William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Establecer una relación de cómo varía el campo magnético de un solenoide con la distancia y la corriente utilizando tanto la ley de Biot-Savart como la ley de Ampère.
Establecer una relación de cómo varía el campo magnético de un toroide con la distancia y la corriente utilizando la ley de Ampère.

Dos de los dispositivos electromagnéticos más comunes y útiles son los llamados solenoides y toroides. De una forma u otra, forman parte de numerosos instrumentos, tanto grandes como pequeños. En esta sección examinamos el campo magnético típico de estos dispositivos.

Solenoides

Un cable largo enrollado en forma de bobina helicoidal se conoce como solenoide. Los solenoides se utilizan habitualmente en la investigación experimental que requiere campos magnéticos. Un solenoide es generalmente fácil de enrollar, y cerca de su centro, su campo magnético es bastante uniforme y directamente proporcional a la corriente en el cable.

La Figura 12.19 muestra un solenoide formado por N vueltas de alambre fuertemente enrolladas sobre una longitud L. Por el alambre del solenoide circula una corriente I. El número de vueltas por unidad de longitud es N/L; por tanto, el número de vueltas en una longitud infinitesimal dy son (N/L)dy vueltas. Esto produce una corriente

d I = \frac{N I}{L} d y .

12.24

Primero calculamos el campo magnético en el punto P de la Figura 12.19. Este punto se encuentra en el eje central del solenoide. Básicamente, estamos cortando el solenoide en rebanadas finas que tienen un grosor dy y tratando cada una de ellas como un bucle de corriente. Por lo tanto, dI es la corriente que atraviesa cada rodaja. El campo magnético $d \vec{B}$ debido a la corriente dI en dy se puede calcular con la ayuda de la Ecuación 12.15 y la Ecuación 12.24:

d \vec{B} = \frac{μ_{0} R^{2} d I}{2 {(y^{2} + R^{2})}^{3 / 2}} \hat{j} = (\frac{μ_{0} I R^{2} N}{2 L} \hat{j}) \frac{d y}{{(y^{2} + R^{2})}^{3 / 2}}

12.25

donde utilizamos la Ecuación 12.24 para sustituir a dI. El campo resultante en P se encuentra integrando $d \vec{B}$ a lo largo de toda la longitud del solenoide. Es más fácil evaluar esta integral al cambiar la variable independiente de y a $θ .$ De la inspección de la Figura 12.19, tenemos:

sen θ = \frac{y}{\sqrt{y^{2} + R^{2}}} .

12.26

La figura A es un dibujo de un solenoide que es un alambre largo enrollado en forma de hélice. La figura B muestra que el campo magnético en el punto P del eje del solenoide es el campo neto debido a todos los bucles de corriente.

Figura 12.19 (a) Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de hélice. (b) El campo magnético en el punto P del eje del solenoide es el campo neto debido a todos los bucles de corriente.

Al tomar la diferencial de ambos lados de esta ecuación, obtenemos

\begin{matrix} cos θ d θ & = [- \frac{y^{2}}{{(y^{2} + R^{2})}^{3 / 2}} + \frac{1}{\sqrt{y^{2} + R^{2}}}] d y \\ = \frac{R^{2} d y}{{(y^{2} + R^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

Cuando esto se sustituye en la ecuación de $d \vec{B},$ tenemos

\vec{B} = \frac{μ_{0} I N}{2 L} \hat{j} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} cos θ d θ = \frac{μ_{0} I N}{2 L} (sen θ_{2} - sen θ_{1}) \hat{j},

12.27

que es el campo magnético a lo largo del eje central de un solenoide finito.

De especial interés es el solenoide infinitamente largo, para el que $L \to \infty .$ Desde un punto de vista práctico, el solenoide infinito es aquel cuya longitud es mucho mayor que su radio $(L ≫ R) .$ En este caso, $θ_{1} = \frac{− π}{2}$ y $θ_{2} = \frac{π}{2} .$ Entonces de la Ecuación 12.27, el campo magnético a lo largo del eje central de un solenoide infinito es

\vec{B} = \frac{μ_{0} I N}{2 L} \hat{j} [sen (π / 2) - sen (− π / 2)] = \frac{μ_{0} I N}{L} \hat{j}

o

\vec{B} = μ_{0} n I \hat{j},

12.28

donde n es el número de vueltas por unidad de longitud. Puede calcular la dirección de $\vec{B}$ con una regla de la mano derecha: Envuelva los dedos en la dirección de la corriente y el pulgar apunta a lo largo del campo magnético en el interior del solenoide.

Ahora utilizamos estas propiedades, junto con la ley de Ampère, para calcular la magnitud del campo magnético en cualquier lugar dentro del solenoide infinito. Consideremos la trayectoria cerrada de la Figura 12.20. A lo largo del segmento 1, $\vec{B}$ es uniforme y paralelo a la trayectoria. A lo largo de los segmentos 2 y 4, $\vec{B}$ es perpendicular a una parte de la trayectoria y se desvanece en el resto. Por lo tanto, los segmentos 2 y 4 no contribuyen a la integral de línea en la ley de Ampère. A lo largo del segmento 3, $\vec{B} = 0$ porque el campo magnético es cero fuera del solenoide. Si se considera un bucle de la ley de Ampère fuera del solenoide, la corriente fluye en direcciones opuestas en diferentes segmentos de cable. Por lo tanto, no hay corriente encerrada ni campo magnético según la ley de Ampère. Por lo tanto, no hay contribución a la integral de la línea del segmento 3. Como resultado, hallamos

\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \int_{1} \vec{B} \cdot d \vec{l} = B l .

12.29

La figura muestra la trayectoria rectangular cerrada y el solenoide infinito. El segmento 1 está dentro del solenoide y es paralelo a la trayectoria. Los segmentos 2 y 4 son perpendiculares a la trayectoria. El segmento 3 está fuera del solenoide.

Figura 12.20 La vía de integración utilizada en la ley de Ampère para evaluar el campo magnético de un solenoide infinito.

El solenoide tiene n vueltas por unidad de longitud, por lo que la corriente que pasa por la superficie encerrada por la trayectoria es nlI. Por lo tanto, a partir de la ley de Ampère,

B l = μ_{0} n l I

y

B = μ_{0} n I

12.30

dentro del solenoide. Esto coincide con lo que hemos encontrado antes para B en el eje central del solenoide. Aquí, sin embargo, la ubicación del segmento 1 es arbitraria, por lo que hemos encontrado que esta ecuación da el campo magnético en cualquier lugar dentro del solenoide infinito.

Fuera del solenoide, se puede dibujar un bucle de la ley de Ampère alrededor de todo él. Esto encerraría la corriente que fluye en ambas direcciones. Por lo tanto, la corriente neta dentro del bucle es cero. Según la ley de Ampère, si la corriente neta es cero, el campo magnético debe ser cero. Por lo tanto, para lugares fuera del radio del solenoide, el campo magnético es cero.

Cuando un paciente se somete a una imagen de resonancia magnética (IRM), la persona se acuesta en una mesa que se mueve hacia el centro de un gran solenoide que puede generar campos magnéticos muy grandes. El solenoide es capaz de producir estos altos campos a partir de altas corrientes que fluyen a través de los cables superconductores. El gran campo magnético se utiliza para cambiar el giro de los protones en el cuerpo del paciente. El tiempo que tardan los espines en alinearse o relajarse (volver a la orientación original) es una marca de los diferentes tejidos que pueden analizarse para ver si sus estructuras son normales (Figura 12.21).

La foto muestra un sistema de IRM. Consiste en un solenoide cilíndrico que se utiliza para generar un gran campo magnético.

Figura 12.21 En una máquina de IRM el solenoide cilíndrico que rodea al paciente genera un gran campo magnético (créditos: Liz West)

Ejemplo 12.9

Campo magnético dentro de un solenoide

Un solenoide tiene 300 vueltas enrolladas alrededor de un cilindro de 1,20 cm de diámetro y 14,0 cm de longitud. Si la corriente que atraviesa las bobinas es de 0,410 A, ¿cuál es la magnitud del campo magnético en el interior y cerca del centro del solenoide?

Estrategia

Nos dan el número de vueltas y la longitud del solenoide para que podamos calcular el número de vueltas por unidad de longitud. Por lo tanto, el campo magnético dentro y cerca del centro del solenoide viene dado por la Ecuación 12.30. Fuera del solenoide, el campo magnético es cero.

Solución

El número de vueltas por unidad de longitud es

n = \frac{300 vueltas}{0,140 m} = 2,14 \times 10^{3} vueltas/m .

El campo magnético producido en el interior del solenoide es

\begin{array}{r} B & = & μ_{0} n I = (4 π \times 10^{−7} T \cdot m/A) (2,14 \times 10^{3} vueltas/m) (0,410 A) \\ B & = & 1,10 \times 10^{−3} T . \end{array}

Importancia

Esta solución solo es válida si la longitud del solenoide es razonablemente grande en comparación con su diámetro. Este ejemplo es un caso en el que esto es válido.

Compruebe Lo Aprendido 12.7

¿Cuál es la relación entre el campo magnético producido al utilizar una fórmula finita sobre la aproximación infinita para un ángulo $θ$ de (a) $85 ° ?$ (b) ¿ $89 ° ?$ El solenoide tiene 1.000 vueltas en 50 cm con una corriente de 1,0 A que fluye a través de las bobinas

Toroides

Un toroide es una bobina en forma de rosquilla estrechamente enrollada con un alambre continuo, como se ilustra en la parte (a) de la Figura 12.22. Si el toroide tiene N bobinados y la corriente en el cable es I, ¿cuál es el campo magnético dentro y fuera del toroide?

La figura A muestra un toroide que es una bobina bobinada en un objeto con forma de rosquilla. La figura B muestra un toroide bobinado de manera holgada que no tiene simetría cilíndrica. La figura C muestra un toroide muy bobinado con una simetría muy cercana a la cilíndrica. La figura D muestra varias trayectorias. Las trayectorias D1 y D3 son externas al toroide. La trayectoria D2 se encuentra dentro del toroide.

Figura 12.22 (a) Un toroide es una bobina bobinada en un objeto con forma de rosquilla. (b) Un toroide poco bobinado no tiene simetría cilíndrica. (c) En un toroide muy bobinado la simetría cilíndrica es una muy buena aproximación. (d) Varias trayectorias de integración para la ley de Ampère.

Comenzamos asumiendo una simetría cilíndrica alrededor del eje OO'. En realidad, esta suposición no es precisamente correcta, pues como muestra la parte (b) de la Figura 12.22, la vista de la bobina toroidal varía de un punto a otro (por ejemplo, $P_{1}, P_{2},$ y $P_{3}$ ) en una trayectoria circular centrada en OO'. Sin embargo, si el toroide está fuertemente bobinado, todos los puntos del círculo se vuelven esencialmente equivalentes (parte [c] de la Figura 12.22), y la simetría cilíndrica es una aproximación precisa.

Con esta simetría, el campo magnético debe ser tangente y de magnitud constante a lo largo de cualquier trayectoria circular centrada en OO'. Esto nos permite escribir para cada una de las trayectorias $D_{1}, D_{2},$ y $D_{3}$ que se muestra en la parte (d) de la Figura 12.22,

\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = B (2 π r) .

12.31

La ley de Ampère relaciona esta integral con la corriente neta que atraviesa cualquier superficie delimitada por la trayectoria de integración. En el caso de una trayectoria externa al toroide, o bien no pasa corriente a través de la superficie envolvente (trayectoria $D_{1}$ ) o la corriente que pasa por la superficie en una dirección se equilibra exactamente con la corriente que pasa por ella en la dirección opuesta $(trayectoria D_{3}) .$ En cualquier caso, no hay corriente neta que pase por la superficie, por lo que

\oint B (2 π r) = 0

y

B = 0 (fuera del toroide) .

12.32

Las vueltas de un toroide forman una hélice, en vez de bucles circulares. Como resultado, hay un pequeño campo externo a la bobina; sin embargo, la derivación anterior se mantiene si las bobinas fueran circulares.

Para una trayectoria circular dentro del toroide (trayectoria $D_{2}$ ), la corriente en el cable corta la superficie N veces, lo que resulta en una corriente neta NI a través de la superficie. Ahora calculamos con la ley de Ampère,

B (2 π r) = μ_{0} N I

y

B = \frac{μ_{0} N I}{2 π r} (dentro del toroide) .

12.33

El campo magnético está dirigido en el sentido contrario a las agujas del reloj para los bobinados mostrados. Cuando se invierte la corriente en las bobinas, la dirección del campo magnético también se invierte.

El campo magnético en el interior de un toroide no es uniforme, ya que varía inversamente con la distancia r del eje OO'. Sin embargo, si el radio central R (el radio a medio camino entre los radios interior y exterior del toroide) es mucho mayor que el diámetro de la sección transversal de las bobinas r, la variación es bastante pequeña, y la magnitud del campo magnético puede calcularse mediante la Ecuación 12.33 donde $r = R .$

12.6 Solenoides y toroides