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Física Universitaria Volumen 2

14.3 Energía en un campo magnético

Física Universitaria Volumen 214.3 Energía en un campo magnético
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar cómo se puede almacenar energía en un campo magnético.
  • Derivar la ecuación de la energía almacenada en un cable coaxial dada la densidad de energía magnética.

La energía de un condensador se almacena en el campo eléctrico entre sus placas. Del mismo modo, un inductor tiene la capacidad de almacenar energía, pero en su campo magnético. Esta energía se puede hallar integrando la densidad de energía magnética,

um=B22μ0um=B22μ0
14.18

sobre el volumen adecuado. Para entender de dónde viene esta fórmula, consideremos el solenoide largo y cilíndrico de la sección anterior. Utilizando de nuevo la aproximación del solenoide infinito, podemos suponer que el campo magnético es esencialmente constante y viene dado por B=μ0nIB=μ0nI en todas partes dentro del solenoide. Por lo tanto, la energía almacenada en un solenoide o la densidad de energía magnética por volumen es equivalente a

U=um(V)=(μ0nI)22μ0(Al)=12(μ0n2Al)I2.U=um(V)=(μ0nI)22μ0(Al)=12(μ0n2Al)I2.
14.19

Con la sustitución de la Ecuación 14.14, esto se convierte en

U=12LI2.U=12LI2.
14.20

Aunque se deriva para un caso especial, esta ecuación da la energía almacenada en el campo magnético de cualquier inductor. Podemos ver esto considerando un inductor arbitrario por el que pasa una corriente cambiante. En cualquier instante, la magnitud de la emf inducida es ε=Ldi/dt,ε=Ldi/dt, donde ii es la corriente inducida en esa instancia. Por lo tanto, la potencia absorbida por el inductor es

P=εi=Ldidti.P=εi=Ldidti.
14.21

La energía total almacenada en el campo magnético cuando la corriente aumenta de 0 a I en un intervalo de tiempo de 0 a t puede determinarse integrando esta expresión:

U=0tPdt=0tLdidtidt=L0Iidi=12LI2.U=0tPdt=0tLdidtidt=L0Iidi=12LI2.
14.22

Ejemplo 14.3

Autoinducción de un cable coaxial

La Figura 14.11 muestra dos capas cilíndricas largas y concéntricas de radios R1R1 y R2.R2. Como se ha comentado en Capacitancia, esta configuración es una representación simplificada de un cable coaxial. Ya se ha calculado la capacitancia por unidad de longitud del cable. Ahora (a) determine la energía magnética almacenada por unidad de longitud del cable coaxial y (b) utilice este resultado para calcular la autoinducción por unidad de longitud del cable.
La figura a muestra dos cilindros huecos dispuestos concéntricamente. El radio del interior es R1 y el del exterior es R2. La figura 2 muestra un círculo punteado de radio r entre los dos cilindros. La figura c muestra un cilindro de longitud y radio r entre los dos cilindros. Su grosor es dr.
Figura 14.11 (a) Un cable coaxial está representado aquí por dos conductores cilíndricos huecos y concéntricos a lo largo de los cuales fluye la corriente eléctrica en direcciones opuestas. (b) El campo magnético entre los conductores se puede calcular aplicando la ley de Ampère a la trayectoria punteada. (c) La envoltura cilíndrica se utiliza para calcular la energía magnética almacenada en una longitud l del cable.

Estrategia

El campo magnético, tanto en el interior como en el exterior del cable coaxial, viene determinado por la ley de Ampère. A partir de este campo magnético, podemos utilizar la Ecuación 14.22 para calcular la densidad de energía del campo magnético. La energía magnética se calcula mediante una integral de la densidad de energía magnética por el volumen diferencial sobre la capa cilíndrica. Una vez realizada la integración, tenemos una solución de forma cerrada para la parte (a). “Así que la autoinducción por unidad de longitud se calcula basada en el resultado anterior y la Ecuación 14.22.

Solución

  1. Determinamos el campo magnético entre los conductores aplicando la ley de Ampère a la trayectoria circular discontinua mostrada en la Figura 14.11(b). Debido a la simetría cilíndrica, BB es constante a lo largo de la trayectoria, y
    B·dl=B(2πr)=μ0I.B·dl=B(2πr)=μ0I.
    Esto nos da
    B=μ0I2πr.B=μ0I2πr.
    En la región fuera del cable, una aplicación similar de la ley de Ampère muestra que B=0B=0, ya que ninguna corriente neta atraviesa la zona delimitada por una trayectoria circular donde r>R2.r>R2. Este argumento también es válido cuando r<R1;r<R1;, es decir, en la región del cilindro interior. Por lo tanto, toda la energía magnética del cable se almacena entre los dos conductores. Dado que la densidad de energía del campo magnético es
    um=B22μ0um=B22μ0
    la energía almacenada en una capa cilíndrica de radio interior r, radio exterior r+dr,r+dr, y la longitud l (vea la parte (c) de la figura) es
    um=μ0I28π2r2.um=μ0I28π2r2.
    Así, la energía total del campo magnético en una longitud l del cable es
    U=R1R2dU=R1R2μ0I28π2r2(2πrl)dr=μ0I2l4πlnR2R1,U=R1R2dU=R1R2μ0I28π2r2(2πrl)dr=μ0I2l4πlnR2R1,
    y la energía por unidad de longitud es (μ0I2/4π)ln(R2/R1)(μ0I2/4π)ln(R2/R1).
  2. A partir de Ecuación 14.22,
    U=12LI2,U=12LI2,
    donde L es la autoinducción de una longitud l del cable coaxial. Igualando las dos ecuaciones anteriores, hallamos que la autoinducción por unidad de longitud del cable es
    Ll=μ02πlnR2R1.Ll=μ02πlnR2R1.

Importancia

La inductancia por unidad de longitud depende solo de los radios interior y exterior, como se ve en el resultado. Para aumentar la inductancia, podríamos aumentar el radio exterior (R2)(R2) o disminuir el radio interior (R1)(R1). En el límite, a medida que los dos radios se igualan, la inductancia llega a cero. En este límite, no hay cable coaxial. Además, la energía magnética por unidad de longitud de la parte (a) es proporcional al cuadrado de la corriente.

Compruebe Lo Aprendido 14.6

¿Cuánta energía se almacena en el inductor del Ejemplo 14.2 después de que la corriente alcance su valor máximo?

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