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Física Universitaria Volumen 2

12.1 La ley de Biot-Savart

Física Universitaria Volumen 212.1 La ley de Biot-Savart
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo derivar un campo magnético a partir de una corriente arbitraria en un segmento de línea.
  • Calcular el campo magnético a partir de la ley de Biot-Savart en geometrías específicas, como una corriente en una línea y una corriente en un arco circular.

Hemos visto que la masa produce un campo gravitacional y también interactúa con ese campo. La carga produce un campo eléctrico y también interactúa con ese campo. Dado que la carga en movimiento (es decir, la corriente) interactúa con un campo magnético, cabe esperar que también cree ese campo, y así es.

La ecuación utilizada para calcular el campo magnético producido por una corriente se conoce como ley de Biot-Savart. Se trata de una ley empírica que recibe su nombre en honor a dos científicos que investigaron la interacción entre un cable recto conductor de corriente y un imán permanente. Esta ley permite calcular la magnitud y la dirección del campo magnético producido por una corriente en un cable. La ley de Biot-Savart establece que en cualquier punto P (Figura 12.2), el campo magnético dBdB debido a un elemento dldl de un cable conductor de corriente viene dado por

dB=μ04πIdl×r^r2.dB=μ04πIdl×r^r2.
12.1
Esta figura demuestra la ley de Biot-Savart. Por un cable magnético circula una corriente dI. Un punto P está situado a la distancia r del cable. Un vector r hacia el punto P forma un ángulo theta con el cable. El campo magnético dB existe en el punto P.
Figura 12.2 Un elemento de corriente I d l I d l produce un campo magnético en el punto P dado por la ley de Biot-Savart.

La constante μ0μ0 se conoce como la permeabilidad del espacio libre y es exactamente

μ0=4π×10−7Tm/Aμ0=4π×10−7Tm/A
12.2

en el sistema SI. El segmento de cable infinitesimal dldl está en la misma dirección que la corriente I (que se supone positiva), r es la distancia desde dldl a P y r^r^ es un vector unitario que apunta desde dldl a P, como se muestra en la figura.

La dirección de dBdB se determina aplicando la regla de la mano derecha al producto vectorial dl×r^.dl×r^. La magnitud de dBdB es

dB=μ04πIdlsenθr2dB=μ04πIdlsenθr2
12.3

donde θθ es el ángulo entre dldl y r^.r^. Observe que si θ=0,θ=0, entonces dB=0.dB=0. El campo producido por un elemento de corriente IdlIdl no tiene ningún componente paralelo a dl.dl.

El campo magnético debido a una longitud finita de cable conductor de corriente se encuentra integrando la Ecuación 12.3 a lo largo del cable, lo que nos da la forma habitual de la ley de Biot-Savart.

Ley de Biot-Savart

El campo magnético BB debido a un elemento dldl de un cable conductor de corriente viene dado por

B=μ04πcableIdl×r^r2.B=μ04πcableIdl×r^r2.
12.4

Como se trata de una integral vectorial, las contribuciones de los distintos elementos de la corriente pueden no apuntar en la misma dirección. En consecuencia, la integral suele ser difícil de evaluar, incluso para geometrías bastante sencillas. La siguiente estrategia puede ser útil.

Estrategia de Resolución De Problemas

Resolución de los problemas de Biot-Savart

Para resolver los problemas de la ley de Biot-Savart, son útiles los siguientes pasos:

  1. Identifique que la ley de Biot-Savart es el método elegido para resolver el problema dado. Si hay simetría en el problema al comparar BB y dl,dl, La ley de Ampère puede ser el método preferido para resolver la cuestión.
  2. Dibuje la longitud del elemento de corriente dldl y el vector unitario r^,r^, señalando que dldl apunta en la dirección de la corriente y r^r^ apunta desde el elemento de corriente hacia el punto donde se desea el campo.
  3. Calcule el producto cruz dl×r^.dl×r^. El vector resultante da la dirección del campo magnético según la ley de Biot-Savart.
  4. Utilice la Ecuación 12.4 y sustituya todas las cantidades dadas en la expresión para resolver el campo magnético. Observe que todas las variables que permanecen constantes a lo largo de toda la longitud del cable pueden ser eliminadas de la integración.
  5. Utilice la regla de la mano derecha para verificar la dirección del campo magnético producido por la corriente o para escribir la dirección del campo magnético si solo se resolvió la magnitud en la parte anterior.

Ejemplo 12.1

Cálculo de los campos magnéticos de los segmentos cortos de corriente

Un cable corto de 1,0 cm de longitud porta una corriente de 2,0 A en la dirección vertical (Figura 12.3). El resto del cable está protegido para que no se sume al campo magnético producido por el cable. Calcule el campo magnético en el punto P, que está a 1 metro del cable en la dirección x.
Esta figura muestra un cable I con un trozo corto sin protección dI que porta corriente. El punto P está situado a la distancia x del cable. Un vector hacia el punto P desde dI forma un ángulo theta con el cable. La longitud del vector es la raíz cuadrada de las sumas de los cuadrados de x e I.
Figura 12.3 Un pequeño segmento de línea lleva una corriente I en la dirección vertical. ¿Cuál es el campo magnético a una distancia x del segmento?

Estrategia

Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Como el segmento actual es mucho más pequeño que la distancia x, podemos eliminar la integral de la expresión. La integración se convierte de nuevo en una suma, pero solo para segmentos dl pequeños, que ahora escribimos como Δl.Δl. Otra forma de pensar en ello es que cada uno de los valores del radio es casi el mismo, sin importar dónde se encuentre el elemento actual en el segmento de línea, si ΔlΔl es pequeño en comparación con x. El ángulo θθ se calcula mediante una función tangente. Al utilizar los números dados, podemos calcular el campo magnético en P.

Solución

El ángulo entre ΔlΔl y r^r^ se calcula a partir de la trigonometría, conociendo las distancias l y x del problema:
θ=tan−1(1m0,01m)=89,4°.θ=tan−1(1m0,01m)=89,4°.

El campo magnético en el punto P se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

B=μ04πIΔlsenθr2=(1×10−7Tm/A)(2A(0,01m)sen(89,4°)(1m)2)=2,0×10−9T.B=μ04πIΔlsenθr2=(1×10−7Tm/A)(2A(0,01m)sen(89,4°)(1m)2)=2,0×10−9T.

A partir de la regla de la mano derecha y la ley de Biot-Savart, el campo se dirige hacia la página.

Importancia

Esta aproximación solo es buena si la longitud del segmento de línea es muy pequeña comparada con la distancia del elemento de corriente al punto. Si no es así, hay que utilizar la forma integral de la ley de Biot-Savart en todo el segmento de línea para calcular el campo magnético.

Compruebe Lo Aprendido 12.1

Al utilizar el Ejemplo 12.1, ¿a qué distancia tendría que estar P para medir un campo magnético la mitad de la respuesta dada?

Ejemplo 12.2

Cálculo del campo magnético de un arco de cable circular

Un cable porta una corriente I en un arco circular de radio R barrido por un ángulo arbitrario θθ (Figura 12.4). Calcule el campo magnético en el centro de este arco en el punto P.
Esta figura muestra un trozo de cable en forma de arco circular de radio R barrido por un ángulo arbitrario theta. El cable lleva una corriente dI. El punto P se encuentra en el centro. Un vector r al punto P es perpendicular al vector dI.
Figura 12.4 Un segmento de cable que porta una corriente I. La trayectoria d l d l y dirección radial r ^ r ^ se indican.

Estrategia

Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Las direcciones radial y de la longitud de la trayectoria están siempre en ángulo recto, por lo que el producto cruz se convierte en una multiplicación. También sabemos que la distancia a lo largo de la trayectoria dl está relacionada con el radio por el ángulo θθ (en radianes). Entonces podemos sacar todas las constantes de la integración y resolver el campo magnético.

Solución

La ley de Biot-Savart parte de la siguiente ecuación:
B=μ04πcableIdl×r^r2.B=μ04πcableIdl×r^r2.

Al integrar a lo largo del arco, todas las contribuciones al campo magnético están en la misma dirección (fuera de la página), por lo que podemos trabajar con la magnitud del campo. El producto cruz se convierte en multiplicación porque la trayectoria dl y la dirección radial son perpendiculares. También podemos sustituir la fórmula de la longitud de arco, dl=rdθdl=rdθ:

B=μ04πcableIrdθr2.B=μ04πcableIrdθr2.

La corriente y el radio se pueden sacar de la integral porque son los mismos sin importar el lugar en el que nos encontremos en la trayectoria. Esto deja solo la integral sobre el ángulo,

B=μ0I4πrcabledθ.B=μ0I4πrcabledθ.

El ángulo varía en el cable de 0 a θθ; por lo tanto, el resultado es

B=μ0Iθ4πr.B=μ0Iθ4πr.

Importancia

La dirección del campo magnético en el punto P viene determinada por la regla de la mano derecha, tal y como se ha mostrado en el capítulo anterior. Si hay otros cables en el diagrama junto con el arco, y se le pide que calcule el campo magnético neto, halle cada contribución de un cable o arco y sume los resultados por superposición de vectores. Asegúrese de prestar atención a la dirección de cada contribución. También hay que tener en cuenta que en una situación simétrica, como un cable recto o circular, las contribuciones de los lados opuestos del punto P se anulan entre sí.

Compruebe Lo Aprendido 12.2

El bucle de cable forma un círculo completo de radio R y corriente I. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro?

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