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Física Universitaria Volumen 2

12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado

Física Universitaria Volumen 212.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo se utiliza la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético debido a un cable delgado y recto.
  • Determinar la dependencia del campo magnético de un cable delgado y recto en función de la distancia al mismo y de la corriente que circula por él.
  • Hacer un croquis del campo magnético creado a partir de un cable delgado y recto utilizando la segunda regla de la mano derecha.

¿Cuánta corriente se necesita para producir un campo magnético significativo, quizás tan fuerte como el campo de la Tierra? Los topógrafos le dirán que las líneas eléctricas aéreas crean campos magnéticos que interfieren con sus lecturas de la brújula. De hecho, cuando Oersted descubrió en 1820 que una corriente en un cable afectaba a la aguja de brújula, no se trataba de corrientes extremadamente grandes. ¿Cómo afecta la forma de los cables que portan la corriente a la forma del campo magnético creado? En el capítulo 28 observamos que un bucle de corriente creaba un campo magnético similar al de una barra magnética, pero ¿qué ocurre con un cable recto? Podemos utilizar la ley de Biot-Savart para responder a todas estas preguntas, lo que incluye la determinación del campo magnético de un cable largo y recto.

La Figura 12.5 muestra una sección de un cable recto de longitud infinita que porta una corriente I. ¿Cuál es el campo magnético en un punto P, situado a una distancia R del cable?

Esta figura muestra una sección de un cable delgado y recto conductor de corriente. El punto P está situado a la distancia R del centro del cable O y a la distancia r del trozo de cable dX. El vector r desde el trozo de cable dX hasta el punto P forma un ángulo theta con el cable.
Figura 12.5 Sección de un cable delgado y recto que transporta la corriente. La variable independiente θ θ tiene los límites θ 1 θ 1 y θ 2 . θ 2 .

Empecemos por considerar el campo magnético debido al elemento de corriente IdxIdx situado en la posición x. Al utilizar la regla 1 de la mano derecha del capítulo anterior, dx×r^dx×r^ apunta fuera de la página para cualquier elemento a lo largo del cable. En el punto P, por tanto, los campos magnéticos debidos a todos los elementos de la corriente tienen la misma dirección. Esto significa que podemos calcular el campo neto allí evaluando la suma escalar de las contribuciones de los elementos. Con |dx×r^|=(dx)(1)senθ,|dx×r^|=(dx)(1)senθ, obtenemos de la ley de Biot-Savart

B=μ04πcableIsenθdxr2.B=μ04πcableIsenθdxr2.
12.5

El cable es simétrico respecto al punto O, por lo que podemos establecer los límites de la integración de cero a infinito y duplicar la respuesta, en lugar de integrar de infinito negativo a infinito positivo. Basándonos en la imagen y la geometría, podemos escribir expresiones para r y senθsenθ en términos de x y R, a saber:

r=x2+R2senθ=Rx2+R2.r=x2+R2senθ=Rx2+R2.

Al sustituir estas expresiones en la Ecuación 12.5, la integración del campo magnético se convierte en

B=μoI2π0Rdx(x2+R2)3/2.B=μoI2π0Rdx(x2+R2)3/2.
12.6

Al evaluar la integral se obtiene

B=μoI2πR[ x(x2+R2)1/2]0.B=μoI2πR[ x(x2+R2)1/2]0.
12.7

Al sustituir los límites obtenemos la solución

B=μoI2πR.B=μoI2πR.
12.8

Las líneas de campo magnético del cable infinito son circulares y centradas en el cable (Figura 12.6), y son idénticas en todos los planos perpendiculares este. Dado que el campo disminuye con la distancia al cable, el espaciado de las líneas de campo debe aumentar de forma correspondiente con la distancia. La dirección de este campo magnético puede encontrarse con una segunda forma de la regla de la mano derecha (ilustrada en Figura 12.6). Si se sujeta el cable con la mano derecha de forma que el pulgar apunte a lo largo de la corriente, entonces los dedos envuelven el cable en el mismo sentido que B.B.

Esta figura demuestra la regla de la mano derecha. El cable se sujeta con la mano derecha de forma que el pulgar apunte a lo largo de la corriente. Los dedos envuelven el cable en el mismo sentido que el campo magnético.
Figura 12.6 Algunas líneas de campo magnético de un cable infinito. La dirección de B B se puede calcular con una forma de la regla de la mano derecha.

La dirección de las líneas de campo se puede observar de manera experimental colocando varias agujas de brújula pequeñas en un círculo cerca del cable, como se ilustra en la Figura 12.7. Cuando no hay corriente en el cable, las agujas se alinean con el campo magnético de la Tierra. Sin embargo, cuando se envía una gran corriente a través del cable, las agujas de brújula apuntan todas tangentes al círculo. Las limaduras de hierro espolvoreadas sobre una superficie horizontal también delinean las líneas de campo, como se muestra en la Figura 12.7.

La figura A muestra un círculo formado por las pequeñas agujas de brújula alineadas con el campo magnético de la Tierra. La figura B muestra que las limaduras de hierro espolvoreadas sobre una superficie horizontal alrededor de un cable largo delinean las líneas de campo.
Figura 12.7 La forma de las líneas de campo magnético de un cable largo puede verse utilizando (a) pequeñas agujas de brújula y (b) limaduras de hierro.

Ejemplo 12.3

Cálculo del campo magnético debido a tres cables

Tres cables se sitúan en las esquinas de un cuadrado, todos llevan corrientes de 2 amperios a la página como se muestra en la Figura 12.8. Calcule la magnitud del campo magnético en la otra esquina del cuadrado, el punto P, si la longitud de cada lado del cuadrado es de 1 cm.
La figura muestra tres cables I1, I2 e I3 con corriente que fluye hacia la página. Los cables forman tres esquinas de un cuadrado. El campo magnético se determina en la cuarta esquina del cuadrado que se denomina P.
Figura 12.8 Tres cables tienen corriente que fluye hacia la página. El campo magnético se determina en la cuarta esquina del cuadrado.

Estrategia

Se calcula el campo magnético debido a cada cable en el punto deseado. La distancia diagonal se calcula mediante el teorema de Pitágoras. A continuación, se determina la dirección de la contribución de cada campo magnético dibujando un círculo centrado en el punto del cable y hacia el punto deseado. La dirección de la contribución del campo magnético de ese cable es tangencial a la curva. Por último, trabajando con estos vectores, se calcula la resultante.

Solución

Los cables 1 y 3 tienen la misma magnitud de contribución del campo magnético en el punto P:
B1=B3=μoI2πR=(4π×10−7Tm/A)(2A)2π(0,01m)=4×10−5T.B1=B3=μoI2πR=(4π×10−7Tm/A)(2A)2π(0,01m)=4×10−5T.

El cable 2 tiene una distancia mayor y una contribución del campo magnético en el punto P de:

B2=μoI2πR=(4π×10−7Tm/A)(2A)2π(0,01414m)=3×10−5T.B2=μoI2πR=(4π×10−7Tm/A)(2A)2π(0,01414m)=3×10−5T.

Se muestran los vectores de cada una de estas contribuciones de campo magnético.

La figura muestra tres cables I1, I2 e I3 con corriente que fluye hacia la página. Los cables forman tres esquinas de un cuadrado. El campo magnético se determina en la cuarta esquina del cuadrado que se denomina P. El vector B3 se dirige desde el punto P hacia el cable I1. El vector B1 es la continuación de la línea que va del cable I3 al punto P. El vector B2 se encuentra entre los vectores B1 y B3.

El campo magnético en la dirección x tiene contribuciones del cable 3 y de la componente x del cable 2:

Bnetax=−4×10−5T2,83×10−5Tcos(45°)=−6×10−5T.Bnetax=−4×10−5T2,83×10−5Tcos(45°)=−6×10−5T.

La componente y es igualmente las contribuciones del cable 1 y la componente y del cable 2:

Bnetay=−4×10−5T2,83×10−5Tsen(45°)=−6×10−5T.Bnetay=−4×10−5T2,83×10−5Tsen(45°)=−6×10−5T.

Por lo tanto, el campo magnético neto es la resultante de estas dos componentes:

Bneta=Bnetax2+Bnetay2Bneta=(−6×10−5T)2+(−6×10−5T)2Bneta=8×10−5T.Bneta=Bnetax2+Bnetay2Bneta=(−6×10−5T)2+(−6×10−5T)2Bneta=8×10−5T.

Importancia

La geometría de este problema hace que las contribuciones del campo magnético en las direcciones x y y tengan la misma magnitud. Esto no es necesariamente el caso si las corrientes fueran de valores diferentes o si los cables estuvieran situados en posiciones diferentes. Independientemente de los resultados numéricos, al trabajar con las componentes de los vectores se obtendrá el campo magnético resultante en el punto necesario.

Compruebe Lo Aprendido 12.3

Al utilizar el Ejemplo 12.3, al mantener las corrientes iguales en los cables 1 y 3, ¿cuál debería ser la corriente en el cable 2 para contrarrestar los campos magnéticos de los cables 1 y 3 de manera que no haya un campo magnético neto en el punto P?

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