12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas

Es de esperar que dos cables conductores de corriente generen fuerzas importantes entre ellos, ya que las corrientes ordinarias producen campos magnéticos y estos campos ejercen fuerzas importantes sobre las corrientes ordinarias. Pero no se puede esperar que la fuerza entre los cables se utilice para definir el amperio. También podría sorprenderle saber que esta fuerza tiene algo que ver con la razón por la que los grandes disyuntores se queman cuando intentan interrumpir grandes corrientes.

La fuerza entre dos conductores largos, rectos y paralelos, separados por una distancia r, puede hallarse aplicando lo que hemos desarrollado en los apartados anteriores. La Figura 12.9 muestra los cables, sus corrientes, el campo creado por un cable y la consecuente fuerza que experimenta el otro cable por el campo creado. Consideremos el campo producido por el cable 1 y la fuerza que ejerce sobre el cable 2 (llamémoslo fuerza $F_2$). El campo debido a $I_1$ a una distancia r es

Figura 12.9 (a) El campo magnético producido por un conductor recto largo es perpendicular a un conductor paralelo, como indica la segunda regla de la mano derecha (right hand rule-2, RHR)-2. (b) Una vista desde arriba de los dos cables mostrados en (a), con una línea de campo magnético mostrada para el cable 1. La RHR-1 muestra que la fuerza entre los conductores paralelos es atractiva cuando las corrientes están en la misma dirección. Un análisis similar muestra que la fuerza es repulsiva entre corrientes en direcciones opuestas.

Este campo es uniforme desde el cable 1 y perpendicular a él, por lo que la fuerza $F_2$ que ejerce sobre una longitud l del cable 2 viene dada por $F=IlB\mathrm{sen}\theta$ con $\mathrm{sen}\theta =1\text{:}$

Las fuerzas sobre los cables son de igual magnitud, por lo que simplemente escribimos F para la magnitud de $F_2.$ (Observe que ${\overrightarrow{F}}_1=-{\overrightarrow{F}}_2.$). Como los cables son muy largos, es conveniente pensar en términos de F/l, la fuerza por unidad de longitud. Al sustituir la expresión de $B_1$ en la Ecuación 12.10 y al reordenar los términos se obtiene

La relación F/l es la fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas $I_1$ y $I_2$ separadas por una distancia r. La fuerza es atractiva si las corrientes están en la misma dirección y repulsiva si están en direcciones opuestas.

Esta fuerza es responsable del efecto pellizco en los arcos eléctricos y otros plasmas. La fuerza existe tanto si las corrientes están en los cables como si no. Solo es evidente si la densidad de carga global es cero; de lo contrario, la repulsión de Coulomb supera la atracción magnética. En un arco eléctrico, en el que las cargas se mueven en paralelo, una fuerza de atracción comprime las corrientes en un tubo más pequeño. En los grandes disyuntores, como los que se utilizan en los sistemas de distribución de potencia de los vecindarios, el efecto pellizco puede concentrar un arco entre las placas de un interruptor que intenta interrumpir una gran corriente, quemar agujeros e incluso incendiar el equipo. Otro ejemplo del efecto pellizco se encuentra en el plasma solar, donde los chorros de material ionizado, como las erupciones solares, son moldeados por fuerzas magnéticas.

La definición del amperio se basa en la fuerza entre los cables conductores de corriente. Observe que para cables largos y paralelos, separados por 1 metro y con 1 amperio cada uno, la fuerza por metro es

Dado que ${\mu }_0$ es exactamente $4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A}$ por definición, y porque $\text{1 T}=1\text{N/}(\text{A}\cdot \text{m}),$ la fuerza por metro es exactamente $2\times {10}^{\text{−7}}\text{N/m}.$ Esta es la base de la definición del amperio.

Los cables de longitud infinita son poco prácticos, por lo que en la práctica, una balanza de corriente se construye con bobinas de cable separadas por unos pocos centímetros. La fuerza se mide para determinar la corriente. Esto también nos proporciona un método para medir el culombio. Medimos la carga que fluye para una corriente de un amperio en un segundo. Eso es, $\text{1 C}=\text{1 A}\cdot \text{s}.$ Tanto para el amperio como para el culombio, el método de medición de la fuerza entre conductores es el más preciso en la práctica.

Ejemplo 12.4

Cálculo de fuerzas en los cables

Dos cables, ambos con corriente fuera de la página, tienen una corriente de magnitud 5,0 mA. El primer cable está situado en (0,0 cm, 3,0 cm) mientras que el otro cable está situado a (4,0 cm, 0,0 cm) como se muestra en la Figura 12.10. ¿Cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud del primer cable sobre el segundo y del segundo cable sobre el primero?

Figura 12.10 Dos cables portadores de corriente en lugares determinados con corrientes fuera de la página.

Estrategia

Cada cable produce un campo magnético que siente el otro cable. La distancia a lo largo de la hipotenusa del triángulo entre los cables es la distancia radial utilizada en el cálculo para determinar la fuerza por unidad de longitud. Como ambos cables tienen corrientes que fluyen en la misma dirección, la dirección de la fuerza es hacia el otro.

Solución

La distancia entre los cables resulta de calcular la hipotenusa de un triángulo:

$$r=\sqrt{{(\text{3,0 cm})}^2+{(\text{4,0 cm})}^2}=\text{5,0 cm}.$$

La fuerza por unidad de longitud puede calcularse entonces utilizando las corrientes conocidas en los cables:

$$\frac{F}{l}=\frac{\left(4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A}\right){\left(5\times {10}^{\text{−3}}\text{A}\right)}^2}{(2\pi )(5\times {\text{10}}^{\text{−2}}\text{m)}}=1\times {10}^{\text{−10}}\text{N/m}.$$

La fuerza del primer cable tira del segundo. El ángulo entre el radio y el eje x es

$$\theta ={\tan }^{\text{−1}}\left(\frac{\text{3 cm}}{\text{4 cm}}\right)=\mathrm{36,9}\text{°}.$$

El vector unitario para ello se calcula mediante

$$–\cos ({\mathrm{36,9}}^{\circ })\widehat{i}+\mathrm{sen}({\mathrm{36,9}}^{\circ })\widehat{j}=\mathrm{–0,8}\widehat{i}+\mathrm{0,6}\widehat{j}.$$

Por lo tanto, la fuerza por unidad de longitud del cable uno sobre el cable 2 es

$$\frac{\overrightarrow{F}}{l}=(1\times {10}^{\text{−10}}\text{N/m)}\times (\mathrm{–0,8}\widehat{i}+\mathrm{0,6}\widehat{j})=(\mathrm{–8}\times {10}^{\text{−11}}\widehat{i}+\text{6}\times {10}^{\text{−11}}\widehat{j})\text{N/m}.$$

La fuerza por unidad de longitud del cable 2 sobre el cable 1 es el negativo de la respuesta anterior:

$$\frac{\overrightarrow{F}}{l}=(\text{8}\times {10}^{\text{−11}}\widehat{i}–\text{6}\times {10}^{\text{−11}}\widehat{j})\text{N/m}.$$

Importancia

Estos cables producían campos magnéticos de igual magnitud pero de direcciones opuestas en los lugares donde se encontraban. Tanto si los campos son idénticos como si no, las fuerzas que ejercen los cables entre sí son siempre de igual magnitud y de sentido contrario (tercera ley de Newton).