12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado

¿Cuánta corriente se necesita para producir un campo magnético significativo, quizás tan fuerte como el campo de la Tierra? Los topógrafos le dirán que las líneas eléctricas aéreas crean campos magnéticos que interfieren con sus lecturas de la brújula. De hecho, cuando Oersted descubrió en 1820 que una corriente en un cable afectaba a la aguja de brújula, no se trataba de corrientes extremadamente grandes. ¿Cómo afecta la forma de los cables que portan la corriente a la forma del campo magnético creado? En el capítulo 28 observamos que un bucle de corriente creaba un campo magnético similar al de una barra magnética, pero ¿qué ocurre con un cable recto? Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para responder a todas estas preguntas, lo que incluye la determinación del campo magnético de un cable largo y recto.

La Figura 12.5 muestra una sección de un cable recto de longitud infinita que porta una corriente I. ¿Cuál es el campo magnético en un punto P, situado a una distancia R del cable?

Figura 12.5 Sección de un cable delgado y recto que transporta la corriente. La variable independiente $\theta$ tiene los límites ${\theta }_1$ y ${\theta }_2.$

Empecemos por considerar el campo magnético debido al elemento de corriente $Id\overrightarrow{x}$ situado en la posición x. Al utilizar la regla 1 de la mano derecha del capítulo anterior, $d\overrightarrow{x}\times \widehat{r}$ apunta fuera de la página para cualquier elemento a lo largo del cable. En el punto P, por tanto, los campos magnéticos debidos a todos los elementos de la corriente tienen la misma dirección. Esto significa que podemos calcular el campo neto allí evaluando la suma escalar de las contribuciones de los elementos. Con $|d\overrightarrow{x}\times \widehat{r}|=(dx)(1)\mathrm{sen}\theta ,$ obtenemos de la ley de Biot-Savart

El cable es simétrico respecto al punto O, por lo que podemos establecer los límites de la integración de cero a infinito y duplicar la respuesta, en lugar de integrar de infinito negativo a infinito positivo. Basándonos en la imagen y la geometría, podemos escribir expresiones para r y $\mathrm{sen}\theta$ en términos de x y R, a saber:

Al sustituir estas expresiones en la Ecuación 12.5, la integración del campo magnético se convierte en

Al evaluar la integral se obtiene

Al sustituir los límites obtenemos la solución

Las líneas de campo magnético del cable infinito son circulares y centradas en el cable (Figura 12.6), y son idénticas en todos los planos perpendiculares este. Dado que el campo disminuye con la distancia al cable, el espaciado de las líneas de campo debe aumentar de forma correspondiente con la distancia. La dirección de este campo magnético puede encontrarse con una segunda forma de la regla de la mano derecha (ilustrada en Figura 12.6). Si se sujeta el cable con la mano derecha de forma que el pulgar apunte a lo largo de la corriente, entonces los dedos envuelven el cable en el mismo sentido que $\overrightarrow{B}.$

Figura 12.6 Algunas líneas de campo magnético de un cable infinito. La dirección de $\overrightarrow{B}$ se puede calcular con una forma de la regla de la mano derecha.

La dirección de las líneas de campo se puede observar de manera experimental colocando varias agujas de brújula pequeñas en un círculo cerca del cable, como se ilustra en la Figura 12.7. Cuando no hay corriente en el cable, las agujas se alinean con el campo magnético de la Tierra. Sin embargo, cuando se envía una gran corriente a través del cable, las agujas de brújula apuntan todas tangentes al círculo. Las limaduras de hierro espolvoreadas sobre una superficie horizontal también delinean las líneas de campo, como se muestra en la Figura 12.7.

Figura 12.7 La forma de las líneas de campo magnético de un cable largo puede verse utilizando (a) pequeñas agujas de brújula y (b) limaduras de hierro.

Ejemplo 12.3

Cálculo del campo magnético debido a tres cables

Tres cables se sitúan en las esquinas de un cuadrado, todos llevan corrientes de 2 amperios a la página como se muestra en la Figura 12.8. Calcule la magnitud del campo magnético en la otra esquina del cuadrado, el punto P, si la longitud de cada lado del cuadrado es de 1 cm.

Figura 12.8 Tres cables tienen corriente que fluye hacia la página. El campo magnético se determina en la cuarta esquina del cuadrado.

Estrategia

Se calcula el campo magnético debido a cada cable en el punto deseado. La distancia diagonal se calcula mediante el teorema de Pitágoras. A continuación, se determina la dirección de la contribución de cada campo magnético dibujando un círculo centrado en el punto del cable y hacia el punto deseado. La dirección de la contribución del campo magnético de ese cable es tangencial a la curva. Por último, trabajando con estos vectores, se calcula la resultante.

Solución

Los cables 1 y 3 tienen la misma magnitud de contribución del campo magnético en el punto P:

$$B_1=B_3=\frac{{\mu }_{o}I}{2\pi R}=\frac{(4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A})(2\text{A})}{2\pi (\mathrm{0,01}\text{m})}=4\times {10}^{\text{−5}}\text{T}.$$

El cable 2 tiene una distancia mayor y una contribución del campo magnético en el punto P de:

$$B_2=\frac{{\mu }_{o}I}{2\pi R}=\frac{(4\pi \times {10}^{\text{−7}}\text{T}\cdot \text{m/A})(2\text{A})}{2\pi (\mathrm{0,01414}\text{m})}=3\times {10}^{\text{−5}}\text{T}.$$

Se muestran los vectores de cada una de estas contribuciones de campo magnético.

El campo magnético en la dirección x tiene contribuciones del cable 3 y de la componente x del cable 2:

$$B_{\text{neta}x}=\text{−4}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}-\mathrm{2,83}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}\cos (45\text{°})=\text{−6}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}.$$

La componente y es igualmente las contribuciones del cable 1 y la componente y del cable 2:

$$B_{\text{neta}y}=\text{−4}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}-\mathrm{2,83}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}\mathrm{sen}(45\text{°})=\text{−6}\times {10}^{\text{−5}}\text{T}.$$

Por lo tanto, el campo magnético neto es la resultante de estas dos componentes:

$$\begin{array}{}\\ \\ B_{\text{neta}}=\sqrt{B_{\text{neta}x}^2+B_{\text{neta}y}^2}\\ B_{\text{neta}}=\sqrt{{(\text{−6}\times {10}^{\text{−5}}\text{T})}^2+{(\text{−6}\times {10}^{\text{−5}}\text{T})}^2}\\ B_{\text{neta}}=8\times {10}^{\text{−5}}\text{T}.\end{array}$$

Importancia

La geometría de este problema hace que las contribuciones del campo magnético en las direcciones x y y tengan la misma magnitud. Esto no es necesariamente el caso si las corrientes fueran de valores diferentes o si los cables estuvieran situados en posiciones diferentes. Independientemente de los resultados numéricos, al trabajar con las componentes de los vectores se obtendrá el campo magnético resultante en el punto necesario.