12.4 Campo magnético de un bucle de corriente

El bucle circular de la Figura 12.11 tiene un radio R, porta una corriente I y se encuentra en el plano xz. ¿Cuál es el campo magnético debido a la corriente en un punto arbitrario P a lo largo del eje del bucle?

Figura 12.11 Determinación del campo magnético en el punto P a lo largo del eje de un bucle de cable conductor de corriente.

Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético debido a una corriente. Primero consideramos segmentos arbitrarios en lados opuestos del bucle para mostrar de manera cualitativa por los resultados vectoriales que la dirección del campo magnético neto es a lo largo del eje central del bucle. A partir de ahí, podemos utilizar la ley de Biot-Savart para derivar la expresión del campo magnético.

Supongamos que P una distancia y del centro del bucle. A partir de la regla de la mano derecha, el campo magnético $d\overrightarrow{B}$ en P, producido por el elemento de corriente $Id\overrightarrow{l},$ se dirige a un ángulo $\theta$ por encima del eje y como se muestra. Dado que $d\overrightarrow{l}$ es paralelo a lo largo del eje x y $\widehat{r}$ está en el plano yz, los dos vectores son perpendiculares, por lo que tenemos

donde hemos utilizado $r^2=y^2+R^2.$

Consideremos ahora el campo magnético $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$ debido al elemento de corriente $Id{\overrightarrow{l}}^{\prime },$ que está justo enfrente de $Id\overrightarrow{l}$ en el bucle. La magnitud de $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$ también está dada por la Ecuación 12.13, pero está dirigida a un ángulo $\theta$ por debajo del eje y. Las componentes de $d\overrightarrow{B}$ y $d{\overrightarrow{B}}^{\prime }$ perpendiculares al eje y se anulan, por lo que al calcular el campo magnético neto solo hay que considerar las componentes a lo largo del eje y. Las componentes perpendiculares al eje del bucle suman cero por pares. Por lo tanto, en el punto P:

Para todos los elementos $d\overrightarrow{l}$ en el cable, y, R y $\cos \theta$ son constantes y están relacionadas por

Ahora de la Ecuación 12.14, el campo magnético en P es

donde hemos utilizado ${\displaystyle \underset{\text{bucle}}{\int }dl}=2\pi R.$ Como se ha comentado en el capítulo anterior, el bucle de corriente cerrado es un dipolo magnético de momento $\overrightarrow{\mu }=IA\widehat{n}.$ Para este ejemplo, $A=\pi R^2$ y $\widehat{n}=\widehat{j},$ por lo que el campo magnético en P también puede escribirse como

Al establecer $y=0$ en la Ecuación 12.16, obtenemos el campo magnético en el centro del bucle:

Esta ecuación se convierte en $B={\mu }_{0}nI/(2R)$ para una bobina plana de n bucles por longitud. También puede expresarse como

Si consideramos $y\gg R$ en la Ecuación 12.16, la expresión se reduce a una conocida como el campo magnético de un dipolo:

El cálculo del campo magnético debido al bucle de corriente circular en puntos fuera del eje requiere unas matemáticas bastante complejas, así que nos limitaremos a ver los resultados. Las líneas del campo magnético tienen la forma que se muestra en la Figura 12.12. Observe que una línea de campo sigue el eje del bucle. Esta es la línea de campo que acabamos de calcular. Además, muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto.

Figura 12.12 Esquema de las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular.

Ejemplo 12.5

Campo magnético entre dos bucles

Dos bucles de cable llevan la misma corriente de 10 mA, pero fluyen en direcciones opuestas como se ve en la Figura 12.13. Se mide un bucle para tener un radio de $R=50\text{cm}$ mientras que el otro bucle tiene un radio de $2R=100\text{cm}.$ La distancia del primer bucle al punto donde se mide el campo magnético es de 0,25 m, y la distancia de ese punto al segundo bucle es de 0,75 m. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético neto en el punto P?

Figura 12.13 Dos bucles de diferente radio tienen la misma corriente pero fluyen en direcciones opuestas. El campo magnético en el punto P se mide como cero.

Estrategia

El campo magnético en el punto P se ha determinado en la Ecuación 12.15. Como las corrientes fluyen en direcciones opuestas, el campo magnético neto es la diferencia entre los dos campos generados por las bobinas. Al utilizar las cantidades dadas en el problema, se calcula entonces el campo magnético neto.

Solución

Al resolver el campo magnético neto mediante la Ecuación 12.15 y las cantidades dadas en el problema se obtiene

$$\begin{array}{ccc}\hfill B& =\hfill & \frac{{\mu }_{0}I{R}_1{}^2}{2{\left(y_1{}^2+R_1{}^2\right)}^{3\text{/}2}}-\frac{{\mu }_{0}I{R}_2{}^2}{2{\left(y_2{}^2+R_2{}^2\right)}^{3\text{/}2}}\hfill \\ \hfill B& =\hfill & \frac{(4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A})(\mathrm{0,010}\text{A}){(\mathrm{0,5}\text{m})}^2}{2{({(\mathrm{0,25}\text{m})}^2+{(\mathrm{0,5}\text{m})}^2)}^{3\text{/}2}}-\frac{(4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A})(\mathrm{0,010}\text{A}){(\mathrm{1,0}\text{m})}^2}{2{({(\mathrm{0,75}\text{m})}^2+{(\mathrm{1,0}\text{m})}^2)}^{3\text{/}2}}\hfill \\ \hfill B& =\hfill & \mathrm{5,77}\times {10}^{\text{−9}}\text{T}\text{a la derecha}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Las bobinas de Helmholtz suelen tener bucles con radios iguales con la corriente fluyendo en la misma dirección para tener un fuerte campo uniforme en el punto medio entre los bucles. Una aplicación similar de la distribución del campo magnético creada por las bobinas de Helmholtz se encuentra en una botella magnética que puede atrapar temporalmente partículas cargadas. Consulte Fuerzas y campos magnéticos para conocer una discusión al respecto.