William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar cómo se puede almacenar energía en un campo magnético.
Derivar la ecuación de la energía almacenada en un cable coaxial dada la densidad de energía magnética.

La energía de un condensador se almacena en el campo eléctrico entre sus placas. Del mismo modo, un inductor tiene la capacidad de almacenar energía, pero en su campo magnético. Esta energía se puede hallar integrando la densidad de energía magnética,

u_{m} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}

14.18

sobre el volumen adecuado. Para entender de dónde viene esta fórmula, consideremos el solenoide largo y cilíndrico de la sección anterior. Utilizando de nuevo la aproximación del solenoide infinito, podemos suponer que el campo magnético es esencialmente constante y viene dado por $B = μ_{0} n I$ en todas partes dentro del solenoide. Por lo tanto, la energía almacenada en un solenoide o la densidad de energía magnética por volumen es equivalente a

U = u_{m} (V) = \frac{{(μ_{0} n I)}^{2}}{2 μ_{0}} (A l) = \frac{1}{2} (μ_{0} n^{2} A l) I^{2} .

14.19

Con la sustitución de la Ecuación 14.14, esto se convierte en

U = \frac{1}{2} L I^{2} .

14.20

Aunque se deriva para un caso especial, esta ecuación da la energía almacenada en el campo magnético de cualquier inductor. Podemos ver esto considerando un inductor arbitrario por el que pasa una corriente cambiante. En cualquier instante, la magnitud de la emf inducida es $ε = L d i / d t,$ donde $i$ es la corriente inducida en esa instancia. Por lo tanto, la potencia absorbida por el inductor es

P = ε i = L \frac{d i}{d t} i .

14.21

La energía total almacenada en el campo magnético cuando la corriente aumenta de 0 a I en un intervalo de tiempo de 0 a t puede determinarse integrando esta expresión:

U = \int_{0}^{t} P d t^{'} = \int_{0}^{t} L \frac{d i}{d t^{'}} i d t^{'} = L \int_{0}^{I} i d i = \frac{1}{2} L I^{2} .

14.22

Ejemplo 14.3

Autoinducción de un cable coaxial

La Figura 14.11 muestra dos capas cilíndricas largas y concéntricas de radios

R_{1}

R_{2} .

Como se ha comentado en Capacitancia, esta configuración es una representación simplificada de un cable coaxial. Ya se ha calculado la capacitancia por unidad de longitud del cable. Ahora (a) determine la energía magnética almacenada por unidad de longitud del cable coaxial y (b) utilice este resultado para calcular la autoinducción por unidad de longitud del cable.

La figura a muestra dos cilindros huecos dispuestos concéntricamente. El radio del interior es R1 y el del exterior es R2. La figura 2 muestra un círculo punteado de radio r entre los dos cilindros. La figura c muestra un cilindro de longitud y radio r entre los dos cilindros. Su grosor es dr.

Figura 14.11 (a) Un cable coaxial está representado aquí por dos conductores cilíndricos huecos y concéntricos a lo largo de los cuales fluye la corriente eléctrica en direcciones opuestas. (b) El campo magnético entre los conductores se puede calcular aplicando la ley de Ampère a la trayectoria punteada. (c) La envoltura cilíndrica se utiliza para calcular la energía magnética almacenada en una longitud l del cable.

Estrategia

El campo magnético, tanto en el interior como en el exterior del cable coaxial, viene determinado por la ley de Ampère. A partir de este campo magnético, podemos utilizar la Ecuación 14.22 para calcular la densidad de energía del campo magnético. La energía magnética se calcula mediante una integral de la densidad de energía magnética por el volumen diferencial sobre la capa cilíndrica. Una vez realizada la integración, tenemos una solución de forma cerrada para la parte (a). “Así que la autoinducción por unidad de longitud se calcula basada en el resultado anterior y la Ecuación 14.22.

Solución

Determinamos el campo magnético entre los conductores aplicando la ley de Ampère a la trayectoria circular discontinua mostrada en la Figura 14.11(b). Debido a la simetría cilíndrica, $\vec{B}$ es constante a lo largo de la trayectoria, y
$\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = B (2 π r) = μ_{0} I .$
Esto nos da
$B = \frac{μ_{0} I}{2 π r} .$
En la región fuera del cable, una aplicación similar de la ley de Ampère muestra que $B = 0$ , ya que ninguna corriente neta atraviesa la zona delimitada por una trayectoria circular donde $r > R_{2} .$ Este argumento también es válido cuando $r < R_{1};$ , es decir, en la región del cilindro interior. Por lo tanto, toda la energía magnética del cable se almacena entre los dos conductores. Dado que la densidad de energía del campo magnético es
$u_{m} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}}$
la energía almacenada en una capa cilíndrica de radio interior r, radio exterior $r + d r,$ y la longitud l (vea la parte (c) de la figura) es
$u_{m} = \frac{μ_{0} I^{2}}{8 π^{2} r^{2}} .$
Así, la energía total del campo magnético en una longitud l del cable es
$U = \int_{R_{1}}^{R_{2}} d U = \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{μ_{0} I^{2}}{8 π^{2} r^{2}} (2 π r l) d r = \frac{μ_{0} I^{2} l}{4 π} ln \frac{R_{2}}{R_{1}},$
y la energía por unidad de longitud es $(μ_{0} I^{2} / 4 π) ln (R_{2} / R_{1})$ .
A partir de Ecuación 14.22,
$U = \frac{1}{2} L I^{2},$
donde L es la autoinducción de una longitud l del cable coaxial. Igualando las dos ecuaciones anteriores, hallamos que la autoinducción por unidad de longitud del cable es
$\frac{L}{l} = \frac{μ_{0}}{2 π} ln \frac{R_{2}}{R_{1}} .$

Importancia

La inductancia por unidad de longitud depende solo de los radios interior y exterior, como se ve en el resultado. Para aumentar la inductancia, podríamos aumentar el radio exterior

(R_{2})

o disminuir el radio interior

(R_{1})

. En el límite, a medida que los dos radios se igualan, la inductancia llega a cero. En este límite, no hay cable coaxial. Además, la energía magnética por unidad de longitud de la parte (a) es proporcional al cuadrado de la corriente.

Compruebe Lo Aprendido 14.6

¿Cuánta energía se almacena en el inductor del Ejemplo 14.2 después de que la corriente alcance su valor máximo?

14.3 Energía en un campo magnético

Autoinducción de un cable coaxial

Estrategia

Solución

Importancia