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Física Universitaria Volumen 2

14.5 Oscilaciones en un circuito LC

Física Universitaria Volumen 214.5 Oscilaciones en un circuito LC
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar por qué la carga o la corriente oscilan entre un condensador y un inductor, respectivamente, cuando están conectados en serie.
  • Describir la relación entre la carga y la corriente que oscila entre un condensador y un inductor conectados en serie.

Cabe destacar que tanto los condensadores como los inductores almacenan energía, en sus campos eléctricos y magnéticos, respectivamente. Un circuito que contiene un inductor (L) y un condensador (C) puede oscilar sin una fuente de emf al desplazar la energía almacenada en el circuito entre los campos eléctrico y magnético. Así, los conceptos que desarrollamos en esta sección son directamente aplicables al intercambio de energía entre los campos eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas, o luz. Comenzamos con un circuito idealizado de resistencia cero que contiene un inductor y un condensador, un circuito LC.

En la Figura 14.16 se muestra un circuito LC . Si el condensador contiene una carga q0q0 antes de que se cierre el interruptor, entonces toda la energía del circuito se almacena inicialmente en el campo eléctrico del condensador (Figura 14.16(a)). Esta energía es

UC=12q02C.UC=12q02C.
14.33

Cuando el interruptor se cierra, el condensador comienza a descargarse, produciendo una corriente en el circuito. La corriente, a su vez, crea un campo magnético en el inductor. El efecto neto de este proceso es una transferencia de energía del condensador, con su campo eléctrico decreciente, al inductor, con su campo magnético creciente.

Las figuras desde la “a” hasta la “d” muestran un inductor conectado a un condensador. La figura a está marcada como t = 0, T. La placa superior del condensador es positiva. No circula corriente por el circuito. La figura b está etiquetada como t = T por 4. El condensador se ha descargado. La corriente I0 fluye desde la placa superior. La figura c está marcada como t = T por 2. La polaridad del condensador se invierte, con la placa inferior cargada positivamente. No circula corriente por el circuito. La figura d está marcada como 3T por 4. El condensador se descarga. La corriente I0 fluye desde la placa inferior. La figura e muestra dos ondas sinusoidales. Uno de ellos, q0, tiene los puntos más altos de la cresta en t = 0 y t = T. Cruza el eje en t = T por 4 y t = 3T por 4. Tiene el punto más bajo de la depresión en t = T por 2. La segunda onda, I0, tiene una amplitud menor que q0. El punto más alto de su cresta está en t = 3T por 4. El punto más bajo de su depresión está en t = T por 4. Cruza el eje en t = T por 2 y t = T.
Figura 14.16 (a-d) La oscilación del almacenamiento de carga con las direcciones cambiantes de la corriente en un circuito LC. (e) Los gráficos muestran la distribución de carga y corriente entre el condensador y el inductor.

En la Figura 14.16(b), el condensador está completamente descargado y toda la energía está almacenada en el campo magnético del inductor. En este instante, la corriente está en su valor máximo I0I0 y la energía en el inductor es

UL=12LI02.UL=12LI02.
14.34

Como no hay resistencia en el circuito, no se pierde energía por calentamiento Joule; por tanto, la energía máxima almacenada en el condensador es igual a la energía máxima almacenada en un momento posterior en el inductor:

12q02C=12LI02.12q02C=12LI02.
14.35

En un momento arbitrario en el que la carga del condensador es q(t) y la corriente es i(t), la energía total U en el circuito viene dada por

q2(t)2C+Li2(t)2.q2(t)2C+Li2(t)2.

Porque no hay disipación de energía,

U=12q2C+12Li2=12q02C=12LI02.U=12q2C+12Li2=12q02C=12LI02.
14.36

Tras alcanzar su máximo I0,I0, la corriente i(t) sigue transportando carga entre las placas del condensador, recargando así el condensador. Dado que el inductor resiste el cambio de corriente, la corriente sigue fluyendo, aunque el condensador esté descargado. Esta corriente continua hace que el condensador se cargue con polaridad opuesta. El campo eléctrico del condensador aumenta mientras el campo magnético del inductor disminuye, y el efecto global es una transferencia de energía del inductor que regresa al condensador. A partir de la ley de conservación de energía, la carga máxima que el condensador vuelve a obtener es q0.q0. Sin embargo, como muestra Figura 14.16(c), las placas del condensador se cargan de forma opuesta a como estaban inicialmente.

Cuando está completamente cargado, el condensador vuelve a transferir su energía al inductor hasta que vuelve a estar completamente descargado, como se muestra en Figura 14.16(d). Luego, en la última parte de este proceso cíclico, la energía vuelve a fluir hacia el condensador y se restablece el estado inicial del circuito.

Hemos seguido el circuito a través de un ciclo completo. Sus oscilaciones electromagnéticas son análogas a las oscilaciones mecánicas de una masa en el extremo de un resorte. En este último caso, la energía se transfiere de un lado a otro entre la masa, que tiene energía cinética mv2/2mv2/2, y el resorte, que tiene energía potencial kx2/2kx2/2. Con la ausencia de fricción en el sistema masa-resorte, las oscilaciones continuarían indefinidamente. Del mismo modo, las oscilaciones de un circuito LC sin resistencia continuarían para siempre si no se perturba; sin embargo, este circuito LC ideal de resistencia cero no es práctico, y cualquier circuito LC tendrá al menos una pequeña resistencia, que irradiará y perderá energía con el tiempo.

La frecuencia de las oscilaciones en un circuito LC sin resistencia puede encontrarse por analogía con el sistema masa-resorte. Para el circuito, i(t)=dq(t)/dti(t)=dq(t)/dt, la energía electromagnética total U es

U=12Li2+12q2C.U=12Li2+12q2C.
14.37

Para el sistema masa-resorte, v(t)=dx(t)/dtv(t)=dx(t)/dt, la energía mecánica total E es

E=12mv2+12kx2.E=12mv2+12kx2.
14.38

La equivalencia de los dos sistemas es evidente. Para pasar del sistema mecánico al electromagnético, basta con sustituir m por L, v por i, k por 1/C, y x por q. Ahora x(t) viene dada por

x(t)=Acos(ωt+ϕ)x(t)=Acos(ωt+ϕ)
14.39

donde ω=k/m.ω=k/m. Por lo tanto, la carga del condensador en un circuito LC viene dada por

q(t)=q0cos(ωt+ϕ)q(t)=q0cos(ωt+ϕ)
14.40

donde la frecuencia angular de las oscilaciones en el circuito es

ω=1LC.ω=1LC.
14.41

Finalmente, la corriente en el circuito LC se encuentra tomando la derivada en función del tiempo de q(t):

i(t)=dq(t)dt=ωq0sen(ωt+ϕ).i(t)=dq(t)dt=ωq0sen(ωt+ϕ).
14.42

Las variaciones temporales de q e I se muestran en la Figura 14.16(e) para ϕ=0ϕ=0.

Ejemplo 14.6

Un circuito LC

En un circuito LC, la autoinducción es 2,0×10−22,0×10−2 H y la capacitancia es 8,0×10−68,0×10−6 F. En t=0,t=0, toda la energía se almacena en el condensador, que tiene carga 1,2×10−51,2×10−5 C. (a) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones en el circuito? (b) ¿Cuál es la corriente máxima que circula por el circuito? (c) ¿Cuánto tiempo tarda el condensador en descargarse completamente? (d) Halle una ecuación que represente q(t).

Estrategia

La frecuencia angular del circuito LC viene dada por la Ecuación 14.41. Para calcular la corriente máxima, la energía máxima en el condensador se establece igual a la energía máxima en el inductor. El tiempo que tarda el condensador en descargarse si está cargado inicialmente es la cuarta parte del periodo del ciclo, por lo que si calculamos el periodo de la oscilación, podemos averiguar cuál es la cuarta parte de este para calcular este tiempo. Por último, conociendo la carga inicial y la frecuencia angular, podemos plantear una ecuación del coseno para hallar q(t).

Solución

  1. A partir de la Ecuación 14.41, la frecuencia angular de las oscilaciones es
    ω=1LC=1(2,0×10−2H)(8,0×10−6F)=2,5×103rad/s.ω=1LC=1(2,0×10−2H)(8,0×10−6F)=2,5×103rad/s.
  2. La corriente está al máximo I0I0 cuando toda la energía se almacena en el inductor. De la ley de conservación de energía,
    12LI02=12q02C,12LI02=12q02C,
    así que
    I0=1LCq0=(2,5×103rad/s)(1,2×10−5C)=3,0×10−2A.I0=1LCq0=(2,5×103rad/s)(1,2×10−5C)=3,0×10−2A.
    Este resultado también se puede calcular por analogía con el movimiento armónico simple, donde la corriente y la carga son la velocidad y la posición de un oscilador.
  3. El condensador se descarga completamente en un cuarto de ciclo, o durante un tiempo T/4, donde T es el periodo de las oscilaciones. Dado que
    T=2πω=2π2,5×103rad/s=2,5×10−3s,T=2πω=2π2,5×103rad/s=2,5×10−3s,
    el tiempo que tarda el condensador en descargarse completamente es (2,5×10−3s)/4=6,3×10−4s.(2,5×10−3s)/4=6,3×10−4s.
  4. El condensador está completamente cargado en t=0,t=0, así que q(0)=q0.q(0)=q0. Utilizando la Ecuación 14.20, obtenemos
    q(0)=q0=q0cosϕ.q(0)=q0=q0cosϕ.
    Así, ϕ=0,ϕ=0, y
    q(t)=(1,2×10−5C)cos(2,5×103t).q(t)=(1,2×10−5C)cos(2,5×103t).

Importancia

La relación energética establecida en la parte (b) no es la única forma de equiparar energías. En la mayoría de los casos, parte de la energía se almacena en el condensador y parte en el inductor. Podemos poner ambos términos en cada lado de la ecuación. Al examinar el circuito solo cuando no hay carga en el condensador o no hay corriente en el inductor, simplificamos la ecuación de energía.

Compruebe Lo Aprendido 14.10

La frecuencia angular de las oscilaciones en un circuito LC es 2,0×1032,0×103 rad/s. (a) Si L=0,10HL=0,10H, ¿cuál es C? (b) Supongamos que en t=0,t=0, toda la energía se almacena en el inductor. ¿Cuál es el valor de ϕ?ϕ? (c) Se conecta un segundo condensador idéntico en paralelo con el condensador original. ¿Cuál es la frecuencia angular de este circuito?

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