Capítulo 5

La fuerza apuntaría hacia afuera.

La fuerza neta apuntaría $58\text{°}$ por debajo del eje x.

$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\widehat{r}$

Ya no podremos aprovechar la simetría. En cambio, tendremos que calcular cada uno de los dos componentes del campo eléctrico con su propia integral.

La carga por puntos sería $Q=\sigma ab$ donde a y b son los lados del rectángulo pero por lo demás son idénticos.

El campo eléctrico sería cero en el medio, y tendría una magnitud $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ en todos los demás lugares.

La mayoría de las cargas positivas y negativas son iguales, por lo que el objeto es eléctricamente neutro.

a. no; b. sí

Tome un objeto con una carga conocida, ya sea positiva o negativa, y acérquelo a la varilla. Si el objeto cargado conocido es positivo y es repelido de la varilla, esta está cargada positivamente. Si el objeto cargado positivamente es atraído por la varilla, esta se carga negativamente.

No, ambos atraen el polvo porque las moléculas de las partículas de polvo se polarizan en la dirección de la seda.

Sí, la carga de polarización se induce en el conductor de manera que la carga positiva está más cerca de la varilla cargada, lo que provoca una fuerza de atracción.

La carga por conducción es la carga por contacto en la que se transfiere la carga al objeto. La carga por inducción implica primero producir una carga de polarización en el objeto y luego conectar un cable a tierra para permitir que parte de la carga salga del objeto, dejando el objeto cargado.

Esto es para que cualquier exceso de carga se transfiera a la tierra, manteniendo los receptáculos de gasolina neutros. Si hay un exceso de carga en el receptáculo de gasolina, una chispa podría encenderlo.

La secadora carga la ropa. Si están húmedos, la presencia de moléculas de agua suprime la carga.

Solo hay dos tipos de carga, la atractiva y la repulsiva. Si se acerca un objeto cargado al cuarzo, solo se producirá uno de estos dos efectos, lo que demuestra que no existe un tercer tipo de carga.

a. No, ya que se induce una carga de polarización. b. Sí, ya que la carga de polarización solo produciría una fuerza de atracción.

La fuerza que mantiene unido el núcleo debe ser mayor que la fuerza electrostática de repulsión de los protones.

Se puede utilizar cualquier signo de la carga de prueba, pero la convención es utilizar una carga de prueba positiva.

Las cargas son del mismo signo.

En el infinito, esperaríamos que el campo fuera cero, pero como la hoja tiene una extensión infinita, no es así. Dondequiera que esté, ve un plano infinito en todas las direcciones.

La placa con carga infinita tendría $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$ en todas partes. El campo apuntaría hacia la placa si estuviera cargada negativamente y se alejaría de la placa si estuviera cargada positivamente. El campo eléctrico de las placas paralelas sería cero entre ellas si tuvieran la misma carga, y E sería $E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ en todos los demás lugares. Si las cargas fueran opuestas, la situación se invierte, cero fuera de las placas y $E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ entre ellas.

sí; no

En la superficie de la Tierra, el campo gravitacional está siempre dirigido hacia el centro de la Tierra. Un campo eléctrico podría mover una partícula cargada en una dirección diferente a la del centro de la Tierra. Esto indicaría que hay un campo eléctrico presente.

10

a. $\mathrm{2,00}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\left(\frac{1}{\mathrm{1,602}\times {10}^{\mathrm{-19}}}\text{e/C}\right)=\mathrm{1,248}\times {10}^{10}\text{electrones}$;
b. $\mathrm{0,500}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}\left(\frac{1}{\mathrm{1,602}\times {10}^{\mathrm{-19}}}\text{e/C}\right)=\mathrm{3,121}\times {10}^{12}\text{electrones}$

$\frac{\mathrm{3,750}\times {10}^{21}\text{e}}{\mathrm{6,242}\times {10}^{18}\text{e}\text{/}\text{C}}=\mathrm{–600,8}\text{C}$

a. $\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}(\mathrm{6,242}\times {10}^{18}\text{e}\text{/}\text{C})=\mathrm{1,248}\times {10}^{10}\text{e}$;

b. $\mathrm{9,109}\times {10}^{\mathrm{-31}}\text{kg}(\mathrm{1,248}\times {10}^{10}\text{e})=\mathrm{1,137}\times {10}^{\mathrm{-20}}\text{kg},$ $\frac{\mathrm{1,137}\times {10}^{\mathrm{-20}}\text{kg}}{\mathrm{2,5}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{kg}}=\mathrm{4,548}\times {10}^{\mathrm{-18}}\text{o}\mathrm{4,545}\times {10}^{\mathrm{-16}}\text{\%}$

$\mathrm{5,00}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}(\mathrm{6,242}\times {10}^{18}\text{e}\text{/}\text{C})=\mathrm{3,121}\times {10}^{10}\text{e}$;
$\mathrm{3,121}\times {10}^{10}\text{e}\text{+}\mathrm{1,0000}\times {10}^{12}\text{e}=\mathrm{1,0312}\times {10}^{12}\text{e}$

masa atómica del átomo de cobre por $1\text{u}=\mathrm{1,055}\times {10}^{\mathrm{-25}}\text{kg}$;
número de átomos de cobre $=\mathrm{4,739}\times {10}^{23}\text{átomos}$;
el número de electrones es igual a 29 veces el número de átomos o $\mathrm{1,374}\times {10}^{25}\text{electrones}$; $\frac{\mathrm{2,00}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}(\mathrm{6,242}\times {10}^{18}\text{e}\text{/}\text{C})}{\mathrm{1,374}\times {10}^{25}\text{e}}=\mathrm{9,083}\times {10}^{\mathrm{-13}}\text{o}\mathrm{9,083}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{\%}$

$\mathrm{244,00}\text{u}(\mathrm{1,66}\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}\text{/}\text{u})=\mathrm{4,050}\times {10}^{\mathrm{-25}}\text{kg}$
$\frac{\mathrm{4,00}\text{kg}}{\mathrm{4,050}\times {10}^{\mathrm{-25}}\text{kg}}=\mathrm{9,877}\times {10}^{24}\text{átomos}\mathrm{9,877}\times {10}^{24}(94)=\mathrm{9,284}\times {10}^{26}\text{protones}$
$\mathrm{9,284}\times {10}^{26}(\mathrm{1,602}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\text{/}\text{p})=\mathrm{1,487}\times {10}^8\text{C}$

a. la carga 1 es $3\mu \text{C}$; la carga 2 es $12\mu \text{C}$, ${\text{F}}_{31}=\mathrm{2,16}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}$ a la izquierda,
${\text{F}}_{32}=\mathrm{8,63}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}$ a la derecha,
${\text{F}}_{\text{neto}}=\mathrm{6,47}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}$ a la derecha;
b. ${\text{F}}_{31}=\mathrm{2,16}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}$ a la derecha,
${\text{F}}_{32}=\mathrm{9,59}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N}$ a la derecha,
${\text{F}}_{\text{neto}}=\mathrm{3,12}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}$ a la derecha,

;
c ${\overrightarrow{\text{F}}}_{31x}=\mathrm{-2,76}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N}\widehat{\text{i}}$,
${\overrightarrow{\text{F}}}_{31y}=\mathrm{-1,38}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N}\widehat{\text{j}}$,
${\overrightarrow{\text{F}}}_{32y}=\mathrm{-8,63}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}\widehat{\text{j}}$
$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{neto}}\hfill & =\mathrm{-3,86}\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{N}\widehat{\text{i}}-\mathrm{8,83}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}\widehat{\text{j}}\hfill \end{array}$

$F=\mathrm{230,7}\text{N}$

$F=\mathrm{53,94}\text{N}$

La tensión es $T=\mathrm{0,049}\text{N}$. El componente horizontal de la tensión es $\mathrm{0,0043}\text{N}$
$d=\mathrm{0,088}\text{m},q=\mathrm{6,1}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{C}$.
Las cargas pueden ser positivas o negativas, pero ambas tienen que ser del mismo signo.

Sea la carga de una de las esferas nQ, donde n es una fracción entre 0 y 1. En el numerador de la ley de Coulomb, el término que involucra las cargas es $nQ(1-n)Q.$ Esto es igual a $(n-n^2)Q^2$. Al hallar el máximo de este término se obtiene $1-2n=0\Rightarrow n=\frac{1}{2}$

Definiendo que la derecha es la dirección positiva y que la izquierda es la dirección negativa, entonces $F=\mathrm{-0,05}\text{N}$

Las partículas forman un triángulo de lados 13, 13 y 24 cm. Los componentes x se anulan, mientras que hay una contribución al componente y de ambas cargas separadas por 24 cm. El eje y que pasa por la tercera carga biseca la línea de 24 cm crean dos triángulos rectos de lados 5, 12 y 13 cm.
$F_y=\mathrm{2,56}\text{N}$ en la dirección y negativa ya que la fuerza es atractiva. La fuerza neta de ambas cargas es ${\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{neto}}=\mathrm{-5,12}\text{N}\widehat{\text{j}}$.

La diagonal es $\sqrt{2}a$ y los componentes de la fuerza debida a la carga diagonal tienen un factor $\text{cos}\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$
${\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{neto}}=\left[k\frac{q^2}{a^2}+k\frac{q^2}{2a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\widehat{\text{i}}-\left[k\frac{q^2}{a^2}+k\frac{q^2}{2a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\widehat{\text{j}}$

a. $E=\mathrm{2,0}\times {10}^2\frac{\text{N}}{\text{C}}$ arriba;
b $F=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{N}$ abajo

a. $E=\mathrm{2,88}\times {10}^{11}\text{N}\text{/}\text{C}$;
b. $E=\mathrm{1,44}\times {10}^{11}\text{N}\text{/}\text{C}$;
c. $F=\mathrm{4,61}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{N}$ sobre la partícula alfa;
$F=\mathrm{4,61}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{N}$ en electrón

$E=\left(\mathrm{-2,0}\widehat{\text{i}}+\mathrm{3,0}\widehat{\text{j}}\right)\text{N}$

$F=\mathrm{3,204}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}$,
$a=\mathrm{3,517}\times {10}^{16}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

$q=\mathrm{2,78}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}$

a. $E=\mathrm{1,15}\times {10}^{12}\text{N}\text{/}\text{C}$;
b. $F=\mathrm{1,47}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{N}$

Si $q_2$ está a la derecha de $q_1,$ el vector campo eléctrico de ambas cargas apunta a la derecha. a $E=\mathrm{2,70}\times {10}^6\text{N}\text{/}\text{C}$;
b. $F=\mathrm{54,0}\text{N}$

Hay $45\text{°}$ de geometría del triángulo rectángulo. Los componentes x del campo eléctrico en $y=3\text{m}$ se cancelan. Los componentes y dan $E(y=3\text{m})=\mathrm{2,83}\times {10}^3\text{N}\text{/}\text{C}$.
En el origen tenemos una carga negativa de magnitud
$q=\mathrm{-2,83}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}$.

$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\mathrm{3,6}\times {10}^4\text{N}\text{/}\text{C}\widehat{\text{k}}$

$dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda dx}{{(x+a)}^2},E=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{l+a}-\frac{1}{a}\right]$

$\sigma =\mathrm{0,02}\text{C}\text{/}{\text{m}}^{2}E=\mathrm{2,26}\times {10}^9\text{N}\text{/}\text{C}$

En $P_1$: $\overrightarrow{\text{E}}(y)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda L}{y\sqrt{y^2+\frac{L^2}{4}}}\widehat{\text{j}}\Rightarrow \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{\frac{a}{2}\sqrt{{(\frac{a}{2})}^2+\frac{L^2}{4}}}\widehat{\text{j}}=\frac{1}{\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{a\sqrt{a^2+L^2}}\widehat{\text{j}}$
En $P_2\text{:}$ Poner el origen al final de L.
$dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda dx}{{(x+a)}^2},\overrightarrow{\text{E}}=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}l}\left[\frac{1}{l+a}-\frac{1}{a}\right]\widehat{\text{i}}$

a. $\overrightarrow{\text{E}}(\overrightarrow{\text{r}})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2{\lambda }_x}{b}\widehat{\text{i}}+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2{\lambda }_y}{a}\widehat{\text{j}}$; b. $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2({\lambda }_x+{\lambda }_y)}{c}\widehat{\text{k}}$

a. $\overrightarrow{\text{F}}=\mathrm{3,2}\times {10}^{\mathrm{-17}}\text{N}\widehat{\text{i}}$,
$\overrightarrow{\text{a}}=\mathrm{1,92}\times {10}^{10}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\widehat{\text{i}}$;
b. $\overrightarrow{\text{F}}=\mathrm{-3,2}\times {10}^{\mathrm{-17}}\text{N}\widehat{\text{i}}$,
$\overrightarrow{\text{a}}=\mathrm{-3,51}\times {10}^{13}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\widehat{\text{i}}$

$m=\mathrm{6,5}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{kg}$,
$E=\mathrm{1,6}\times {10}^7\text{N}\text{/}\text{C}$

$E=\mathrm{1,70}\times {10}^6\text{N}\text{/}\text{C}$,
$F=\mathrm{1,53}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{N}T\text{cos}\theta =mgT\text{sen}\theta =qE$,
$\text{tan}\theta =\mathrm{0,62}\Rightarrow \theta =\mathrm{32,0}\text{°}$,
Esto es independiente de la longitud de la cadena.

arco de círculo $d{E}_x(\text{−}\widehat{\text{i}})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda ds}{r^2}\text{cos}\theta (\text{−}\widehat{\text{i}})$,
${\overrightarrow{\text{E}}}_x=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{i}})$,
$d{E}_y(\text{−}\widehat{\text{i}})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda ds}{r^2}\text{sen}\theta (\text{−}\widehat{\text{j}})$,
${\overrightarrow{\text{E}}}_y=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{j}})$;
eje y: ${\overrightarrow{\text{E}}}_x=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{i}})$;
eje x: ${\overrightarrow{\text{E}}}_y=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{j}})$,
$\overrightarrow{\text{E}}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{i}})+\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}(\text{−}\widehat{\text{j}})$

a. $W=\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2)$, $\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_0}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right)=\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2)\Rightarrow r_0-r=\frac{4\pi {\epsilon }_0}{Qq}\frac{1}{2}r{r}_{0}m(v^2-v_0^2)$; b. $r_0-r$ es negativo; por lo tanto, $v_0>v$, $r\to \infty ,\text{y}v\to 0\text{:}\frac{Qq}{4\pi {\epsilon }_0}\left(-\frac{1}{r_0}\right)=-\frac{1}{2}m{v}_0^2\Rightarrow v_0=\sqrt{\frac{Qq}{2\pi {\epsilon }_{0}m{r}_0}}$

$E_x=0,$
$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{2q}{(x^2+a^2)}\frac{a}{\sqrt{(x^2+a^2)}}\right]$
$\Rightarrow x\gg a\Rightarrow \frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{qa}{x^3}$,
$E_y=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{2ya+2ya}{{(y-a)}^2{(y+a)}^2}\right]$
$\Rightarrow y\gg a\Rightarrow \frac{1}{\pi {\epsilon }_0}\frac{qa}{y^3}$

El momento dipolar neto de la molécula es la suma vectorial de los momentos dipolares individuales entre los dos O-H. La separación O-H es de 0,9578 angstroms
$\overrightarrow{\text{p}}=\mathrm{1,889}\times {10}^{\mathrm{-29}}\text{Cm}\widehat{\text{i}}$

${\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{neto}}=[\mathrm{-8,99}\times {10}^9\frac{\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}})}{{(\mathrm{3,0}\text{m})}^2}-\mathrm{8,99}\times {10}^9\frac{\mathrm{9,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}})}{{(\mathrm{3,0}\text{m})}^2}]\widehat{\text{i}}$,
$\mathrm{-8,99}\times {10}^9\frac{\mathrm{6,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}(\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}})}{{(\mathrm{3,0}\text{m})}^2}\widehat{\text{j}}=\mathrm{-0,06}\text{N}\widehat{\text{i}}-\mathrm{0,03}\text{N}\widehat{\text{j}}$

Las cargas Q y q forman un triángulo rectángulo de lados 1 m y $3+\sqrt{3}\text{m}.$ Las cargas 2Q y q forman un triángulo rectángulo de lados 1 m y $\sqrt{3}\text{m}.$
$\begin{array}{cc}{F}_x\hfill & =\mathrm{0,049}\text{N},\hfill \end{array}$
$F_y=\mathrm{0,093}\text{N}$,
${\overrightarrow{\text{F}}}_{\text{neto}}=\mathrm{0,036}\text{N}\widehat{\text{i}}+\mathrm{0,09}\text{N}\widehat{\text{j}}$

$W=\mathrm{0,054}\text{J}$

a. $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q}{{(2a)}^2}-\frac{q}{a^2})\widehat{\text{i}}$; b. $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{\sqrt{3}}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{a^2}(\text{−}\widehat{\text{j}})$; c. $\overrightarrow{\text{E}}=\frac{2}{\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}(\text{−}\widehat{\text{j}})$

${\overrightarrow{\text{E}}}_{\text{neto}}={\overrightarrow{\text{E}}}_1+{\overrightarrow{\text{E}}}_2+{\overrightarrow{\text{E}}}_3+{\overrightarrow{\text{E}}}_4=(\mathrm{4,65}\widehat{\text{i}}+\mathrm{1,44}\widehat{\text{j}})\times {10}^{7}N/C$

$F=q{E}_0\left(1+x\text{/}a\right)W=\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2)$,
$\frac{1}{2}m{v}^2=q{E}_0(\frac{15a}{2})\text{J}$

Campo eléctrico del cable en x: $\overrightarrow{\text{E}}(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2{\lambda }_y}{x}\widehat{\text{i}}$,
$dF=\frac{{\lambda }_y{\lambda }_x}{2\pi {\epsilon }_0}(\text{ln}b-\text{ln}a)$

$d{E}_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda dx}{(x^2+a^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$,
${\overrightarrow{\text{E}}}_x=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{\sqrt{L^2+a^2}}-\frac{1}{a}\right]\widehat{\text{i}}$,
$d{E}_z=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda dx}{(x^2+a^2)}\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}$,
${\overrightarrow{\text{E}}}_z=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}a}\frac{L}{\sqrt{L^2+a^2}}\widehat{\text{k}}$,
Sustituyendo z por a, tenemos
$\overrightarrow{\text{E}}(z)=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{\sqrt{L^2+z^2}}-\frac{1}{z}\right]\widehat{\text{i}}+\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}z}\frac{L}{\sqrt{L^2+z^2}}\widehat{\text{k}}$

Hay una fuerza neta solo en la dirección y. Supongamos que $\theta$ es el ángulo que forma el vector de dx a q con el eje x. Las componentes a lo largo del eje x se cancelan debido a la simetría, dejando el componente y de la fuerza.
$d{F}_{\text{y}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{aq\lambda dx}{{(x^2+a^2)}^{3\text{/}2}}$,
$F_y=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{q\lambda }{a}\left[\frac{l\text{/}2}{{({(l\text{/}2)}^2+a^2)}^{1\text{/}2}}\right]$