14.4 Circuitos RL

Un circuito con resistencia y autoinducción se conoce como circuito RL. La Figura 14.12(a) muestra un circuito RL formado por un resistor, un inductor, una fuente constante de emf y unos interruptores ${\text{S}}_1$ y ${\text{S}}_2.$ Cuando ${\text{S}}_1$ está cerrado, el circuito es equivalente a un circuito de un bucle que consiste en un resistor y un inductor conectados a una fuente de emf (Figura 14.12(b)). Cuando el ${\text{S}}_1$ está abierto y el ${\text{S}}_2$ está cerrado, el circuito se convierte en un circuito de un bucle conformado solo por un resistor y un inductor (Figura 14.12(c)).

Figura 14.12 (a) Un circuito RL con interruptores ${\text{S}}_1$ y ${\text{S}}_2.$ (b) El circuito equivalente con el ${\text{S}}_1$ cerrado y el ${\text{S}}_2$ abierto. (c) El circuito equivalente después de ${\text{S}}_1$ está abierto y el ${\text{S}}_2$ está cerrado.

Consideramos primero el circuito RL de la Figura 14.12(b). Una vez que el ${\text{S}}_1$ está cerrado y el ${\text{S}}_2$ está abierto, la fuente de emf produce una corriente en el circuito. Si no hubiera autoinducción en el circuito, la corriente aumentaría inmediatamente hasta un valor estable de $\text{ε}\text{/}R.$ Sin embargo, a partir de la ley de Faraday, el aumento de la corriente produce una emf $V_L=\text{−}L(dI\text{/}dt)$ en el inductor. De acuerdo con la ley de Lenz, la emf inducida contrarresta el aumento de la corriente y se dirige como se muestra en la figura. Como resultado, I(t ) comienza en cero y aumenta asintóticamente hasta su valor final.

Aplicando la regla de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, obtenemos

que es una ecuación diferencial de primer orden para I(t). Fíjese en su similitud con la ecuación de un condensador y un resistor en serie (vea CircuitosRC). Del mismo modo, la solución de la Ecuación 14.23 se puede calcular haciendo sustituciones en las ecuaciones que relacionan el condensador con el inductor. Esto da

donde

es la constante de tiempo inductiva del circuito.

La corriente I(t) se representa en la Figura 14.13(a). Comienza en cero, y como $t\to \infty$, I(t) se aproxima a $\text{ε}\text{/}R$ asintóticamente. La emf inducida $V_L(t)$ es directamente proporcional a dI/dt o a la pendiente de la curva. Por lo tanto, mientras que es máxima inmediatamente después de accionar los interruptores, la emf inducida disminuye a cero con el tiempo a medida que la corriente se acerca a su valor final de $\text{ε}\text{/}R.$ El circuito se convierte entonces en equivalente a un resistor conectado en una fuente de emf.

Figura 14.13 Variación en el tiempo de (a) la corriente eléctrica y (b) la magnitud del voltaje inducido en la bobina en el circuito de Figura 14.12(b).

La energía almacenada en el campo magnético de un inductor es

Así, a medida que la corriente se acerca a la corriente máxima $\epsilon \text{/}R$, la energía almacenada en el inductor aumenta desde cero y se aproxima asintóticamente a un máximo de $L{(\epsilon \text{/}R)}^2\text{/}2.$

La constante de tiempo ${\tau }_L$ nos indica la rapidez con la que la corriente aumenta hasta su valor final. En $t={\tau }_L,$ la corriente en el circuito es, de Ecuación 14.24,

que es $63\text{\%}$ del valor final $\text{ε}\text{/}R$. Mientras menor sea la constante de tiempo inductiva ${\tau }_L=L\text{/}R,$ más rápido se acercará la corriente $\text{ε}\text{/}R$.

Podemos calcular la dependencia en el tiempo del voltaje inducido en el inductor de este circuito utilizando $V_L(t)=\text{−}L(dI\text{/}dt)$ y la Ecuación 14.24:

La magnitud de esta función se grafica en la Figura 14.13(b). El mayor valor de $L\left(dI\text{/}dt\right)\text{es}\epsilon ;$ se produce cuando dI/dt es mayor, es decir, inmediatamente después de que el ${\text{S}}_1$ está cerrado y el ${\text{S}}_2$ está abierto. En la aproximación al estado estacionario, dI/dt disminuye a cero. Como resultado, el voltaje en el inductor también desaparece como $t\to \infty .$

La constante de tiempo ${\tau }_L$ también nos indica la rapidez con la que decae el voltaje inducido. En $t={\tau }_L,$ la magnitud del voltaje inducido es

Por lo tanto, el voltaje en el inductor cae a aproximadamente $37\text{\%}$ de su valor inicial después de una constante de tiempo. Mientras más corta sea la constante de tiempo ${\tau }_L,$ más rápidamente disminuirá el voltaje.

Una vez transcurrido el tiempo suficiente para que la corriente haya alcanzado esencialmente su valor final, se procede a invertir las posiciones de los interruptores en la Figura 14.12(a), por lo que obtenemos el circuito de la parte (c). En $t=0,$ la corriente en el circuito es $I(0)=\epsilon \text{/}R.$ Con la regla de las tensiones de Kirchhoff, obtenemos

La solución de esta ecuación es similar a la solución de la ecuación de un condensador en descarga, con sustituciones similares. Entonces la corriente en el momento t es

La corriente comienza en $I(0)=\epsilon \text{/}R$ y disminuye con el tiempo a medida que se agota la energía almacenada en el inductor (Figura 14.14).

La dependencia del voltaje en el inductor en función del tiempo se puede determinar a partir de $V_L=\text{−}L(dI\text{/}dt)\text{:}$

Este voltaje es inicialmente $V_L(0)=\epsilon$, y decae a cero como la corriente. La energía almacenada en el campo magnético del inductor, $L{I}^2\text{/}2,$ también disminuye exponencialmente en el tiempo, ya que se disipa por el efecto de calentamiento Joule en la resistencia del circuito.

Figura 14.14 Variación temporal de la corriente eléctrica en el circuito RL de la Figura 14.12(c). El voltaje inducido en la bobina también decae exponencialmente.

Ejemplo 14.4

Un circuito RL con una fuente de emf

En el circuito de la Figura 14.12(a), dejemos que $\epsilon =\mathrm{2,0}V,R=\mathrm{4,0}\text{Ω},\text{y}L=\mathrm{4,0}\text{H}\text{.}$ Con el ${\text{S}}_1$ cerrado y el ${\text{S}}_2$ abierto (Figura 14.12(b)), (a) ¿cuál es la constante de tiempo del circuito? (b) ¿Cuáles son la corriente en el circuito y la magnitud de la emf inducida a través del inductor en $t=0,\text{en}t=\mathrm{2,0}{\tau }_L$, y como $t\to \infty$?

Estrategia

La constante de tiempo para un inductor y un resistor en un circuito en serie se calcula mediante la Ecuación 14.25. La corriente que atraviesa el inductor y el voltaje de este se calculan mediante los escenarios detallados de la Ecuación 14.24 y Ecuación 14.32.

Solución

1. La constante de tiempo inductiva es
   $${\tau }_L=\frac{L}{R}=\frac{\mathrm{4,0}\text{H}}{\mathrm{4,0}\text{Ω}}=\mathrm{1,0}\text{s}.$$
2. La corriente en el circuito de la Figura 14.12(b) aumenta según la Ecuación 14.24:
   $$I(t)=\frac{\text{ε}}{R}(1-e^{\text{−}t\text{/}{\tau }_L}).$$
   En $t=0,$
   $$(1-e^{\text{−}t\text{/}{\tau }_L})=(1-1)=0;\text{así que}I(0)=0.$$
   En $t=\mathrm{2,0}{\tau }_L$ y $t\to \infty ,$ tenemos, respectivamente,
   $$I(\mathrm{2,0}{\tau }_L)=\frac{\text{ε}}{R}(1-e^{\mathrm{-2,0}})=(\mathrm{0,50}\text{A})(\mathrm{0,86})=\mathrm{0,43}\text{A},$$
   y
   $$I(\infty )=\frac{\text{ε}}{R}=\mathrm{0,50}\text{A}.$$
   A partir de la Ecuación 14.32, la magnitud de la emf inducida decae como
   $$\left|V_L(t)\right|=\text{ε}{e}^{\text{−}t\text{/}{\tau }_L}.$$
   $\text{En}t=0,t=\mathrm{2,0}{\tau }_L,\text{y como}t\to \infty ,$ obtenemos
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \left|V_L\left(0\right)\right|& =\hfill & \epsilon =\mathrm{2,0}\text{V},\hfill \\ \hfill \left|V_L\left(\mathrm{2,0}{\tau }_L\right)\right|& =\hfill & \left(\mathrm{2,0}\text{V}\right)e^{\mathrm{-2,0}}=\mathrm{0,27}\text{V}\hfill \\ & \text{y}\hfill & \\ \hfill \left|V_L(\infty )\right|& =\hfill & 0.\hfill \end{array}$$

Importancia

Si el tiempo de la medición fuera mucho mayor que la constante de tiempo, no veríamos el decaimiento o el crecimiento del voltaje en el inductor o el resistor. El circuito alcanzaría rápidamente los valores asintóticos para ambos. Vea la Figura 14.15.

Figura 14.15 Un generador en un circuito RL produce una salida de pulso cuadrado en la que el voltaje oscila entre cero y algún valor establecido. Estas trazas del osciloscopio muestran (a) el voltaje en la fuente; (b) el voltaje en el inductor; (c) el voltaje en el resistor.