelanda, permiten que los puentes cambien de longitud sin pandearse (créditos: modificación de trabajos de "ŠJů"/Wikimedia Commons).

¿Cuál es la causa subyacente de la dilatación térmica? Como se ha mencionado anteriormente, un aumento de la temperatura significa un aumento de la energía cinética de átomos individuales. En un sólido, a diferencia de un gas, las moléculas se mantienen en su lugar por las fuerzas de las moléculas vecinas; como vimos en la sección Oscilaciones, las fuerzas se pueden modelar como en resortes armónicos descritos por el potencial de Lennard-Jones. En Energía en movimiento armónico simple se muestra que tales potenciales son asimétricos en el sentido de que la energía potencial aumenta de forma más pronunciada cuando las moléculas se acercan entre sí que cuando se alejan. Así, a una energía cinética determinada, la distancia recorrida es mayor cuando los vecinos se alejan unos de otros que cuando se acercan. El resultado es que el aumento de la energía cinética (aumento de temperatura) aumenta la distancia promedio entre las moléculas: la sustancia se expande.

Para la mayoría de las sustancias en condiciones ordinarias es una excelente aproximación que no exista una dirección preferida (es decir, que el sólido sea “isotrópico”), y un aumento de la temperatura aumenta el tamaño del sólido en una determinada fracción en cada dimensión. Por lo tanto, si el sólido es libre de expandirse o contraerse, sus proporciones permanecen iguales; solo cambia su tamaño total.

Dilatación térmica lineal

Según los experimentos, la dependencia de la dilatación térmica de la temperatura, la sustancia y la longitud original se resume en la ecuación

dLdT=αLdLdT=αL
1.1

donde dLdTdLdT es el cambio instantáneo de longitud por temperatura, L es la longitud y αα es el coeficiente de dilatación lineal, una propiedad del material que varía ligeramente con la temperatura. Como αα es casi constante y también muy pequeña, a efectos prácticos, usamos la aproximación lineal:

ΔL=αLΔTΔL=αLΔT
1.2

donde ΔLΔL es el cambio de longitud y ΔTΔT es el cambio de temperatura.

En la Tabla 1.2 se enumeran los valores representativos del coeficiente de dilatación lineal. Como se ha señalado anteriormente, ΔTΔT es lo mismo si se expresa en unidades de grados Celsius o en unidades kelvin; así, αα puede tener unidades de 1/°C1/°C o 1/K con el mismo valor en ambos casos. Aproximación a αα como constante es bastante precisa para pequeños cambios de temperatura y suficiente para la mayoría de los fines prácticos, incluso para grandes cambios de temperatura. Examinamos esta aproximación con más detalle en el siguiente ejemplo.

Material Coeficiente de dilatación lineal α(1/°C)α(1/°C) Coeficiente de expansión (dilatación) volumétrica β(1/°C)β(1/°C)
Sólidos
Aluminio 25×10−625×10−6 75×10−675×10−6
Latón 19×10−619×10−6 56×10−656×10−6
Cobre 17×10−617×10−6 51×10−651×10−6
Oro 14×10−614×10−6 42×10−642×10−6
Hierro o acero 12×10−612×10−6 35×10−635×10−6
Invar (aleación de níquel y hierro) 0,9×10−60,9×10−6 2,7×10−62,7×10−6
Plomo 29×10−629×10−6 87×10−687×10−6
Plata 18×10−618×10−6 54×10−654×10−6
Vidrio (ordinario) 9×10−69×10−6 27×10−627×10−6
Vidrio (Pyrex®) 3×10−63×10−6 9×10−69×10−6
Cuarzo 0,4×10−60,4×10−6 1×10−61×10−6
Hormigón, ladrillo ~12×10−6~12×10−6 ~36×10−6~36×10−6
Mármol (promedio) 2,5×10−62,5×10−6 7,5×10−67,5×10−6
Líquidos
Éter 1.650×10−61.650×10−6
Alcohol etílico 1.100×10−61.100×10−6
Gasolina 950×10−6950×10−6
Glicerina 500×10−6500×10−6
Mercurio 180×10−6180×10−6
Agua 210×10−6210×10−6
Gases
El aire y la mayoría de los gases a presión atmosférica 3.400×10−63.400×10−6
Tabla 1.2 Coeficientes de dilatación térmica

La dilatación térmica se aprovecha en la banda bimetálica (Figura 1.6). Este dispositivo se puede usar como termómetro si la tira curva se une a un puntero de una balanza. También se puede usar para cerrar o abrir automáticamente un interruptor a una determinada temperatura, como en termostatos antiguos o analógicos.

La figura a muestra dos tiras verticales unidas entre sí. Esto está identificado como T0. La figura b muestra las mismas dos tiras dobladas hacia la derecha. Se identifica como T mayor que T0.
Figura 1.6 La curvatura de una tira bimetálica depende de la temperatura. (a) La tira está en línea recta con la temperatura inicial, donde sus dos componentes tienen la misma longitud. (b) A una temperatura más alta, esta tira se curva hacia la derecha, porque el metal de la izquierda se ha expandido más que el de la derecha. A una temperatura más baja, la tira se doblaría hacia la izquierda.

Ejemplo 1.2

Calcular la dilatación térmica lineal

El vano principal del puente Golden Gate de San Francisco tiene 1.275 m de longitud en su punto más frío. El puente está expuesto a temperaturas que oscilan entre –15°C–15°C a 40°C40°C. ¿Cuál es su cambio de longitud entre estas temperaturas? Suponga que el puente es totalmente de acero.

Estrategia

Use la ecuación de la dilatación térmica lineal ΔL=αLΔTΔL=αLΔT para calcular el cambio de longitud, ΔLΔL. Use el coeficiente de dilatación lineal αα para el acero de la Tabla 1.2 y note que el cambio de temperatura ΔTΔT es de 55°C.55°C.

Solución

Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación para despejar ΔLΔL:
ΔL=αLΔT=(12×10−6°C)(1.275m)(55°C)=0,84m.ΔL=αLΔT=(12×10−6°C)(1.275m)(55°C)=0,84m.

Importancia

Aunque no es grande en comparación con la longitud del puente, este cambio de longitud es observable. Generalmente, se reparte en muchas juntas de expansión para que la expansión en cada junta sea pequeña.

Dilatación térmica en dos y tres dimensiones

Los objetos sin restricciones se expanden en todas las dimensiones, como se ilustra en la Figura 1.7. Es decir, sus áreas y volúmenes, así como sus longitudes, aumentan con la temperatura. Como las proporciones se mantienen, los agujeros y los volúmenes de los recipientes también aumentan con la temperatura. Si corta un agujero en una placa metálica, el material restante se expandirá exactamente igual que si la pieza que ha quitado siguiera en su sitio. La pieza se haría más grande, por lo que el agujero también debe hacerse más grande.

Dilatación térmica en dos dimensiones

Para pequeños cambios de temperatura, el cambio en el área ΔAΔA viene dado por

ΔA=2αAΔTΔA=2αAΔT
1.3

donde ΔAΔA es el cambio en el área A,ΔTA,ΔT es el cambio de temperatura y αα es el coeficiente de dilatación lineal, que varía ligeramente con la temperatura (la derivación de esta ecuación es análoga a la de la ecuación más importante para tres dimensiones, que aparece a continuación).

La figura muestra un círculo dentro de un cuadrado. El círculo está delimitado por otro círculo ligeramente más grande. El círculo más grande es un contorno con líneas discontinuas. Del mismo modo, el cuadrado está delineado por un cuadrado más grande con líneas discontinuas. La figura b es similar a la figura a, salvo que el círculo interior está recortado en el cuadrado. La figura c es un cubo rodeado por un cubo más grande, con líneas discontinuas.
Figura 1.7 En general, los objetos se expanden en todas las direcciones al aumentar la temperatura. En estos dibujos, los límites originales de los objetos se muestran con líneas sólidas, y los límites ampliados con líneas discontinuas. (a) El área aumenta porque tanto la longitud como la anchura aumentan. El área de un tapón circular también aumenta. (b) Si se retira el tapón, el agujero que deja se hace más grande con el aumento de la temperatura, al igual que si el tapón en expansión sigue en su lugar. (c) El volumen también aumenta, ya que las tres dimensiones aumentan.

Dilatación térmica en tres dimensiones

La relación entre volumen y temperatura dVdTdVdT viene dada por dVdT=βVdVdT=βV, donde ββ es el coeficiente de expansión (dilatación) volumétrica. Como se puede ver en el Ejercicio 1.60, β=3αβ=3α. Esta ecuación suele escribirse como

ΔV=βVΔT.ΔV=βVΔT.
1.4

Note que los valores de ββ en la Tabla 1.2 son iguales a 3α3α excepto por el redondeo.

La expansión de volumen está definida para líquidos, pero no así la expansión lineal y de área, ya que los cambios de dimensiones lineales y de área de un líquido dependen de la forma de su recipiente. Así, la Tabla 1.2 muestra los valores de los líquidos de ββ pero no αα.

En general, los objetos se expanden al aumentar la temperatura. El agua es la excepción más importante a esta regla. El agua se expande con el aumento de la temperatura (su densidad disminuye) a temperaturas superiores a 4°C(40°F)4°C(40°F). Sin embargo, es más densa en +4°C+4°C y se expande con la disminución de la temperatura entre +4°C+4°C y 0°C0°C (40°Fa32°F40°Fa32°F), como se muestra en la Figura 1.8. Un efecto sorprendente de este fenómeno es la congelación del agua en un estanque. Cuando el agua cerca de la superficie se enfría a 4°C,4°C, es más densa que el resto del agua y, por tanto, se hunde en el fondo. Esta “rotación” deja una capa de agua más caliente cerca de la superficie que luego se enfría. Sin embargo, si la temperatura en la capa superficial cae por debajo de 4°C4°C, esa agua es menos densa que el agua de abajo y, por lo tanto, se mantiene cerca de la parte superior. Como consecuencia, la superficie del estanque se puede congelar. La capa de hielo aísla el agua líquida que hay debajo de ella de las bajas temperaturas del aire. Los peces y otras formas de vida acuática pueden sobrevivir a 4°C4°C de agua bajo el hielo, debido a esta característica inusual del agua.

La figura muestra un gráfico de la densidad del agua dulce en gramos por centímetro cúbico versus la temperatura en grados Celsius. El gráfico comienza en 0,99985 a 0 grados y se eleva hasta un valor máximo de 1 a 4 grados Celsius y de algo menos. A continuación, se curva hasta 0,99950 a 12 grados Celsius.
Figura 1.8 Esta curva muestra la densidad del agua como una función de temperatura. Hay que tener en cuenta que la dilatación térmica a bajas temperaturas es muy pequeña. La densidad máxima a 4°C4°C es solo 0,0075%0,0075% mayor que la densidad a 2°C2°C y 0,012%0,012% mayor que a 0°C0°C. La disminución de la densidad por debajo de 4°C4°C se produce porque el agua líquida se acerca a la forma de cristal sólido del hielo, que contiene más espacio vacío que el líquido.

Ejemplo 1.3

Calcular la dilatación térmica

Suponga que su tanque de gasolina de acero de 60,0 L (15,9gal(15,9gal) está lleno de gas que está fresco porque acaba de ser bombeado desde un depósito subterráneo. Ahora, tanto el tanque como la gasolina tienen una temperatura de 15,0°C.15,0°C. ¿Cuánta gasolina se ha derramado para cuando se calienta a 35,0°C35,0°C?

Estrategia

El tanque y la gasolina aumentan de volumen, pero la gasolina aumenta más, por lo que la cantidad derramada es la diferencia de sus cambios de volumen. Podemos utilizar la ecuación de expansión de volumen para calcular el cambio de volumen de la gasolina y del tanque (el tanque de gasolina se puede tratar como acero sólido).

Solución

  1. Use la ecuación de expansión de volumen para calcular el aumento de volumen del tanque de acero:
    ΔVs=βsVsΔT.ΔVs=βsVsΔT.
  2. El aumento de volumen de la gasolina viene dado por esta ecuación:
    ΔVgas=βgasVgasΔT.ΔVgas=βgasVgasΔT.
  3. Calcule la diferencia de volumen para determinar la cantidad derramada como
    Vderrame=ΔVgas−ΔVs.Vderrame=ΔVgas−ΔVs.

También podemos combinar estas tres ecuaciones en una sola (tenga en cuenta que los volúmenes originales son iguales).

Vderrame=(βgas−βs)VΔT=[(950−35)×10−6/°C](60,0L)(20,0°C)=1,10L.Vderrame=(βgas−βs)VΔT=[(950−35)×10−6/°C](60,0L)(20,0°C)=1,10L.

Importancia

Esta cantidad es significativa, sobre todo para un tanque de 60,0 litros. El efecto es tan llamativo porque la gasolina y el acero se expanden rápidamente. La tasa de cambio de las propiedades térmicas se analiza más adelante en este capítulo.

Si intenta tapar el tanque con fuerza para evitar que se desborde, descubrirá que de todos modos tiene una fuga, ya sea alrededor del tapón o por una rotura. Constreñir el gas en expansión equivale a comprimirlo, y tanto los líquidos como los sólidos resisten la compresión con fuerzas extremadamente grandes. Para evitar la rotura de envases rígidos, estos tienen espacios de aire que les permiten expandirse y contraerse sin estresarlos.

Compruebe Lo Aprendido 1.1

¿Una lectura determinada en un indicador de gasolina indica más gasolina en clima frío o en clima cálido, o la temperatura no importa?

Tensión térmica

Si se modifica la temperatura de un objeto y se evita que se expanda o se contraiga, el objeto está sometido a un estrés que es de compresión si el objeto se expandiría en ausencia de restricción y de tracción si se contrajera. Este estrés resultante de los cambios de temperatura se conoce como tensión térmica. Puede ser bastante grande y puede causar daños.

Para evitar este estrés, los ingenieros pueden diseñar componentes de manera que puedan expandirse y contraerse libremente. Por ejemplo, en las autopistas se dejan deliberadamente espacios entre los bloques para evitar que se produzca tensión térmica. Cuando no se pueden dejar espacios, los ingenieros deben tener en cuenta la tensión térmica en sus diseños. Así, las varillas de refuerzo del hormigón son de acero porque el coeficiente de dilatación lineal del acero es casi igual al del hormigón.

Para calcular la tensión térmica en una varilla cuyos extremos están fijados rígidamente podemos pensar que el estrés se desarrolla en dos pasos. Primero, deje que los extremos se expandan (o contraigan) libremente y calcule la expansión (o contracción). Segundo, calcule la tensión necesaria para comprimir (o extender) la varilla hasta su longitud original mediante los métodos que estudió en la sección Equilibrio estático y elasticidad sobre el equilibrio estático y la elasticidad. En otras palabras, la ΔLΔL de la dilatación térmica es igual a la ΔLΔL de la distorsión elástica (salvo que los signos son opuestos).

Ejemplo 1.4

Calcular la tensión térmica

Se colocan bloques de hormigón uno al lado del otro en una autopista sin espacio entre ellos, por lo que no se pueden expandir. El equipo de construcción hizo el trabajo un día de invierno en el que la temperatura era 5°C5°C. Calcule el estrés en los bloques en un día caluroso de verano cuando la temperatura es 38°C38°C. El módulo de Young de compresión del hormigón es Y=20×109N/m2Y=20×109N/m2.

Estrategia

Según el capítulo de equilibrio estático y elasticidad, el estrés F/A viene dado por
FA=YΔLL0,FA=YΔLL0,

donde Y es el módulo de Young del material: hormigón, en este caso. En la dilatación térmica, ΔL=αL0ΔT.ΔL=αL0ΔT. Combinamos estas dos ecuaciones y notamos que las dos ΔL’sΔL’s son iguales, como ya se ha dicho. Porque no se nos da L0L0 o A, podemos obtener una respuesta numérica solo si ambas se anulan.

Solución

Sustituimos la ecuación de dilatación térmica en la ecuación de elasticidad para obtener
FA=YαL0ΔTL0=YαΔT,FA=YαL0ΔTL0=YαΔT,

y como esperábamos, L0L0 se anuló y A aparece solo en F/A, la notación de la cantidad que estamos calculando.

Ahora solo tenemos que insertar los números:

FA=(20×109N/m2)(12×10−6/°C)(38°C−5°C)=7,9×106N/m2.FA=(20×109N/m2)(12×10−6/°C)(38°C−5°C)=7,9×106N/m2.

Importancia

La resistencia final a la compresión del hormigón es 20×106N/m2,20×106N/m2, para que los bloques no se rompan. Sin embargo, la resistencia final al corte del hormigón es solo 2×106N/m2,2×106N/m2, por lo que algunos podrían desprenderse.

Compruebe Lo Aprendido 1.2

Dos objetos A y B tienen las mismas dimensiones y están limitados de forma idéntica. A está hecho de un material con un coeficiente de dilatación térmica mayor que el de B. Si los objetos se calientan de forma idéntica, ¿A sentirá un estrés mayor que B?

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