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Física universitaria volumen 2

12.5 Ley de Ampère

Física universitaria volumen 212.5 Ley de Ampère

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo la ley de Ampère relaciona el campo magnético producido por una corriente con su valor.
  • Calcular el campo magnético de un cable largo y recto, ya sea delgado o grueso, por la ley de Ampère.

Una propiedad fundamental de un campo magnético estático es que, a diferencia de un campo electrostático, no es conservador. Un campo conservador es aquel que realiza la misma cantidad de trabajo sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos diferentes, sin importar la trayectoria elegida. Los campos magnéticos no tienen esa propiedad. En cambio, existe una relación entre el campo magnético y su fuente, la corriente eléctrica. Se expresa en términos de la integral de línea de B→B→ y se conoce como la ley de Ampère. Esta ley también puede derivarse directamente de la ley de Biot-Savart. Consideramos ahora esa derivación para el caso especial de un cable lineal infinito.

La Figura 12.14 muestra un plano arbitrario perpendicular a un cable lineal infinito cuya corriente I se dirige fuera de la página. Las líneas de campo magnético son círculos dirigidos en sentido contrario a las agujas del reloj y centrados en el cable. Para empezar, consideremos ∮B→·dl→∮B→·dl→ sobre las trayectorias cerradas M y N. Observe que una trayectoria (M) encierra el cable, mientras que la otra (N) no. Como las líneas de campo son circulares, B→·dl→B→·dl→ es el producto de B y la proyección de dl sobre el círculo que pasa por dl→.dl→. Si el radio de este círculo particular es r, la proyección es rdθ,rdθ, y

B→·dl→=Brdθ.B→·dl→=Brdθ.
Las figuras A y B muestran un plano arbitrario perpendicular a un cable lineal infinito cuya corriente I se dirige hacia fuera de la página. Las líneas de campo magnético son círculos dirigidos en sentido contrario a las agujas del reloj y centrados en el cable. La trayectoria de amperios M demostrada en la figura A encierra el cable. La trayectoria de amperios N demostrada en la figura B no encierra el cable.
Figura 12.14 La corriente I de un cable lineal largo se dirige hacia fuera de la página. La integral ∮dθ∮dθ es igual a 2π2π y 0, respectivamente, para los trayectos M y N.

Con B→B→ dado por la Ecuación 12.9,

∮B→·dl→=∮(μ0I2πr)rdθ=μ0I2π∮dθ.∮B→·dl→=∮(μ0I2πr)rdθ=μ0I2π∮dθ.
12.20

Para la trayectoria M, que circula alrededor del cable, ∮Mdθ=2π∮Mdθ=2π y

∮MB→·dl→=μ0I.∮MB→·dl→=μ0I.
12.21

La trayectoria N, por el contrario, circula por el positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj) y el negativo (en sentido de las agujas del reloj) dθdθ (vea la Figura 12.14), y como está cerrado, ∮Ndθ=0.∮Ndθ=0. Así, para la trayectoria N,

∮NB→·dl→=0.∮NB→·dl→=0.
12.22

La extensión de este resultado al caso general es la ley de Ampère.

Ley de Ampère

Sobre una trayectoria cerrada arbitraria,

∮B→·dl→=μ0I∮B→·dl→=μ0I
12.23

donde I es la corriente total que pasa por cualquier superficie abierta S cuyo perímetro es la trayectoria de integración. Solo hay que tener en cuenta las corrientes dentro de la trayectoria de integración.

Para determinar si una corriente específica I es positiva o negativa, curve los dedos de su mano derecha en la dirección de la trayectoria de integración, como se muestra en la Figura 12.14. Si I pasa por S en la misma dirección que su pulgar extendido, I es positivo; si I pasa por S en la dirección opuesta a su pulgar extendido, es negativo.

Estrategia de Resolución De Problemas

Ley de Ampère

Para calcular el campo magnético creado a partir de la corriente en el/los cable(s), utilice los siguientes pasos:

  1. Identifique la simetría de la corriente en el o los cables. Si no hay simetría, utilice la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético.
  2. Determine la dirección del campo magnético creado por el o los cables por la regla de la mano derecha 2.
  3. Elija un bucle de trayectoria en el que el campo magnético sea constante o cero.
  4. Calcule la corriente dentro del bucle.
  5. Calcule la integral de línea ∮B→·dl→∮B→·dl→ alrededor del bucle cerrado.
  6. Iguale ∮B→·dl→∮B→·dl→ con μ0Iencμ0Ienc y resuelva para B→.B→.

Ejemplo 12.6

Uso de la ley de Ampère para calcular el campo magnético debido a un cable

Utilice la ley de Ampère para calcular el campo magnético debido a una corriente constante I en un cable lineal infinito y delgado como se muestra en la Figura 12.15.
La figura muestra un cable lineal infinito y delgado, con la corriente dirigida hacia fuera de la página. Las posibles componentes del campo magnético en este plano, BR y BTheta, se muestran en puntos arbitrarios de un círculo de radio r centrado en el cable.
Figura 12.15 Las posibles componentes del campo magnético B debidas a una corriente I, que se dirige fuera de la página. La componente radial es cero porque el ángulo entre el campo magnético y la trayectoria es un ángulo recto.

Estrategia

Considere un plano arbitrario perpendicular al cable, con la corriente dirigida fuera de la página. Las posibles componentes del campo magnético en este plano, BrBr y Bθ,Bθ, se muestran en puntos arbitrarios de un círculo de radio r centrado en el cable. Dado que el campo es cilíndricamente simétrico, ni BrBr ni BθBθ varían con la posición en este círculo. También por simetría, las líneas radiales, si existen, deben dirigirse todas hacia dentro o todas hacia fuera del cable. Esto significa, sin embargo, que debe haber un flujo magnético neto a través de un cilindro arbitrario concéntrico con el cable. La componente radial del campo magnético debe ser cero porque B→r⋅dl→=0.B→r⋅dl→=0. Por lo tanto, podemos aplicar la ley de Ampère a la trayectoria circular como se muestra.

Solución

Por esta trayectoria, B→B→ es constante y paralela a dl→,dl→, así que
∮B→·dl→=Bθ∮dl=Bθ(2πr).∮B→·dl→=Bθ∮dl=Bθ(2πr).

Así, la ley de Ampère se reduce a

Bθ(2πr)=μ0I.Bθ(2πr)=μ0I.

Por último, dado que BθBθ es el único componente de B→,B→, podemos eliminar el subíndice y escribir

B=μ0I2πr.B=μ0I2πr.

Esto coincide con el cálculo de Biot-Savart anterior.

Importancia

La ley de Ampère funciona bien si se tiene una trayectoria a integrar sobre la cual B→·dl→B→·dl→ tiene resultados que son fáciles de simplificar. Para el cable infinito, esto funciona fácilmente con una trayectoria que es circular alrededor del cable para que el campo magnético se excluya de la integración. Si la dependencia de la trayectoria parece complicada, siempre se puede volver a la ley de Biot-Savart y utilizarla para calcular el campo magnético.

Ejemplo 12.7

Cálculo del campo magnético de un cable grueso con la ley de Ampère

El radio del cable lineal y largo de la Figura 12.16 es a, y el cable lleva una corriente I0I0 que se distribuye uniformemente en su sección transversal. Calcule el campo magnético tanto dentro como fuera del cable.
La figura A muestra un cable lineal y largo de radio a que porta la corriente I. La figura B muestra una sección transversal del mismo cable con el bucle de Ampère de radio r.
Figura 12.16 (a) Un modelo de un cable conductor de corriente de radio a y corriente I0.I0. (b) Una sección transversal del mismo cable que muestra el radio a y el bucle de Ampère de radio r.

Estrategia

Este problema tiene la misma geometría que el Ejemplo 12.6, pero la corriente encerrada cambia a medida que movemos la trayectoria de integración desde el exterior del alambre hasta su interior, donde no captura toda la corriente encerrada (ver Figura 12.16).

Solución

Para cualquier trayectoria circular de radio r que esté centrada en el cable,
∮B→·dl→=∮Bdl=B∮dl=B(2πr).∮B→·dl→=∮Bdl=B∮dl=B(2πr).

A partir de la ley de Ampère, esto es igual a la corriente total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria de integración.

Consideremos primero una trayectoria circular que está dentro del cable (r≤a)(r≤a) como la mostrada en la parte (a) de la Figura 12.16. Necesitamos la corriente I que pasa por la zona delimitada por la trayectoria. Es igual a la densidad de corriente J por el área encerrada. Dado que la corriente es uniforme, la densidad de corriente dentro de la trayectoria es igual a la densidad de corriente en todo el cable, que es I0/πa2.I0/πa2. Por lo tanto, la corriente I que pasa por la zona delimitada por la trayectoria es

I=πr2πa2I0=r2a2I0.I=πr2πa2I0=r2a2I0.

Podemos considerar esta relación porque la densidad de corriente J es constante sobre el área del cable. Por lo tanto, la densidad de corriente de una parte del cable es igual a la densidad de corriente en toda la zona. Al utilizar la ley de Ampère, obtenemos

B(2πr)=μ0(r2a2)I0,B(2πr)=μ0(r2a2)I0,

y el campo magnético dentro del cable es

B=μ0I02πra2(r≤a).B=μ0I02πra2(r≤a).

Fuera del cable, la situación es idéntica a la del cable fino infinito del ejemplo anterior; es decir,

B=μ0I02πr(r≥a).B=μ0I02πr(r≥a).

La variación de B con r se muestra en la Figura 12.17.

El gráfico muestra la variación de B con r. Aumenta linealmente con la r hasta el punto a. Entonces empieza a disminuir de manera inversamente proporcional a r.
Figura 12.17 Variación del campo magnético producido por una corriente I0I0 en un cable lineal y largo de radio a.

Importancia

Los resultados muestran que, a medida que aumenta la distancia radial dentro del alambre grueso, el campo magnético aumenta desde cero hasta un valor familiar del campo magnético de un cable fino. Fuera del cable, el campo disminuye independientemente de si se trata de un cable grueso o fino.

Este resultado es similar a cómo se comporta la ley de Gauss para las cargas eléctricas dentro de una distribución uniforme de la carga, excepto que esta ley para las cargas eléctricas tiene una distribución uniforme del volumen de la carga, mientras que la ley de Ampère tiene aquí una distribución uniforme del área de la corriente. Además, la caída fuera del cable grueso es similar a cómo cae un campo eléctrico fuera de una distribución de carga lineal, ya que los dos casos tienen la misma geometría y ninguno de ellos depende de la configuración de cargas o corrientes una vez que el bucle está fuera de la distribución.

Ejemplo 12.8

Uso de la Ley de Ampère con trayectorias arbitrarias

Utilice la ley de Ampère para evaluar ∮B→·dl→∮B→·dl→ para las configuraciones y trayectorias actuales en la Figura 12.18.
La figura A muestra cuatro cables que portan corrientes de dos amperios, cinco amperios, tres amperios y cuatro amperios. Los cuatro cables están dentro del bucle. El primer y el segundo cables llevan la corriente hacia abajo a través del bucle. El tercer y el cuarto cables llevan la corriente hacia arriba a través del bucle. La figura B muestra tres cables que portan corrientes de cinco amperios, dos amperios y tres amperios. El primer y tercer cable están fuera del bucle, el segundo cable está dentro de él. El primer cable lleva la corriente hacia arriba a través del bucle. El segundo y el tercer cables llevan la corriente hacia abajo a través del bucle. La figura C muestra tres cables que portan corrientes de siete amperios, cinco amperios y tres amperios. Los tres cables están dentro del bucle. El primer y el segundo cables llevan la corriente hacia abajo a través del bucle. El tercer cable lleva la corriente hacia arriba a través del bucle.
Figura 12.18 Configuraciones y trayectorias de corriente para el Ejemplo 12.8.

Estrategia

La ley de Ampère establece que ∮B→·dl→=μ0I∮B→·dl→=μ0I donde I es la corriente total que pasa por el bucle cerrado. La forma más rápida de evaluar la integral es calcular μ0Iμ0I encontrando la corriente neta a través del bucle. Las corrientes positivas fluyen con el pulgar de la mano derecha si los dedos se envuelven en la dirección del bucle. Esto nos indicará el signo de la respuesta.

Solución

(a) La corriente que baja por el bucle es igual a la que sale de él, por lo que la corriente neta es cero. Así, ∮B→·dl→=0.∮B→·dl→=0.

(b) La única corriente a considerar en este problema es 2A porque es la única corriente dentro del bucle. La regla de la mano derecha nos indica que la corriente que baja por el bucle es en sentido positivo. Por lo tanto, la respuesta es ∮B→·dl→=μ0(2A)=2,51×10−6T⋅m.∮B→·dl→=μ0(2A)=2,51×10−6T⋅m.

(c) La regla de la mano derecha nos indica que la corriente que baja por el bucle es en sentido positivo. Hay 7A+5A=12A7A+5A=12A de corriente hacia abajo y -3 A hacia arriba. Por lo tanto, la corriente total es de 9 A y ∮B→·dl→=μ0(9A)=1,13×10–5T⋅m.∮B→·dl→=μ0(9A)=1,13×10–5T⋅m.

Importancia

Si todas las corrientes se envolvieran de forma que la misma corriente entrara y saliera del bucle, la corriente neta sería cero y no habría campo magnético. Por eso los cables están muy cerca unos de otros en un cable eléctrico. Las corrientes que fluyen hacia un dispositivo y que se alejan de él en un cable son iguales al flujo de corriente total cero a través de un bucle de Ampère alrededor de estos cables. Por lo tanto, no puede haber campos magnéticos parásitos en los cables que portan corriente.

Compruebe Lo Aprendido 12.6

Considere el uso de la ley de Ampère para calcular los campos magnéticos de un cable lineal finito y de un bucle circular. ¿Por qué no es útil para estos cálculos?

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