William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

14.6 Circuitos RLC en serie

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Determinar la frecuencia angular de oscilación de un circuito de un resistor, un inductor y un condensador $(R L C)$ en serie.
Relacionar el circuito $R L C$ a una oscilación de resorte amortiguada.

Cuando el interruptor se cierra en el circuito RLC de Figura 14.17(a), el condensador comienza a descargarse y la energía electromagnética se disipa por el resistor a una tasa de $i^{2} R$ . Con U dado por la Ecuación 14.19, tenemos

\frac{d U}{d t} = \frac{q}{C} \frac{d q}{d t} + L i \frac{d i}{d t} = − i^{2} R

14.43

donde i y q son funciones que dependen del tiempo. Esto se reduce a

L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{1}{C} q = 0 .

14.44

La figura a es un circuito con un condensador, un inductor y un resistor en serie. También están en serie con un interruptor, que está abierto. La figura b muestra el gráfico de la carga en función del tiempo. La carga está en su valor máximo, q0, en t = 0. La curva es similar a una onda sinusoidal que reduce su amplitud hasta llegar a cero. — Figura 14.17 (a) Un circuito *RLC*. Las oscilaciones electromagnéticas comienzan cuando se cierra el interruptor. El condensador está totalmente cargado inicialmente. (b) Las oscilaciones amortiguadas de la carga del condensador se muestran en esta curva de carga versus tiempo, o q versus t. El condensador contiene una carga $q_{0}$ antes de que se cierre el interruptor.

Esta ecuación es análoga a

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0,

que es la ecuación del movimiento para un sistema masa-resorte amortiguado (la primera vez que usted vio esta ecuación fue en Oscilaciones). Como vimos en ese capítulo, se puede demostrar que la solución de esta ecuación diferencial toma tres formas, dependiendo de si la frecuencia angular del resorte no amortiguado es mayor, igual o menor que b/2m. Por lo tanto, el resultado puede ser subamortiguado $(\sqrt{k / m} > b / 2 m)$ , amortiguado críticamente $(\sqrt{k / m} = b / 2 m)$ , o sobreamortiguado $(\sqrt{k / m} < b / 2 m)$ . Por analogía, la solución q(t) de la ecuación diferencial RLC tiene la misma característica. En este caso, solo se trata de un caso de subamortiguación. Sustituyendo m por L, b por R, k por 1/C, y x por q en la Ecuación 14.44, y asumiendo $\sqrt{1 / L C} > R / 2 L$ , obtenemos

q (t) = q_{0} e^{− R t / 2 L} cos (ω ′ t + ϕ)

14.45

donde la frecuencia angular de las oscilaciones viene dada por

ω^{'} = \sqrt{\frac{1}{L C} - {(\frac{R}{2 L})}^{2}}

14.46

Esta solución subamortiguada se muestra en la Figura 14.17(b). Observe que la amplitud de las oscilaciones disminuye a medida que la energía se disipa en el resistor. La Ecuación 14.45 puede confirmarse experimentalmente midiendo el voltaje a través del condensador en función del tiempo. Este voltaje, multiplicado por la capacitancia del condensador, da entonces q(t).

Interactivo

Haga una prueba con un kit de construcción de circuitos interactivos que permita hacer un gráfico de la corriente y el voltaje como una función de tiempo. Puede añadir inductores y condensadores para trabajar con cualquier combinación de circuitos R, L y C con fuentes tanto de dc como de ac.

Interactivo

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Compruebe Lo Aprendido 14.11

En un circuito RLC, $L = 5,0 mH, C = 6,0 μ F, y R = 200 Ω .$ (a) ¿Está el circuito subamortiguado, amortiguado críticamente o sobreamortiguado? (b) Si el circuito comienza a oscilar con una carga de $3,0 \times 10^{−3} C$ en el condensador, ¿cuánta energía se ha disipado en el resistor cuando cesan las oscilaciones?