12.1 La ley de Biot-Savart

Hemos visto que la masa produce un campo gravitacional y también interactúa con ese campo. La carga produce un campo eléctrico y también interactúa con ese campo. Dado que la carga en movimiento (es decir, la corriente) interactúa con un campo magnético, cabe esperar que también cree ese campo, y así es.

La ecuación utilizada para calcular el campo magnético producido por una corriente se conoce como ley de Biot-Savart. Se trata de una ley empírica que recibe su nombre en honor a dos científicos que investigaron la interacción entre un cable recto conductor de corriente y un imán permanente. Esta ley permite calcular la magnitud y la dirección del campo magnético producido por una corriente en un cable. La ley de Biot-Savart establece que en cualquier punto P (Figura 12.2), el campo magnético $d\overrightarrow{B}$ debido a un elemento $d\overrightarrow{l}$ de un cable conductor de corriente viene dado por

Figura 12.2 Un elemento de corriente $Id\overrightarrow{l}$ produce un campo magnético en el punto P dado por la ley de Biot-Savart.

La constante ${\mu }_0$ se conoce como la permeabilidad del espacio libre y es exactamente

en el sistema SI. El segmento de cable infinitesimal $d\overrightarrow{l}$ está en la misma dirección que la corriente I (que se supone positiva), r es la distancia desde $d\overrightarrow{l}$ a P y $\widehat{r}$ es un vector unitario que apunta desde $d\overrightarrow{l}$ a P, como se muestra en la figura.

La dirección de $d\overrightarrow{B}$ se determina aplicando la regla de la mano derecha al producto vectorial $d\overrightarrow{l}\times \widehat{r}.$ La magnitud de $d\overrightarrow{B}$ es

donde $\theta$ es el ángulo entre $d\overrightarrow{l}$ y $\widehat{r}.$ Observe que si $\theta =0,$ entonces $d\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}.$ El campo producido por un elemento de corriente $Id\overrightarrow{l}$ no tiene ningún componente paralelo a $d\overrightarrow{l}.$

El campo magnético debido a una longitud finita de cable conductor de corriente se encuentra integrando la Ecuación 12.3 a lo largo del cable, lo que nos da la forma habitual de la ley de Biot-Savart.

Como se trata de una integral vectorial, las contribuciones de los distintos elementos de la corriente pueden no apuntar en la misma dirección. En consecuencia, la integral suele ser difícil de evaluar, incluso para geometrías bastante sencillas. La siguiente estrategia puede ser útil.

Ejemplo 12.1

Cálculo de los campos magnéticos de los segmentos cortos de corriente

Un cable corto de 1,0 cm de longitud porta una corriente de 2,0 A en la dirección vertical (Figura 12.3). El resto del cable está protegido para que no se sume al campo magnético producido por el cable. Calcule el campo magnético en el punto P, que está a 1 metro del cable en la dirección x.

Figura 12.3 Un pequeño segmento de línea lleva una corriente I en la dirección vertical. ¿Cuál es el campo magnético a una distancia x del segmento?

Estrategia

Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Como el segmento actual es mucho más pequeño que la distancia x, podemos eliminar la integral de la expresión. La integración se convierte de nuevo en una suma, pero solo para segmentos dl pequeños, que ahora escribimos como $\text{Δ}l.$ Otra forma de pensar en ello es que cada uno de los valores del radio es casi el mismo, sin importar dónde se encuentre el elemento actual en el segmento de línea, si $\text{Δ}l$ es pequeño en comparación con x. El ángulo $\theta$ se calcula mediante una función tangente. Al utilizar los números dados, podemos calcular el campo magnético en P.

Solución

El ángulo entre $\text{Δ}\overrightarrow{l}$ y $\widehat{r}$ se calcula a partir de la trigonometría, conociendo las distancias l y x del problema:

$$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1\text{m}}{\mathrm{0,01}\text{m}}\right)=\mathrm{89,4}\text{°}.$$

El campo magnético en el punto P se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\text{Δ}l\text{sen}\theta }{r^2}=(1\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{T}\cdot \text{m/A})\left(\frac{2\text{A}(\mathrm{0,01}\text{m})\text{sen}(\mathrm{89,4}\text{°})}{{(1\text{m})}^2}\right)=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{T}.$$

A partir de la regla de la mano derecha y la ley de Biot-Savart, el campo se dirige hacia la página.

Importancia

Esta aproximación solo es buena si la longitud del segmento de línea es muy pequeña comparada con la distancia del elemento de corriente al punto. Si no es así, hay que utilizar la forma integral de la ley de Biot-Savart en todo el segmento de línea para calcular el campo magnético.

Ejemplo 12.2

Cálculo del campo magnético de un arco de cable circular

Un cable porta una corriente I en un arco circular de radio R barrido por un ángulo arbitrario $\theta$ (Figura 12.4). Calcule el campo magnético en el centro de este arco en el punto P.

Figura 12.4 Un segmento de cable que porta una corriente I. La trayectoria $d\overrightarrow{l}$ y dirección radial $\widehat{r}$ se indican.

Estrategia

Podemos determinar el campo magnético en el punto P mediante la ley de Biot-Savart. Las direcciones radial y de la longitud de la trayectoria están siempre en ángulo recto, por lo que el producto cruz se convierte en una multiplicación. También sabemos que la distancia a lo largo de la trayectoria dl está relacionada con el radio por el ángulo $\theta$ (en radianes). Entonces podemos sacar todas las constantes de la integración y resolver el campo magnético.

Solución

La ley de Biot-Savart parte de la siguiente ecuación:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\displaystyle \underset{\text{cable}}{\int }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \widehat{r}}{r^2}}.$$

Al integrar a lo largo del arco, todas las contribuciones al campo magnético están en la misma dirección (fuera de la página), por lo que podemos trabajar con la magnitud del campo. El producto cruz se convierte en multiplicación porque la trayectoria dl y la dirección radial son perpendiculares. También podemos sustituir la fórmula de la longitud de arco, $dl=rd\theta$:

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\displaystyle \underset{\text{cable}}{\int }\frac{Ird\theta }{r^2}}.$$

La corriente y el radio se pueden sacar de la integral porque son los mismos sin importar el lugar en el que nos encontremos en la trayectoria. Esto deja solo la integral sobre el ángulo,

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}{\displaystyle \underset{\text{cable}}{\int }d\theta }.$$

El ángulo varía en el cable de 0 a $\theta$; por lo tanto, el resultado es

$$B=\frac{{\mu }_{0}I\theta }{4\pi r}.$$

Importancia

La dirección del campo magnético en el punto P viene determinada por la regla de la mano derecha, tal y como se ha mostrado en el capítulo anterior. Si hay otros cables en el diagrama junto con el arco, y se le pide que calcule el campo magnético neto, halle cada contribución de un cable o arco y sume los resultados por superposición de vectores. Asegúrese de prestar atención a la dirección de cada contribución. También hay que tener en cuenta que en una situación simétrica, como un cable recto o circular, las contribuciones de los lados opuestos del punto P se anulan entre sí.