14.1 Inductancia mutua

La inductancia es la propiedad de un dispositivo que nos indica la eficacia con la que induce una fuerza electromotriz en otro dispositivo. En otras palabras, es una cantidad física que expresa la eficacia de un determinado dispositivo.

Cuando dos circuitos que transportan corrientes variables en el tiempo están cerca el uno del otro, el flujo magnético a través de cada circuito varía debido a la variación de la corriente I en el otro circuito. En consecuencia, se induce una emf en cada circuito por la corriente cambiante en el otro. Este tipo de emf se denomina, por tanto, emf mutuamente inducida, y el fenómeno que se produce se conoce como inductancia mutua (M). Como ejemplo, consideremos dos bobinas fuertemente enrolladas (Figura 14.2). Las bobinas 1 y 2 tienen $N_1$ y $N_2$ giros y corrientes de transporte $I_1$ y $I_2,$ respectivamente. El flujo a través de una sola vuelta de la bobina 2 producido por el campo magnético de la corriente en la bobina 1 es ${\text{Φ}}_{21},$ mientras que el flujo a través de una sola vuelta de la bobina 1 debido al campo magnético de $I_2$ es ${\text{Φ}}_{12}.$

Figura 14.2 Algunas de las líneas de campo magnético producidas por la corriente en la bobina 1 pasan por la bobina 2.

La inductancia mutua $M_{21}$ de la bobina 2 con respecto a la bobina 1 es la relación del flujo a través del $N_2$ vueltas de la bobina 2 producidas por el campo magnético de la corriente en la bobina 1, dividido por dicha corriente, es decir

Del mismo modo, la inductancia mutua de la bobina 1 con respecto a la bobina 2 es

Al igual que la capacitancia, la inductancia mutua es una magnitud geométrica. Depende de las formas y posiciones relativas de las dos bobinas, y es independiente de las corrientes en las bobinas. La unidad del SI para la inductancia mutua M se llama henrio (H) en honor a Joseph Henry (1799-1878), un científico estadounidense que descubrió la emf inducida independientemente de Faraday. Así, tenemos $1\text{H}=1\text{V}·\text{s/A}$. A partir de la Ecuación 14.1 y la Ecuación 14.2, podemos demostrar que $M_{21}=M_{12},$ por lo que solemos eliminar los subíndices asociados a la inductancia mutua y escribir

La emf desarrollada en cualquiera de las bobinas se encuentra combinando la ley de Faraday y la definición de inductancia mutua. Dado que $N_2{\text{Φ}}_{21}$ es el flujo total a través de la bobina 2 debido a $I_1$, obtenemos

donde hemos utilizado el hecho de que M es una constante independiente del tiempo porque la geometría es independiente del tiempo. Del mismo modo, tenemos

En la Ecuación 14.5, podemos ver el significado de la descripción anterior de la inductancia mutua(M) como una cantidad geométrica. El valor de M encapsula claramente las propiedades físicas de los elementos del circuito y nos permite separar la disposición física del circuito de las cantidades dinámicas, como la emf y la corriente. La Ecuación 14.5 define la inductancia mutua en términos de propiedades en el circuito, mientras que la definición anterior de inductancia mutua en la Ecuación 14.1 se define en términos del flujo magnético experimentado, independientemente de los elementos del circuito. Debe tener cuidado al utilizar la Ecuación 14.4 y la Ecuación 14.5 porque ${\epsilon }_1\text{y}{\epsilon }_2$ no representan necesariamente las emfs totales en las respectivas bobinas. Cada bobina también puede tener una emf inducida en ella debido a su autoinducción (la autoinducción se tratará con más detalle en una sección posterior).

Una gran inductancia mutua M puede ser deseable o no. Queremos que un transformador tenga una gran inductancia mutua. Pero un aparato, como una secadora de ropa eléctrica, puede inducir una emf peligrosa en su caja metálica si la inductancia mutua entre sus bobinas y la caja es grande. Una forma de reducir la inductancia mutua es contrarrestar las bobinas para cancelar el campo magnético producido (Figura 14.3).

Figura 14.3 Las bobinas de calentamiento de una secadora de ropa eléctrica pueden estar enrolladas en sentido contrario para que sus campos magnéticos se anulen entre sí, reduciendo en gran medida la inductancia mutua con la caja de la secadora.

El procesamiento digital de señales es otro ejemplo en el que la inductancia mutua se reduce mediante bobinas de contrabobinado. La rápida emf de encendido y apagado que representa los 1s y 0s en un circuito digital crea un complejo campo magnético dependiente del tiempo. Se puede generar una emf en los conductores vecinos. Si ese conductor también transporta una señal digital, la emf inducida puede ser lo suficientemente grande como para conmutar 1 s y 0 s, con consecuencias que van desde inconvenientes hasta desastrosas.

Ejemplo 14.1

Inductancia mutua

La Figura 14.4 muestra una bobina de $N_2$ giros y radios $R_2$ que rodea a un solenoide largo de longitud $l_1,$ radio $R_1,$ y $N_1$ vueltas. (a) ¿Cuál es la inductancia mutua de las dos bobinas? (b) Si $N_1=500\text{vueltas}$, $N_2=10\text{vueltas}$, $R_1=\mathrm{3,10}\text{cm}$, $l_1=\mathrm{75,0}\text{cm}$, y la corriente en el solenoide está cambiando a una velocidad de 200 A/s, ¿cuál es la emf inducida en la bobina adyacente?

Figura 14.4 Un solenoide rodeado de una bobina.

Estrategia

No hay campo magnético fuera del solenoide, y el campo en el interior tiene magnitud $B_1={\mu }_0(N_1\text{/}{l}_1)I_1$ y se dirige en paralelo al eje del solenoide. Podemos utilizar este campo magnético para calcular el flujo magnético a través de la bobina adyacente y luego utilizar este flujo para calcular la inductancia mutua para la parte (a), utilizando la Ecuación 14.3. Resolvemos la parte (b) mediante el cálculo de la inductancia mutua a partir de las cantidades dadas y utilizando la Ecuación 14.4 para calcular la emf inducida.

Solución

1. El flujo magnético ${\text{Φ}}_{21}$ a través de la bobina adyacente es
   $${\text{Φ}}_{21}=B_1\pi R_1^2=\frac{{\mu }_0{N}_1{I}_1}{l_1}\pi R_1^2.$$
   Ahora a partir de la Ecuación 14.3, la inductancia mutua es
   $$M=\frac{N_2{\text{Φ}}_{21}}{I_1}=\left(\frac{N_2}{I_1}\right)\left(\frac{{\mu }_0{N}_1{I}_1}{l_1}\right)\pi R_1^2=\frac{{\mu }_0{N}_1{N}_2\pi R_1^2}{l_1}.$$
2. Utilizando la expresión anterior y los valores dados, la inductancia mutua es
   $$\begin{array}{cc}\hfill M& =\frac{(4\pi \times {10}^{\mathrm{-7}}\text{T}·\text{m/A})(500)(10)\pi {(\mathrm{0,0310}\text{m})}^2}{\mathrm{0,750}\text{m}}\hfill \\ & =\mathrm{2,53}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{H}.\hfill \end{array}$$
   Así, a partir de la Ecuación 14.4, la emf inducida en la bobina adyacente es
   $$\begin{array}{cc}\hfill {\epsilon }_2& =\text{−}M\frac{d{I}_1}{dt}=\text{−}(\mathrm{2,53}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{H})(200\text{A/s})\hfill \\ & =\mathrm{-5,06}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{V}.\hfill \end{array}$$

Importancia

Observe que M en la parte (a) es independiente del radio $R_2$ de la bobina adyacente porque el campo magnético del solenoide está confinado en su interior. En principio, también podemos calcular M encontrando el flujo magnético a través del solenoide producido por la corriente en la bobina adyacente. Este enfoque es mucho más difícil porque ${\text{Φ}}_{12}$ es muy complicado. Sin embargo, como $M_{12}=M_{21},$ conocemos el resultado de este cálculo.