14.2 Autoinducción e inductores

Los inductores

La Figura 14.5 muestra algunas de las líneas de campo magnético que se deben a la corriente en un bucle circular de alambre. Si la corriente es constante, el flujo magnético que atraviesa el bucle también lo es. Sin embargo, si la corriente I variara con el tiempo, por ejemplo, inmediatamente después de cerrar el interruptor S, el flujo magnético ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ cambiaría en consecuencia. Entonces la ley de Faraday nos dice que una emf $\epsilon$ se induciría en el circuito, donde

Como el campo magnético debido a un alambre conductor de corriente es directamente proporcional a la corriente, el flujo debido a este campo es también proporcional a la corriente; es decir,

Figura 14.5 La corriente I en el bucle produce un campo magnético. Si variara con el tiempo, el flujo magnético que atraviesa el bucle también variaría y se induciría una emf en el bucle.

Esto también puede escribirse como

donde la constante de proporcionalidad L se conoce como la autoinducción del bucle de alambre. Si el bucle tiene N vueltas, esta ecuación se convierte en

Por convención, el sentido positivo de la normal al bucle está relacionado con la corriente por la regla de la mano derecha, por lo que en la Figura 14.5, la normal apunta hacia abajo. Con esta convención, ${\text{Φ}}_{\text{m}}$ es positivo en la Ecuación 14.9, por lo que L siempre tiene un valor positivo.

Para un bucle con N vueltas, $\epsilon =\text{−}Nd{\text{Φ}}_{\text{m}}\text{/}dt,$ por lo que la emf inducida puede escribirse en términos de la autoinducción como

Al utilizar esta ecuación para determinar L, lo más fácil es ignorar los signos de $\epsilon \text{y}dI\text{/}dt,$ y calcular L como

Como la autoinducción está asociada al campo magnético producido por una corriente, cualquier configuración de conductores posee autoinducción. Por ejemplo, además del bucle de cable, un cable largo y recto tiene autoinducción, al igual que un cable coaxial. El cable coaxial es el más utilizado por la industria de la televisión por cable y también puede encontrarse conectado a su cablemódem. Los cables coaxiales se utilizan por su capacidad de transmitir señales eléctricas con mínimas distorsiones. Los cables coaxiales están formados por dos largos conductores cilíndricos que conducen corriente que a su vez producen una autoinducción que puede tener efectos indeseables

Un elemento de circuito utilizado para proporcionar autoinducción se conoce como inductor. Está representado por el símbolo que se muestra en la Figura 14.6, que se asemeja a una bobina de alambre, la forma básica del inductor. La Figura 14.7 muestra varios tipos de inductores utilizados habitualmente en los circuitos.

Figura 14.6 Símbolo utilizado para representar un inductor en un circuito.

Figura 14.7 Una variedad de inductores. Tanto si están encapsulados, como los tres primeros mostrados o enrollados en una bobina o como el último, cada uno es simplemente una bobina de alambre relativamente larga (créditos: Windell Oskay).

De acuerdo con la ley de Lenz, el signo negativo en la Ecuación 14.10 indica que la emf inducida a través de un inductor siempre tiene una polaridad que se opone al cambio de la corriente. Por ejemplo, si la corriente que fluye de A a B en la Figura 14.8(a) fuera creciente, la emf inducida (representada por la batería imaginaria) tendría la polaridad mostrada para oponerse al aumento. Si la corriente de A a B disminuyera, entonces la emf inducida tendría la polaridad opuesta, de nuevo para oponerse al cambio de corriente (Figura 14.8(b)). Por último, si la corriente a través del inductor fuera constante, no se induciría ninguna emf en la bobina.

Figura 14.8 La emf inducida a través de un inductor siempre actúa para oponerse al cambio de la corriente. Esto puede visualizarse como una batería imaginaria que hace fluir la corriente para oponerse al cambio en (a) y reforzar el cambio en (b).

Una aplicación común de la inductancia es permitir que señales de tráfico detecten cuándo hay vehículos esperando en una intersección de calles. Se coloca un circuito eléctrico con un inductor en la carretera, debajo del lugar donde se detendrá un automóvil en espera. La carrocería del automóvil aumenta la inductancia y el circuito cambia, enviando una señal a los semáforos para que cambien de color. Del mismo modo, los detectores de metales utilizados en la seguridad de los aeropuertos emplean la misma técnica. Una bobina o inductor en el marco del detector de metales actúa como transmisor y receptor. Una señal en forma de pulsos procedente de la bobina transmisora induce una señal en el receptor. La autoinducción del circuito se ve afectada por cualquier objeto metálico en el camino (Figura 14.9). Los detectores de metales pueden ajustarse en cuanto a sensibilidad y también pueden detectar la presencia de metal en una persona.

Figura 14.9 La conocida puerta de seguridad de un aeropuerto no solo detecta los metales, sino que también puede indicar su altura aproximada sobre el suelo (créditos: "Alexbuirds"/Wikimedia Commons).

En los destellos de cámara se encuentran grandes voltajes inducidos. Los destello de cámara utilizan una batería, dos inductores que funcionan como un transformador y un sistema de conmutación u oscilador para inducir grandes voltajes. Recordemos que en Oscilaciones se define "oscilación" como la fluctuación de una cantidad, o las fluctuaciones regulares repetidas de una cantidad, entre dos valores extremos en torno a un valor medio. Recuerde también (en la sección Inducción electromagnética sobre la inducción electromagnética) que necesitamos un campo magnético cambiante, provocado por una corriente cambiante, para inducir un voltaje en otra bobina. El sistema de oscilación hace esto muchas veces mientras el voltaje de la batería se eleva a más de 1.000 voltios (es posible que escuche el silbido agudo del transformador mientras se carga el condensador). Un condensador almacena el alto voltaje para su posterior uso en la alimentación del destello.

Un buen enfoque para calcular la autoinducción de un inductor consiste en los siguientes pasos:

Para demostrar este procedimiento, calculamos ahora las autoinducciones de dos inductores.

Solenoide cilíndrico

Considere un solenoide largo y cilíndrico con longitud l, área de sección transversal A y N vueltas de alambre. Suponemos que la longitud del solenoide es mucho mayor que su diámetro, por lo que podemos tomar el campo magnético como $B={\mu }_{0}nI$ en todo el interior del solenoide, es decir, ignoramos los efectos finales en el solenoide. Con una corriente I circulando por las bobinas, el campo magnético producido dentro del solenoide es

por lo que el flujo magnético a través de una vuelta es

Utilizando Ecuación 14.9, calculamos para la autoinducción del solenoide,

Si $n=N\text{/}l$ es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide, podemos escribir Ecuación 14.13 como

donde $V=Al$ es el volumen del solenoide. Observe que la autoinducción de un solenoide largo solo depende de sus propiedades físicas (como el número de vueltas de cable por unidad de longitud y el volumen) y no del campo magnético ni de la corriente. Esto es cierto para los inductores en general.

Toroide rectangular

En la Figura 14.10 se muestra un toroide de sección rectangular. Los radios interior y exterior del toroide son $R_1\text{y}{R}_2,\text{y}h$ es la altura del toroide. Aplicando la ley de Ampère de la misma manera que lo hicimos en el Ejemplo 13.8 para un toroide de sección circular, hallamos que el campo magnético dentro de un toroide rectangular también viene dado por

donde r es la distancia al eje central del toroide. Como el campo cambia dentro del toroide, debemos calcular el flujo integrando sobre la sección transversal del toroide. Utilizando el elemento de la sección transversal infinitesimal $da=hdr$ que se muestra en la Figura 14.10, obtenemos

Figura 14.10 Cálculo de la autoinducción de un toroide rectangular.

Ahora, a partir de la Ecuación 14.16, obtenemos para la autoinducción de un toroide rectangular

Como era de esperar, la autoinducción es una constante determinada únicamente por las propiedades físicas del toroide.