Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidadMenú de atajos de teclado
Logo de OpenStax
Física universitaria volumen 2

12.4 Campo magnético de un bucle de corriente

Física universitaria volumen 212.4 Campo magnético de un bucle de corriente

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo se utiliza la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético debido a una corriente en un bucle de cable en un punto a lo largo de una línea perpendicular al plano del bucle.
  • Determinar el campo magnético de un arco de corriente.

El bucle circular de la Figura 12.11 tiene un radio R, porta una corriente I y se encuentra en el plano xz. ¿Cuál es el campo magnético debido a la corriente en un punto arbitrario P a lo largo del eje del bucle?

La figura muestra un bucle circular de radio R que porta una corriente I y se encuentra en el plano xz. El punto P se encuentra por encima del centro del bucle. Theta es el ángulo formado por un vector del bucle al punto P y el plano del bucle. Equivale al ángulo formado por el vector dB del punto P y el eje y.
Figura 12.11 Determinación del campo magnético en el punto P a lo largo del eje de un bucle de cable conductor de corriente.

Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético debido a una corriente. Primero consideramos segmentos arbitrarios en lados opuestos del bucle para mostrar de manera cualitativa por los resultados vectoriales que la dirección del campo magnético neto es a lo largo del eje central del bucle. A partir de ahí, podemos utilizar la ley de Biot-Savart para derivar la expresión del campo magnético.

Supongamos que P una distancia y del centro del bucle. A partir de la regla de la mano derecha, el campo magnético dBdB en P, producido por el elemento de corriente Idl,Idl, se dirige a un ángulo θθ por encima del eje y como se muestra. Dado que dldl es paralelo a lo largo del eje x y r^r^ está en el plano yz, los dos vectores son perpendiculares, por lo que tenemos

dB=μ04πIdlsenπ/2r2=μ04πIdly2+R2dB=μ04πIdlsenπ/2r2=μ04πIdly2+R2
12.13

donde hemos utilizado r2=y2+R2.r2=y2+R2.

Consideremos ahora el campo magnético dBdB debido al elemento de corriente Idl,Idl, que está justo enfrente de IdlIdl en el bucle. La magnitud de dBdB también está dada por la Ecuación 12.13, pero está dirigida a un ángulo θθ por debajo del eje y. Las componentes de dBdB y dBdB perpendiculares al eje y se anulan, por lo que al calcular el campo magnético neto solo hay que considerar las componentes a lo largo del eje y. Las componentes perpendiculares al eje del bucle suman cero por pares. Por lo tanto, en el punto P:

B=j^bucledBcosθ=j^μ0I4πbuclecosθdly2+R2.B=j^bucledBcosθ=j^μ0I4πbuclecosθdly2+R2.
12.14

Para todos los elementos dldl en el cable, y, R y cosθcosθ son constantes y están relacionadas por

cosθ=Ry2+R2.cosθ=Ry2+R2.

Ahora de la Ecuación 12.14, el campo magnético en P es

B=j^μ0IR4π(y2+R2)3/2bucledl=μ0IR22(y2+R2)3/2j^B=j^μ0IR4π(y2+R2)3/2bucledl=μ0IR22(y2+R2)3/2j^
12.15

donde hemos utilizado bucledl=2πR.bucledl=2πR. Como se ha comentado en el capítulo anterior, el bucle de corriente cerrado es un dipolo magnético de momento μ=IAn^.μ=IAn^. Para este ejemplo, A=πR2A=πR2 y n^=j^,n^=j^, por lo que el campo magnético en P también puede escribirse como

B=μ0μj^2π(y2+R2)3/2.B=μ0μj^2π(y2+R2)3/2.
12.16

Al establecer y=0y=0 en la Ecuación 12.16, obtenemos el campo magnético en el centro del bucle:

B=μ0I2Rj^.B=μ0I2Rj^.
12.17

Esta ecuación se convierte en B=μ0nI/(2R)B=μ0nI/(2R) para una bobina plana de n bucles por longitud. También puede expresarse como

B=μ0μ2πR3.B=μ0μ2πR3.
12.18

Si consideramos yRyR en la Ecuación 12.16, la expresión se reduce a una conocida como el campo magnético de un dipolo:

B=μ0μ2πy3.B=μ0μ2πy3.
12.19

El cálculo del campo magnético debido al bucle de corriente circular en puntos fuera del eje requiere unas matemáticas bastante complejas, así que nos limitaremos a ver los resultados. Las líneas del campo magnético tienen la forma que se muestra en la Figura 12.12. Observe que una línea de campo sigue el eje del bucle. Esta es la línea de campo que acabamos de calcular. Además, muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto.

La figura muestra las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular. Una línea de campo sigue el eje del bucle. Muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto.
Figura 12.12 Esquema de las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular.

Ejemplo 12.5

Campo magnético entre dos bucles

Dos bucles de cable llevan la misma corriente de 10 mA, pero fluyen en direcciones opuestas como se ve en la Figura 12.13. Se mide un bucle para tener un radio de R=50cmR=50cm mientras que el otro bucle tiene un radio de 2R=100cm.2R=100cm. La distancia del primer bucle al punto donde se mide el campo magnético es de 0,25 m, y la distancia de ese punto al segundo bucle es de 0,75 m. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético neto en el punto P?
La figura muestra dos bucles de radios R y 2R con la misma corriente pero que fluye en direcciones opuestas. El punto P está situado entre los centros de los bucles, a una distancia de 0,25 metros del centro del bucle más pequeño y de 0,75 metros del centro del bucle más grande.
Figura 12.13 Dos bucles de diferente radio tienen la misma corriente pero fluyen en direcciones opuestas. El campo magnético en el punto P se mide como cero.

Estrategia

El campo magnético en el punto P se ha determinado en la Ecuación 12.15. Como las corrientes fluyen en direcciones opuestas, el campo magnético neto es la diferencia entre los dos campos generados por las bobinas. Al utilizar las cantidades dadas en el problema, se calcula entonces el campo magnético neto.

Solución

Al resolver el campo magnético neto mediante la Ecuación 12.15 y las cantidades dadas en el problema se obtiene
B=μ0IR122(y12+R12)3/2μ0IR222(y22+R22)3/2B=(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(0,5m)22((0,25m)2+(0,5m)2)3/2(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(1,0m)22((0,75m)2+(1,0m)2)3/2B=5,77×10−9Ta la derecha.B=μ0IR122(y12+R12)3/2μ0IR222(y22+R22)3/2B=(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(0,5m)22((0,25m)2+(0,5m)2)3/2(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(1,0m)22((0,75m)2+(1,0m)2)3/2B=5,77×10−9Ta la derecha.

Importancia

Las bobinas de Helmholtz suelen tener bucles con radios iguales con la corriente fluyendo en la misma dirección para tener un fuerte campo uniforme en el punto medio entre los bucles. Una aplicación similar de la distribución del campo magnético creada por las bobinas de Helmholtz se encuentra en una botella magnética que puede atrapar temporalmente partículas cargadas. Consulte Fuerzas y campos magnéticos para conocer una discusión al respecto.

Compruebe Lo Aprendido 12.5

Al utilizar el Ejemplo 12.5, ¿a qué distancia debería mover la primera bobina para tener un campo magnético cero medible en el punto P?

Solicitar una copia impresa

As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases.

Cita/Atribución

Este libro no puede ser utilizado en la formación de grandes modelos de lenguaje ni incorporado de otra manera en grandes modelos de lenguaje u ofertas de IA generativa sin el permiso de OpenStax.

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro utiliza la Creative Commons Attribution License y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-2/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-2/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 13 abr. 2022 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License . El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.