14.5 Oscilaciones en un circuito LC

Cabe destacar que tanto los condensadores como los inductores almacenan energía, en sus campos eléctricos y magnéticos, respectivamente. Un circuito que contiene un inductor (L) y un condensador (C) puede oscilar sin una fuente de emf al desplazar la energía almacenada en el circuito entre los campos eléctrico y magnético. Así, los conceptos que desarrollamos en esta sección son directamente aplicables al intercambio de energía entre los campos eléctrico y magnético en las ondas electromagnéticas, o luz. Comenzamos con un circuito idealizado de resistencia cero que contiene un inductor y un condensador, un circuito LC.

En la Figura 14.16 se muestra un circuito LC . Si el condensador contiene una carga $q_0$ antes de que se cierre el interruptor, entonces toda la energía del circuito se almacena inicialmente en el campo eléctrico del condensador (Figura 14.16(a)). Esta energía es

Cuando el interruptor se cierra, el condensador comienza a descargarse, produciendo una corriente en el circuito. La corriente, a su vez, crea un campo magnético en el inductor. El efecto neto de este proceso es una transferencia de energía del condensador, con su campo eléctrico decreciente, al inductor, con su campo magnético creciente.

Figura 14.16 (a-d) La oscilación del almacenamiento de carga con las direcciones cambiantes de la corriente en un circuito LC. (e) Los gráficos muestran la distribución de carga y corriente entre el condensador y el inductor.

En la Figura 14.16(b), el condensador está completamente descargado y toda la energía está almacenada en el campo magnético del inductor. En este instante, la corriente está en su valor máximo $I_0$ y la energía en el inductor es

Como no hay resistencia en el circuito, no se pierde energía por calentamiento Joule; por tanto, la energía máxima almacenada en el condensador es igual a la energía máxima almacenada en un momento posterior en el inductor:

En un momento arbitrario en el que la carga del condensador es q(t) y la corriente es i(t), la energía total U en el circuito viene dada por

Porque no hay disipación de energía,

Tras alcanzar su máximo $I_0,$ la corriente i(t) sigue transportando carga entre las placas del condensador, recargando así el condensador. Dado que el inductor resiste el cambio de corriente, la corriente sigue fluyendo, aunque el condensador esté descargado. Esta corriente continua hace que el condensador se cargue con polaridad opuesta. El campo eléctrico del condensador aumenta mientras el campo magnético del inductor disminuye, y el efecto global es una transferencia de energía del inductor que regresa al condensador. A partir de la ley de conservación de energía, la carga máxima que el condensador vuelve a obtener es $q_0.$ Sin embargo, como muestra Figura 14.16(c), las placas del condensador se cargan de forma opuesta a como estaban inicialmente.

Cuando está completamente cargado, el condensador vuelve a transferir su energía al inductor hasta que vuelve a estar completamente descargado, como se muestra en Figura 14.16(d). Luego, en la última parte de este proceso cíclico, la energía vuelve a fluir hacia el condensador y se restablece el estado inicial del circuito.

Hemos seguido el circuito a través de un ciclo completo. Sus oscilaciones electromagnéticas son análogas a las oscilaciones mecánicas de una masa en el extremo de un resorte. En este último caso, la energía se transfiere de un lado a otro entre la masa, que tiene energía cinética $m{v}^2\text{/}2$, y el resorte, que tiene energía potencial $k{x}^2\text{/}2$. Con la ausencia de fricción en el sistema masa-resorte, las oscilaciones continuarían indefinidamente. Del mismo modo, las oscilaciones de un circuito LC sin resistencia continuarían para siempre si no se perturba; sin embargo, este circuito LC ideal de resistencia cero no es práctico, y cualquier circuito LC tendrá al menos una pequeña resistencia, que irradiará y perderá energía con el tiempo.

La frecuencia de las oscilaciones en un circuito LC sin resistencia puede encontrarse por analogía con el sistema masa-resorte. Para el circuito, $i(t)=dq(t)\text{/}dt$, la energía electromagnética total U es

Para el sistema masa-resorte, $v(t)=dx(t)\text{/}dt$, la energía mecánica total E es

La equivalencia de los dos sistemas es evidente. Para pasar del sistema mecánico al electromagnético, basta con sustituir m por L, v por i, k por 1/C, y x por q. Ahora x(t) viene dada por

donde $\omega =\sqrt{k\text{/}m}.$ Por lo tanto, la carga del condensador en un circuito LC viene dada por

donde la frecuencia angular de las oscilaciones en el circuito es

Finalmente, la corriente en el circuito LC se encuentra tomando la derivada en función del tiempo de q(t):

Las variaciones temporales de q e I se muestran en la Figura 14.16(e) para $\varphi =0$.