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Física Universitaria Volumen 2

12.4 Campo magnético de un bucle de corriente

Física Universitaria Volumen 212.4 Campo magnético de un bucle de corriente
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo se utiliza la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético debido a una corriente en un bucle de cable en un punto a lo largo de una línea perpendicular al plano del bucle.
  • Determinar el campo magnético de un arco de corriente.

El bucle circular de la Figura 12.11 tiene un radio R, porta una corriente I y se encuentra en el plano xz. ¿Cuál es el campo magnético debido a la corriente en un punto arbitrario P a lo largo del eje del bucle?

La figura muestra un bucle circular de radio R que porta una corriente I y se encuentra en el plano xz. El punto P se encuentra por encima del centro del bucle. Theta es el ángulo formado por un vector del bucle al punto P y el plano del bucle. Equivale al ángulo formado por el vector dB del punto P y el eje y.
Figura 12.11 Determinación del campo magnético en el punto P a lo largo del eje de un bucle de cable conductor de corriente.

Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético debido a una corriente. Primero consideramos segmentos arbitrarios en lados opuestos del bucle para mostrar de manera cualitativa por los resultados vectoriales que la dirección del campo magnético neto es a lo largo del eje central del bucle. A partir de ahí, podemos utilizar la ley de Biot-Savart para derivar la expresión del campo magnético.

Supongamos que P una distancia y del centro del bucle. A partir de la regla de la mano derecha, el campo magnético dBdB en P, producido por el elemento de corriente Idl,Idl, se dirige a un ángulo θθ por encima del eje y como se muestra. Dado que dldl es paralelo a lo largo del eje x y r^r^ está en el plano yz, los dos vectores son perpendiculares, por lo que tenemos

dB=μ04πIdlsenπ/2r2=μ04πIdly2+R2dB=μ04πIdlsenπ/2r2=μ04πIdly2+R2
12.13

donde hemos utilizado r2=y2+R2.r2=y2+R2.

Consideremos ahora el campo magnético dBdB debido al elemento de corriente Idl,Idl, que está justo enfrente de IdlIdl en el bucle. La magnitud de dBdB también está dada por la Ecuación 12.13, pero está dirigida a un ángulo θθ por debajo del eje y. Las componentes de dBdB y dBdB perpendiculares al eje y se anulan, por lo que al calcular el campo magnético neto solo hay que considerar las componentes a lo largo del eje y. Las componentes perpendiculares al eje del bucle suman cero por pares. Por lo tanto, en el punto P:

B=j^bucledBcosθ=j^μ0I4πbuclecosθdly2+R2.B=j^bucledBcosθ=j^μ0I4πbuclecosθdly2+R2.
12.14

Para todos los elementos dldl en el cable, y, R y cosθcosθ son constantes y están relacionadas por

cosθ=Ry2+R2.cosθ=Ry2+R2.

Ahora de la Ecuación 12.14, el campo magnético en P es

B=j^μ0IR4π(y2+R2)3/2bucledl=μ0IR22(y2+R2)3/2j^B=j^μ0IR4π(y2+R2)3/2bucledl=μ0IR22(y2+R2)3/2j^
12.15

donde hemos utilizado bucledl=2πR.bucledl=2πR. Como se ha comentado en el capítulo anterior, el bucle de corriente cerrado es un dipolo magnético de momento μ=IAn^.μ=IAn^. Para este ejemplo, A=πR2A=πR2 y n^=j^,n^=j^, por lo que el campo magnético en P también puede escribirse como

B=μ0μj^2π(y2+R2)3/2.B=μ0μj^2π(y2+R2)3/2.
12.16

Al establecer y=0y=0 en la Ecuación 12.16, obtenemos el campo magnético en el centro del bucle:

B=μ0I2Rj^.B=μ0I2Rj^.
12.17

Esta ecuación se convierte en B=μ0nI/(2R)B=μ0nI/(2R) para una bobina plana de n bucles por longitud. También puede expresarse como

B=μ0μ2πR3.B=μ0μ2πR3.
12.18

Si consideramos yRyR en la Ecuación 12.16, la expresión se reduce a una conocida como el campo magnético de un dipolo:

B=μ0μ2πy3.B=μ0μ2πy3.
12.19

El cálculo del campo magnético debido al bucle de corriente circular en puntos fuera del eje requiere unas matemáticas bastante complejas, así que nos limitaremos a ver los resultados. Las líneas del campo magnético tienen la forma que se muestra en la Figura 12.12. Observe que una línea de campo sigue el eje del bucle. Esta es la línea de campo que acabamos de calcular. Además, muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto.

La figura muestra las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular. Una línea de campo sigue el eje del bucle. Muy cerca del cable, las líneas de campo son casi circulares, como las líneas de un cable largo y recto.
Figura 12.12 Esquema de las líneas de campo magnético de un bucle de corriente circular.

Ejemplo 12.5

Campo magnético entre dos bucles

Dos bucles de cable llevan la misma corriente de 10 mA, pero fluyen en direcciones opuestas como se ve en la Figura 12.13. Se mide un bucle para tener un radio de R=50cmR=50cm mientras que el otro bucle tiene un radio de 2R=100cm.2R=100cm. La distancia del primer bucle al punto donde se mide el campo magnético es de 0,25 m, y la distancia de ese punto al segundo bucle es de 0,75 m. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético neto en el punto P?
La figura muestra dos bucles de radios R y 2R con la misma corriente pero que fluye en direcciones opuestas. El punto P está situado entre los centros de los bucles, a una distancia de 0,25 metros del centro del bucle más pequeño y de 0,75 metros del centro del bucle más grande.
Figura 12.13 Dos bucles de diferente radio tienen la misma corriente pero fluyen en direcciones opuestas. El campo magnético en el punto P se mide como cero.

Estrategia

El campo magnético en el punto P se ha determinado en la Ecuación 12.15. Como las corrientes fluyen en direcciones opuestas, el campo magnético neto es la diferencia entre los dos campos generados por las bobinas. Al utilizar las cantidades dadas en el problema, se calcula entonces el campo magnético neto.

Solución

Al resolver el campo magnético neto mediante la Ecuación 12.15 y las cantidades dadas en el problema se obtiene
B=μ0IR122(y12+R12)3/2μ0IR222(y22+R22)3/2B=(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(0,5m)22((0,25m)2+(0,5m)2)3/2(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(1,0m)22((0,75m)2+(1,0m)2)3/2B=5,77×10−9Ta la derecha.B=μ0IR122(y12+R12)3/2μ0IR222(y22+R22)3/2B=(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(0,5m)22((0,25m)2+(0,5m)2)3/2(4π×10−7Tm/A)(0,010A)(1,0m)22((0,75m)2+(1,0m)2)3/2B=5,77×10−9Ta la derecha.

Importancia

Las bobinas de Helmholtz suelen tener bucles con radios iguales con la corriente fluyendo en la misma dirección para tener un fuerte campo uniforme en el punto medio entre los bucles. Una aplicación similar de la distribución del campo magnético creada por las bobinas de Helmholtz se encuentra en una botella magnética que puede atrapar temporalmente partículas cargadas. Consulte Fuerzas y campos magnéticos para conocer una discusión al respecto.

Compruebe Lo Aprendido 12.5

Al utilizar el Ejemplo 12.5, ¿a qué distancia debería mover la primera bobina para tener un campo magnético cero medible en el punto P?

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