14.3 Energía en un campo magnético

Autoinducción de un cable coaxial

La Figura 14.11 muestra dos capas cilíndricas largas y concéntricas de radios $R_1$ y $R_2.$ Como se ha comentado en Capacitancia, esta configuración es una representación simplificada de un cable coaxial. Ya se ha calculado la capacitancia por unidad de longitud del cable. Ahora (a) determine la energía magnética almacenada por unidad de longitud del cable coaxial y (b) utilice este resultado para calcular la autoinducción por unidad de longitud del cable.

Estrategia

El campo magnético, tanto en el interior como en el exterior del cable coaxial, viene determinado por la ley de Ampère. A partir de este campo magnético, podemos utilizar la Ecuación 14.22 para calcular la densidad de energía del campo magnético. La energía magnética se calcula mediante una integral de la densidad de energía magnética por el volumen diferencial sobre la capa cilíndrica. Una vez realizada la integración, tenemos una solución de forma cerrada para la parte (a). “Así que la autoinducción por unidad de longitud se calcula basada en el resultado anterior y la Ecuación 14.22.

Solución

1. Determinamos el campo magnético entre los conductores aplicando la ley de Ampère a la trayectoria circular discontinua mostrada en la Figura 14.11(b). Debido a la simetría cilíndrica, $\overrightarrow{B}$ es constante a lo largo de la trayectoria, y
   $${\displaystyle \oint \overrightarrow{B}·d\overrightarrow{l}=B(2\pi r)}={\mu }_{0}I.$$
   Esto nos da
   $$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$
   En la región fuera del cable, una aplicación similar de la ley de Ampère muestra que $B=0$, ya que ninguna corriente neta atraviesa la zona delimitada por una trayectoria circular donde $r>R_2.$ Este argumento también es válido cuando $r<R_1;$, es decir, en la región del cilindro interior. Por lo tanto, toda la energía magnética del cable se almacena entre los dos conductores. Dado que la densidad de energía del campo magnético es
   $$u_{\text{m}}=\frac{B^2}{2{\mu }_0}$$
   la energía almacenada en una capa cilíndrica de radio interior r, radio exterior $r+dr,$ y la longitud l (vea la parte (c) de la figura) es
   $$u_{\text{m}}=\frac{{\mu }_0{I}^2}{8{\pi }^2{r}^2}.$$
   Así, la energía total del campo magnético en una longitud l del cable es
   $$U={\displaystyle {\int }_{R_1}^{R_2}dU}={\displaystyle {\int }_{R_1}^{R_2}\frac{{\mu }_0{I}^2}{8{\pi }^2{r}^2}(2\pi rl)dr}=\frac{{\mu }_0{I}^{2}l}{4\pi }\text{ln}\frac{R_2}{R_1},$$
   y la energía por unidad de longitud es $({\mu }_0{I}^2\text{/}4\pi )\text{ln}(R_2\text{/}{R}_1)$.
2. A partir de Ecuación 14.22,
   $$U=\frac{1}{2}L{I}^2,$$
   donde L es la autoinducción de una longitud l del cable coaxial. Igualando las dos ecuaciones anteriores, hallamos que la autoinducción por unidad de longitud del cable es
   $$\frac{L}{l}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }\text{ln}\frac{R_2}{R_1}.$$

Importancia

La inductancia por unidad de longitud depende solo de los radios interior y exterior, como se ve en el resultado. Para aumentar la inductancia, podríamos aumentar el radio exterior $\left(R_2\right)$ o disminuir el radio interior $\left(R_1\right)$. En el límite, a medida que los dos radios se igualan, la inductancia llega a cero. En este límite, no hay cable coaxial. Además, la energía magnética por unidad de longitud de la parte (a) es proporcional al cuadrado de la corriente.