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Física Universitaria Volumen 2

14.2 Autoinducción e inductores

Física Universitaria Volumen 214.2 Autoinducción e inductores
  1. Prefacio
  2. Termodinámica
    1. 1 Temperatura y calor
      1. Introducción
      2. 1.1 Temperatura y equilibrio térmico
      3. 1.2 Termómetros y escalas de temperatura
      4. 1.3 Dilatación térmica
      5. 1.4 Transferencia de calor, calor específico y calorimetría
      6. 1.5 Cambios de fase
      7. 1.6 Mecanismos de transferencia de calor
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Teoría cinética de los gases
      1. Introducción
      2. 2.1 Modelo molecular de un gas ideal
      3. 2.2 Presión, temperatura y velocidad media cuadrática (rms)
      4. 2.3 Capacidad calorífica y equipartición de energía
      5. 2.4 Distribución de las velocidades moleculares
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Primera ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 3.1 Sistemas termodinámicos
      3. 3.2 Trabajo, calor y energía interna
      4. 3.3 Primera ley de la termodinámica
      5. 3.4 Procesos termodinámicos
      6. 3.5 Capacidades térmicas de un gas ideal
      7. 3.6 Procesos adiabáticos para un gas ideal
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Segunda ley de la termodinámica
      1. Introducción
      2. 4.1 Procesos reversibles e irreversibles
      3. 4.2 Máquinas térmicas
      4. 4.3 Refrigeradores y bombas de calor
      5. 4.4 Enunciados de la segunda ley de la termodinámica
      6. 4.5 El ciclo de Carnot
      7. 4.6 Entropía
      8. 4.7 Entropía a escala microscópica
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Electricidad y magnetismo
    1. 5 Cargas y campos eléctricos
      1. Introducción
      2. 5.1 Carga eléctrica
      3. 5.2 Conductores, aislantes y carga por inducción
      4. 5.3 Ley de Coulomb
      5. 5.4 Campo eléctrico
      6. 5.5 Cálculo de los campos eléctricos de las distribuciones de carga
      7. 5.6 Líneas de campo eléctrico
      8. 5.7 Dipolos eléctricos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    2. 6 Ley de Gauss
      1. Introducción
      2. 6.1 Flujo eléctrico
      3. 6.2 Explicar la ley de Gauss
      4. 6.3 Aplicación de la ley de Gauss
      5. 6.4 Conductores en equilibrio electrostático
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 7 Potencial eléctrico
      1. Introducción
      2. 7.1 Energía potencial eléctrica
      3. 7.2 Potencial eléctrico y diferencia de potencial
      4. 7.3 Cálculo del potencial eléctrico
      5. 7.4 Determinación del campo a partir del potencial
      6. 7.5 Equipotential Surfaces and Conductors
      7. 7.6 Aplicaciones de la electrostática
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 8 Capacitancia
      1. Introducción
      2. 8.1 Condensadores y capacitancia
      3. 8.2 Condensadores en serie y en paralelo
      4. 8.3 Energía almacenada en un condensador
      5. 8.4 Condensador con dieléctrico
      6. 8.5 Modelo molecular de un dieléctrico
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 9 Corriente y resistencia
      1. Introducción
      2. 9.1 Corriente eléctrica
      3. 9.2 Modelo de conducción en metales
      4. 9.3 Resistividad y resistencia
      5. 9.4 Ley de Ohm
      6. 9.5 Energía eléctrica y potencia
      7. 9.6 Superconductores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 10 Circuitos de corriente directa
      1. Introducción
      2. 10.1 Fuerza electromotriz
      3. 10.2 Resistores en serie y en paralelo
      4. 10.3 Reglas de Kirchhoff
      5. 10.4 Instrumentos de medición eléctrica
      6. 10.5 Circuitos RC
      7. 10.6 Cableado doméstico y seguridad eléctrica
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 11 Fuerzas y campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 11.1 El magnetismo y sus descubrimientos históricos
      3. 11.2 Campos y líneas magnéticas
      4. 11.3 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético
      5. 11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente
      6. 11.5 Fuerza y torque en un bucle de corriente
      7. 11.6 El efecto Hall
      8. 11.7 Aplicaciones de las fuerzas y campos magnéticos
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 12 Fuentes de campos magnéticos
      1. Introducción
      2. 12.1 La ley de Biot-Savart
      3. 12.2 Campo magnético debido a un cable recto delgado
      4. 12.3 Fuerza magnética entre dos corrientes paralelas
      5. 12.4 Campo magnético de un bucle de corriente
      6. 12.5 Ley de Ampère
      7. 12.6 Solenoides y toroides
      8. 12.7 El magnetismo en la materia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    9. 13 Inducción electromagnética
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de Faraday
      3. 13.2 Ley de Lenz
      4. 13.3 Fuerza electromotriz (emf) de movimiento
      5. 13.4 Campos eléctricos inducidos
      6. 13.5 Corrientes de Foucault
      7. 13.6 Generadores eléctricos y fuerza contraelectromotriz
      8. 13.7 Aplicaciones de la inducción electromagnética
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 14 Inductancia
      1. Introducción
      2. 14.1 Inductancia mutua
      3. 14.2 Autoinducción e inductores
      4. 14.3 Energía en un campo magnético
      5. 14.4 Circuitos RL
      6. 14.5 Oscilaciones en un circuito LC
      7. 14.6 Circuitos RLC en serie
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 15 Circuitos de corriente alterna
      1. Introducción
      2. 15.1 Fuentes de ac
      3. 15.2 Circuitos simples de ac
      4. 15.3 Circuitos en serie RLC con ac
      5. 15.4 Potencia en un circuito de ac
      6. 15.5 Resonancia en un circuito de ac
      7. 15.6 Transformadores
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 16 Ondas electromagnéticas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
      3. 16.2 Ondas electromagnéticas planas
      4. 16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas
      5. 16.4 Momento y presión de radiación
      6. 16.5 El espectro electromagnético
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Correlacionar la tasa de cambio de la corriente con la emf inducida creada por esa corriente en el mismo circuito.
  • Derivar la autoinducción para un solenoide cilíndrico.
  • Derivar la autoinducción para un toroide rectangular.

La inductancia mutua surge cuando una corriente en un circuito produce un campo magnético cambiante que induce una emf en otro circuito. Pero, ¿puede el campo magnético afectar a la corriente del circuito original que produjo el campo? La respuesta es sí, y se trata del fenómeno llamado autoinducción.

Los inductores

La Figura 14.5 muestra algunas de las líneas de campo magnético que se deben a la corriente en un bucle circular de alambre. Si la corriente es constante, el flujo magnético que atraviesa el bucle también lo es. Sin embargo, si la corriente I variara con el tiempo, por ejemplo, inmediatamente después de cerrar el interruptor S, el flujo magnético ΦmΦm cambiaría en consecuencia. Entonces la ley de Faraday nos dice que una emf εε se induciría en el circuito, donde

ε=dΦmdt.ε=dΦmdt.
14.6

Como el campo magnético debido a un alambre conductor de corriente es directamente proporcional a la corriente, el flujo debido a este campo es también proporcional a la corriente; es decir,

ΦmI.ΦmI.
14.7
La figura muestra una batería, un resistor, un bucle circular de alambre y un interruptor S conectados en serie, formando un circuito cerrado. La corriente I fluye a través de ella. Las líneas de campo magnético B se muestran yendo hacia adentro alrededor del bucle de alambre, siguiendo la regla del pulgar derecho.
Figura 14.5 La corriente I en el bucle produce un campo magnético. Si variara con el tiempo, el flujo magnético que atraviesa el bucle también variaría y se induciría una emf en el bucle.

Esto también puede escribirse como

Φm=LIΦm=LI
14.8

donde la constante de proporcionalidad L se conoce como la autoinducción del bucle de alambre. Si el bucle tiene N vueltas, esta ecuación se convierte en

NΦm=LI.NΦm=LI.
14.9

Por convención, el sentido positivo de la normal al bucle está relacionado con la corriente por la regla de la mano derecha, por lo que en la Figura 14.5, la normal apunta hacia abajo. Con esta convención, ΦmΦm es positivo en la Ecuación 14.9, por lo que L siempre tiene un valor positivo.

Para un bucle con N vueltas, ε=NdΦm/dt,ε=NdΦm/dt, por lo que la emf inducida puede escribirse en términos de la autoinducción como

ε=LdIdt.ε=LdIdt.
14.10

Al utilizar esta ecuación para determinar L, lo más fácil es ignorar los signos de εydI/dt,εydI/dt, y calcular L como

L=|ε||dI/dt|.L=|ε||dI/dt|.

Como la autoinducción está asociada al campo magnético producido por una corriente, cualquier configuración de conductores posee autoinducción. Por ejemplo, además del bucle de cable, un cable largo y recto tiene autoinducción, al igual que un cable coaxial. El cable coaxial es el más utilizado por la industria de la televisión por cable y también puede encontrarse conectado a su cablemódem. Los cables coaxiales se utilizan por su capacidad de transmitir señales eléctricas con mínimas distorsiones. Los cables coaxiales están formados por dos largos conductores cilíndricos que conducen corriente que a su vez producen una autoinducción que puede tener efectos indeseables

Un elemento de circuito utilizado para proporcionar autoinducción se conoce como inductor. Está representado por el símbolo que se muestra en la Figura 14.6, que se asemeja a una bobina de alambre, la forma básica del inductor. La Figura 14.7 muestra varios tipos de inductores utilizados habitualmente en los circuitos.

Una línea horizontal hace cuatro bucles completos por debajo de su eje x.
Figura 14.6 Símbolo utilizado para representar un inductor en un circuito.
Fotografía de una variedad de inductores.
Figura 14.7 Una variedad de inductores. Tanto si están encapsulados, como los tres primeros mostrados o enrollados en una bobina o como el último, cada uno es simplemente una bobina de alambre relativamente larga (créditos: Windell Oskay).

De acuerdo con la ley de Lenz, el signo negativo en la Ecuación 14.10 indica que la emf inducida a través de un inductor siempre tiene una polaridad que se opone al cambio de la corriente. Por ejemplo, si la corriente que fluye de A a B en la Figura 14.8(a) fuera creciente, la emf inducida (representada por la batería imaginaria) tendría la polaridad mostrada para oponerse al aumento. Si la corriente de A a B disminuyera, entonces la emf inducida tendría la polaridad opuesta, de nuevo para oponerse al cambio de corriente (Figura 14.8(b)). Por último, si la corriente a través del inductor fuera constante, no se induciría ninguna emf en la bobina.

La figura a muestra una corriente creciente que fluye del punto A al punto B a través de una bobina. Se muestra una batería imaginaria con su terminal positivo hacia A y el negativo hacia B. La figura b muestra una corriente decreciente que fluye desde el punto A al punto B a través de una bobina. Se muestra una batería imaginaria con su terminal negativo hacia A y el positivo hacia B.
Figura 14.8 La emf inducida a través de un inductor siempre actúa para oponerse al cambio de la corriente. Esto puede visualizarse como una batería imaginaria que hace fluir la corriente para oponerse al cambio en (a) y reforzar el cambio en (b).

Una aplicación común de la inductancia es permitir que señales de tráfico detecten cuándo hay vehículos esperando en una intersección de calles. Se coloca un circuito eléctrico con un inductor en la carretera, debajo del lugar donde se detendrá un automóvil en espera. La carrocería del automóvil aumenta la inductancia y el circuito cambia, enviando una señal a los semáforos para que cambien de color. Del mismo modo, los detectores de metales utilizados en la seguridad de los aeropuertos emplean la misma técnica. Una bobina o inductor en el marco del detector de metales actúa como transmisor y receptor. Una señal en forma de pulsos procedente de la bobina transmisora induce una señal en el receptor. La autoinducción del circuito se ve afectada por cualquier objeto metálico en el camino (Figura 14.9). Los detectores de metales pueden ajustarse en cuanto a sensibilidad y también pueden detectar la presencia de metal en una persona.

Fotografía de personas haciendo cola en la puerta del detector de metales de un aeropuerto.
Figura 14.9 La conocida puerta de seguridad de un aeropuerto no solo detecta los metales, sino que también puede indicar su altura aproximada sobre el suelo (créditos: "Alexbuirds"/Wikimedia Commons).

En los destellos de cámara se encuentran grandes voltajes inducidos. Los destello de cámara utilizan una batería, dos inductores que funcionan como un transformador y un sistema de conmutación u oscilador para inducir grandes voltajes. Recordemos que en Oscilaciones se define "oscilación" como la fluctuación de una cantidad, o las fluctuaciones regulares repetidas de una cantidad, entre dos valores extremos en torno a un valor medio. Recuerde también (en la sección Inducción electromagnética sobre la inducción electromagnética) que necesitamos un campo magnético cambiante, provocado por una corriente cambiante, para inducir un voltaje en otra bobina. El sistema de oscilación hace esto muchas veces mientras el voltaje de la batería se eleva a más de 1.000 voltios (es posible que escuche el silbido agudo del transformador mientras se carga el condensador). Un condensador almacena el alto voltaje para su posterior uso en la alimentación del destello.

Ejemplo 14.2

La autoinducción de una bobina

Se mide una emf inducida de 2,0 V a través de una bobina de 50 vueltas estrechamente enrolladas mientras la corriente que la atraviesa aumenta uniformemente de 0,0 a 5,0 A en 0,10 s. (a) ¿Cuál es la autoinducción de la bobina? (b) Con la corriente a 5,0 A, ¿cuál es el flujo que atraviesa cada vuelta de la bobina?

Estrategia

Ambas partes de este problema dan toda la información necesaria para resolver la autoinducción en la parte (a) o el flujo a través de cada vuelta de la bobina en la parte (b). Las ecuaciones necesarias son la Ecuación 14.10 para la parte (a) y la Ecuación 14.9 para la parte (b).

Solución

  1. Ignorando el signo negativo y utilizando las magnitudes, tenemos, a partir de la Ecuación 14.10,
    L=εdI/dt=2,0V5,0A/0,10s=4,0×10−2H.L=εdI/dt=2,0V5,0A/0,10s=4,0×10−2H.
  2. A partir de la Ecuación 14.9, el flujo está dado en términos de la corriente por Φm=LI/N,Φm=LI/N, así que
    Φm=(4,0×10−2H)(5,0A)50gira=4,0×10−3Wb.Φm=(4,0×10−2H)(5,0A)50gira=4,0×10−3Wb.

Importancia

La autoinducción y el flujo calculados en las partes (a) y (b) son valores típicos de las bobinas que se encuentran en los dispositivos contemporáneos. Si la corriente no cambia en el tiempo, el flujo no cambia en el tiempo, por lo que no se induce ninguna emf.

Compruebe Lo Aprendido 14.2

La corriente fluye a través del inductor en la Figura 14.8 de B a A en vez de A a B como se muestra. ¿La corriente aumenta o disminuye para producir la emf dada en el diagrama (a)? ¿En el diagrama (b)?

Compruebe Lo Aprendido 14.3

Una corriente cambiante induce una emf de 10 V a través de un inductor de 0,25 H. ¿A qué tasa cambia la corriente?

Un buen enfoque para calcular la autoinducción de un inductor consiste en los siguientes pasos:

Estrategia de Resolución De Problemas

La autoinducción

  1. Supongamos que por el inductor circula una corriente I.
  2. Determinar el campo magnético BB producido por la corriente. Si hay una simetría adecuada, se puede hacer esto con la ley de Ampère.
  3. Obtener el flujo magnético, Φm.Φm.
  4. Conocido el flujo, la autoinducción se puede calcular a partir de la Ecuación 14.9, L=NΦm/IL=NΦm/I.

Para demostrar este procedimiento, calculamos ahora las autoinducciones de dos inductores.

Solenoide cilíndrico

Considere un solenoide largo y cilíndrico con longitud l, área de sección transversal A y N vueltas de alambre. Suponemos que la longitud del solenoide es mucho mayor que su diámetro, por lo que podemos tomar el campo magnético como B=μ0nIB=μ0nI en todo el interior del solenoide, es decir, ignoramos los efectos finales en el solenoide. Con una corriente I circulando por las bobinas, el campo magnético producido dentro del solenoide es

B=μ0(Nl)I,B=μ0(Nl)I,
14.11

por lo que el flujo magnético a través de una vuelta es

Φm=BA=μ0NAlI.Φm=BA=μ0NAlI.
14.12

Utilizando Ecuación 14.9, calculamos para la autoinducción del solenoide,

Lsolenoide=NΦmI=μ0N2Al.Lsolenoide=NΦmI=μ0N2Al.
14.13

Si n=N/ln=N/l es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide, podemos escribir Ecuación 14.13 como

L=μ0(Nl)2Al=μ0n2Al=μ0n2(V),L=μ0(Nl)2Al=μ0n2Al=μ0n2(V),
14.14

donde V=AlV=Al es el volumen del solenoide. Observe que la autoinducción de un solenoide largo solo depende de sus propiedades físicas (como el número de vueltas de cable por unidad de longitud y el volumen) y no del campo magnético ni de la corriente. Esto es cierto para los inductores en general.

Toroide rectangular

En la Figura 14.10 se muestra un toroide de sección rectangular. Los radios interior y exterior del toroide son R1yR2,yhR1yR2,yh es la altura del toroide. Aplicando la ley de Ampère de la misma manera que lo hicimos en el Ejemplo 13.8 para un toroide de sección circular, hallamos que el campo magnético dentro de un toroide rectangular también viene dado por

B=μ0NI2πr,B=μ0NI2πr,
14.15

donde r es la distancia al eje central del toroide. Como el campo cambia dentro del toroide, debemos calcular el flujo integrando sobre la sección transversal del toroide. Utilizando el elemento de la sección transversal infinitesimal da=hdrda=hdr que se muestra en la Figura 14.10, obtenemos

Φm=Bda=R1R2(μ0NI2πr)(hdr)=μ0NhI2πlnR2R1.Φm=Bda=R1R2(μ0NI2πr)(hdr)=μ0NhI2πlnR2R1.
14.16
La figura muestra la sección transversal de un toroide. El radio interior del anillo es R1 y el radio exterior es R2. La altura de la sección transversal rectangular es h. Una pequeña sección de espesor dr se encuentra en el centro de la sección transversal rectangular. Esto está a una distancia r del centro del anillo. El área dentro de la sección transversal rectangular con el grosor dr y la altura h está resaltada y marcada como da. Se muestran las líneas de campo y la corriente i que circula por el toroide.
Figura 14.10 Cálculo de la autoinducción de un toroide rectangular.

Ahora, a partir de la Ecuación 14.16, obtenemos para la autoinducción de un toroide rectangular

L=NΦmI=μ0N2h2πlnR2R1.L=NΦmI=μ0N2h2πlnR2R1.
14.17

Como era de esperar, la autoinducción es una constante determinada únicamente por las propiedades físicas del toroide.

Compruebe Lo Aprendido 14.4

(a) Calcule la autoinducción de un solenoide que está enrollado estrechamente con un alambre de 0,10 cm de diámetro, tiene una sección transversal de 0,90cm20,90cm2 y tiene una longitud de 40 cm. (b) Si la corriente que atraviesa el solenoide disminuye uniformemente de 10 a 0 A en 0,10 s, ¿cuál es la emf inducida entre los extremos del solenoide?

Compruebe Lo Aprendido 14.5

(a) ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por un solenoide de autoinducción de una vuelta 8,0×10−5H8,0×10−5H cuando circula una corriente de 3,0 A? Supongamos que el solenoide tiene 1.000 vueltas y está bobinado con alambre de 1,0 mm de diámetro. (b) ¿Cuál es la sección transversal del solenoide?

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