10.2 Resistores en serie y en paralelo

Resistores en serie

Se dice que los resistores están en serie cuando la corriente fluye a través de ellos de forma secuencial. Consideremos la Figura 10.12, que muestra tres resistores en serie con un voltaje aplicado igual a $V_{ab}.$ Como solo hay un camino por el que fluyen las cargas, la corriente es la misma a través de cada resistor. La resistencia equivalente de un conjunto de resistores en una conexión en serie es igual a la suma algebraica de los resistores individuales.

Figura 10.12 (a) Tres resistores conectados en serie a una fuente de voltaje. (b) El circuito original se reduce a una resistencia equivalente y una fuente de voltaje.

En la Figura 10.12, la corriente procedente de la fuente de voltaje fluye a través de cada resistor, por lo que la corriente que pasa por cada resistor es la misma. La corriente que atraviesa el circuito depende del voltaje que suministra la fuente y de la resistencia de los resistores. Para cada resistor, se produce una caída de potencial que es igual a la pérdida de energía potencial eléctrica cuando una corriente viaja a través de cada resistor. Según la ley de Ohm, la caída de potencial V a través de un resistor cuando una corriente fluye por ella se calcula mediante la ecuación $V=IR,$ donde I es la corriente en amperios (A) y R es la resistencia en ohmios $\left(\text{Ω}\right).$ Dado que se conserva la energía, y que el voltaje es igual a la energía potencial por carga, la suma del voltaje aplicado al circuito por la fuente y las caídas de potencial a través de los resistores individuales alrededor de un bucle debe ser igual a cero:

Esta ecuación suele denominarse ley de bucle de Kirchhoff, que veremos con más detalle más adelante en este capítulo. Para la Figura 10.12, la suma de la caída de potencial de cada resistor y el voltaje suministrado por la fuente debe ser igual a cero:

Dado que la corriente que atraviesa cada componente es la misma, la igualdad puede simplificarse a una resistencia equivalente, que no es más que la suma de las resistencias de cada uno de los resistores.

Se puede conectar en serie cualquier número de resistores. Si se conectan N resistores en serie, la resistencia equivalente es

Uno de los resultados de los componentes conectados en un circuito en serie es que si algo le ocurre a un componente, afecta a todos los demás. Por ejemplo, si varias lámparas están conectadas en serie y una de ellas se funde, todas las demás se apagan.

Ejemplo 10.2

Resistencia equivalente, corriente y potencia en un circuito en serie

Una batería con un voltaje del terminal de 9 V se conecta a un circuito formado por cuatro resistores de $20\text{-}\text{Ω}$ y uno de $10\text{-}\text{Ω}$, todos en serie (Figura 10.13). Supongamos que la batería tiene una resistencia interna insignificante. (a) Calcule la resistencia equivalente del circuito. (b) Calcule la corriente que pasa por cada resistor. (c) Calcule la caída de potencial a través de cada resistor. (d) Determine la potencia total disipada por los resistores y la potencia suministrada por la batería.

Figura 10.13 Un circuito en serie simple con cinco resistores.

Estrategia

En un circuito en serie, la resistencia equivalente es la suma algebraica de las resistencias. La corriente que atraviesa el circuito se puede calcular a partir de la ley de Ohm y es igual al voltaje dividido entre la resistencia equivalente. La caída de potencial a través de cada resistor se puede calcular utilizando la ley de Ohm. La potencia disipada por cada resistor se puede calcular mediante $P=I^{2}R$, y la potencia total disipada por los resistores es igual a la suma de la potencia disipada por cada resistor. La potencia suministrada por la batería se puede calcular mediante $P=I\epsilon$.

Solución

1. La resistencia equivalente es la suma algebraica de las resistencias:
   $$R_{\text{S}}=R_1+R_2+R_3+R_4+R_5=20\text{Ω}+20\text{Ω}+20\text{Ω}+20\text{Ω}+10\text{Ω}=90\text{Ω}.$$
2. La corriente que atraviesa el circuito es la misma para cada resistor en un circuito en serie y es igual al voltaje aplicado dividido entre la resistencia equivalente:
   $$I=\frac{V}{R_{\text{S}}}=\frac{9\text{V}}{90\text{Ω}}=\mathrm{0,1}\text{A.}$$
3. La caída de potencial a través de cada resistor se puede calcular mediante la ley de Ohm:
   $$\begin{array}{c}{V}_1=V_2=V_3=V_4=\left(\mathrm{0,1}\text{A}\right)20\text{Ω}=2\text{V},\hfill \\ V_5=\left(\mathrm{0,1}\text{A}\right)10\text{Ω}=1\text{V},\hfill \\ V_1+V_2+V_3+V_4+V_5=9\text{V}.\hfill \end{array}$$
   Observe que la suma de las caídas de potencial a través de cada resistor es igual al voltaje suministrado por la batería.
4. La potencia disipada por un resistor es igual a $P=I^{2}R$, y la potencia suministrada por la batería es igual a $P=I\epsilon$:
   $$\begin{array}{}\\ P_1=P_2=P_3=P_4={\left(\mathrm{0,1}\text{A}\right)}^2\left(20\text{Ω}\right)=\mathrm{0,2}\text{W},\hfill \\ P_5={\left(\mathrm{0,1}\text{A}\right)}^2\left(10\text{Ω}\right)=\mathrm{0,1}\text{W},\hfill \\ P_{\text{disipada}}=\mathrm{0,2}\text{W}+\mathrm{0,2}\text{W}+\mathrm{0,2}\text{W}+\mathrm{0,2}\text{W}+\mathrm{0,1}\text{W}=\mathrm{0,9}\text{W},\hfill \\ P_{\text{fuente}}=I\epsilon =\left(\mathrm{0,1}\text{A}\right)\left(9\text{V}\right)=\mathrm{0,9}\text{W}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Hay varias razones por las que utilizaríamos varios resistores en vez de uno solo con una resistencia igual a la resistencia equivalente del circuito. Quizás no se disponga de un resistor del tamaño necesario o necesitemos disipar el calor generado o queramos minimizar el costo de los resistores. Cada resistor puede costar entre unos pocos céntimos y unos pocos dólares, pero cuando se multiplica por miles de unidades el ahorro de costos puede ser apreciable.

Resumamos brevemente las principales características de los resistores en serie:

1. Las resistencias en serie se suman para obtener la resistencia equivalente:
   $$R_{\text{S}}=R_1+R_2+R_3+\text{⋯}+R_{N-1}+R_N={\displaystyle \sum _{i=1}^N{R}_i}.$$
2. La misma corriente fluye por cada resistor en serie.
3. Los resistores individuales en serie no obtienen el voltaje total de la fuente, sino que lo dividen. La caída de potencial total a través de una configuración en serie de resistores es igual a la suma de las caídas de potencial a través de cada resistor.

Resistores en paralelo

La Figura 10.14 muestra resistores en paralelo, conectados a una fuente de voltaje. Los resistores están en paralelo cuando un extremo de todos los resistores están conectados por un alambre continuo de resistencia insignificante y el otro extremo de todos los resistores también están conectados entre sí por un alambre continuo de resistencia insignificante. La caída de potencial a través de cada resistor es la misma. La corriente a través de cada resistor se puede calcular mediante la ley de Ohm $I=V\text{/}R,$ donde el voltaje es constante a través de cada resistor. Por ejemplo, los faros, la radio y otros sistemas de un automóvil se conectan en paralelo, de modo que cada subsistema utiliza todo el voltaje de la fuente y puede funcionar de forma totalmente independiente. Lo mismo ocurre con el cableado de su casa o de cualquier edificio.

Figura 10.14 (a) Dos resistores conectados en paralelo a una fuente de voltaje. (b) El circuito original se reduce a una resistencia equivalente y una fuente de voltaje.

La corriente que fluye desde la fuente de voltaje en la Figura 10.14 depende del voltaje suministrado por la fuente y de la resistencia equivalente del circuito. En este caso, la corriente fluye desde la fuente de voltaje y entra en una unión, o nodo, donde el circuito se divide fluyendo a través de resistores $R_1$ y $R_2$. Cuando las cargas fluyen desde la batería, algunas pasan por el resistor $R_1$ y un poco de flujo a través del resistor $R_2.$ La suma de las corrientes que fluyen hacia una unión debe ser igual a la suma de las corrientes que fluyen fuera de la unión:

Esta ecuación se denomina regla de nodos de Kirchhoff y se analizará en detalle en la siguiente sección. En la Figura 10.14, la regla de nodos da $I=I_1+I_2$. Hay dos bucles en este circuito, lo que lleva a las ecuaciones $V=I_1{R}_1$ y $I_1{R}_1=I_2{R}_2$. Observe que el voltaje a través de los resistores en paralelo es la misma $\left(V=V_1=V_2\right)$ y la corriente es aditiva:

Generalizando a cualquier número de resistores N, la resistencia equivalente $R_{\text{P}}$ de una conexión en paralelo está relacionada con las resistencias individuales por

Esta relación da como resultado una resistencia equivalente $R_{\text{P}}$ que es menor que las resistencias individuales más pequeñas. Cuando los resistores están conectados en paralelo, fluye más corriente desde la fuente que la que fluiría por cualquiera de ellas individualmente, por lo que la resistencia total es menor.

Resumamos las principales características de los resistores en paralelo:

1. La resistencia equivalente se encuentra a partir de
   $$R_{\text{P}}={\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\text{⋯}+\frac{1}{R_{N-1}}+\frac{1}{R_N}\right)}^{\mathrm{-1}}={\left({\displaystyle \sum _{i=1}^N\frac{1}{R_i}}\right)}^{\mathrm{-1}},$$
   y es menor que cualquier resistencia individual de la combinación.
2. La caída de potencial a través de cada resistor en paralelo es la misma.
3. Los resistores en paralelo no reciben cado uno la corriente total, sino que la dividen. La corriente que entra en una combinación en paralelo de resistores es igual a la suma de la corriente que pasa por cada resistor en paralelo.

En este capítulo introducimos la resistencia equivalente de los resistores conectados en serie y los conectados en paralelo. Tal vez recuerde que en Capacitancia introdujimos la capacitancia equivalente de los condensadores conectados en serie y en paralelo. Los circuitos suelen contener condensadores y resistores. La Tabla 10.1 resume las ecuaciones utilizadas para la resistencia equivalente y la capacitancia equivalente para las conexiones en serie y en paralelo.

Combinaciones en serie y en paralelo

Las conexiones más complejas de los resistores suelen ser solo combinaciones de conexiones en serie y en paralelo. Estas combinaciones son habituales, sobre todo si se tiene en cuenta la resistencia de los cables. En ese caso, la resistencia del cable está en serie con otras resistencias que están en paralelo.

Las combinaciones en serie y en paralelo pueden reducirse a una única resistencia equivalente mediante la técnica ilustrada en la Figura 10.15. Varias partes pueden identificarse como conexiones en serie o en paralelo, reducidas a sus resistencias equivalentes, y luego reducidas aun más hasta que quede una sola resistencia equivalente. El proceso es más largo que difícil. Aquí, anotamos la resistencia equivalente como $R_{\text{eq}}.$

Figura 10.15 (a) El circuito original de cuatro resistores. (b) Paso 1: los resistores $R_3$ y $R_4$ están en serie y la resistencia equivalente es $R_{34}=10\text{Ω}.$ (c) Paso 2: el circuito reducido muestra los resistores $R_2$ y $R_{34}$ que están en paralelo, con una resistencia equivalente de $R_{234}=5\text{Ω}.$ (d) Paso 3: el circuito reducido muestra que $R_1$ y $R_{234}$ están en serie con una resistencia equivalente de $R_{1.234}=12\text{Ω},$ que es la resistencia equivalente $R_{\text{eq}}.$ (e) El circuito reducido con una fuente de voltaje de $V=24\text{V}$ con una resistencia equivalente de $R_{\text{eq}}=12\text{Ω}.$ Esto da lugar a una corriente de $I=2\text{A}$ de la fuente de voltaje.

Observe que los resistores $R_3$ y $R_4$ están en serie. Pueden combinarse en una sola resistencia equivalente. Un método para seguir el proceso es incluir los resistores como subíndices. Aquí la resistencia equivalente de $R_3$ y $R_4$ es

El circuito se reduce ahora a tres resistores, mostrados en la Figura 10.15(c). Volviendo a dibujar, ahora vemos que los resistores $R_2$ y $R_{34}$ constituyen un circuito paralelo. Esos dos resistores pueden reducirse a una resistencia equivalente:

Este paso del proceso reduce el circuito a dos resistores, que se muestran en la Figura 10.15(d). Aquí, el circuito se reduce a dos resistores, que en este caso están en serie. Estos dos resistores pueden reducirse a una resistencia equivalente, que es la resistencia equivalente del circuito:

La meta principal de este análisis del circuito se ha alcanzado, y el circuito se reduce ahora a un solo resistor y una sola fuente de voltaje.

Ahora podemos analizar el circuito. La corriente proporcionada por la fuente de voltaje es $I=\frac{V}{R_{\text{eq}}}=\frac{24\text{V}}{12\text{Ω}}=2\text{A}.$ Esta corriente pasa por el resistor $R_1$ y se designa como $I_1.$ La caída de potencial a través de $R_1$ se puede calcular mediante la ley de Ohm:

Mirando la Figura 10.15(c), esto deja $24\text{V}-14\text{V}=10\text{V}$ que se dejan caer a través de la combinación en paralelo de $R_2$ y $R_{34}.$ La corriente a través de $R_2$ se puede calcular mediante la ley de Ohm:

Los resistores $R_3$ y $R_4$ están en serie por lo que las corrientes $I_3$ y $I_4$ son iguales a

Con la ley de Ohm podemos calcular la caída de potencial a través de los dos últimos resistores. Las caídas de potencial son $V_3=I_3{R}_3=6\text{V}$ y $V_4=I_4{R}_4=4\text{V}.$ El análisis final consiste en observar la potencia suministrada por la fuente de voltaje y la potencia disipada por los resistores. La potencia disipada por los resistores es

La energía total es constante en cualquier proceso. Por lo tanto, la potencia suministrada por la fuente de voltaje es $P_s=IV=(2\text{A})(24\text{V})=48\text{W}.$ Analizar la potencia suministrada al circuito y la potencia disipada por los resistores es una buena comprobación de la validez del análisis; deben ser iguales.

Ejemplo 10.4

Combinación de circuitos en serie y en paralelo

La Figura 10.16 muestra resistores conectados en una combinación de serie y paralelo. Podemos considerar que $R_1$ sea la resistencia de los cables que conducen a $R_2$ y $R_3.$ (a) Calcule la resistencia equivalente del circuito. (b) ¿Cuál es la caída de potencial $V_1$ a través del resistor $R_1$? (c) Calcule la corriente $I_2$ a través del resistor $R_2$. (d) ¿Qué potencia se disipa por $R_2$?

Figura 10.16 Estos tres resistores se conectan a una fuente de voltaje de manera que $R_2$ y $R_3$ están en paralelo entre sí y esa combinación está en serie con $R_1.$

Estrategia

(a) Para hallar la resistencia equivalente, primero calcule la resistencia equivalente de la conexión en paralelo de $R_2$ y $R_3.$ A continuación, utilice este resultado para calcular la resistencia equivalente de la conexión en serie con $R_1.$

(b) La corriente a través de $R_1$ se puede calcular mediante la ley de Ohm y el voltaje aplicado. La corriente a través de $R_1$ es igual a la corriente de la batería. La caída de potencial $V_1$ a través del resistor $R_1$ (que representa la resistencia en los cables de conexión) se puede calcular mediante la ley de Ohm.

(c) La corriente a través de $R_2$ se puede calcular mediante la ley de Ohm $I_2=\frac{V_2}{R_2}.$ El voltaje a través de $R_2$ se puede calcular mediante $V_2=V-V_1.$

(d) Utilizando la ley de Ohm $\left(V_2=I_2{R}_2\right)$, la potencia disipada por el resistor también se puede calcular mediante $P_2=I_2^2{R}_2=\frac{V_2^2}{R_2}$.

Solución

1. Para calcular la resistencia equivalente del circuito, observe que la conexión en paralelo de $R_2$ y $R_3$ está en serie con $R_1$, por lo que la resistencia equivalente es
   $$R_{\text{eq}}=R_1+{\left(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)}^{\mathrm{-1}}=\mathrm{1,00}\text{Ω}+{\left(\frac{1}{\mathrm{6,00}\text{Ω}}+\frac{1}{\mathrm{13,00}\text{Ω}}\right)}^{\mathrm{-1}}=\mathrm{5,10}\text{Ω}.$$
   La resistencia total de esta combinación es intermedia entre los valores puros en serie y en paralelo ($\mathrm{20,0}\text{Ω}$ y $\mathrm{0,804}\text{Ω}$, respectivamente).
2. La corriente a través de $R_1$ es igual a la corriente suministrada por la batería:
   $$I_1=I=\frac{V}{R_{\text{eq}}}=\frac{\mathrm{12,0}\text{V}}{\mathrm{5,10}\text{Ω}}=\mathrm{2,35}\text{A}.$$
   El voltaje a través de $R_1$ es
   $$V_1=I_1{R}_1=(\mathrm{2,35}\text{A})(1\text{Ω})=\mathrm{2,35}\text{V}.$$
   El voltaje aplicado a $R_2$ y $R_3$ es inferior al voltaje suministrado por la batería en una cantidad $V_1.$ Cuando la resistencia del cable es grande, puede afectar significativamente el funcionamiento de los dispositivos representados por $R_2$ y $R_3$.
3. Para calcular la corriente a través de $R_2$, primero debemos calcular el voltaje que se le aplica. El voltaje a través de los dos resistores en paralelo es la misma:
   $$V_2=V_3=V-V_1=\mathrm{12,0}\text{V}-\mathrm{2,35}\text{V}=\mathrm{9,65}\text{V}.$$
   Ahora podemos calcular la corriente $I_2$ a través de la resistencia $R_2$ utilizando la ley de Ohm:
   $$I_2=\frac{V_2}{R_2}=\frac{\mathrm{9,65}\text{V}}{\mathrm{6,00}\text{Ω}}=\mathrm{1,61}\text{A}.$$
   La corriente es inferior a los 2,00 A que circularon por $R_2$ cuando estaba conectado en paralelo con la batería en el ejemplo anterior de circuito paralelo.
4. La potencia disipada por $R_2$ viene dada por
   $$P_2=I_2^2{R}_2={(\mathrm{1,61}\text{A})}^2(\mathrm{6,00}\text{Ω})=\mathrm{15,5}\text{W}.$$

Importancia

A menudo, el análisis de circuitos complejos puede simplificarse reduciendo el circuito a una fuente de voltaje y una resistencia equivalente. Aunque no se pueda reducir todo el circuito a una sola fuente de voltaje y una sola resistencia equivalente, se pueden reducir partes del circuito, lo que simplifica mucho el análisis.

Implicaciones prácticas

Una implicación de este último ejemplo es que la resistencia en los cables reduce la corriente y la potencia suministrada a un resistor. Si la resistencia del cable es relativamente grande, como en un cable de extensión desgastado (o muy largo), entonces esta pérdida puede ser significativa. Si se consume una corriente grande, la caída de IR en los cables también puede ser significativa y puede manifestarse por el calor generado en el cable.

Por ejemplo, cuando está rebuscando en el refrigerador y se enciende el motor, la luz del refrigerador se atenúa momentáneamente. Del mismo modo, puede ver cómo se atenúa la luz del compartimiento del pasajero cuando arranca el motor de su automóvil (aunque esto puede deberse a la resistencia dentro de la propia batería).

Lo que ocurre en estas situaciones de alta corriente se ilustra en la Figura 10.17. El dispositivo representado por $R_3$ tiene una resistencia muy baja, por lo que cuando se enciende, fluye una corriente grande. Este aumento de la corriente provoca una mayor caída de IR en los cables representada por $R_1$, reduciendo el voltaje a través de la bombilla (que es $R_2$), que luego se atenúa notablemente.

Figura 10.17 ¿Por qué se atenúan las luces cuando se enciende un aparato grande? La respuesta es que la gran corriente que consume el motor del aparato provoca una importante caída de IR en los cables y reduce el voltaje en la luz.