10.5 Circuitos RC

Circuitos con resistencia y capacitancia

Un circuito RC es un circuito que contiene resistencia y capacitancia. Como se presenta en Capacitancia, el condensador es un componente eléctrico que almacena carga eléctrica, almacenando energía en un campo eléctrico.

Figura 10.38(a) muestra un circuito RC sencillo que emplea una fuente de voltaje de dc (corriente continua) $\epsilon$, un resistor R, un condensador C y un interruptor de dos posiciones. El circuito permite cargar o descargar el condensador, según la posición del interruptor. Cuando el interruptor se mueve a la posición A, el condensador se carga, dando lugar al circuito de la parte (b). Cuando el interruptor se mueve a la posición B, el condensador se descarga a través del resistor.

Figura 10.38 (a) Un circuito RC con un interruptor bipolar que puede utilizarse para cargar y descargar un condensador. (b) Cuando el interruptor se mueve a la posición A, el circuito se reduce a una simple conexión en serie de la fuente de voltaje, el resistor, el condensador y el interruptor. (c) Cuando el interruptor se mueve a la posición B, el circuito se reduce a una simple conexión en serie del resistor, el condensador y el interruptor. La fuente de voltaje se retira del circuito.

Cargar un condensador

Podemos utilizar la regla de las tensiones de Kirchhoff para entender la carga del condensador. El resultado es la ecuación $\epsilon -V_R-V_c=0.$ Esta ecuación puede utilizarse para modelar la carga en función del tiempo a medida que se carga el condensador. La capacitancia se define como $C=q\text{/}V,$ por lo que el voltaje a través del condensador es $V_C=\frac{q}{C}$. Al utilizar la ley de Ohm, la caída de potencial a través del resistor es $V_R=IR$, y la corriente se define como $I=dq\text{/}dt.$

Esta ecuación diferencial se puede integrar para hallar una ecuación para la carga del condensador en función del tiempo.

Supongamos que $u=\epsilon C-q$, entonces $du=\text{−}dq.$ El resultado es

Al simplificar se obtiene una ecuación para la carga del condensador de carga en función del tiempo:

En la Figura 10.39(a) se muestra un gráfico de la carga del condensador en función del tiempo. En primer lugar hay que tener en cuenta que a medida que el tiempo se acerca al infinito, la exponencial va a cero, por lo que la carga se acerca a la carga máxima $Q=C\epsilon$ y tiene unidades de culombios. Las unidades de RC son segundos, unidades de tiempo. Esta cantidad se conoce como la constante de tiempo:

En el tiempo $t=\tau =RC$, la carga es igual a $1-e^{\mathrm{-1}}=1-\mathrm{0,368}=\mathrm{0,632}$ de la carga máxima $Q=C\epsilon$. Observe que la tasa de cambio de tiempo de la carga es la pendiente en un punto del gráfico de carga versus tiempo. La pendiente del gráfico es grande en el tiempo $t=\mathrm{0,0}\text{s}$ y se acerca a cero a medida que aumenta el tiempo.

A medida que aumenta la carga en el condensador, disminuye la corriente a través del resistor, como se muestra en la Figura 10.39(b). La corriente a través del resistor se puede calcular tomando la derivada temporal de la carga.

En el tiempo $t=\mathrm{0,00}\text{s},$ la corriente a través del resistor es $I_0=\frac{\epsilon }{R}$. A medida que el tiempo se acerca al infinito, la corriente se aproxima a cero. En el tiempo $t=\tau$, la corriente a través del resistor es $I\left(t=\tau \right)=I_0{e}^{\mathrm{-1}}=\mathrm{0,368}{I}_0.$

Figura 10.39 (a) Carga en el condensador en función del tiempo a medida que se carga. (b) Corriente a través del resistor en función del tiempo. (c) Diferencia de voltaje a través del condensador. (d) Diferencia de voltaje a través del resistor.

la Figura 10.39(c) y la Figura 10.39(d) muestran las diferencias de voltaje a través del condensador y el resistor, respectivamente. A medida que aumenta la carga del condensador, disminuye la corriente, al igual que la diferencia de voltaje en el resistor$V_R\left(t\right)=\left(I_{0}R\right)e^{\text{−}t\text{/}\tau }=\epsilon e^{\text{−}t\text{/}\tau }.$ La diferencia de voltaje a través del condensador aumenta a medida que$V_C\left(t\right)=\epsilon \left(1-e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right).$

Descargar un condensador

Cuando el interruptor en la Figura 10.38(a) se mueve a la posición B, el circuito se reduce al circuito de la parte (c), y se permite que el condensador cargado se descargue a través del resistor. En la Figura 10.40(a) se muestra un gráfico de la carga del condensador en función del tiempo. Al utilizar la regla de las tensiones de Kirchhoff para analizar el circuito a medida que se descarga el condensador se obtiene la ecuación $\text{−}{V}_R-V_c=0$, que se simplifica en $IR+\frac{q}{C}=0$. Al utilizar la definición de corriente$\frac{dq}{dt}R=-\frac{q}{C}$ e integrando la ecuación de bucle se obtiene una ecuación para la carga del condensador en función del tiempo:

Aquí, Q es la carga inicial del condensador y $\tau =RC$ es la constante de tiempo del circuito. Como se muestra en el gráfico, la carga disminuye exponencialmente desde la carga inicial, acercándose a cero a medida que el tiempo se aproxima al infinito.

La corriente en función del tiempo se puede calcular tomando la derivada temporal de la carga:

El signo negativo muestra que la corriente fluye en la dirección opuesta a la que se encuentra cuando se está cargando el condensador. La Figura 10.40(b) muestra un ejemplo de un gráfico de carga en función del tiempo y de corriente en función del tiempo. En las partes (c) y (d) de la figura se muestra un gráfico de la diferencia de voltaje a través del condensador y la diferencia de voltaje a través del resistor en función del tiempo. Observe que las magnitudes de la carga, la corriente y el voltaje disminuyen exponencialmente, acercándose a cero a medida que aumenta el tiempo.

Figura 10.40 (a) Carga en el condensador en función del tiempo a medida que se descarga el condensador. (b) Corriente a través del resistor en función del tiempo. (c) Diferencia de voltaje a través del condensador. (d) Diferencia de voltaje a través del resistor.

Ahora podemos explicar por qué la cámara con flash mencionada al principio de esta sección tarda mucho más en cargarse que en descargarse: La resistencia durante la carga es significativamente mayor que durante la descarga. La resistencia interna de la batería representa la mayor parte de la resistencia durante la carga. A medida que la batería envejece, el aumento de la resistencia interna hace que el proceso de carga sea aun más lento.

Ejemplo 10.8

El oscilador de relajación

Una aplicación de un circuito RC es el oscilador de relajación, como se muestra a continuación. El oscilador de relajación consta de una fuente de voltaje, un resistor, un condensador y una lámpara de neón. La lámpara de neón actúa como un circuito abierto (resistencia infinita) hasta que la diferencia de potencial a través de la lámpara de neón alcanza un voltaje determinado. A ese voltaje, la lámpara actúa como un cortocircuito (resistencia cero), y el condensador se descarga a través de la lámpara de neón y produce luz. En el oscilador de relajación mostrado, la fuente de voltaje carga el condensador hasta que el voltaje a través del condensador es de 80 V. Cuando esto ocurre, el neón de la lámpara se rompe y permite que el condensador se descargue a través de ella, produciendo un destello brillante. Después de que el condensador se descarga completamente a través de la lámpara de neón, comienza a cargarse de nuevo, y el proceso se repite. Suponiendo que el tiempo que tarda el condensador en descargarse es insignificante, ¿cuál es el intervalo de tiempo entre destellos?

Estrategia

El tiempo se puede calcular considerando la ecuación $V_C\left(t\right)=\epsilon \left(1-e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right),$ donde$\tau =\left(R+r\right)C.$

Solución

La lámpara de neón parpadea cuando el voltaje en el condensador alcanza 80 V. La constante de tiempo RC es igual a $\tau =\left(R+r\right)C=\left(101\text{Ω}\right)\left(50\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{F}\right)=\mathrm{5,05}\text{s}.$ Podemos resolver la ecuación del voltaje para el tiempo que tarda el condensador en alcanzar los 80 V:

$$\begin{array}{ccc}\hfill V_C\left(t\right)& =\hfill & \epsilon \left(1-e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right),\hfill \\ \hfill e^{\text{−}t\text{/}\tau }& =\hfill & 1-\frac{V_C\left(t\right)}{\epsilon },\hfill \\ \hfill \text{ln}\left(e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right)& =\hfill & \text{ln}\left(1-\frac{V_C\left(t\right)}{\epsilon }\right),\hfill \\ \hfill t& =\hfill & \text{−}\tau \text{ln}\left(1-\frac{V_C\left(t\right)}{\epsilon }\right)=\mathrm{-5,05}\text{s}·\text{ln}\left(1-\frac{80\text{V}}{100\text{V}}\right)=\mathrm{8,13}\text{s}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Una aplicación del oscilador de relajación es el control de luces indicadoras que parpadean a una frecuencia determinada por los valores de R y C. En este ejemplo, la lámpara de neón parpadeará cada 8,13 segundos, una frecuencia de $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\mathrm{8,13}\text{s}}=\mathrm{0,123}\text{Hz}.$ El oscilador de relajación tiene muchos otros usos prácticos. Se suele utilizar en circuitos electrónicos, donde la lámpara de neón se sustituye por un transistor o un dispositivo conocido como diodo de túnel. La descripción del transistor y del diodo de túnel está fuera del alcance de este capítulo, pero puede pensar en ellos como interruptores controlados por voltaje. Son interruptores normalmente abiertos, pero cuando se aplica el voltaje adecuado, el interruptor se cierra y conduce. El "interruptor" puede utilizarse para encender otro circuito, encender una luz o hacer funcionar un pequeño motor. Un oscilador de relajación puede servir para hacer parpadear las luces intermitentes del automóvil o hacer vibrar el teléfono móvil.

Los circuitos RC tienen muchas aplicaciones. Pueden utilizarse eficazmente como temporizadores para aplicaciones como limpiaparabrisas intermitentes, marcapasos y luces estroboscópicas. Algunos modelos de limpiaparabrisas intermitentes utilizan un resistor variable para ajustar el intervalo entre barridos del limpiaparabrisas. Al aumentar la resistencia, se incrementa la constante de tiempo RC, lo que aumenta el tiempo entre el funcionamiento de los limpiaparabrisas.

Otra aplicación es el marcapasos. Normalmente, la frecuencia cardíaca se controla mediante señales eléctricas que hacen que los músculos del corazón se contraigan y bombeen sangre. Cuando el ritmo cardíaco es anormal (los latidos son demasiado altos o demasiado bajos), se pueden utilizar marcapasos para corregir esta anomalía. Los marcapasos disponen de sensores que detectan el movimiento del cuerpo y la respiración para aumentar la frecuencia cardíaca durante las actividades físicas, satisfaciendo así la mayor necesidad de sangre y oxígeno, y se puede utilizar un circuito de sincronización RC para controlar el tiempo entre las señales de voltaje al corazón.

Adelantándonos al estudio de los Circuitos de corriente alterna, los voltajes alternos varían como funciones sinusoidales con frecuencias específicas. Los científicos suelen registrar las variaciones periódicas del voltaje o las señales eléctricas. Estas señales de voltaje pueden proceder de la música grabada por un micrófono o de los datos atmosféricos recogidos por un radar. En ocasiones, estas señales pueden contener frecuencias no deseadas conocidas como “ruido”. Los filtros RC pueden utilizarse para filtrar las frecuencias no deseadas.

En el estudio de la electrónica, un dispositivo popular conocido como temporizador 555 proporciona pulsos de voltaje temporizados. El tiempo entre impulsos se controla mediante un circuito RC. Estas son solo algunas de las innumerables aplicaciones de los circuitos RC.

Ejemplo 10.9

Limpiaparabrisas intermitente

Se utiliza un oscilador de relajación para controlar un par de limpiaparabrisas. El oscilador de relajación está compuesto por un condensador de 10,00 mF y un resistor variable de $\mathrm{10,00}\text{-k}\text{Ω}$ conocido como reóstato. Un mando conectado al resistor variable permite ajustar la resistencia de $\mathrm{0,00}\text{Ω}$ a $\mathrm{10,00}\text{k}\text{Ω}.$ La salida del condensador se utiliza para controlar un interruptor controlado por voltaje. Normalmente, el interruptor está abierto, pero cuando voltaje de salida alcanza los 10,00 V, el interruptor se cierra, activando un motor eléctrico y descargando el condensador. El motor hace que los limpiaparabrisas barran el parabrisas una vez y el condensador comienza a cargarse de nuevo. ¿A qué resistencia debe ajustarse el reóstato para que el periodo de las escobillas sea de 10,00 segundos?

Estrategia

La resistencia considera la ecuación $V_{\text{fuera}}\left(t\right)=V\left(1-e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right),$ donde $\tau =RC.$ La capacitancia, el voltaje de salida y el voltaje de la batería están dados. Tenemos que resolver esta ecuación para la resistencia.

Solución

El voltaje de salida será de 10,00 V y el de la batería es de 12,00 V. La capacitancia se da como 10,00 mF. Si se resuelve la resistencia, se obtiene

$$\begin{array}{}\\ \\ \hfill V_{\text{fuera}}\left(t\right)& =\hfill & V\left(1-e^{\text{−}t\text{/}\tau }\right),\hfill \\ \hfill e^{\text{−}t\text{/}RC}& =\hfill & 1-\frac{V_{\text{fuera}}\left(t\right)}{V},\hfill \\ \hfill \text{ln}\left(e^{\text{−}t\text{/}RC}\right)& =\hfill & \text{ln}\left(1-\frac{V_{\text{fuera}}\left(t\right)}{V}\right),\hfill \\ \hfill -\frac{t}{RC}& =\hfill & \text{ln}\left(1-\frac{V_{\text{fuera}}\left(t\right)}{V}\right),\hfill \\ \hfill R& =\hfill & \frac{\text{−}t}{C\text{ln}\left(1-\frac{V_C\left(t\right)}{V}\right)}=\frac{\mathrm{-10,00}\text{s}}{10\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{F}\text{ln}\left(1-\frac{10\text{V}}{12\text{V}}\right)}=\mathrm{558,11}\text{Ω}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Al aumentar la resistencia, se incrementa el tiempo de retardo entre las operaciones de los limpiaparabrisas. Cuando la resistencia es cero, los limpiaparabrisas funcionan continuamente. Con la resistencia máxima, el periodo de funcionamiento de los limpiaparabrisas es:

$$t=\text{−}RC\text{ln}\left(1-\frac{V_{\text{fuera}}\left(t\right)}{V}\right)=\text{−}\left(10\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{F}\right)\left(10\times {10}^3\text{Ω}\right)\text{ln}\left(1-\frac{10\text{V}}{12\text{V}}\right)=\mathrm{179,18}\text{s}=\mathrm{2,98}\text{min}.$$

El circuito RC tiene miles de usos y es un circuito muy importante para estudiar. No solo se puede utilizar para cronometrar circuitos, sino también para filtrar frecuencias no deseadas en un circuito y se utiliza en fuentes de alimentación, como la de su computadora, para ayudar a convertir el voltaje ac en dc.